2026-2027学年上学期八年级开学模拟数学试卷（河南信阳市适用）

**基本信息** 2026年新八年级开学数学试卷以国际足球世界杯、北宋燕几图等为情境，覆盖七年级核心知识，梯度设计合理，注重数学思维与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|对顶角、算术平方根、象限点、平行线角度计算等|基础概念与综合应用结合，融入燕几图传统文化素材| |填空题|5/15|垂线段最短、平方根、坐标确定、最短路径|生活现象与数学原理关联，如跳远成绩体现垂线段最短| |解答题|8/75|统计分析（足球数据）、几何变换、汽车进价应用、三角尺与平行线综合|注重数据处理与推理，如结合世界杯数据考统计，动点问题考几何直观|

2026年9月新八年级开学试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）如图，若∠1＝35°，则∠2＝（　　） A．35° B．55° C．125° D．145° 2．（3分）2的算术平方根是（　　） A．2 B． C． D． 3．（3分）下列各点中，位于第四象限内的点是（　　） A．（2，5） B．（﹣9，6） C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣6） 4．（3分）已知是方程2x+ay＝5的解，则a的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 5．（3分）不等式x+1≤4的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）下列调查适宜采用全面调查的是（　　） A．调查本班同学对“苏超”比赛的关注度 B．了解全市初中生一周参与家务劳动的时间 C．调查某知名品牌电池的使用寿命 D．了解长江某段水域的水污染情况 7．（3分）如图，AB∥CD，射线MG交AB于点E，∠GEN＝3∠AEG，点F为CD上一点，∠NFM＝3∠MFD，则∠M与∠N的数量关系是（　　） A．∠M＝∠N B．4∠M+∠N＝180° C．∠M+∠N＝90° D．3∠M﹣∠N＝45° 8．（3分）若将，，，这四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别为，点P是线段AB上的动点，连接PC，过点P作PQ⊥PC，交y轴于点Q．则点Q纵坐标t的取值范围是（　　） A． B．﹣1≤t≤5 C． D． 10．（3分）“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计，他编写的《燕几图》一书，是组合家具设计图册，也是现代益智玩具七巧板的萌芽．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．如图给出了《燕几图》中名为“屏山”的桌面组合方式，若设每张桌面的宽为m尺，每张长桌的长为n尺，根据图中信息，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）数学来源于生活，服务于生活．下面生活现象体现的数学原理是　 　 ． 12．（3分）（﹣2）2的平方根是　 　 ． 13．（3分）五子棋起源于中国，是全国智力运动会竞技项目之一，其游戏规则是：双方各执一色，黑棋先下（为先手），白棋后下，黑白双方轮流交替下子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，先形成五子连线者获胜．如图．若白棋A的坐标为（2，1），黑棋B的坐标为（﹣1，﹣1），为了阻止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置的坐标是　 　 ． 14．（3分）若关于x，y的方程（k﹣2）x|k﹣1|+y+1＝0是二元一次方程，则k＝　 　 ． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接 AC，BD，则AC+BD的最小值为 　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（9分）（1）计算：； （2）解方程：（x+2）2＝49； （3）计算：． 17．（8分）（1）解方程组：． （2）解不等式组：，把它的解集表示在数轴上，并写出它的所有正整数解． 18．（9分）5月26日，2024国际中体联足球世界杯在辽宁大连胜利落幕，中国男子1队和中国女子2队分别包揽男子组和女子组的冠军，作为全球最高水平的中学生足球赛事，世界杯的举办极大地激发了中学生的足球热情． 数据收集：某足球俱乐部在我校组织了一场足球知识竞赛，活动结束后，随机抽取了40名学生的成绩．数据如下： 52 64 80 76 92 85 55 63 82 78 95 60 75 85 59 78 68 95 65 73 96 75 85 82 98 70 85 94 86 79 86 99 75 83 58 89 60 80 90 70 数据整理：设竞赛成绩为x分，共分为5组，整理得到下面的频数分布表： 成绩分组 频数 A组：50≤x＜60 4 B组：60≤x＜70 m C组：70≤x＜80 10 D组：80≤x＜90 12 E组：90≤x＜100 n 数据描述：根据以上数据，画出如下的频数分布直方图和扇形统计图： 得出结论： （1）补全表中的数据；m＝　 　 ，n＝　 　 ． （2）请补全直方图，并计算D组所在扇形的圆心角是　 　 °． （3）按照约定，如果我校足球知识竞赛的优秀人数在350人以上，该足球俱乐部将带领俱乐部的明星足球运动员来我校踢一场友谊赛．规定成绩在90分以上（含90分）为优秀，该校共有2000名学生，请你通过计算预测一下，该场友谊赛能举办吗？ 19．（9分）△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图． （1）分别写出下列各点的坐标：A′　 　 ；B′　 　 ；C′　 　 ； （2）说明△A′B′C′由△ABC经过怎样的平移得到？ （3）求△ABC的面积． 20．（9分）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A'B'C'，图中标出了点B的对应点B'．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题保留画图痕迹： （1）画出△A'B'C'； （2）连接AA'、CC'，那么AA'与CC'的关系是 　 　 ，线段AC扫过的图形的面积为 　 　 ； （3）在AB的右下侧确定格点Q，使△ABQ的面积和△ABC的面积相等，这样的Q点有 　 　 个． 21．（10分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计110万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计175万元． （1）每辆A，B两种型号的汽车进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用400万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则该公司有哪几套方案？ 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，B的坐标分别为AB＝4，BC＝6，D是BC的中点，动点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿着O→A→B→D运动，设点P运动的时间为t秒． （1）点B坐标是（ 　 　 ，　 　 ），点D的坐标是（ 　 　 ，　 　 ）； （2）当点P在AB上（包含端点）运动时，求点P的坐标是（ 　 　 ，　 　 ），t的取值范围为 　 　 ． （3）当△POD的面积为9时，求出点P的坐标． 23．（11分）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含60°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且a∥b，直角三角尺ABC中，∠BCA＝90°，∠ABC＝60°． （1）【操作发现】 如图1，当三角尺的顶点B在直线b上时，若∠1＝55°，则∠2＝　 　 °； （2）【探索证明】 如图2，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】 如图3，把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线BD（D为直线b上一点）的上方，若存在∠1＝5∠CBD（∠CBD＜60°），请直接写出射线BA与直线a所夹锐角的度数． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）如图，若∠1＝35°，则∠2＝（　　） A．35° B．55° C．125° D．145° 【分析】根据对顶角相等即可得解． 【解答】解：∵∠2和∠1是对顶角， ∴∠2＝∠1＝35°． 故选：A． 【点评】本题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握对顶角的性质是解题的关键． 2．（3分）2的算术平方根是（　　） A．2 B． C． D． 【分析】根据算术平方根的定义进行作答即可． 【解答】解：2的算术平方根是． 故选：B． 【点评】本题主要考查算术平方根及平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 3．（3分）下列各点中，位于第四象限内的点是（　　） A．（2，5） B．（﹣9，6） C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣6） 【分析】根据平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、（2，5）在第一象限，故A不符合题意； B、（﹣9，6）在第二象限，故B不符合题意； C、（﹣3，﹣2）在第三象限，故C不符合题意； D、（2，﹣6）在第四象限，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键． 4．（3分）已知是方程2x+ay＝5的解，则a的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 【分析】将代入原方程，可得出2×2﹣a＝5，解之即可得出a的值． 【解答】解：将代入原方程得：2×2﹣a＝5， 解得：a＝﹣1， ∴a的值为﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 5．（3分）不等式x+1≤4的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示，＞，≥向右画；＜，≤向左画，据此可得答案． 【解答】解：x+1≤4， x≤4﹣1， x≤3， 数轴表示如下所示： ， 故选：A． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟知以上知识是解题的关键． 6．（3分）下列调查适宜采用全面调查的是（　　） A．调查本班同学对“苏超”比赛的关注度 B．了解全市初中生一周参与家务劳动的时间 C．调查某知名品牌电池的使用寿命 D．了解长江某段水域的水污染情况 【分析】根据全面调查和抽样调查的定义进行判断即可． 【解答】解：A．调查本班同学对“苏超”比赛的关注度，采用全面调查，故本选项符合题意； B．了解全市初中生一周参与家务劳动的时间，采用抽样调查，故本选项不符合题意； C．调查某知名品牌电池的使用寿命，采用抽样调查，故本选项不符合题意； D．了解长江某段水域的水污染情况，采用抽样调查，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查全面调查和抽样调查，熟练掌握其知识点是解题的关键． 7．（3分）如图，AB∥CD，射线MG交AB于点E，∠GEN＝3∠AEG，点F为CD上一点，∠NFM＝3∠MFD，则∠M与∠N的数量关系是（　　） A．∠M＝∠N B．4∠M+∠N＝180° C．∠M+∠N＝90° D．3∠M﹣∠N＝45° 【分析】过点N作NP∥AB、过点M作HM∥AB，证明AB∥CD∥PN∥MH，根据平行线的性质得到∠PNE+∠AEN＝180°，进而求出∠EMF＝∠BEM+∠MFD，设∠AEG＝x、∠MFD＝y，则∠GEN＝3x、∠NFM＝3y，进而求出∠ENF＝180°﹣4（x+y），从而得出结论4∠M+∠N＝180°． 【解答】解：如图，过点N作NP∥AB、过点M作HM∥AB， 由条件可知AB∥CD∥PN∥MH， ∴∠PNF＝∠NFD、∠EMH＝∠BEM、∠FMH＝∠DFM、∠PNE+∠AEN＝180°， ∴∠EMF＝∠EMH+∠FMH＝∠BEM+∠MFD， 设∠AEG＝x，∠MFD＝y，则∠GEN＝3x，∠NFM＝3y， ∴∠AEN＝4x，∠NFD＝4y，∠BEM＝∠AEG＝x， ∴∠PNE＝180°﹣4x，∠PNF＝4y，∠EMF＝x+y， ∴∠ENF＝180°﹣4（x+y）， ∴∠ENF＝180°﹣4∠EMF， ∴4∠EMF+∠ENF＝180°． 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握该知识点是关键． 8．（3分）若将，，，这四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（　　） A． B． C． D． 【分析】先观察数轴，得出被如图所示的墨迹覆盖的数是1到3之间，再结合每个选项的无理数进行分析，即可作答． 【解答】解：若将，，，这四个无理数表示在数轴上， 观察数轴，得出被如图所示的墨迹覆盖的数是1到3之间， ∵， 故A选项不符合题意； ∵， ∴， 故B选项符合题意； ∵， ∴， 故C选项不符合题意； ∵， ∴， 故D选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别为，点P是线段AB上的动点，连接PC，过点P作PQ⊥PC，交y轴于点Q．则点Q纵坐标t的取值范围是（　　） A． B．﹣1≤t≤5 C． D． 【分析】对点Q在AB下方和上方的时候，分别画出示意图，再结合相似三角形的判定与性质即可解决问题． 【解答】解：令点P的横坐标为m， 当时，延长BA交y轴于点N，过点C作AB的垂线，垂足为M， ∵∠CPQ＝90°， ∴∠QPN+∠MPC＝90°． 又∵∠MPC+∠PCM＝90°， ∴∠QPN＝∠PCM． 又∵∠PNQ＝∠CMP， ∴△PNQ∽△CMP， ∴， 即， ∴t＝（m﹣）2﹣， 当m＝时，t取得最小值为， 当m＝3时，t取得最大值1， ∴． 当3＜m≤4时， 显然当点P在点B时，点Q的纵坐标取得最大值． 同理可得，△PMQ∽△CNP， ∴， ∴， 解得t＝5， ∴1＜t≤5， 综上所述，t的取值范围是：． 故选：A． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意对点Q在AB下方和上方时分类讨论是解题的关键． 10．（3分）“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计，他编写的《燕几图》一书，是组合家具设计图册，也是现代益智玩具七巧板的萌芽．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．如图给出了《燕几图》中名为“屏山”的桌面组合方式，若设每张桌面的宽为m尺，每张长桌的长为n尺，根据图中信息，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据每张桌面的宽都相等，设每张桌面的宽为m尺，每张长桌的长为n尺，由图形结合A（7，8.75）列式即可． 【解答】解：根据题意知：横轴方向，4m＝7， 纵轴方向，m+n＝8.75， ∴方程组为， 故选：B． 【点评】本题考查了二元一次方程组的运用，理解图示，正确列式是关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）数学来源于生活，服务于生活．下面生活现象体现的数学原理是　垂线段最短　 ． 【分析】根据生活现象：测量跳远成绩体现的数学原理是垂线段最短，进行作答即可． 【解答】解：原理是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【点评】本题考查了垂线段最短，熟练掌握该知识点是关键． 12．（3分）（﹣2）2的平方根是　±2　 ． 【分析】可以先求出（﹣2）2＝4，利用平方根的定义进行求解即可． 【解答】解：∵（﹣2）2＝4， 4的平方根是2， 故答案为：±2． 【点评】本题考查了平方根的定义及求解，理解平方根的定义是解题的关键． 13．（3分）五子棋起源于中国，是全国智力运动会竞技项目之一，其游戏规则是：双方各执一色，黑棋先下（为先手），白棋后下，黑白双方轮流交替下子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，先形成五子连线者获胜．如图．若白棋A的坐标为（2，1），黑棋B的坐标为（﹣1，﹣1），为了阻止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置的坐标是　（1，﹣2）　 ． 【分析】先根据白棋A的位置记为（2，1），黑棋B的位置记为（﹣1，﹣1），建立平面直角坐标系，再结合图象即可得解． 【解答】解：根据已知点的坐标，建立平面直角坐标系如图所示： 为了阻止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置是（1，﹣2）， 故答案为：（1，﹣2）． 【点评】本题考查了用有序数对表示点的坐标，正确建立平面直角坐标系是解此题的关键． 14．（3分）若关于x，y的方程（k﹣2）x|k﹣1|+y+1＝0是二元一次方程，则k＝　0　 ． 【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，据此解答即可． 【解答】解：依题意，k﹣2≠0，|k﹣1|＝1， 解得：k＝0， 故答案为：0． 【点评】本题主要考查二元一次方程的概念，熟练掌握该概念是关键． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接 AC，BD，则AC+BD的最小值为 　2　 ． 【分析】将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′．再作点A关于x轴的对称点A'，则A'（0，﹣2），进而得出AC+BD的最小值为A'E，即可求解答案． 【解答】解：如图，将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′． 则E（﹣2，4），A′（0，﹣2），AC+BD＝CA′+CE≥EA′， EA′＝＝2， ∴AC+BD的最小值为2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了对称的性质，平移的性质，将AC+BD的最小值转化为A'E是解本题的关键． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（9分）（1）计算：； （2）解方程：（x+2）2＝49； （3）计算：． 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）利用平方根的意义进行计算，即可解答； （3）先算乘法，后算加减，即可解答． 【解答】解：（1）原式＝ ＝ ＝1+4﹣6 ＝﹣1； （2）（x+2）2＝49， x+2＝7或x+2＝﹣7， x＝5或x＝﹣9； （3）原式＝ ＝ ＝． 【点评】本题考查了实数的运算，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17．（8分）（1）解方程组：． （2）解不等式组：，把它的解集表示在数轴上，并写出它的所有正整数解． 【分析】（1）利用加减消元法消去未知数x，得到关于y的一元一次方程：13y＝﹣13，解一元一次方程求出y的值，再把y的值代入原方程求出x的值即可； （2）分别求出两个一元一次不等式的解集，把它们的解集表示在数轴上，从数轴上找出两个解集的公共部分即为一元一次不等式组的解集，从解集中找出正整数，即为不等式组的正整数解． 【解答】解：（1）， ①×4得：4x+12y＝﹣4③， ③﹣②得：13y＝﹣13， 解得：y＝﹣1， 把y＝﹣1代入①得：x﹣3＝﹣1， 解得：x＝2， ∴方程组的解为：； （2）， 解不等式①式得：x≤1， 解不等式②式得：x＞﹣3， 把解集在数轴上表示如下： ∴不等式组的解集为：﹣3＜x≤1， ∴它的所有正整数解为：1． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解法、解一元一次不等式组并把解集表示在数轴上，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18．（9分）5月26日，2024国际中体联足球世界杯在辽宁大连胜利落幕，中国男子1队和中国女子2队分别包揽男子组和女子组的冠军，作为全球最高水平的中学生足球赛事，世界杯的举办极大地激发了中学生的足球热情． 数据收集：某足球俱乐部在我校组织了一场足球知识竞赛，活动结束后，随机抽取了40名学生的成绩．数据如下： 52 64 80 76 92 85 55 63 82 78 95 60 75 85 59 78 68 95 65 73 96 75 85 82 98 70 85 94 86 79 86 99 75 83 58 89 60 80 90 70 数据整理：设竞赛成绩为x分，共分为5组，整理得到下面的频数分布表： 成绩分组 频数 A组：50≤x＜60 4 B组：60≤x＜70 m C组：70≤x＜80 10 D组：80≤x＜90 12 E组：90≤x＜100 n 数据描述：根据以上数据，画出如下的频数分布直方图和扇形统计图： 得出结论： （1）补全表中的数据；m＝　6　 ，n＝　8　 ． （2）请补全直方图，并计算D组所在扇形的圆心角是　108　 °． （3）按照约定，如果我校足球知识竞赛的优秀人数在350人以上，该足球俱乐部将带领俱乐部的明星足球运动员来我校踢一场友谊赛．规定成绩在90分以上（含90分）为优秀，该校共有2000名学生，请你通过计算预测一下，该场友谊赛能举办吗？ 【分析】（1）随机抽取了40名学生的成绩的数据可以分别得到m、n的值； （2）先补全频数分布直方图，再计算D组所在扇形的圆心角度数即可； （3）先计算出优秀人数，再进行比较即可求解． 【解答】解：（1）随机抽取了40名学生的成绩在60≤x＜70的有6名学生，成绩在90≤x＜100的有8名学生， 所以m＝6，n＝8， 故答案为：6，8； （2）补全直方图如下： D组所在扇形的圆心角是30%×360°＝108°， 故答案为：108； （3）2000×20%＝400（人）． ∵400＞350， ∴该场友谊赛能举办． 【点评】本题考查用样本估计频数分布表、频数分布直方图，扇形统计图及用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 19．（9分）△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图． （1）分别写出下列各点的坐标：A′　（﹣3，1）　 ；B′　（﹣2，﹣2）　 ；C′　（﹣1，﹣1）　 ； （2）说明△A′B′C′由△ABC经过怎样的平移得到？ （3）求△ABC的面积． 【分析】（1）根据图示即可得出A'、B'、C'三点的坐标； （2）利用对应点位置变化得出答案； （3）直接利用△ABC所在直角梯形面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【解答】解：（1）根据图示，得A′（﹣3，1），B′（﹣2，﹣2），C′（﹣1，﹣1）； 故答案为：（﹣3，1），（﹣2，﹣2），（﹣1，﹣1）． （2）△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位；（或先向下平移2个单位，再向左平移4个单位）得到△A′B′C′； （3）如图，S△ABC＝×（1+3）×2﹣×1×3﹣×1×1＝2． 【点评】本题考查了利用平移变换作图，图形与坐标，根据网格图中对应点的位置确定出平移的方法是解题的关键． 20．（9分）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A'B'C'，图中标出了点B的对应点B'．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题保留画图痕迹： （1）画出△A'B'C'； （2）连接AA'、CC'，那么AA'与CC'的关系是 AA′＝CC′，AA′∥CC′　 ，线段AC扫过的图形的面积为 　10　 ； （3）在AB的右下侧确定格点Q，使△ABQ的面积和△ABC的面积相等，这样的Q点有 　8　 个． 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可； （2）利用分割法求解即可； （3）直线l上的格点满足条件． 【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求作； （2）AA′＝CC′，AA′∥CC′．线段AC扫过的图形的面积为2×10﹣2××1×4﹣2××1×6＝10． 故答案为：AA′＝CC′，AA′∥CC′，10； （3）满足条件的点Q有8个， 故答案为：8． 【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积，三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21．（10分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计110万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计175万元． （1）每辆A，B两种型号的汽车进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用400万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则该公司有哪几套方案？ 【分析】（1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，由1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计110万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计175万元，列出方程组，即可求解； （2）设购进A型汽车m辆，B型汽车n辆，由用400万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），列出方程，即可求解． 【解答】解：（1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元． 由题意可得：， 解得：， 答：每辆A型汽车的进价为20万元，每辆B型汽车的进价为45万元． （2）设购进A型汽车m辆，B型汽车n辆． 由题意可得20m+45n＝400， ∴． ∵m，n均为正整数， ∴m＝11，n＝4或m＝2，n＝8， ∴共两种购买方案，方案如下：方案一：购进A型汽车11辆，B型汽车4辆，方案二：购进A型汽车2辆，B型汽车8辆． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，B的坐标分别为AB＝4，BC＝6，D是BC的中点，动点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿着O→A→B→D运动，设点P运动的时间为t秒． （1）点B坐标是（ 　6　 ，　4　 ），点D的坐标是（ 　3　 ，　4　 ）； （2）当点P在AB上（包含端点）运动时，求点P的坐标是（ 　6　 ，t﹣6　 ），t的取值范围为 　6≤t≤10　 ． （3）当△POD的面积为9时，求出点P的坐标． 【分析】（1）利用长方形的性质以及坐标与图形性质求出B、C两点坐标，再利用中点坐标公式即可求得点D坐标； （2）点P在线段AB上，求出PA的长，进而即可求解； （3）分三种情形分别讨论求解即可． 【解答】解：（1）长方形OABC的顶点A，B的坐标分别为AB＝4，BC＝6，D是BC的中点， ∴OA＝BC＝6，OC＝AB＝4，AB∥OC，BC∥OA， ∴A（6，0），B（6，4），C（0，4）， ∵D是BC的中点， ∴， ∴D（3，4）． 故答案为：6，4；3，4； （2）动点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，设点P运动的时间为t秒， 当P在AB上运动时，AP＝t﹣6， ∴P（6，t﹣6），6≤t≤10， 故答案为：6，t﹣6，6≤t≤10； （3）分三种情况： ①当0＜t≤6时，点P在OA上运动，坐标为（t，0），如图1， 由题意得：， 解得：t＝4.5， ∴点P的坐标为（4.5，0）； ②当6＜t≤10时，点P在AB上运动，坐标为（6，t﹣6），如图2， 由题意得：S△POD＝S矩形OCBA﹣S△OPA﹣S△PBD﹣S△CDO＝9， ∴， 解得：t＝8， ∴点P的坐标为（6，2）； ③当10＜t＜13时，点P在BD上运动，坐标为P（16﹣t，4），PD＝13﹣t，如图3， ∴， 解得：t＝8.5（不合题意，舍去）， ∵， ∴点P不可能在CD上， 综上所述，当P（4.5，0）或（6，2）时，△POD的面积为9． 【点评】本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质，三角形的面积，解答的关键是分类讨论． 23．（11分）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含60°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且a∥b，直角三角尺ABC中，∠BCA＝90°，∠ABC＝60°． （1）【操作发现】 如图1，当三角尺的顶点B在直线b上时，若∠1＝55°，则∠2＝　35　 °； （2）【探索证明】 如图2，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】 如图3，把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线BD（D为直线b上一点）的上方，若存在∠1＝5∠CBD（∠CBD＜60°），请直接写出射线BA与直线a所夹锐角的度数． 【分析】（1）过点C作直线a的平行线CD，根据平行线的性质可得∠1+∠2＝90°，从而可得∠1＝35°； （2）过点B作直线a的平行线BE，根据平行线的性质可得∠2＝180°﹣∠ABE，∠CBE＝∠1，由已知∠ABC＝60°，故∠ABE＝60°﹣∠1，从而有∠2＝180°﹣（60°﹣∠1）＝120°+∠1； （3）根据点A始终在直线BD的上方可知，分两种情况：①边BC在直线BD上方时，∠CBD+∠1+∠ABC＝180°，从而可得∠CBD＝20°，射线BA与直线所夹锐角的度数为80°，②边BC再直线BD的下方，此时∠1+∠ABC﹣∠CBD＝180°，从而可得∠CBD＝30°，射线BA与直线所夹锐角的度数为30°． 【解答】解：（1）如题1，过点C作直线a的平行线CF， ∵a∥b， ∴CF∥a∥b， ∴∠2＝∠ACF，∠1＝∠BCF， ∵∠ACF+∠BCF＝∠ACB＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠1＝35°， 故答案为：35°； （2）∠1与∠2间的数量关系为∠2＝120°+∠1，理由如下： 如图2，过点B作直线a的平行线BE， ∵a∥b， ∴BE∥a∥b， ∴∠2+∠ABE＝180°，∠1＝∠CBE， ∵∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝60°， ∴∠2+60°﹣∠1＝180°， 即∠2＝120°+∠1； （3）由题意可知，分两种情况： ①当边BC在直线BD上方时，如图3， 射线BA与直线所夹锐角为∠2， ∵∠1+∠ABC+∠CBD＝180°， ∠1＝5∠CBD， ∴6∠CBD＝180°﹣∠ABC＝120°， ∴∠CBD＝20°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝80°， 即射线BA与直线所夹锐角的度数为80°， ②当边BC再直线BD的下方时，如图4， 射线BA与直线所夹锐角为∠2， ∵∠1+∠ABD＝180°，∠1＝5∠CBD， ∴5∠CBD+∠ABD＝180°， ∵∠ABD+∠CBD＝∠ABC＝60°， ∴∠CBD＝30°， ∴∠ABD＝30°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠ABD＝30°， 即射线BA与直线所夹锐角的度数为30°， 综上所述，射线BA与直线所夹锐角的度数为80°或30°.. 【点评】本题考查了平行线的性质以及平行线的拉皮筋模型中构造辅助线的方法，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $