专题09（A基础）球-2021-2022学年高二数学秋季班精讲教案（沪教版2020必修第三册）

第9课：球 教学目标 1、理解球的定义和相关定义（球面、球心、球半径、球直径、大圆、小圆）； 2、理解经度纬度的定义，并会根据经度纬度去求相应量； 3、能够解释球的体积的公式由来，并能熟记球的体积公式； 4、能够理解球的表面积的公式由来，并能熟记球的表面积公式； 5、会求以球为载体的相关几何体的几何量. 重 点 1、理解球的定义和相关定义（球面、球心、球半径、球直径、大圆、小圆）； 2、能够熟记求得体积公式和表面积公式； 3、会求以球为载体的相关几何体的几何量. 难 点 会求以球为载体的相关几何体的几何量. （一）多面体 知识梳理 球 和圆柱、圆锥一样，球也是一个旋转体．如下图，将圆心为的半圆面绕其直径所在的直线旋转一周，所形成的几何体叫做球，记作球． 半圆的圆弧绕直径旋转所形成的旋转面叫做球面， 点到球面上任意一点的距离都相等，点叫做球心， 把原半圆的半径和直径分别叫做球的半径和直径． 与圆柱和圆锥只有一条轴不同，球具有丰富的对称性，所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径 假设我们用一个平面去截球，得到的截面是什么图形呢？ 由直线与平面垂直的性质可知，过球心有且只有一条直线与平面垂直．设这条直线与球面的交点分别是和，则是球的一条直径．如上右图，设平面与的交点是，是平面与球面的任一公共点．连接，在上，由勾股定理，易知为定值，与点的选取无关．这就是说，在平面上到定点的距离为定值，所以平面与球面的交线是一个以为圆心，为半径的圆．特别地，若平面经过球心，则与重合，此时的截面称为球的大圆． 例题精讲 球及其截面 【例1】下列说法中正确的个数是（ ） ①球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ②球面上任意两点的连线是球的直径； ③用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆； ④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面； ⑤以半圆的直径所在直线为轴旋转形成的曲面叫做球； ⑥空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面. A．0 B．1 C．2 D．3 【难度】★★★ 【答案】D 【解析】①正确；当球面上两点的连线经过球心时，这两点的连线才是球的直径，故②错误； ③用一个平面截一个球，得到的截面是圆面，而不是一个圆，故③错误； ④正确；曲面所围成的几何体叫做球，故⑤错误；⑥正确；故正确说法为①④⑥，共3个.故选： 【例2】如图所示的平面结构（阴影部分为实心，空白部分为空心），绕中间轴旋转一周，形成的几何体为（ ） A．一个球 B．一个球中间挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球中间挖去一个棱柱 【难度】★★ 【答案】B 【解析】由题意，根据球的定义，可得外面的圆旋转形成一个球，根据圆柱的概念，可得里面的长方形旋转形成一个圆柱，所以绕中间轴旋转一周，形成的几何体为一个球中间挖去一个圆柱，故选B. 【例3】湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个直径为24cm，深为8cm的空穴，则这球的半径为______________cm. 【难度】★★★ 【答案】13； 【解析】设球的半径为，将球取出，留下空穴的直径为，深， 则截面圆的半径为，球心距为，又由，即，化简得，解得.故答案为. 【例4】球的两个平行截面的面积分别为，两截面之间的距离为1，求球的半径． 【难度】★★★ 【答案】3 【解析】解：设半径为，圆心为，（画图，将空间图形化为平面图形，一个圆，圆内有两条相距1的两条平行弦）大弦长，小弦长，到大弦距离，到小弦的距离，若两弦在圆心的同侧则，若两弦在圆的异侧，则 即，整理得，无意义 综上得，的研究球的半径为3 巩固训练 1、下列说法正确的是（ ） A．到定点的距离等于定长的点的集合是球 B．球面上不同的三点可能在同一条直线上 C．用一个平面截球，其截面是一个圆 D．球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面 【难度】★★ 【答案】D 【解析】对于A，球是球体的简称，球体的外表面称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，故A错； 对于B，球面=-09上不同的三点一定不共线，故B错； 对于C，用一个平面截球，其截面是一个圆面，而不是一个圆，故C错， 对于D，球心与截面圆心（截面不过球心）的连线必垂直于该截面，故D正确. 故选：D. 2、如图，将阴影部分图形（三角形关于l对称）绕示直线l旋转一周所得的几何体是（ ） A．圆锥 B．圆锥和球组成的简单几何体 C．球 D．一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单几何体 【难度】★★ 【答案】D 【解析】由题意知，三角形绕轴旋转一周后形成的几何体是圆锥，圆绕直径所在直线旋转一周后形成的几何体是球，故阴影部分旋转一周后形成的几何体是一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单几何体，故选D． 3