27.1 反比例函数的概念（导学案）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“反比例函数的概念”，引导学生理解反比例函数意义、确定解析式及建立简单模型。课堂从舞台灯光控制的生活情境导入，复习电压、电阻与电流的关系，通过高铁速度、草坪面积等实际问题抽象变量关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料以实际问题驱动概念形成，合作探究培养学生抽象能力（数学眼光），问题链设计发展推理意识（数学思维），实际模型应用强化模型意识（数学语言）。习题分层且当堂反馈及时，助力学生理解函数本质，提升解决实际问题能力。

第二十七章 反比例函数 27.1　反比例函数的概念 【学习目标】 1.经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的解析式. 2.通过创设情境，让学生经历在实际问题中探索数量关系的过程，养成用数学思维方式解决实际问题的习惯. 3.在小组讨论中充分体会合作交流的重要性，培养合作意识，提高合作技能. 学习重难点： 1.理解反比例函数的概念，判断两个变量之间的关系是否为反比例函数关系.（重点） 2.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式.（重点） 3.体会并理解函数是刻画变量之间关系的数学模型.（难点） 【复习导入】 生活中我们常常通过控制电阻的变化来实现舞台灯光的效果. 在电压 U 一定的情况下，当 R 变大时，电流 I 变小，灯光就变暗；相反，当 R 变小时，电流 I 变大，灯光变亮. 你能写出这些量之间的关系式吗? 【合作探究】 探究点1：反比例函数的概念 思考：在下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式. （1）京沪高铁全程为1318km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化； （2）某住宅小区要种植一块面积为1000m2的矩形草坪，草坪相邻两边的一边长y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化； （3）李明计划在一段时间内使用完5GB手机流量，平均每天使用的流量Q（单位：GB）随使用完流量的总时间t（单位：天）的变化而变化. 问题：观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？ 共同特点：都具有　　的形式，其中　　是常数. 知识要点：一般地，形如y＝（k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 要点归纳：一般地，形如 (k为常数，k≠0) 的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数. 思考1：反比例函数(k≠0) 的自变量x的取值范围是什么？ 思考2：反比例函数除了可以用(k≠0) 的形式表示，还有没有其他表达方式？ 要点归纳：反比例函数有三种表达方式： ①(k≠0)；②(k≠0)；③xy = k( k≠0). 针对训练：下列函数是不是反比例函数？若是，请指出k的值. ① y = 3x - 1；②；③；④；⑤. 例1 已知函数是反比例函数，求m的值. 方法总结：已知某个函数为反比例函数，则自变量的次数为－1，且系数不等于0. 练一练: 1. 当m = 时，是反比例函数. 2. 已知函数是反比例函数，则k必须满足 . 探究点2：确定反比例函数的解析式 例2 已知y是x的反比例函数，并且当 x = 2时，y = 6. (1) 写出y关于x的函数解析式； (2) 当 x = 4 时，求y的值. 方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的反比例函数解析式， ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程； ③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式. 练一练: 2.已知 y 与 x + 1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x = 7 时，求 y 的值． 探究点3：建立简单的反比例函数模型 例3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50 km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为100 km/h 时,视野的度数. 例4 如图，已知菱形 ABCD 的面积为180平方厘米，设它的两条对角线 AC，BD的长分别为x cm，y cm. 写出变量 y与 x 之间的函数关系式，并指出它是什么函数. 当堂反馈 1.[高频易错]反比例函数y＝－中比例系数k为(　　) A.－3 B.2 C.－ D.－ 2.[教材变式]下列函数：①y＝；②3xy＝1；③y＝；④y＝.其中y是x的反比例函数的有　　(填序号). 3.若y＝是反比例函数，则m满足的条件是　 　. 4.[教材变式]已知甲、乙两地相距200km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t(单位：h)关于行驶速度v(单位：km/h)的函数解析式是　 　. 5.[教材变式]已知变量y与x成反比例，且当x＝2时，y＝－6. (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当y＝2时，求x的值. 参考答案 【合作探究】 探究点1：反比例函数的概念 思考：解：这些变量之间具有函数关系，它们的解析式分别为v＝，y＝，Q＝. 练一练 1. 解：②是，k = 3；④是. 例1 解：因为是反比例函数，所以解得m =－3. 练一练：1. ±1 2. k≠2且k≠-1 . 探究点2：确定反比例函数的解析式 例2 解：（1）设. 因为当 x = 2时，y = 6，所以有，解得 k =12. 因此. （2）把 x = 4 代入，得. 练一练 2. 解：(1) 设，因为当 x = 3 时，y = 4 ， 所以有，解得 k = 16，因此. (2) 当 x = 7 时，. 探究点3：建立简单的反比例函数模型 例3 解：设. 由题意知，当 v = 50时，f = 80，所以解得 k = 4000. 因此 ，当 v = 100 时，f = 40. 所以当车速为100 km/h 时视野为40度. 例4 解:因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，所以. 所以变量 y与 x 之间的关系式为，它是反比例函数. 当堂反馈 1.D　 2.　①②③　 3.　m≠　 4.　t＝(v＞0)　. 5.解：(1)∵变量y与x成反比例，∴设y＝(k≠0).∵当x＝2时，y＝－6， ∴k＝2×(－6)＝－12.∴y关于x的函数解析式是y＝－. (2)当y＝2时，－＝2，解得x＝－6. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $