专题1.7 有理数的混合运算 知识点与习题训练　 2026-2027学年沪教版（五四制）数学六年级上册　

**基本信息** 该同步练习通过基础巩固、能力提升、拓展创新三层设计，构建从概念理解到综合应用的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|有理数混合运算概念、基本运算顺序|选取上海各区期末真题，夯实运算能力| |能力层|符号判断、简便运算、实际应用（如外卖送餐、销售问题）|变式训练梯度递进，提升推理意识| |拓展层|新定义运算、程序框图、24点游戏、规律探究|融合跨学科情境（如《周易》二进制），发展创新意识|

＆1.7 有理数的混合运算 目标 1. 了解有理数的混合运算的概念； 2. 掌握有理数的混合运算； 3. 知道有理数混合运算的应用。 重难点 1.重点 （1）知道有理数混合运算顺序； （2）掌握一些常用简便运算的方法； （3）有理数的混合运算的应用。 2.难点 （1）含参数的有理数的混合运算；分类讨论思想； （2）有理数混合运算有关的新定义题、材料阅读题等。 知识要点1 有理数的混合运算运算法则 观察 下面的算式中有哪几种运算? 4+30÷3³× -2 上面这个算式中含有有理数的加、减、乘、除、乘方运算，这是有理数的混合运算. 有理数的混合运算，可以按照以下顺序进行： 先算乘方，再算乘除，最后算加减.同级运算，从左到右进行.如果有括号，先进行括号内的运算. 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识要点2 有理数的应用题 结合有理数加减乘除、乘方，区分实际意义（正负表示相反意义量），列式做混合运算，注意运算顺序、括号、符号，最后作答。 【基础随测】 1.（25-26六年级上·上海宝山·期末）在数学课上，老师让A、B、C、D四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的混合运算．根据有理数的运算法则和顺序计算后即可得到答案． 【详解】A、， 故A不符合题意； B、， 故B不符合题意； C、， 故C符合题意； D、， 故D不符合题意； 故选：C． 2．（2024六年级上·上海·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】先算括号内的和乘方，再算乘除法，最后算加法即可．本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：原式 ． 3．（25-26六年级上·上海长宁·期中）计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，正确计算即可，熟练掌握有理数混合运算顺序“先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先算括号内的运算”是解题的关键． 【详解】解： ． 4．（25-26六年级上·上海·期末）计算：． 【答案】55 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握需要的运算法则是解答本题的关键．根据有理数的混合运算法则先计算乘方，绝对值，利用乘法分配律去掉括号，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 5．（25-26六年级上·上海黄浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算， 按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】解：原式 ． 4．请你利用加减乘除将数字，，，连接起来使得运算的结果为： （数字的顺序由你自己来定） 【答案】 【分析】根据有理数的运算法则求解即可． 【详解】根据题意可得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查有理数的运算，牢记有理数加减乘除的运算法则是解题的关键． 5．“”表示一种新运算，它的意义是，则 ． 【答案】11 【分析】根据，用与4的积的相反数减去它们的和，求出的值是多少即可．此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】解：， ． 故答案为：11． 【题型01 有理数的混合运算的法则】 小明在进行有理数运算时，写出如下算式： ①； ②； ③； ④. 上述算式中，正确算式的序号有 （只填写序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了有理数的运算律，有理数的乘除混合运算以及含乘方的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合除以一个数等于乘上这个数的倒数内容进行判断①，先整理出，再运用乘法分配律进行计算，即可判断②；先运用除以一个数等于乘上这个数的倒数内容整理式子，再运用乘法分配律进行计算，即可判断③；先运用乘方的逆运用，整理式子，再运用乘法运算律进行计算，即可判断④． 【详解】解：， 故①是错误的； ， 故②是正确的； ， 故③是正确的； ， 故④是正确的； 故答案为：②③④． 【变式1-1】．计算：的结果是（    ） A．9 B． C． D．36 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，先算乘方，并把除法转化为乘法，再算乘法即可． 【详解】解： 故选 D． 【变式1-2】．下列式子计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算．利用有理数的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：，则选项A不符合题意； ，则选项B符合题意； ，则选项C不符合题意； ，则选项D不符合题意； 故选：B． 【题型02 判断有理数运算结果的符号】 当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数即可解答． 【详解】解：当时， 是负数，故①正确； ，故②正确，④错误； ，故③正确； 综上所述，①②③正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律：一个负数的奇次幂是负数，一个负数的偶次幂是正数． 如图，A、B两点在数轴上表示的数为a、b，下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴的特征和应用，根据数轴得到是解题的关键． 根据A、B两点在数轴上表示的数为a、b，可得，据此逐项判断即可． 【详解】解：根据图示，可得， ∴，选项A不正确；，选项B不正确；，选项C正确；，选项D不正确． 故选：C． 【变式2-1】．如图，、两点在数轴上表示的数分别为，，有下列结论：；；；，其中正确的有（   ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上表示数，有理数的大小比较，先根据在数轴上的位置判断出的取值范围，再比较出各数的大小即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据数轴可知：， ∴，故正确； 由数轴可知：，， ∴，故正确； 由数轴可知：， ∴，， ∴，故错误； 由数轴可知：， ∴， ∵， ∴，故正确； 综上可知：正确，共个正确， 故选：． 【题型03 有理数的混合运算】 计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）先将原式变形为，再利用乘法分配律进行计算即可； （3）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 【变式3-1】．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)41 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算顺序和法则，运算律，倒数的应用，是解题的关键 （1）先算乘方，再算括号内的，再乘法，最后计算加法； （2）先计算式的倒数，除法化为乘法后，利用乘法分配律展开计算，最后即得； （3）先算乘方与绝对值，再算乘法，最后计算加减法； （4）先算乘方，再算括号内的乘法，再用乘法分配律展开，最后计算减法． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵ ， ∴． （3）解： ． （4）解： ． 【变式3-2】．（25-26六年级上·上海·中考真题） (1)； (2)． (3) (4) 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． （1）； 【详解】解： ． (2)计算：． 【详解】解： ． (3) 【详解】解： (4)计算： 【详解】解： ． 【题型04 有理数的简便运算】 阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为，所以原式 (1)上面三种解法得出的结果不同，肯定有错误的解法，其中解法_________是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，有理数乘法分配律： （1）观察解题过程可知，解法一是错误的，原因是除法没有分配律； （2）先计算，计算方法为先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，求得的结果取倒数即为题目所求式子的值． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，解法一是错误的，原因是除法没有分配律， 故答案为：一； （2）解：原式的倒数为 ． 所以． 【变式4-1】．若，则计算的结果是（   ） A． B．130 C． D．290 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及倒数的意义，由倒数的意义可知，进而可求出结果. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 故选A. 已知；；；则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据裂项相加法进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 【变式4-2】．计算： 【答案】184 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则和简便方法结合进行计算即可． 【详解】解： 【变式4-3】．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算；把原式整理成，进行简便运算即可． 【详解】解： ， ． 【变式4-4】．已知：则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字的变化规律，观察所给式子得到一般规律，即可求解 【详解】解：∵， ∴， ， 故选：A． 【题型05 有理数的混合运算的实际应用】 【综合与实践】 外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记为“＋”，低于40单的部分记为“－”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 七 送餐量（单位：单） (1)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元；超过50单的部分，每单补贴8元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】(1)49单 (2)1790元 【分析】本题考查正负数的应用、有理数四则运算应用，理解题意，正确列出算式是解答的关键． （1）先求得表格数据的平均数，再加上标准数40即可求解； （2）根据工资底薪及补贴标准列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意， （单）， 答：该外卖小哥这一周平均每天送餐49单； （2）解： （元）， 答：该外卖小哥这一周工资收入1790元． 甲、乙、丙三名搬运工同时分别在三个工作量完全相同的仓库工作．搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天三人又到两个较大仓库搬运货物，这两个仓库的工作量也相同，三人搬运效率不变；甲在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，结果干了12小时后同时搬运完毕，问：丙在A仓库做了多长时间？ 【答案】丙在仓库做了4.5小时 【分析】本题考查工作效率，工作时间，工作质量之间的关系，甲的工作效率是，乙的工作效率是，丙的工作效率是，丙在仓库比仓库少做（小时），再根据和差问题的解法即可得出答案． 【详解】解：（小时）， （小时）， 故丙在仓库做了4.5小时． 【变式5-1】．科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富，小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计 划量情况（单位：千克） (1)小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ (2)若小王按8元/千克进行柚子销售，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？ (3)直接写出小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售___________千克． 【答案】(1)千克 (2)元 (3) 【分析】本题主要考查正数和负数以及有理数的混合运算的应用，解题的关键是读懂题意，列式计算并掌握相关运算法则． （1）根据第一周实际销售柚子的数量相加计算即可； （2）将总数量乘以每千克的收入解答即可； （3）根据表格中的数据，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解： （千克）． 答：小王第一周实际销售柚子的总量是千克． （2）解：（元）． 答：小王第一周销售柚子一共收入元． （3）解：小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售： （千克）． 【变式5-2】．随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家买了一辆小轿车，他记录了连续7天中每天行驶的路程（如下表，单位：），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 (1)这七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了多少千米？ (2)请求出这七天中平均每天行驶多少千米； (3)若行驶需用汽油，汽油价为元/L，请估计小明家一个月（按30天计算）的汽油费用是多少元？ 【答案】(1)行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了千米 (2)这七天中平均每天行驶千米 (3)估计小明家一个月（按30天计）的汽油费用是元 【分析】本题考查了正负数在实际生活中的应用，有理数的加减乘除法的应用，熟练掌握题意，正确列出各运算式子是解题关键． （1）用多于50千米最多的减去不足50千米最少的； （2）50加上将表格中数字的和除以7的商即可得； （3）用（2）中的结果乘以30求出一个月行驶的总里程，再乘以平均每千米耗油量，最后乘以油价8，即得小明家一个月的汽油费用． 【详解】（1）（千米）， 答：行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了千米； （2） （千米）， 答：这七天中平均每天行驶千米； （3）（元）， 答：小明家一个月的汽油费用约为元． 【题型06 程序框图与“24”点】 （25-26六年级上·上海·期中）根据下图所示的程序回答问题：    (1)你认为输入的两个数a和b是什么关系时，其输出结果为0？________； (2)当小明输入和这两个数时，输出的结果是：________； (3)当小明输入和这两个数时，输出的结果是4，被墨水污染的那个数为：________． 【答案】(1)互为倒数 (2) (3)或11 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、程序流程图与有理数计算 【分析】此题考查了一元一次方程和有理数的混合运算，根据题意正确列式和列方程是解题的关键． （1）根据题意得到，求出，即可得到答案； （2）按照题意代入数值计算即可； （3）设，由题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，， 则， 即输入的两个数a和b是互为倒数时，其输出结果为0； 故答案为：互为倒数 （2）当小明输入和这两个数时，， 故答案为： （3）设，由题意可得，， 解得或， 即被墨水污染的那个数为或11； 故答案为：或11． 【变式6-1】按如图所示的运算程序运算，若开始输入的值为，则最终输出的结果是（    ） A．11 B．20 C．31 D．44 【答案】A 【分析】本题考查了流程图与有理数的混合运算，根据流程图列出算式是解题的关键．根据题意列式计算即可求解． 【详解】解：若开始输入的值为， ∴ ∴ ∴ ∴最终输出的结果是11． 故选：A． 【变式6-2】．按照如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的运算及代数式求值．根据题意列式计算，直至结果小于输出结果即可． 【详解】解：若开始输入的值为， 则，返回继续运算； ，输出结果； 故选：B． 【变式6-3】（25-26六年级上·上海普陀·期中）根据下边的流程图，完成下列各题： (1)如果输入x的值是，那么输出的数是多少？请写出计算过程． (2)如果输出的数是，那么x的值是多少？请写出计算过程． 【答案】(1)输出的数是 (2)x的值是或 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考程序流程图与有理数的计算，解一元一次方程,正确理解按流程图计算的方法是解题的关键． （1）当输入x的值是时，列算式并计算，得到答案，判断答案是非负数，所以计算所以，即得答案； （2）当时，列方程，解得；当时，列方程，解得． 【详解】（1）如果输入x的值是， 则， 因为， 所以． 答：输出的数是． （2）当时，， ， 解得； 当时，， 解得； 答：x的值是或． “24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 【答案】(1)①；②； (2)，，，等（答案不唯一，符号条件即可） 【知识点】算“24”点、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． （1）根据有理数四则混合运算法则，写出结果即可； （2）根据题干要求，利用有理数四则混合运算法则和含乘方的有理数混合运算法则，进行解答即可． 【详解】（1）解：①；②． （2）解：； ，，． 【变式6-4】．24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 【答案】（1），（答案不唯一）（2）（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据题意可得图1中的4张牌分别代表，再根据和列出算式即可得； （2）先根据题意可得图2中的4张牌分别代表，再根据列出算式即可得． 【详解】解：（1）由题意得：图1中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：，， 故答案为：，（答案不唯一）． （2）由题意得：图2中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式6-5】．小明同学有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题： 0 (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，最小值是 ； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，最小值是 ； (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，最大值是 ； (4)从中取出除0以外的4张卡片，将卡片上的这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，每个数字只能用一次，可以有括号，使结果为24，请写出一种符合要求的运算式子： ． 【答案】(1) (2) (3)5 (4)或或 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出算式，找出积最小值即可； （2）根据题意列出算式，找出商最小值即可； （3）根据题意列出算式，找出差最大值即可； （4）利用“24点”游戏规则列出算式即可． 【详解】（1）解：取，乘积最小值为， 故答案为：； （2）取，，商最小值为， 故答案为：； （3）取，，差最大值， 故答案为：5； （4）或或， 故答案为：或或 【题型07 新定义、材料、规律题】 如图，将，，，3分别填入没有数字的圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等，则、所在位置的两个数字之和是（   ） A．或2 B．或2 C．或1 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，正确求出横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和是解题关键．先求出横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和为2，再求出横上的第四个数，然后求出的值，由此即可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：由题意得：横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和为， ∴横上的第四个数是， ∴， ∴或， ∴或， 故选：B． 【变式7-1】．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物㳔刻朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“——”当作数字“1”，把阴爻“一一”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下： 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 0 艮 1 坎 2 巽 3 例如：“艮”卦所表示二进制数为，转化为十进制数是，“巽”卦所表示二进制数为，转化为十进制数是．（规定）依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 此题考查了有理数的混合运算．根据题意得到“”表示的二进制数为，再转化为十进制数即可． 【详解】 解：“”表示的二进制数为，转化为十进制数是． 故选：B （2026春•浦东新区月考）请认真阅读下面材料，并解答下列问题 如果的次幂等于，即指数式，那么数叫做以为底的对数，对数式记作：．例如： ①因为指数式，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：； ②因为指数式，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：． （1）填空：指数式对应的对数式是　　；对数式对应的指数式是　　． （2）计算：． 【分析】（1）直接利用对数式的定义分析得出答案； （2）直接利用对数式的定义得出各数求出答案． 【解答】解：（1）指数式对应的对数式是：， 对数式对应的指数式是：； 故答案为：，； （2） ． 【点评】此题主要考查了有理数的乘方，正确理解对数式定义是解题关键． 【变式7-2】．已知x， y为有理数，规定一种新运算 则（    ） A．5 B．7 C．33 D．45 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的混合运算，原式利用题中的新定义先算出，再算出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式7-3】．已知有理数，我们规定是的“福倒数”，如：3的福倒数是，的福倒数是．如果，是的福倒数，是的福倒数，是的福倒数，⋯，依此类推，解答下列问题： (1)计算：________，_______，________； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了与有理数运算相关的规律题型，找到规律是解题的关键． （1）根据福倒数的定义求出，，； （2）根据（1）的结论，可发现每3个数一个循环，且3个数的和为，依照规律即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， ， ， ； （2）解：∵，，，，…， 根据以上数据发现：3个数一个循环， 3个数的和为：， ∵， ∴第2025个数是， ∴. 【变式7-4】．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式： ，（） ． （3）算一算：． 【答案】（1）；（2）；；（3） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据除方运算的计算法则计算． （1）根据即可解答； （2）根据即可解答；根据定义即可解答． （3）按照除方的计算法则计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2）； ． （3） ． 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算各项，根据正确结果判断． 【详解】解：A、，故错误； B、，故错误； C、，故错误； D、，故正确； 故选D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则． 2．已知，则的值为（    ） A． B． C．或 D．-4或4 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义，可得m的值，根据非负数的性质可得n，p的值，再代入代数式求值，可得答案． 【详解】由可得： ， 解得m=5或m=-5；n-3=0即n=3，p-2=0即p=2， 当m=5，n=3，p=2时，, 当m=-5，n=3，p=2时，, 所以的值为或, 故选：C 【点睛】本题考查了非负数的性质，利用绝对值的意义得出m的值，非负数的和为零得出n、p的值是解题关键． 3．计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】有理数的计算有括号先算小括号，再算中括号，再算大括号，没有括号先乘除再加减． 【详解】解： ． 故选： 【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序和计算方法是解本题关键． 4．如图，数轴上点A，B，C对应的有理数分别为，，，则下列结论中，正确的有（） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由数轴可知：-3＜a＜-2，-2＜b＜-1，0＜c＜1，然后对各式进行判断即可. 【详解】解：由数轴可知：-3＜a＜-2，-2＜b＜-1，0＜c＜1， ∴，，，， 故①错误，②③④正确， 故选C. 【点睛】本题考查了数轴、有理数的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题关键. 二、填空题 5．（2025春•普陀区校级月考）计算：　0　． 【答案】 【分析】先计算乘方，再计算加减法即可得到答案． 【解答】解： ， 故答案为：0． 【点评】本题主要考查了有理数混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 6.因强冷空气南下，预计某地平均每小时降温，如果上午时测得气温为，下午某时测得气温是零下，那么此刻是下午 时. 【答案】下午时 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，由题意列出算式求出气温由下降到零下的时间，进而即可求解，正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：， ∴此刻为下午时． 7．如果为奇数，那么计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据为奇数并结合题意计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：如果为奇数，则， 故答案为：． 9．小莹在计算时，由于粗心将墨水滴在了算式上，是被墨水污染的地方，小莹查了一下答案是12，那么*代表的数是 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．根据除法与乘法互为逆运算，只需要计算出的结果即可． 【详解】解： ． ∴*代表的数是30． 故答案为：30． 9.（2026春•杨浦区期末）有一种扑克牌游戏叫做“24点”．要求是可以用加、减、乘、除、乘方五种运算把扑克牌牌面上的数算成24．每张牌必须用且只能用一次．如果有四张牌如图所示，请列出一种“24点”算式 　　． 【分析】根据题意和图形，可以写出一个结果为24的算式． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式． 10.如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2024次输出的结果为 ． 【答案】3 【分析】根据流程图进行计算，再发现规律从第三次开始，第奇数次输出的结果是6，第偶数次输出的结果是3，即可求出答案．本题考查有理数与程序运算问题，从程序中找到规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 从第三次开始，第奇数次输出的结果是6，第偶数次输出的结果是3， 是偶数， 第2024次 10．（2025春•黄浦区校级期中）若规定用表示不超过的最大的整数，如，，计算：【答案】6　6　． 【分析】根据题目中的规定进行求解即可． 【解答】解：规定用表示不超过的最大的整数， 原式 ， 故答案为：6． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算和比较大小，根据题目中的规定进行计算是解题的关键． 11．（2026春•长宁区期末）为有理数，定义运算符号△：当时，△；当时，△；当时，△．根据这种运算，则△△的值为 　　． 【答案】-1 【分析】原式利用已知的新定义计算即可得到结果． 【解答】解：根据题中的新定义得：△△， 则原式△△， 故答案为： 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 三、解答题 12.计算 (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用乘法分配律展开，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方和括号内减法，再计算乘法和绝对值，最后计算加减法即可； （3）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可； （4）先将除法化为乘法，并将带分数化为假分数，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 13．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）136；（2）-32；（3）；（4） 【分析】（1）运用有理数加法的结合律运算即可， （2）根据有理数的混合运算法则计算即可， （3）先算括号里的和乘方，最后再计算乘除即可， （4）先算乘除后算加减运算即可； 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式； （4）原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算律是解题的关键． 14.有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后的记录如下： 筐号 1 2 3 4 5 6 7 8 超过或不足数（千克） (1)8筐白菜中，最接近25千克标准的是第_____筐（填筐号），重量是____千克． (2)8筐白菜中最重的一筐比最轻的一筐重_____千克． (3)若白菜每千克售价4元，则出售这8筐白菜可卖多少钱？ 【答案】(1)4，24.5 (2)5 (3)出售这8筐白菜可卖778元 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算．体现了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定具有相反意义的量． （1）与标准重量比较，绝对值越小的越接近标准重量； （2）与标准重量比较，判断出8筐白菜中最重的并求出其重量，然后判断出最轻的并计算其重量，求其差即得； （3）白菜每千克售价4，再计算出8筐白菜的总重量即可求出出售这8筐白菜可卖多少元． 【详解】（1）解：该组数据中，的绝对值最小，最接近25千克的标准，是第4筐， 这筐白菜重（千克）． 故答案是：4，24.5． （2）最重的一筐是第3筐，重量是（千克）； 最轻的一筐是第2筐，重量是（千克）； 最重的一筐比最轻的一筐重：（千克）， 故答案是：5． （3）（千克）， （元）． 答：出售这8筐白菜可卖778元． 15．如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，则乘积的最小值为__________； (2)从中取出4张卡片，将卡片上的4个数字进行加、减、乘、除等混合运算，使其结果等于24，每个数字只能用一次，请写出两种不同的符合要求的运算式子． 【答案】(1) (2)，（答案不唯一） 【分析】（1）要使得乘积最小，则结果一定为负值，再根据五张图片，可知乘积最小的式子为，然后计算即可； （2）根据题意，可以写出一个结果为24的式子，本题答案不唯一． 【详解】（1）解：由题意可得， 乘积的最小值为：， 即乘积的最小值为． 故答案为：； （2）解：， 即计算结果为24的算式为，． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出相应的式子． 16．观察下列式子： 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)直接写出结果：_______； (2)请用上述方法计算（写出具体过程）：______；； (3)直接写出计算结果：_______； (4)直接写出计算结果：________； 【答案】(1) (2)； (3)； (4)； 【分析】（1）根据有理数的规律直接求解即可得到答案； （2）根据有理数的规律直接求解即可得到答案； （3）根据题意得到，再根据有理数的规律直接求解即可得到答案； （4）根据有理数的规律直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 原式 ， 故答案为：； （2）解：由题意可得， ，，， 由此可得， ， ∴原式 ； （3）解：由题意得到， ， ∴原式 ， ； （4）解：由题意可得， 原式 ； 【点睛】本题考查有理数的规律题，解题的关键是熟练掌握有理数的规律． 17．（2026春•上海期中）材料一：对任意有理数，定义运算“”． ． 如：，． 材料二：规定表示不超过的最大整数，如，，． （1）　　，　　； （2）求的值； （3）若有理数，满足，请直接写出的结果． 【分析】（1）根据新定义把新运算的代数式转化为常规代数式进行解答便可； （2）根据新定义把原式转化为进行计算便可； （3）设，为整数，由已知条件，列出的方程求得与的值，进而求得的值，再代入代数式，根据新定义进行计算便可． 【解答】解：（1）， ， 故答案为：；； （2） ； （3）设，为整数，则，， ， ， 解得，， ， ． 【点评】本题考查了新定义，列代数式，有理数的混合运算，解一元一次方程，关键是理解和应用新定义解题． 学科网（北京）股份有限公司 $ ＆1.7 有理数的混合运算 目标 1. 了解有理数的混合运算的概念； 2. 掌握有理数的混合运算； 3. 知道有理数混合运算的应用。 重难点 1.重点 （1）知道有理数混合运算顺序； （2）掌握一些常用简便运算的方法； （3）有理数的混合运算的应用。 2.难点 （1）含参数的有理数的混合运算；分类讨论思想； （2）有理数混合运算有关的新定义题、材料阅读题等。 知识要点1 有理数的混合运算 观察 下面的算式中有哪几种运算? 4+30÷3³× -2 上面这个算式中含有有理数的加、减、乘、除、乘方运算，这是有理数的混合运算. 有理数的混合运算，可以按照以下顺序进行： 先算乘方，再算乘除，最后算加减.同级运算，从左到右进行.如果有括号，先进行括号内的运算. 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识要点2 有理数的应用题 结合有理数加减乘除、乘方，区分实际意义（正负表示相反意义量），列式做混合运算，注意运算顺序、括号、符号，最后作答。 【基础随测】 1．（25-26六年级上·上海宝山·期末）在数学课上，老师让A、B、C、D四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026六年级上·上海·专题练习）计算：． 3．（25-26六年级上·上海长宁·期中）计算：； 4．（25-26六年级上·上海·期末）计算：． 5．（25-26六年级上·上海黄浦·期中）计算：． 6．请你利用加减乘除将数字，，，连接起来使得运算的结果为： （数字的顺序由你自己来定） 7．“”表示一种新运算，它的意义是，则 ． 【题型01 有理数的混合运算的法则】 小明在进行有理数运算时，写出如下算式： ①； ②； ③； ④. 上述算式中，正确算式的序号有 （只填写序号）． 【变式1-1】．计算：的结果是（    ） A．9 B． C． D．36 【变式1-2】．下列式子计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型02 判断有理数运算结果的符号】 当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 如图，A、B两点在数轴上表示的数为a、b，下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】．如图，、两点在数轴上表示的数分别为，，有下列结论：；；；，其中正确的有（   ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 【题型03 有理数的混合运算】 计算 (1) (2) (3) (4) 【变式3-1】．计算 (1) (2) (3) (4) 【变式3-2】．（24-25六年级上·上海·期中真题）计算： (1)； (2)． (3) (4) 【题型04 有理数的简便运算】 阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为，所以原式 (1)上面三种解法得出的结果不同，肯定有错误的解法，其中解法_________是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 【变式4-1】．若，则计算的结果是（   ） A． B．130 C． D．290 已知；；；则 ． 【变式4-2】．计算： 【变式4-3】．计算： 【变式4-4】．已知：则（　　） A． B． C． D． 【题型05 有理数的混合运算的实际应用】 【综合与实践】 外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记为“＋”，低于40单的部分记为“－”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 七 送餐量（单位：单） (1)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元；超过50单的部分，每单补贴8元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 甲、乙、丙三名搬运工同时分别在三个工作量完全相同的仓库工作．搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天三人又到两个较大仓库搬运货物，这两个仓库的工作量也相同，三人搬运效率不变；甲在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，结果干了12小时后同时搬运完毕，问：丙在A仓库做了多长时间？ 【变式5-1】．科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富，小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计 划量情况（单位：千克） (1)小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ (2)若小王按8元/千克进行柚子销售，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？ (3)直接写出小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售___________千克． 【变式5-2】．随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家买了一辆小轿车，他记录了连续7天中每天行驶的路程（如下表，单位：），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 (1)这七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了多少千米？ (2)请求出这七天中平均每天行驶多少千米； (3)若行驶需用汽油，汽油价为元/L，请估计小明家一个月（按30天计算）的汽油费用是多少元？ 【题型06 程序框图与“24”点】 （25-26六年级上·上海·期中）根据下图所示的程序回答问题：    (1)你认为输入的两个数a和b是什么关系时，其输出结果为0？________； (2)当小明输入和这两个数时，输出的结果是：________； (3)当小明输入和这两个数时，输出的结果是4，被墨水污染的那个数为：________． 【变式6-1】．按如图所示的运算程序运算，若开始输入的值为，则最终输出的结果是（    ） A．11 B．20 C．31 D．44 【变式6-2】．按照如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果可能是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26六年级上·上海普陀·期中）根据下边的流程图，完成下列各题： (1)如果输入x的值是，那么输出的数是多少？请写出计算过程． (2)如果输出的数是，那么x的值是多少？请写出计算过程． “24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 【变式6-4】．24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 【变式6-5】．小明同学有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题： 0 (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，最小值是 ； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，最小值是 ； (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，最大值是 ； (4)从中取出除0以外的4张卡片，将卡片上的这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，每个数字只能用一次，可以有括号，使结果为24，请写出一种符合要求的运算式子： ． 【题型07 新定义、材料、规律题】 如图，将，，，3分别填入没有数字的圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等，则、所在位置的两个数字之和是（   ） A．或2 B．或2 C．或1 D．或 【变式7-1】．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物㳔刻朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“——”当作数字“1”，把阴爻“一一”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下： 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 0 艮 1 坎 2 巽 3 例如：“艮”卦所表示二进制数为，转化为十进制数是，“巽”卦所表示二进制数为，转化为十进制数是．（规定）依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是（    ） A． B． C． D． （2026春•浦东新区月考）请认真阅读下面材料，并解答下列问题 如果的次幂等于，即指数式，那么数叫做以为底的对数，对数式记作：．例如： ①因为指数式，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：； ②因为指数式，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：． （1）填空：指数式对应的对数式是　　；对数式对应的指数式是　　． （2）计算：． 【变式7-2】．已知x， y为有理数，规定一种新运算 则（    ） A．5 B．7 C．33 D．45 【变式7-3】．已知有理数，我们规定是的“福倒数”，如：3的福倒数是，的福倒数是．如果，是的福倒数，是的福倒数，是的福倒数，⋯，依此类推，解答下列问题： (1)计算：________，_______，________； (2)求的值． 【变式7-4】．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式： ，（） ． （3）算一算：． 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（    ） A． B． C．或 D．-4或4 3．计算的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，数轴上点A，B，C对应的有理数分别为，，，则下列结论中，正确的有（） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 5．（2025春•普陀区校级月考）计算：　0　． 6因强冷空气南下，预计某地平均每小时降温，如果上午时测得气温为，下午某时测得气温是零下，那么此刻是下午 时. 7．如果为奇数，那么计算 ． 8．小莹在计算时，由于粗心将墨水滴在了算式上，是被墨水污染的地方，小莹查了一下答案是12，那么*代表的数是 ． （2026春•杨浦区期末）有一种扑克牌游戏叫做“24点”．要求是可以用加、减、乘、除、乘方五种运算把扑克牌牌面上的数算成24．每张牌必须用且只能用一次．如果有四张牌如图所示，请列出一种“24点”算式 　　． 9．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2024次输出的结果为 ． 10．（2025春•黄浦区校级期中）若规定用表示不超过的最大的整数，如，，计算：　　． 11．（2026春•长宁区期末）为有理数，定义运算符号△：当时，△；当时，△；当时，△．根据这种运算，则△△的值为 　　． 三、解答题 12.计算 (1)； (2)． (3)； (4)． 13．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 14.有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后的记录如下： 筐号 1 2 3 4 5 6 7 8 超过或不足数（千克） (1)8筐白菜中，最接近25千克标准的是第_____筐（填筐号），重量是____千克． (2)8筐白菜中最重的一筐比最轻的一筐重_____千克． (3)若白菜每千克售价4元，则出售这8筐白菜可卖多少钱？ 15．如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，则乘积的最小值为__________； (2)从中取出4张卡片，将卡片上的4个数字进行加、减、乘、除等混合运算，使其结果等于24，每个数字只能用一次，请写出两种不同的符合要求的运算式子． 16．观察下列式子： 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)直接写出结果：_______； (2)请用上述方法计算（写出具体过程）：______；； (3)直接写出计算结果：_______； (4)直接写出计算结果：________； 17．（2026春•上海期中）材料一：对任意有理数，定义运算“”． ． 如：，． 材料二：规定表示不超过的最大整数，如，，． （1）　　，　　； （2）求的值； （3）若有理数，满足，请直接写出的结果． 学科网（北京）股份有限公司 $