专题03 简单的代数式（五大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制六年级上册

**基本信息** 以规律归纳、代入求值、整式加减为核心，通过“特征-方法”题型模版构建系统性训练，培养抽象能力与运算能力，实现从基础到压轴的思维迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心方法总结|两条底线原则（符号替换、同类项合并）|代数式概念→核心解法→能力迁移| |题型归纳|5题型（每题型含例题+3变式）|规律归纳法、整体代换法、流程图分步计算法|从数与图形规律到整式运算，层层递进| |压轴挑战|13道综合题|新定义运算、多步推理、规律拓展|整合核心知识，提升数学思维与模型意识|

专题03 简单的代数式 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、用代数式表示数、图形的规律 题型二、已知字母的值，求代数式的值 题型三、已知式子的值，求代数式的值 题型四、程序流程图与代数式求值 题型五、一次式的加减 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 代数式题型是六年级数学基础重点，所有题型均围绕规律归纳、代数式代入求值、整式加减运算三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是字母代值时严格替换、符号绝不出错，二是一次式加减仅能合并同类项。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、用代数式表示数、图形的规律 题型模版 1.特征：题目给出一组数字算式、数列变化或递进式图形图案，存在固定变化规律，要求用含字母的代数式表示通用规律、续写数据或图形。 2.方法：依次对比每组数据、图形数量的变化，找出不变量与变化量，总结增减规律，列出对应代数式，代入前几组数据验证规律是否成立。 【例1】若，，且，则（     ） A．7 B．1 C．1或 D．7或 【例2】回答下列问题 (1)若，求的值 (2)若，则 ． 【变式1-1】已知，，且，求的值为___________． 【变式1-2】设三个互不相等的有理数，既可表示为1、、的形式，又可表示为4、、的形式，则的值为____________． 【变式1-3】已知，且，那么多项式的值为___________． 题型二、已知字母的值，求代数式的值 题型模版 1.特征：题目直接给出单个或多个字母的具体数值，提供完整代数式，要求将字母数值代入式子计算最终结果，是代数式最基础题型。 2.方法：将字母数值逐一对应代入代数式，负数、分数代入必须添加括号，严格遵循四则运算顺序计算，重点核对符号、乘方运算，保证计算准确。 【例3】当时，代数式的值为6，当时，这个代数式的值是（     ） A．4 B．6 C． D． 【例4】已知，则_______． 【变式2-1】已知，则的结果是（ 　   ） A． B． C． D．0 【变式2-2】若x，y满足等式，且，则式子的值为______． 【变式2-3】对于实数x，y，给出定义：，例如．已知，，则=________． 题型三、已知式子的值，求代数式的值 题型模版 1.特征：不单独给出字母数值，仅告知某一整体代数式的结果，所求式子与已知式子结构相似，无法单独求解字母数值。 2.方法：对所求代数式进行变形、拆分、凑配，构造出题目已知的整体式子，采用整体代换法代入求值，不随意拆分整体结构，注意变形过程符号一致。 【例5】按照如下程序，输入x的值并计算．规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于0”为一次程序操作．若输入9，程序输出的值为（   ） A．73 B．75 C．72 D．70 【例6】程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，根据如图所示的计算程序，当输入时，输出的结果为__________． 【变式3-1】程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图是一个数值运算程序． (1)用含的代数式表示输出的结果；（结果化为最简） (2)当输入的值为时，求输出的值． 【变式3-2】按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，我们发现第次输出结果为，第次输出结果为，…请你探索第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图是一个运算程序，若开始输入x的值为25，则第2025次输出的结果为__________． 题型四、程序流程图与代数式求值 题型模版 1.特征：以程序框图、运算流程、数值转换机为载体，给出固定运算步骤，输入数值后按照流程规则运算，最终输出对应结果。 2.方法：读懂流程图的运算顺序与运算规则，将输入数值代入对应代数式，严格按照流程分步计算，遇到循环运算重复操作，每一步计算核对无误再进行下一步。 【例7】按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第n个代数式是（） A． B． C． D． 【例8】观察下列各等式：；；；；…．则第n个等式为_____．（用n表示，n为正整数） 【变式4-1】将边长为1的正方形纸片按图①的方法进行对折，记第1次对折后得到的图形的面积为；第2次按图②的方法对折，记第2次对折后得到的图形的面积为；第3次按图③的方法对折，记第3次对折后得到的图形的面积为；…，依此规律，第n次对折后得到的图形的面积S为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】/规律探索/ 如图是一组有规律的图案，它由若干个长度相同的小木棒拼接而成．第1个图案中有10根小木棒，第2个图案中有18根小木棒，第3个图案中有26根小木棒，第4个图案中有34根小木棒……依此规律，第个图案中小木棒的根数（用含的代数式表示）为（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】“数缺形时少直观，形少数时难入微．”观察每幅图中点数的变化规律，依次排列下去，第m幅图的点数是________个． 题型五、一次式的加减 题型模版 1.特征：给出多个含相同字母的一次二项式、一次单项式，要求进行去括号、合并同类项运算，实现一次式的化简与加减计算。 2.方法：先根据去括号法则去掉式子括号，注意括号前负号要变号，再准确识别同类项，只合并同类项的系数，字母与次数保持不变，最终化为最简一次式。 【例9】下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【例10】下列去括号中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包含括号外的符号）称为一个数，如：，其中称为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，若将任意两个数交换位置，称这个过程为“换位思考”．例如：对上述代数式的“数1”和“数4”进行“换位思考”，得到：，则下列说法中正确的个数是（   ） ①代数式进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果 ②代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到4种结果 ③代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到4种结果 A．3 B．2 C．1 D．0 【变式5-2】下列各题去括号不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】下列各式去括号正确吗?如有错误，请改正． (1)； (2)； (3)； (4)． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．观察下列数列：，第个数是_____ 2．下列各式由等号左边变到右边变形错误的有（   ） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．定义一个新运算，若，，则______． 4．已知，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 5．定义一种新运算：，例如．则的值为________ 6．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是3，则=_____． 7．若，则_____________． 8．如图所示，在计算机数据运算程序中，若开始输入的的值为2，结果输出的是1，返回进行第2次运算输出的是，第3次运算输出的是．．．，如果输入一个，使得第3次输出结果是1，那么这个可能的值有______个（只填数量，不用求出具体值） 9．按如图的“数值转换机”计算：若开始输入的值为，转换后输出的结果是_____． 10．已知，，且，求的值． 11．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)写出第5个等式； (2)用含n的式子表示第n个等式； (3)计算． 12．按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？ (1)填写表内空格； 输入x 5 4 … 输出答案 … (2)你发现的规律是______，并证明该规律的正确性． 13．用相同长度的小木棒和绳子搭建“圆内十字形”图形：每个图形以中心点为起点，向“上、下、左、右”四个方向延伸；每个方向上（不包含中心点）的点数随图形序号依次增加． 前3个图形的构造规律如下： 图形1：中心点到每个方向有1个点，总点数为5． 图形2：中心点到每个方向有2个点，总点数为13． 图形3：中心点到每个方向有3个点，总点数为21． …… 按照图形的构造规律，图形n的总点数为_________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 简单的代数式 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、用代数式表示数、图形的规律 题型二、已知字母的值，求代数式的值 题型三、已知式子的值，求代数式的值 题型四、程序流程图与代数式求值 题型五、一次式的加减 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 代数式题型是六年级数学基础重点，所有题型均围绕规律归纳、代数式代入求值、整式加减运算三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是字母代值时严格替换、符号绝不出错，二是一次式加减仅能合并同类项。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、用代数式表示数、图形的规律 题型模版 1.特征：题目给出一组数字算式、数列变化或递进式图形图案，存在固定变化规律，要求用含字母的代数式表示通用规律、续写数据或图形。 2.方法：依次对比每组数据、图形数量的变化，找出不变量与变化量，总结增减规律，列出对应代数式，代入前几组数据验证规律是否成立。 【例1】若，，且，则（     ） A．7 B．1 C．1或 D．7或 【答案】C 【详解】解：， ； ， ； ， 同号， 故当，时，； 当，时，． 的值为或． 【例2】回答下列问题 (1)若，求的值 (2)若，则 ． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ， 解之得， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ， ． 【变式1-1】已知，，且，求的值为___________． 【答案】或 【分析】 【详解】解：∵，，， ∴，，． ∵， ∴，，或． 当，，时，； 当，，时，． 故答案为：或． 【变式1-2】设三个互不相等的有理数，既可表示为1、、的形式，又可表示为4、、的形式，则的值为____________． 【答案】0或 【分析】 【详解】解：由题意得，与中有一个是4，与中有一个是1， ①当，时，解得，此时三个有理数分别为1、4、2，满足题意， ∴； ②当，时，解得，此时三个有理数分别为1、4、3，满足题意， ∴； ③当，时，则，此时4与相等，不满足题意，舍去； ④当，时，则，此时4与相等，不满足题意，舍去； ∴综上所述，的值为0或． 故答案为：0或． 【变式1-3】已知，且，那么多项式的值为___________． 【答案】或3 【分析】 【详解】解：∵， ∴或；或， 解得或；或， ∵， ∴， ∴，或，， ∴或． 故答案为：3或4053． 题型二、已知字母的值，求代数式的值 题型模版 1.特征：题目直接给出单个或多个字母的具体数值，提供完整代数式，要求将字母数值代入式子计算最终结果，是代数式最基础题型。 2.方法：将字母数值逐一对应代入代数式，负数、分数代入必须添加括号，严格遵循四则运算顺序计算，重点核对符号、乘方运算，保证计算准确。 【例3】当时，代数式的值为6，当时，这个代数式的值是（     ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵当时，代数式的值为， ∴把代入得 ， 整理得：， 当时，代入代数式得： ， 即当时，这个代数式的值是． 【例4】已知，则_______． 【答案】25 【详解】解：∵， ， ． 【变式2-1】已知，则的结果是（ 　   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ ． 【变式2-2】若x，y满足等式，且，则式子的值为______． 【答案】 【详解】解：，， ，， ． 【变式2-3】对于实数x，y，给出定义：，例如．已知，，则=________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， 由①②得：，即， 由②①得：，即， ∴． 题型三、已知式子的值，求代数式的值 题型模版 1.特征：不单独给出字母数值，仅告知某一整体代数式的结果，所求式子与已知式子结构相似，无法单独求解字母数值。 2.方法：对所求代数式进行变形、拆分、凑配，构造出题目已知的整体式子，采用整体代换法代入求值，不随意拆分整体结构，注意变形过程符号一致。 【例5】按照如下程序，输入x的值并计算．规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于0”为一次程序操作．若输入9，程序输出的值为（   ） A．73 B．75 C．72 D．70 【答案】A 【详解】解：当时，， ， 需再次输入计算． 当时，， ， 输出结果为． 【例6】程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，根据如图所示的计算程序，当输入时，输出的结果为__________． 【答案】1 【详解】解：当输入时，原式， 将代入得：． 故输出结果为1． 【变式3-1】程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图是一个数值运算程序． (1)用含的代数式表示输出的结果；（结果化为最简） (2)当输入的值为时，求输出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解： ． （2）解：当时，． 【变式3-2】按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，我们发现第次输出结果为，第次输出结果为，…请你探索第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得，当开始输入的值为22，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为， ， 由上可得，从第七次开始，依次以4，2，1循环出现， ， ， ， 第2020次输出的结果为4． 【变式3-3】如图是一个运算程序，若开始输入x的值为25，则第2025次输出的结果为__________． 【答案】5 【详解】解：由运算程序图可知： 第一次输出结果为，第二次输出结果为，第三次输出结果为，第四次输出结果为，…..；由此可知：输出结果按5和1一循环， ∵， ∴第2025次输出的结果为5． 题型四、程序流程图与代数式求值 题型模版 1.特征：以程序框图、运算流程、数值转换机为载体，给出固定运算步骤，输入数值后按照流程规则运算，最终输出对应结果。 2.方法：读懂流程图的运算顺序与运算规则，将输入数值代入对应代数式，严格按照流程分步计算，遇到循环运算重复操作，每一步计算核对无误再进行下一步。 【例7】按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第n个代数式是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：按顺序拆分观察规律： ∵第1个代数式： 第2个代数式： 第3个代数式： 第4个代数式： …… ∴归纳可得，第个代数式中，系数为，的次数为，的系数为，整理得第个代数式是． 【例8】观察下列各等式：；；；；…．则第n个等式为_____．（用n表示，n为正整数） 【答案】 【详解】解：∵， ， ， ， …， ∴第n个式子是：． 【变式4-1】将边长为1的正方形纸片按图①的方法进行对折，记第1次对折后得到的图形的面积为；第2次按图②的方法对折，记第2次对折后得到的图形的面积为；第3次按图③的方法对折，记第3次对折后得到的图形的面积为；…，依此规律，第n次对折后得到的图形的面积S为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知， ， ， …， ，即选项B符合题意． 【变式4-2】/规律探索/ 如图是一组有规律的图案，它由若干个长度相同的小木棒拼接而成．第1个图案中有10根小木棒，第2个图案中有18根小木棒，第3个图案中有26根小木棒，第4个图案中有34根小木棒……依此规律，第个图案中小木棒的根数（用含的代数式表示）为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：第1个图案中小木棒的根数为； 第2个图案中小木棒的根数为； 第3个图案中小木棒的根数为 依此规律，第个图案中小木棒的根数为． 【变式4-3】“数缺形时少直观，形少数时难入微．”观察每幅图中点数的变化规律，依次排列下去，第m幅图的点数是________个． 【答案】/ 【详解】解：第一个图形有个黑点； 第二个图形有个黑点； 第三个图形有个黑点； 第四个图形有个黑点， ∴第m幅图的点数是个． 题型五、一次式的加减 题型模版 1.特征：给出多个含相同字母的一次二项式、一次单项式，要求进行去括号、合并同类项运算，实现一次式的化简与加减计算。 2.方法：先根据去括号法则去掉式子括号，注意括号前负号要变号，再准确识别同类项，只合并同类项的系数，字母与次数保持不变，最终化为最简一次式。 【例9】下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A． ，该项计算错误； B． ，该项计算错误； C． ，该项计算错误； D．，该项计算正确． 故选D． 【例10】下列去括号中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，但选项为 ，故此选项错误，不符合题意； B、，但选项为 ，故此选项错误，不符合题意； C、，但选项为 ，故此选项错误，不符合题意； D、，与选项一致，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式5-1】对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包含括号外的符号）称为一个数，如：，其中称为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，若将任意两个数交换位置，称这个过程为“换位思考”．例如：对上述代数式的“数1”和“数4”进行“换位思考”，得到：，则下列说法中正确的个数是（   ） ①代数式进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果 ②代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到4种结果 ③代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到4种结果 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】解：在代数式中，将任意两个数交换位置，均不会改变每个数的符号， 故化简后只能得到一种结果，均为，故①正确； 代数式中，有两种情况： 括号内三个数任意两个交换位置，化简后的结果不变，故只有一种结果，为； 当分别与括号内的三个数换位思考，化简后得到3种结果分别为： ， ， ， 故该代数式共得到4种结果，故②正确； 代数式中， 当与进行换位思考化简后为： ， 当与进行换位思考化简后为： ， 当与进行换位思考化简后为： ， 当与进行换位思考化简后为： ； 当与进行换位思考化简后为： ， 当与进行换位思考化简后为： ， 最后3种结果相同，故该代数式共得到4种结果，故③正确； 故选：A． 【变式5-2】下列各题去括号不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，故本选项去括号正确，不符合题意； B、，故本选项去括号不正确，符合题意； C、，故本选项去括号正确，不符合题意； D、，故本选项去括号正确，不符合题意． 故选：B． 【变式5-3】下列各式去括号正确吗?如有错误，请改正． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)正确； (2)错误，； (3)错误，； (4)正确． 【分析】 【详解】（1）解：，原式正确； （2）解：，原式错误； （3）解：，原式错误； （4）解：，原式正确． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．观察下列数列：，第个数是_____ 【答案】 【详解】解： 相邻两项的差： ． 差分别为 ，依次增加1． 观察可得：第1项；第2项；第3项；第4项 ； 因此第项． 验证：当时，，正确；当时， ，正确． ∴第个数是． 2．下列各式由等号左边变到右边变形错误的有（   ） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：① ∵，与等式右边不相等，∴ ①变形错误； ② ∵，与等式右边不相等，∴ ②变形错误； ③ ∵，与等式右边不相等，∴ ③变形错误； ④ ∵，与等式右边相等，∴ ④变形正确； 综上，错误的变形共有3个． 3．定义一个新运算，若，，则______． 【答案】1或 【详解】解：， 或， ， ①当，时， ； ②当，时， ； 综上所述：或， 4．已知，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】解：∵，且， ∴等式两边同乘得， 整理得， 对所求式变形得， 将代入得， 再将代入上式得， ∴的值为． 5．定义一种新运算：，例如．则的值为________ 【答案】 【详解】解：由题意得，， 将，代入， 得 ． 6．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是3，则=_____． 【答案】 或 【详解】解：、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是， ，，， 当时，； 当时，； 综上，或． 7．若，则_____________． 【答案】2024 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 8．如图所示，在计算机数据运算程序中，若开始输入的的值为2，结果输出的是1，返回进行第2次运算输出的是，第3次运算输出的是．．．，如果输入一个，使得第3次输出结果是1，那么这个可能的值有______个（只填数量，不用求出具体值） 【答案】3 【分析】 【详解】解：第3次输出结果是1， 那么第3次输入的为或（舍）， 那么第2次输出的为2， 那么第2次输入的为或， 那么第1次输出的为4或7 那么第1次输入的为或或或（舍）， 所以这个可能的值有个， 故答案为：3． 9．按如图的“数值转换机”计算：若开始输入的值为，转换后输出的结果是_____． 【答案】28 【分析】 【详解】解：输入，计算： 因为，所以返回重新输入． 输入，计算： 因为，所以返回重新输入． 输入，计算： 因为，所以输出结果． 故答案为：28 10．已知，，且，求的值． 【答案】或 【详解】解：∵，， ∴，， ， ，只能， 当时，； 当时，； 综上，的值为或． 11．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)写出第5个等式； (2)用含n的式子表示第n个等式； (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：观察等式可知，第5个等式：． （2）解：观察等式可知，第个等式：． （3）解：由题意得： ． 12．按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？ (1)填写表内空格； 输入x 5 4 … 输出答案 … (2)你发现的规律是______，并证明该规律的正确性． 【答案】(1) 输入x 5 4 … 输出答案 0 0 0 0 … (2)输入的x为任何数结果都为0． 证明：∵， ∴无论x取任何值，结果都为0，即结果与字母x的取值无关． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 13．用相同长度的小木棒和绳子搭建“圆内十字形”图形：每个图形以中心点为起点，向“上、下、左、右”四个方向延伸；每个方向上（不包含中心点）的点数随图形序号依次增加． 前3个图形的构造规律如下： 图形1：中心点到每个方向有1个点，总点数为5． 图形2：中心点到每个方向有2个点，总点数为13． 图形3：中心点到每个方向有3个点，总点数为21． …… 按照图形的构造规律，图形n的总点数为_________． 【答案】 【详解】解：图形1：中心点到每个方向有1个点，总点数为． 图形2：中心点到每个方向有2个点，总点数为． 图形3：中心点到每个方向有3个点，总点数为． …… 图形n的总点数为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $