福建省福州第一中学2026-2027学年高三上学期第一次质量检测数学试题

福州一中2027届高三第一学期第一次质量检测 数学试卷参考答案 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分. 2 3 4 5 6 7 8 C A B A B D C C 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BD BCD ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.5 3 13.-号2分)， 2元(3分) 144 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)【解】(1)由题可知：=12+125+13+135+14)=13，可=24+13+11+9+8)11； 计算得∑(g-=25,(:-)y-)=-8 i=1 所以=289 5 a-1-(913-2 5 ”关于x的经验回归方程为少=-：+ 59分 (2)当-20时. ≈10 答：若把销量提升到2000件左右，则该纪念品的定价应为10元…13分 16.(15分)【解】(1)由正孩定理：g-5simC+cosC→3sinA=5 sin sin C+3 3sin BcosC, b3 所以3sin(B+C)=√3 sin Bsin C+3 sin Bcos C, 所以3 sin B cosC+3 cos Bsin C=√3 sin BsinC+3 sin BcosC, 得3 cos BsinC=√3 sin B sinC. 因为C为三角形内角，所以sinC≠0，所以tanB=√5. 又B∈(0，m),所以B= …7分 3 (2)如图：因为MA+MB+MC=0,所以M为△ABC的重心. 延长M交AC与点D,则D为AC中，点因为M=1,所以BD= 因为BD=®A+BC),所以BD=(®M+BC→+BC2+2BaBC=9,即c2+m+a=9① 在△ABC中，由余弦定理得：b2=d2+c2-2 ac cos B→d+c2-ac=4② 由①②得：ac=2 5 所以及e=如n8=子多S56 …15分 2228 17.(15分)【解】f(x)的定义域(0，+o0) )当2-0时，f(=号，=2 当x=2时，f'(x)=0;当x∈(0,2)时，f"(x)>0；当x∈(2，+∞)时，f"(x)<0; 所以f(x)的单调增区间(0,2)，f(x)的单调减区间(2，+∞)； 于问与系大镇为了（口）君无小位6分 ②f-+x,f2e-+2（x) xe-1 r若0，当sl时，0r≥0， 所以F(x)>0,F(x)在(1，+0)上无零点，舍去； 2若<0，则F(y=e1-+2x xex-1 令g(x)=e1-x2+2x,则g'(x)=ae-1-2(x-1)<0, 则8(x)在(1，+∞)上单调递减，且8(1)=入+1， ①若1+1≤0，即≤-1，此时8(x)<0,F(x)在(1，+0)上单调递减， 又F(I)=0,所以F(x)<0,不合题意，舍去； ②若1+1>0，即-1<<0，此时g(2)=e<0,则存在∈(1,2)，使得g(m)=0,即F(m)=0, 故F(x)在(1，m）上单调递增，在(m,+o)上单调递减，所以F(m)>F(1)=0, 当m时，F)怎+m<=1m<+m, 令1+nr<0,解得x>e元， 因为ee>m显e0,以在-所5e 使得F()=0,满足条件； 综上所述，实数1的取值范围为(-1,0). …15分 18.(17分)【解】(1)设A(:,),B(x2,y2),依题意，|AB=x+飞3+p; 当0-爱计，边附方有y得c多， 代入y=2x得：x2-7px+p=0: 4 所以5+x2=7p: 依题意：AB=5+x2+p=7p+p=16,解得p=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x. …4分 图1 图2 (电可设4B的方程为x=y+号，答案正确亦同样给分) (2)①在平面直角坐标系中，若0=行，则直线AB的方程为y=V5(x-), 联立5-小得：3x2-10x3=0,解得x=3或x y2=4x, 所以点AB的丝标分利为民2同眼-2 0点作平面DBF的垂线为三轴，如图建立空间直角坐标系，则D(-L0,0),B行-2y3,0 ,F(1,0,0), 当=西角n--B的大小为转，点734n学ca-》4学-》 3 即P35,3): 所以D示200.际=(25,3号0 20, 元.PF=0, -2.x-V3y-3z=0, 设面PBF的法向量为=(xy,),则 即223 元.BF=0, 3 3y=0, 取y=3,得i=（3,5,1), 设直线DF与平面PBF所成角为日，则sin8= D丽.1-61_33 D刚网2313， 所以直线DF与平面PBF所成角的正弦值为3V了 …10分 13 ②由题意得 hr-3Sr5,专GD叫Bm0 Pmo】-誓a4wma 当0-时，BP-2此时，%-m-。店22sin兰-2 6 2 3 当0≠时，在平面直角坐标系中，设直线AB的斜率为K,则直线AB的方程为y=k(x-1), 设点A,B的坐标分别为(5，)，(，)， 联立 y=k(x-1)得Rx2-(2k2+4)x+=0 y2=4x, 则△=(22+4°-4k=16+16>0xtx,=22+4g 21, 因为sin0+c0s0=1k=tan6=sin日 cosg,所以sim0+in0 E =1,得sim0=2 2+1 所以%海eem-答1lama-9+06+号 k2 6 25(+x*+11 52+41+1是-5+4-54-3 6 k2 2+1622+1=6 3 综上所述，三棱锥D-PBP的体积为定值25 …17分 3 19.(17分)【解】(1)因为{a}是16项0-1数列，当且仅当n=4p(p∈N,p≤4)时，a.=0, 所以当n=4p-1,n=4p-2和n=4p-3(p∈N,p≤4)时，an=1. 又cos(m)=(-1)”,所以数列{cos(nπ)a}即{(-1”a}: 设(-1)”an}的所有项的和为S, 则S=(-1)+1+(-1)+0+(-1)+1+(-1)+0+(-1)+1+(-1)+0+(-1)+1+(-1)+0=-4 所以数列{cos(nπ)an}的所有项的和为-4.…4分 (2)(i)因为数列{a},b}是从集合4中任意取出的两个数列，所以数列{a},{b}为3项0-1数列，所 以X的可能取值为：0,1,2,3.根据数列中0的个数可得，集合M中元素的个数共有C+C+C+C=2=8 个，当X=i(i=01,2,3)时，则数列{a},b}中有i项取值不同，有3-i项取值相同， Px-o)号8P少号x-)号是叫x-号g 随机变量X的分布列 X 0 1 3 P 1 3 3 1 8 8 8 8 3 3 。13 所以E(X)=0+1×。+2×。+3×日 82 …9分 P 8 (ii)证明：因为数列{a},b,n}是从集合M中任意取出的两个不同数列，所以数列{a},{b}为k项0-1数 列，所以X的可能取值为：1,2,3，，k.根据数列中0的个数可得，集合M中元素的个数共有 Cg+C+C++C=2个，当X=(=1,2,,k)时，则数列{an},地n}中有m项取值不同，有-m项 取值相同，从k项中选择项，{a}和b}在项的某一项数字相反，其余k-m项，两者均在同一位置 达字和同，由于X罗8-，此问题为组合问题，故所有的桥汉会更发1次，放共有C兰种情况，一 A C·2 所以PX=mm=2,0 C 因为mCg= m.k! (k-1)月 m(-m(m-[k-)-(m-=c(meN,1≤m≤)， =k n-务，高-e C+c+c--g- 即水令 …17分福州一中2027届高三第一学期第一次质量检测 高三数学试卷 完卷时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.样本数据6,7,8,4,5,12的中位数为 () A.5.5 B.6 C.6.5 D.7 2设A={stm-6列 若e-含m-》,B-5.则Ana- () 4 A.221 1 B.{5 21 C. D.(2 3.已知e,e2是两个不共线的单位向量，a=已-e,b=-2e+ke,若a与b共线，则k的 值为 () A.1 B.2 C.3 D.4 4.曲线f(x)=1nx+2x+3在A点处的切线与直线x+3y-2=0垂直，则切线方程为() A.3x-y+2=0 B.3x-y-1=0 C.x-3y+2=0 D.x-3y-1=0 云+方=1a>b>0,M为椭圆上一动点，R为椭圆的左焦点，则线段M瓜的中 5.已知椭圆+片 点P的轨迹是 () A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线 6.己知正四面体S-ABC的外接球表面积为6π，则正四面体S-ABC的棱长为 () A.1 B.√2 C.5 D.2 已知等差数列a,的前n项和分别为S,和T,若元=n十3，且。是整数，则n的1 为 () A.13 B.14 C.15 D.16 8.已知函数f(x)=x(e-1-2)-lnx的最小值为0，则a的值为 () B.0 c D.1 试卷第1页，共4页 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分· 9.已知复数：=3+4i(其中i为虚数单位)，则 () A.z的虚部为4i B.2豆z2 C.22= 3+2 D. ∈R z-2i 10.在正方体ABCD-AB,C,D中，动点E在线段AC上，则 () A.直线AC,与BC所成的角大于50° B.对任意的点E,都有BD⊥平面ACE C.存在点E,使得平面ABE∥平面CC,DD D.不存在点E,使得平面ABE⊥平面CDE 11.在平面直角坐标系xOy中，⊙O:x2+y2=1与x轴分别交于A,B两点（点A在点B的左 侧，P为⊙O上的动点，以AP为直径的⊙E的位置随P点位置的变化而变化，当P点逆 时针转过一周时，⊙E扫过的区域记作M,则下列说法正确的是 () A.若∠PAB-石，则0B与x箱公其点坐标为(10和行0 B.若以0为圆心的圆可以完全覆盖区域M,则该圆的面积的最小值为2+25， 4 C.M内的点到y轴距离的最大值为 D.M与y轴的公共部分上的点到x轴距离平方的最大值为+5 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.双曲线2x2-3y2=1的离心率为 1B.已知函数/)=os(x+l<w<5p<孕的一条对称轴为专，且对任意x∈R,都 有f(石+刘+fg)=0,则0= 若对于任意的x1,x,∈[0，]，都有 2f(x)≥f(x)成立，则实数t的最大值是 14.设正实数d满足：存在数列{a},使得对于任意neN,均有a,+a,+…+am=21-1, 且{a}中有某连续9项a,ax+1,…,ax+g是公差为d的等差数列，则d的最小值为， 试卷第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)福州一中学生联合会试卖一款文创纪念品，现统计了该款纪念品的定价x( 单位：元)与销量y(单位：百件)的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 13 11 9 8 (1)已知两个变量线性相关，请建立y关于x的经验回归方程； (2)若希望把销量提升到2000件左右，则该纪念品的定价应为多少？（保留整数) 参考公式：经验回归方程)=bx+à中斜率和截距最小二乘估计公式分别为： 6.4y- 49 -a=y-bx 16.(15分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,五，c,已知？-5smC +cosC. (1)求角B: (2)若b=2,MA+MB+MC=0,且BM=1,求△ABC的面积. 1.(15分)已知函数)=+. (1)当2=0时，求函数f(x)的单调区间和最值 (2)若函数f(x)在区间(1，十o)上存在零点，求实数2的取值范围， 试卷第3页，共4页 18.（17分)如图1，抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线交x轴于点D,过点 F作钡斜角为0的直线交抛物线于A,B两点（点A在第一象限）当0-石时，M8非16 (1)求抛物线C的方程： (②如图2，把△MDF沿DF翻折得△PDD,使得二面角P-DF-B的大小为2x. 3 (D当0-号时，求直线DF与平面PBF所成角的F弦值： (ⅱ)当O变化时，三棱锥D-PBF的体积是否为定值：若是，求出这个值：若不是，说明 理由 图1 图2 19.(17分)若数列{an}1≤n≤k,n∈N,k∈N)满足a.∈{0,1}，则称数列{a}为k项0-1数 列，由所有k项0-1数列组成集合Mx (1)若{an}是16项0-1数列，当且仅当n=4p(p∈N,p≤4)时，a.=0,求数列 {cos(nπ)an}的所有项的和； (②已知k≥2且keN,a)e4,)eM,记随机变量X-空1461 ()当k=3时，求随机变量X的分布列及期望E(X): ()若{a,,,)是两个不同的数列：求证：2()> 试卷第4页，共4页