27.3实际问题与反比例函数（第2课时 结合反比例函数图象分析实际问题)（导学案)数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“实际问题与反比例函数（第2课时）”，引导学生结合函数图象分析实际问题，通过温故知新回顾生活中反比例模型及函数图像性质，设疑引入数形结合方法，搭建从计算到图像分析的学习支架。 特色在于“审题建模-画图识图-用图解题-回归实际”的完整探究过程，以真实情境问题链（如力学、行程、茶吧机水温）培养数学建模和几何直观，习题融合中考真题与生活应用，强化应用意识，助力学生提升解决实际问题的能力。

27.3实际问题与反比例函数 （第2课时 结合反比例函数图象分析实际问题) （导学案） （1）能根据生活实际问题准确建立反比例函数模型，写出自变量的实际取值范围；掌握反比例函数实际图像的特征，能读懂实际问题中函数图像的横纵坐标、增减趋势、特殊点的实际意义；能利用数形结合的方法，结合图像解决实际问题中的取值范围、最值、变化规律、参数求解等问题. （2）经历“审题建模、画图识图、用图解题、回归实际”的完整探究过程，掌握数形结合解决反比例实际问题的通用步骤，提升几何直观、数学建模、数据分析和逻辑推理能力. （3）通过具体真实场景的探究，感受反比例函数在生产生活中的广泛应用，体会数形结合思想的直观性与简洁性，提升数学应用意识，培养严谨的实际问题解题思维. 重点:反比例函数实际问题的建模与自变量取值范围确定；利用数形结合思想，结合函数图像解决实际应用问题. 难点:准确理解实际问题中函数图像、特殊点、增减性的现实意义；根据实际限制条件，结合图像确定自变量、函数值的取值范围，区分纯函数图像与实际问题受限图像的区别. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 知识回顾：（1）生活中哪些等量关系可以建立反比例函数模型？（积为定值：总工程量=人数×效率、路程=速度×时间、压力=压强×面积等） （2）反比例函数y=(k>0)的图像和增减性是什么？ 设疑导入：我们之前通过列式计算解决了反比例实际问题，但很多实际问题需要分析变化趋势、取值范围、最优方案，仅靠计算不够直观。今天我们学习数形结合解决反比例实际问题，通过图像直观解读实际问题的变化规律. 【学法指导】 新知自研：自研课本第77-78页的内容 (一)从函数图象中探究力F所做的功W 问题1：在力F（单位：N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s（单位：m），则力F所做的功W(单位：J）满足W=Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示. (1）当力F为10 N时，求F所做的功W； (2)写出s关于F的函数解析式； （3）在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m，求力的范围. 追问1.从图象中你能得出当力F为10N时，物体在力F的方向上发生的位移s为多少？此时F所做的功是多少？ 当力F为10N时，物体在力F的方向上发生的位移s为50m，此时F所做的功W=Fs=10×50=500(J). 追问2.当W为定值时，如何用反比例函数描述s与F之间的关系？ 由（1）W=Fs=10×50=500(J)，可知其解析式为s=. 追问3.在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m，如何求力的范围？ 将s=100代入s=，可求F的值,因为s随着F的增大而减小，可以确定力F范围. 具体解答如下： 解：（1）由图可知，当力F为10N时，物体在力F的方向上发生的位移s为50m，此时F所做的功W=Fs=10×50=500(J). (2）当W为定值时，可以用反比例函数描述s与F之间的关系.由（1） 可知其解析式为s=. (3）将s=100代入s=，可得F=5(N), 因为s随着F的增大而减小，所以要使物体在力的作用下的位移小于100m，力F要大于5N. (二)从函数图象中探究行程问题 问题2.一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度v（单位:km/h)与行驶全程所用时间t（单位：h)的函数关 系如图所示，其中60≤v≤120. (1)写出v关于t的函数解析式，并求t的取值范围； (2）若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围. 追问1.甲地到乙地的路程为定值,平均速度v（单位:km/h)与行驶全程所用时间t之间的关系? 平均速度v=路程÷行驶全程所用时间t. 追问2.怎样确定t的取值范围 根据60≤v≤120，和函数的增减性质确定. 追问3.在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围？ 根据函数的增减性质确定客车平均速度v的范围. 具体解答如下： 解：（1）甲地到乙地的路程为定值，可以用反比例函数描述v与t之间的 关系.由上面的图象可知，当t=2时，v=120，于是有 v= ① 当v=60时，由①得t=4. 因为60≤v≤120，并且平均速度随着行驶全程所用时间的增大而减小，所以2≤t≤4. （2）客车上午8时从甲地出发，若当天10时40分到达乙地，则行驶全程所用时间t=2h，代入①，可得v=90(km/h)；若当天11时到达乙地，则行驶全程所用时间t=3h，代人①，可得v=80(km/h). 因为平均速度随着行驶全程所用时间的增大而减小，所以客车平均速度的范围是 80≤v≤90. 总结结合反比例函数图象分析实际问题通用步骤： 1.根据函数图象，确定固定总量（定值）、两个变化的变量； 2. 建立函数关系式，确定反比例关系； 3. 设变量，根据定值列等式，整理为反比例解析式； 4. 结合实际，确定自变量、函数值取值范围，分析解决实际问题. 典型例题 例1.根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示． (1)P关于S的函数关系式为　 　． (2)求当时，物体所受的压强是　 　． (3)当时，求受力面积S的变化范围． 【分析】（1）观察图象易知P与S之间的是反比例函数关系，所以可以设，依据图象上点A的坐标可以求得P与S之间的函数关系式． （2）将S代入上题求得的反比例函数的解析式即可求得压强． （3）将压强代入函数关系式即可求得受力面积的取值范围． 【详解】（1）解：设， 由图象可知：点在函数图象上， ∴， ∴； ∴； 故答案为：． （2）当，； 故答案为：400； （3）当时，； 当时，； ∴当时，． 第二环节 合作探究 1.讨论从函数图象中探究力F所做的功W的关系. 2.讨论从函数图象中探究行程问题. 3.讨论总结结合反比例函数图象分析实际问题通用步骤. 拓展提升： 1.如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要　　． (2)在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式． (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【分析】依题得开机加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用热量差每分钟加热的温度即即可求解； 结合中可得点在反比例函数的图象上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； 分类讨论，加热过程中水温不低于的时间+降温过程中水温不低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用中的函数解析式即可求得． 【详解】（1）解：开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：4． （2）解：设水温下降过程中，y与x的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 水温下降过程中，y与x的函数关系式是． （3）解：在加热过程中，水温为时， 所需时间为， 即温度都高于； 在降温过程中，水温为时，， 解得：， 即内温度都高于， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 课本P78课堂练习. 1．（2025•湖北）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：O）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于9Ω时，电流I可能是（　　） A．3A B．4A C．5A D．6A 【详解】解：根据图象，当R＞9时，I＜4， ∴当电阻R大于9Ω时，电流I可能是3A，不可能是4A、5A或6A， ∴A符合题意，BCD不符合题意． 故选：A． 2．（2025·贵港·九年级统考）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示：    (1)求电流I关于电阻R的函数解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，请直接写出该用电器可变电阻R应控制在什么范围？ 【详解】（1）设电流I与电阻R之间的函数表达式为, ∵函数图象过点（9，4）， ∴， 解得：， ∴电流I与电阻R之间的函数表达式为． （2）解：∵限制电流不能超过， ∴， 解得：， ∴用电器的可变电阻应大于或等于． 3．（2025·永州·九年级期中）为预防新冠病毒，零陵区某中学定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与时间之间成一次函数关系；燃烧完后与时间之间成反比例函数关系．根据图象解答下列问题：    (1)求药物燃烧完后与时间的函数表达式； (2)当每立方米空气中的含药量低于4时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段消毒人员不能停留在教室里？ 【详解】（1）解：设药物燃烧时y关于x的函数表达式为， 把和代入，得： ， 解得：， ∴药物燃烧时y关于x的函数表达式为， 当时，， 设药物燃烧后y关于x的函数表达式为， 把代入， ∴， ∴， ∴药物燃烧后y关于x的函数表达式为； （2）解：对于，当时， 解得：； 对于，当时， 解得：， ∴从消毒开始，第2分钟到第分钟学生不能停留在教室里． （ 设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识技能：（1）结合函数图象，能根据积为定值的实际关系，建立反比例函数解析式，并结合实际确定自变量取值范围；（2）识图技能：掌握实际反比例函数图像仅为第一象限双曲线分支，能解读图像增减趋势、特殊点的实际意义；（3）解题技能：可利用数形结合思想，结合函数图像解决实际问题中的变化规律、取值范围、最值问题. 思想方法：（1）数形结合思想：将实际代数问题转化为函数图像问题，以形助数、直观解题；（2）模型思想：提炼生活中的反比例定值模型，用函数知识解决实际问题；（3）转化思想：将实际限制条件（工期、效率、压强等）转化为函数的取值范围问题. 易错提醒：（1）忽略实际限制，画出完整双曲线，实际问题中自变量多为正数，图像只有第一象限分支；（2）直接套用纯函数增减性，不考虑实际取值范围，导致结论不符合生活实际；（3）由图像范围解题时，混淆自变量与函数值的增减对应关系，最值判断错误；（4）求解实际问题后，不检验结果是否符合实际意义. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.3实际问题与反比例函数 （第2课时 结合反比例函数图象分析实际问题) （导学案） （1）能根据生活实际问题准确建立反比例函数模型，写出自变量的实际取值范围；掌握反比例函数实际图像的特征，能读懂实际问题中函数图像的横纵坐标、增减趋势、特殊点的实际意义；能利用数形结合的方法，结合图像解决实际问题中的取值范围、最值、变化规律、参数求解等问题. （2）经历“审题建模、画图识图、用图解题、回归实际”的完整探究过程，掌握数形结合解决反比例实际问题的通用步骤，提升几何直观、数学建模、数据分析和逻辑推理能力. （3）通过具体真实场景的探究，感受反比例函数在生产生活中的广泛应用，体会数形结合思想的直观性与简洁性，提升数学应用意识，培养严谨的实际问题解题思维. 重点:反比例函数实际问题的建模与自变量取值范围确定；利用数形结合思想，结合函数图像解决实际应用问题. 难点:准确理解实际问题中函数图像、特殊点、增减性的现实意义；根据实际限制条件，结合图像确定自变量、函数值的取值范围，区分纯函数图像与实际问题受限图像的区别. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 知识回顾：（1）生活中哪些等量关系可以建立反比例函数模型？（积为定值：总工程量=人数×效率、路程=速度×时间、压力=压强×面积等） （2）反比例函数y=(k>0)的图像和增减性是什么？ 设疑导入：我们之前通过列式计算解决了反比例实际问题，但很多实际问题需要分析变化趋势、取值范围、最优方案，仅靠计算不够直观。今天我们学习数形结合解决反比例实际问题，通过图像直观解读实际问题的变化规律. 【学法指导】 新知自研：自研课本第77-78页的内容 (一)从函数图象中探究力F所做的功W 问题1：在力F（单位：N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s（单位：m），则力F所做的功W(单位：J）满足W=Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示. (1）当力F为10 N时，求F所做的功W； (2)写出s关于F的函数解析式； （3）在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m，求力的范围. 追问1.从图象中你能得出当力F为10N时，物体在力F的方向上发生的位移s为多少？此时F所做的功是多少？ 追问2.当W为定值时，如何用反比例函数描述s与F之间的关系？ 追问3.在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m，如何求力的范围？ 具体解答如下： (二)从函数图象中探究行程问题 问题2.一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度v（单位:km/h)与行驶全程所用时间t（单位：h)的函数关 系如图所示，其中60≤v≤120. (1)写出v关于t的函数解析式，并求t的取值范围； (2）若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围. 追问1.甲地到乙地的路程为定值,平均速度v（单位:km/h)与行驶全程所用时间t之间的关系? 追问2.怎样确定t的取值范围 追问3.在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围？ 具体解答如下： 总结结合反比例函数图象分析实际问题通用步骤： 典型例题 例1.根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示． (1)P关于S的函数关系式为　 　． (2)求当时，物体所受的压强是　 　． (3)当时，求受力面积S的变化范围． 第二环节 合作探究 1.讨论从函数图象中探究力F所做的功W的关系. 2.讨论从函数图象中探究行程问题. 3.讨论总结结合反比例函数图象分析实际问题通用步骤. 拓展提升： 1.如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要　　． (2)在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式． (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 课本P78课堂练习. 1．（2025•湖北）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：O）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于9Ω时，电流I可能是（　　） A．3A B．4A C．5A D．6A 2．（2025·贵港·九年级统考）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示：    (1)求电流I关于电阻R的函数解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，请直接写出该用电器可变电阻R应控制在什么范围？ 3．（2025·永州·九年级期中）为预防新冠病毒，零陵区某中学定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与时间之间成一次函数关系；燃烧完后与时间之间成反比例函数关系．根据图象解答下列问题：    (1)求药物燃烧完后与时间的函数表达式； (2)当每立方米空气中的含药量低于4时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段消毒人员不能停留在教室里？ 知识技能：（1）结合函数图象，能根据 的实际关系，建立 解析式，并结合实际确定 ；（2）识图技能：掌握实际反比例函数图像 ，能 ；（3）解题技能：可利用 ，结合函数图像解决实际问题中的 、 、 . 思想方法：（1）数形结合思想：将实际 ， 、 ；（2）模型思想：提炼生活中的 ，用 问题；（3）转化思想：将实际限制条件（工期、效率、压强等）转化为 问题. 易错提醒：（1）忽略实际限制，画出 ，实际问题中 ，图像 ；（2）直接套用 ，不考 ，导致 ；（3）由图像范围解题时，混淆 ，最值 ；（4）求解实际问题后，不 意义. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $