专题28.2 中心对称（培优讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦中心对称核心知识点，先明确中心对称定义，再通过对比表格梳理轴对称与中心对称、轴对称图形与中心对称图形的定义及性质，构建从概念到性质再到应用的学习支架，衔接已学轴对称知识。 资料设计13类题型覆盖不同应用场景，如用扑克牌旋转识别中心对称图形培养几何直观（数学眼光），探究式学习通过操作推理图形性质发展推理意识（数学思维），课后检测与复盘笔记助学生用数学语言总结规律，课中提升教学效率，课后强化知识巩固。

简一数理 初中专题讲义 专题28.2 中心对称 （新教材人教版） 知识点一、中心对称的定义 2 知识点二、轴对称与中心对称 2 知识点三、轴对称图形与中心对称图形 3 【题型1 成中心对称】 3 【题型2 画已知图形关于某点对称的图形】 5 【题型3 画出两个图形的对称中心】 8 【题型4 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 11 【题型5 中心对称图形的识别】 14 【题型6 判断中心对称图形的对称中心】 16 【题型7 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 20 【题型8 中心对称图形规律问题】 21 【题型9 求关于原点对称的点的坐标】 25 【题型10 已知两点关于原点对称求参数】 29 【题型11 判断两个点是否关于原点对称】 30 【题型12 说出一个图形运动到另一个图形的运动过程】 32 【题型13 按图形变换要求画出另一个图形】 36 【探究式学习】 42 【课后检测】 48 【复盘笔记】 62 知识点一、中心对称的定义 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 知识点二、轴对称与中心对称 类别 轴对称 中心对称 定义 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 性质 1）对应点的连线被对称轴垂直平分； 2）成轴对称的两个图形全等； 3）只有一条对称轴. 1）对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分； 2）成中心对称的两个图形全等； 3）只有一个对称中心. 知识点三、轴对称图形与中心对称图形 类别 轴对称图形 中心对称图形 定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 性质 1）有对称轴; 2）将图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分完全重合. 1) 有对称中心; 2) 将图形绕对称中心旋转180°旋转后的图形能与原来的图形重合. 【题型1 成中心对称】 【例1】如图，在平行四边形中，对角线、交于点，要通过一次变换使与完全重合，下列说法正确的是（     ） A．通过一次平移变换即可实现 B．通过一次轴对称变换即可实现 C．通过一次中心对称变换即可实现 D．上述单一变换都无法实现 【答案】C 【分析】先根据平行四边形的性质确定两个三角形的位置关系，再依次判断平移、轴对称、中心对称三种变换能否一次完成重合，选出正确选项． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，， ∴ 点与点、点与点关于点中心对称， ∴ 绕点旋转（一次中心对称变换）可与完全重合， 平移、一次轴对称变换无法使两个三角形重合， 故正确的是C项． 【变式1-1】给出下列4个命题：①平移前后的两个图形中，对应点的连线段一定相等；②成轴对称的两个图形对应点的连线是对称轴的垂直平分线；③旋转前后的两个图形，对应点与旋转中心连线所成的角都相等；④成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心．其中，真命题的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平移、轴对称、旋转、中心对称的性质，逐个判断四个命题的真假，统计真命题个数即可． 【详解】解：①根据平移的性质，平移前后对应点的连线段平行或共线且长度相等，因此对应点的连线段一定相等，①是真命题； ②成轴对称的两个图形，对称轴是对应点连线的垂直平分线，命题将二者关系颠倒，②是假命题； ③根据旋转的性质，旋转前后所有对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角，因此都相等，③是真命题； ④根据中心对称的性质，成中心对称的两个图形，对应点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分，命题描述正确，④是真命题； 综上，真命题共个． 【变式1-2】如图，数轴上两点对应的实数分别为1和，若点关于点的对称点为点，则点C所对应的实数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称的性质，点是线段的中点，利用数轴上两点间的距离公式列方程求解即可； 【详解】解：设点对应的实数为， ∵点对应的数为，点对应的数为， ∴， ∵ 点关于点的对称点为点， ∴ 点是线段的中点，即， ∴， 解得， 即点C所对应的实数为． 【变式1-3】称．若点，，，⋯，，都在函数图象上，这10个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵这10个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴， ∴，而即， ∵， 当时，，即， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴． 【题型2 画已知图形关于某点对称的图形】 【例2】在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中线对称图形的性质，掌握中点坐标的计算是解题的关键． 根据中点对称图形的性质，得到点在线段的中点处，由此得到，再根据点的对应点，设，由中点坐标的计算即可求解． 【详解】解：点的对应点为，且关于点成中线对称， ∴，即， ∴设，且， ∴， 解得，， ∴， 故选：A ． 【变式2-1】在平面直角坐标系中，与点A（3，2）关于原点成中心对称的点的坐标是（　　） A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣2，﹣3） 【答案】C 【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）． 【详解】解：点（3，2）关于原点中心对称的点的坐标是（﹣3，﹣2）． 故选C． 【点睛】此题重点考查学生对对称点的理解，掌握平面直角坐标系点的对称是解题的关键. 【变式2-2】与在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们关于点成中心对称，其中点，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：由于点A1与点A关于原点O成中心对称，点A（4，2），所以点A1的坐标为（-4，-2），故选B． 考点：中心对称． 【变式2-3】如图由个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点，，均在格点上，是与网格线的交点，将绕着点顺时针旋转．以下是嘉嘉和淇淇得出的结论，下列判断正确的是（    ）    嘉嘉：旋转后的三角形的三个顶点均在格点上； 淇淇：旋转前后两个三角形可形成平行四边形 A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】C 【分析】画出旋转后的图形，根据图形解答． 【详解】如图，取格点，连接，，取格点E，F． ∵， ∴， ∴， ∴点A关于点O的对称点与点C重合，点C关于点O的对称点与点A重合． 同理可证：点B与点关于点O对称， ∴旋转后的三角形的三个顶点均在格点上， 故嘉嘉说法正确； 由中心对称的性质得， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴旋转前后两个三角形可形成平行四边形， 故淇淇说法正确． 故选C．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，中心对称的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键． 【题型3 画出两个图形的对称中心】 【例3】如图，若与关于某个点对称，则这个点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于点对称的图形的特点，关于一个点对称的两个图形的对应点连线交于一点，据此求解即可． 【详解】解：∵关于某点对称的两个图形的对应点连线交于一点， ∴若与关于某个点对称，则这个点是点， 故选：A． 【变式3-1】如图，与成中心对称则对称中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】此题主要考查了中心对称．熟练掌握中心对称的性质，是解决问题的关键．中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 连接（或或），根据中心对称的性质逐一判断即得． 【详解】解：连接，发现经过点M，且被点M平分， 故对称中心为M点． 故选：A． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称；坐标与图形性质；连接对应点、，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心点，在坐标系内确定出其坐标． 【详解】解：连接、，则交点就是对称中心点．    观察图形知，． 故选：C． 【变式3-3】如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点． 【详解】解：如图：    作法：1．过点作交于点，过点作交于点， 2．连接交于点， 故点即为所求 证明：，， 是对称点，是对称点， 故的交点为对称中心． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键． 【题型4 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 【例4】如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（     ） ①点与点关于点对称；②；③；④ A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据中心对称的性质求解即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点对称，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴符合题意的有①②③． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，点 M是矩形边上的点．若反比例函数的图象经过顶点，其上另一点D 与点A 关于点M成中心对称，则点 D 的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据点坐标求出反比例函数解析式，再根据矩形性质确定点坐标及点的纵坐标，利用中心对称性质求出点的纵坐标，最后代入函数解析式求出横坐标． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，即， 四边形是矩形，， ，且平行于轴， 故上点的纵坐标均为， 点在边上， 点的纵坐标为， 点与点关于点成中心对称， 点是线段的中点， 设，则， 解得， 点在反比例函数图象上， ， 解得， 点的坐标为． 【变式4-2】如图，点O是矩形的中心，E是上的点，沿折叠后，点B恰好与点O重合，若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形是中心对称图形和折叠的性质，易得垂直平分，从而，再根据角之间的关系，易求，最后利用正切的定义，可求，即可求解． 【详解】解：点O是矩形的中心， ，， 由折叠可得，，，， 垂直平分， ， ， ， ，即， ， 在中，，即， ， ． 【变式4-3】如图，与关于点O成中心对称．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质，根据中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴，，， ∴， 但不一定正确， 故选：D． 【题型5 中心对称图形的识别】 【例5】如图（1）所示，魔术师把4张扑克牌（方块4、黑桃5、梅花6、红桃7）放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转．魔术师解除蒙具后，看到4张扑克牌如图（2）所示，他很快确定了哪一张牌被旋转过，这一张牌是（     ） A．方块4 B．黑桃5 C．梅花6 D．红桃7 【答案】A 【分析】认真观察和思考发现，由于左边这四张牌与右边的牌完全相同．似乎没有牌被动过，所以旋转后的图形与原图形完全一样，那么被动过的这张牌上的图案一定是中心对称图形． 【详解】解：图（1）与图（2）中扑克牌完全一样，说明被旋转过的牌是中心对称图形， 而图中只有方块4是中心对称图形，故方块4被旋转过． 【变式5-1】已知反比例函数，下列说法中不正确的是（     ） A．点在它的图象上 B．双曲线不经过第二、四象限 C．它的图象既是中心对称图形又是轴对称图形 D．函数值随的增大而减小 【答案】D 【分析】求出时的函数值即可判断A；根据解析式可判断双曲线经过的象限即可判断B；根据双曲线的性质和轴对称图形，中心对称图形的定义可判断C；根据反比例函数的增减性可判断D． 【详解】解：A、在中，当时，， ∴点在它的图象上，原说法正确，故此选项不符合题意； B、∵在中，， ∴双曲线经过第一、三象限，不经过第二、四象限，，原说法正确，故此选项不符合题意； C、反比例函数的函数图象是双曲线，该图象既是中心对称图形又是轴对称图形，原说法正确，不符合题意； D、∵在中，， ∴双曲线经过第一、三象限，在每个象限内，函数值随的增大而减小，原说法错误，符合题意． 【变式5-2】下列图形中，不是轴对称图形但是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 【变式5-3】如图，等边三角形绕点C顺时针旋转度后所得的图形与原图形关于某一点成中心对称，则旋转角度可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称的性质，若旋转后的图形与原图形关于某点中心对称，则对应线段平行且相等。结合等边三角形的性质，验证时，旋转后的三角形与原三角形是否构成平行四边形即可． 【详解】∵是等边三角形， ∴，， 当时，点绕点顺时针旋转， ∵且， ∴点的对应点与点重合点的对应点为， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴与(即)关于对角线的中点成中心对称， 故符合题意． 当时，点绕点顺时针旋转，旋转后所得的图形与原图形不能关于某一点成中心对称； 当时，点绕点顺时针旋转，旋转后所得的图形与原图形不能关于某一点成中心对称； 当时，点绕点顺时针旋转，旋转后所得的图形与原图形不能关于某一点成中心对称； 【题型6 判断中心对称图形的对称中心】 【例6】如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D．与关于点成中心对称 【答案】B 【分析】本题考查的是中心对称的性质，根据中心对称的性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵与关于点 O 成中心对称， ∴，，，故A不符合要求；B符合要求； ∵，，， ∴ ∴，故C不符合题意； ∴与关于点成中心对称，故D不符合要求； 故选：B． 【变式6-1】如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（     ）．    A．点G B．点H C．点I D．点J 【答案】C 【分析】本题主要考查中心对称的图形的对称中心，掌握两组对应点连线的交点即是对称中心是解题的关键． 根据对称中心的确定方法即可解答． 【详解】解：如图，连接，它们的相交点，即为对称中心．    则线段与线段的对称中心为点I． 故选：C． 【变式6-2】如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对如图，线段是由线段a经过平移得到的，线段还可以看作是线段a经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次中心对称；②1次轴对称；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号是(      )　　      A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据轴对称和中心对称的定义和性质逐个判断即可．把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫对称中心，这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点． 如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称． 【详解】解：①这两条线段组成中心对称图形，因此①正确，对称中心如下图所示：    ②这两条线段不能组成轴对称图形，无法找到这样的直线，使得一边沿着这条直线翻折后与另一边重合，因此②错误； ③这两条线段组成中心对称图形，可以找到这样的两条对称轴，使得其中一条线段经过2次轴对称后与另一天重合，两条对称轴如下图所示：    故正确的有：①③ 故选C． 【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形，能快速寻找对称中心和对称轴是解题的关键．事实上，任意一次旋转变换都可以通过两次轴对称变换来实现． 【变式6-3】如图，已知点， ， ． （1）若线段绕点旋转，使点B与点C重合，设点A的对应点为D，直接写出点D的坐标________； （2）若将线段绕另一点旋转一定角度，也可使其与（1）中的线段重合，则这个旋转中心的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． （1）画出图形，观察坐标系即可得点D坐标； （2）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】解：（1）如图， 观察图象可知，点D的坐标为， 故答案为：； （2）点A与C对应，点B与D对应时，如图： 此时这个旋转中心的坐标为； 故答案为：． 【题型7 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 【例7】如图，在正方形网格中，阴影部分是5个涂黑的小正方形，若再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴影部分变成一个中心对称图形，这样的涂法有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】先找到网格的对称中心，也就是第2行第2列、第2行第3列、第3行第2列、第3行第3列这四个小正方形的公共顶点；再找原阴影中列的中点作为旋转中心．依次将每个白色小正方形作为涂黑候选，将涂黑后的整体图形绕对称中心旋转，判断旋转后的图形是否和原图形完全重合，统计符合条件的候选数量． 【详解】解：如图，再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴影部分变成一个中心对称图形，可选取小正方形①或选取小正方形②，这样的涂法共2种． 【变式7-1】如图所示的是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成中心对称图形的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进行分析即可． 【详解】解：如图，能与阴影部分组成中心对称图形的方法有3种： 【变式7-2】．在如图所示的方格纸中，将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形，该小正方形的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可得出结果． 【详解】解：根据中心对称图形的定义可得，该小正方形的序号是②． 【变式7-3】如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色的小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为中心对称图形，这样的白色小方格有___________个． 【答案】2 【分析】根据中心对称的定义，逐个验证剩余白色方格，填入后旋转可以使图形与原图形重合的即为所求． 【详解】解：如图，将A方格涂黑或将B方格涂黑可以使形成的图形成为中心对称图形，共2个方格． 【题型8 中心对称图形规律问题】 【例8】已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出前若干个对称点的坐标，总结循环周期，再根据计算结果确定的对应坐标． 【详解】解：设 ∵点关于点的对称点为，是的中点 ∴ ， ． 解得，， 即． 同理可得 ，，，，， ∴点的坐标每次循环一次． ∵ ，余数为， ∴ 的坐标与坐标相同，为． 故选：B． 【变式8-1】在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化对称，利用中心对称找出坐标规律是解题的关键． 首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标，→→→→→→→…由此得到的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点关于点的对称点， ∴， ∴，， ∴， 同理可得点，，，，，… ∴点P每6次一循环， ∵ ∴点与点坐标相同，即． 故选：D． 【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后、、、、、、的坐标，可得出规律，继而可求点的坐标． 【详解】解：由题意得：点、、、、、、， ∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环， ∵， ∴点的坐标是． 故选：B． 【变式8-3】B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（　　） A．（4n﹣1，﹣） B．（4n﹣1，） C．（4n+1，﹣） D．（4n+1，） 【答案】A 【分析】首先根据等边三角形的性质得出点A1，B1的坐标，再根据中心对称性得出点A2， 点A3，点A4的坐标，然后横纵坐标的变化规律，进而得出答案． 【详解】∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴A1的坐标为 ，B1的坐标为（2，0）， ∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称， ∴点A2与点A1关于点B1成中心对称， ∵2×2﹣1＝3，纵坐标是-， ∴点A2的坐标是， ∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称， ∴点A3与点A2关于点B2成中心对称， ∵2×4﹣3＝5，纵坐标是， ∴点A3的坐标是， ∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称， ∴点A4与点A3关于点B3成中心对称， ∵2×6﹣5＝7，纵坐标是-， ∴点A4的坐标是， …， ∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…， ∴An的横坐标是2n﹣1，A2n的横坐标是2×2n﹣1＝4n﹣1， ∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣， ∴顶点A2n的纵坐标是﹣， ∴顶点A2n的坐标是 ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，中心对称的性质，数字变化规律等，根据中心对称性求出点的坐标是解题的关键． 【题型9 求关于原点对称的点的坐标】 【例9】若点关于原点的对称点位于第四象限，则常数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求点关于原点的对称点坐标，再根据第四象限内点的坐标符号列不等式组求解． 【详解】解：点关于原点的对称点为， ∵ 该对称点位于第四象限， ∴ ，， 解，得， 解，得， ∴ ． 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为，，，，直线交y轴于点P，若与关于点P成中心对称，则点关于原点对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，利用等腰直角三角形的性质求出点A的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出点P的坐标，利用中心对称的性质求出点的坐标，从而再求出点关于原点对称的点的坐标． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，，， 是等腰直角三角形，， 如图，过点A作交于点D， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线解析式为． 令，则， ， 又点A与点关于点P成中心对称， 点为的中点， ， ∴点关于原点对称的点的坐标为． 【变式9-2】如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点已知三个顶点的坐标分别为，，．将平移，使点的对应点恰好与点关于原点成中心对称，则平移后点的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据中心对称性质求出坐标，再确定平移方式，然后利用平移方式求解即可． 【详解】解：∵点的对应点恰好与点关于原点成中心对称， ∴点 的坐标为， ∵ 点 平移后的对应点为 ， ∴ 平移方式为向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度， ∵ 点 B的坐标为 ， ∴点 的坐标为 ，即 ． 【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在第一象限，点在轴上，交轴于点轴，垂足为．若，则以下结论不正确的是（     ） A．平分 B． C．点的坐标为 D．矩形的面积为 【答案】C 【分析】根据矩形对角线互相平分且相等可得，结合轴可证平分；在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长及点的坐标；根据矩形中心对称性求出点坐标；利用三角形面积公式求出矩形面积，逐项判断即可. 【详解】解：∵四边形是矩形，且在轴上， ∴为矩形对角线交点， ∴， ∵轴，轴轴， ∴， ∴， ∴，即平分，故A正确； ∵，； ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴，故B正确； ∵，，点在第一象限， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴，故C错误， ∵，故D正确. 【题型10 已知两点关于原点对称求参数】 【例10】在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点成中心对称，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了关于原点对称的点的坐标特征和二元一次方程组的应用． 根据关于原点对称的点的坐标特征，点和点B的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列出方程组求解． 【详解】解：∵点 与点 关于原点对称， ∴将， 解得， 故选：D 【变式10-1】点和点关于原点对称．则值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据关于原点对称的点坐标关系求出m和n的值，再计算的值． 本题考查了原点对称，熟练掌握对称的意义是解题的关键． 【详解】解：点和点关于原点对称， 故， 解得， 故， 故选：C． 【变式10-2】在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴交于点，将该直线沿轴向上平移6个单位长度后，与轴交于点，若点与关于原点对称，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，根据平移的规律求得平移后的直线解析式，然后根据y轴上点的坐标特征求得A、的坐标，由题意可知，解得． 【详解】解：∵直线（为常数）与y轴交于点A， 当时，， ∴， 将该直线沿y轴向上平移6个单位长度后，得到， ∵将该直线沿y轴向上平移6个单位长度后，与y轴交于点， ∴， ∵点与A关于原点O对称， ∴， 解得， 故选：A． 【变式10-3】已知点和点关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征、代数式求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得，的值，进而可得答案． 【详解】解：点和点关于原点对称， ，， ， 故选：B． 【题型11 判断两个点是否关于原点对称】 【例11】现有点，点，点，点．则下列说法正确的是（     ） A．点、关于轴对称 B．点、关于轴对称 C．点、关于轴对称 D．点、关于轴对称 【答案】B 【详解】解：点与点的横纵坐标均互为相反数，关于原点对称，故A错误； 点与点横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于轴对称，故B正确； 点与点纵坐标相同，横坐标互为相反数，关于轴对称，故C错误； 点与点横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于轴对称，故D错误. 【变式11-1】点和点在坐标平面内的关系是（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．没有对称关系 【答案】C 【分析】根据点的横坐标和纵坐标均互为相反数即可做出判断． 【详解】解：∵点和点的横坐标和纵坐标都互为相反数， ∴点和点在坐标平面内的关系是关于原点对称． 故选：C 【点睛】此题考查了关于原点对称的点的特征，熟知关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数是解题的关键． 【变式11-2】在平面直角坐标系中，点与点关于（    ） A．原点中心对称 B．y轴轴对称 C．x轴轴对称 D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据横坐标和纵坐标都互为相反数即可做出判断． 【详解】解：∵点与点横坐标和纵坐标都互为相反数， ∴与点关于原点中心对称， 故选：A 【点睛】此题考查关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点中心对称的点的特征是解题的关键． 【变式11-3】在平面直角坐标系中，有，，，四点，其中关于原点对称的两点为（　　） A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点D和点A 【答案】D 【分析】根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数，即可得出答案． 【详解】解：A、点与点关于原点不对称，故此选项不符合题意； B、点与点关于原点不对称，故此选项不符合题意； C、点与点关于原点不对称，故此选项不符合题意； D、点与点关于原点对称，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了关于原点对称点的坐标，解题关键是掌握点关于原点O的对称点是． 【题型12 说出一个图形运动到另一个图形的运动过程】 【例12】在平面内，由图1经过两次图形变换后得到图2，下列说法错误的是（    ） A．只需经过两次轴对称变换 B．只需经过两次中心对称变换 C．先经过轴对称变换，再进行中心对称变换 D．先经过中心对称变换，再进行轴对称变换 【答案】B 【分析】利用轴对称与中心对称的定义进行分析判断即可． 【详解】解：由轴对称与中心对称的概念可知，两次轴对称，先轴对称后中心对称，先中心对称后轴对称均可由图1变换为图2；两次中心对称不能使图1变换为图2． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称与中心对称的概念，轴对称即沿着某条直线翻折，中心对称即绕某个点旋转，明确两者的概念是解题的关键． 【变式12-1】主题学习：探究图形变换之间的联系． (1)如图，在方格纸中，大正方形的两条对角线与相交于点．请在图中画出三角形①关于直线对称的三角形②，再画出三角形②关于直线对称的三角形③； (2)三角形③能否由三角形①通过一次图形变换得到？若能，请写出变换的方式；若不能，请说明理由． 【答案】(1)解：如图所示，三角形②，③即为所求； (2)解：三角形③能由三角形①通过一次旋转变换所得到，且以点O为中心，逆时针旋转． 【分析】（1）根据轴对称作图的基本原理垂直等距作图，解答即可； （2）根据旋转的定义判断解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将每个顶点纵坐标不变，横坐标乘，得到．其中点A，B，C的对应点分别是，，，请在图中画出； (2)与关于直线对称，其中点，，的对应点分别是，，，请在图中画出； (3)可以看作由经过一次变换得到的，请写出变换过程． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如图，即为所求 (3)可以看作由关于点对称得到 【分析】（1）根据题意，由题可知，，，再连线即可得； （2）利用对称画出即可； （3）根据图形的对称性可知可以看作由关于点对称得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式12-3】如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点的坐标分别为，，，依次完成下列问题： (1)直接写出三角形的面积； (2)将线段先向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度（点A，B平移后的对应点分别为点D，E），画出平移后的线段并写出点D的坐标； (3)在点E的左侧画点F，连接，使且； (4)连接，若三角形是由三角形经过某种变换后得到的图形，点A，B，C分别与点E，D，F对应，观察对应点的坐标之间的关系．三角形内任意一点M的坐标为，点M经过这种变换后得到点N，直接用含a，b的式子表示点N的坐标． 【答案】(1) (2) 解：如图，线段即为所求； 点D的坐标为； (3) 解：如图，线段即为所求； (4)． 【分析】（1）利用网格图的特征解答即可； （2）根据平移的性质画出图形，即可； （3）根据平移的性质画出图形，即可； （4）根据中心对称图形的性质以及平移的性质解答即可． 【详解】（1）解：三角形的面积； （2）略 （3）略 （4）解：先作三角形关于原点中心对称图形，再向左平移1个单位得到三角形， ∵M的坐标为， ∴点N的坐标为． 【题型13 按图形变换要求画出另一个图形】 【例13】如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A．① B．② C．②或③ D．①或③ 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变换：平移、旋转与轴对称；逐项作出变换后的图形即可作出判断． 【详解】解：①如图1，作关于x轴的轴对称图形，然后再向左平移4个单位即得到； ②如图2，以点O为中心顺时针旋转得到，向左平移2个单位不能得到； ③如图3，以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位不能得到； 故只有变换①能使变成； 故选：A． 【变式13-1】在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整点，如图，，的顶点均为整点． (1)可经过________（填“平移”、“轴对称”、“旋转”、“位似”其中一种）的图形变化方式得到，直接写出的值； (2)在图中画出关于原点对称的；若P，分别为AC，的中点，连接，，直接写出的值． 【答案】(1)位似， (2) 如图即为所求； ． 【分析】（1）观察到与对应顶点连线交于一点，且对应边互相平行，符合“位似变换”的特征．利用勾股定理分别计算和的长度，再求其比值． （2）根据关于原点对称的点的坐标特征，分别找到、、关于原点的对称点、、，依次连接即可；利用中心对称性质，得出中点、和O三点共线．然后利用相似比的性质即可解答． 【详解】（1）如图，与中，连线、、交于一点，且对应边与，与，与互相平行，符合位似变换的特征． 设每个小方格边长为1，利用勾股定理计算： 因此，． （2） ∵关于原点对称的， ∴， ∵与位似，位似中心为O， ∴与位似，位似中心为O， ∴， ∵P是中点，是中点， ∴P，在过原点O的同一条直线上 ∴ ∵， ∴， ∴． 【变式13-2】如图，的各个顶点的坐标分别是， (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕原点顺时针旋转后的． 【答案】(1) 即为所求； (2) 如图，即为所求． 【分析】本题考查了原点对称作图，旋转作图，解题的关键在于正确掌握相关作图步骤． （1）根据对称的性质作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据题意找出旋转中心和旋转方向，以及旋转角，再按照旋转作图步骤作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接对应点，即可解题； 【详解】（1）由对称的性质A，B，C的对应点，，， （2）绕原点顺时针旋转， 旋转后，A，B，C的对应点，，， 再描点连线， 【变式13-3】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (2)请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (3)点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______． 【答案】(1) 如图： (2) 如图： (3) 【分析】本题考查坐标变换平移和中心对称，坐标系中的平行四边形判定，熟练掌握相关作法和平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用平移得出相应坐标，再画图即可； （2）利用中心对称得出相应坐标，再画图即可； （3）利用平行四边形的对角线互相平分结合中点坐标即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到， ∴，，， 故答案为：； （2）解：∵关于原点O成中心对称的， ∴，，， 故答案为：； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，为对角线， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【探究式学习】 1．如图，的边在直线上（点在点左侧），动点在点右侧直线上 操作探究（1）：若是等边三角形，关于点的中心对称图形是，连接，，则四边形的形状是_____． 操作探究（2）：如图，若为等腰三角形，，与关于成中心对称，当在的右侧且时，判断四边形的形状，并说明理由． 操作探究（3）：若是任意三角形，（在点左侧），动点在点右侧直线上，在下图中已作出关于点的中心对称图形的一个参考图形，连接，，当与满足什么关系时，四边形是正方形，直接写出答案． 【答案】（1）平行四边形； （2）四边形是矩形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； （3）当点在右侧时，；当点在中间时， 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的性质等等： 操作探究（1）：先根据题意画图，再由中心对称图形的定义可得，据此可证明结论； 操作探究（2）：根据等边对等角和三角形内角和定理证明，即可证明结论； 操作探究（3）：分当点在右侧时，当点在中间时，两种情况根据正方形的性质讨论求解即可． 【详解】解：操作探究（1）：连接，，,如图： 由中心对称图形的性质可得，三点共线； ∴四边形是平行四边形； 操作探究（2）：略 操作探究（3）：如图所示，当点在右侧时， ∵四边形是正方形， ∴； 如图所示，当点在中间时， ∵四边形是正方形， ∴， ∴； ∴， 综上所述，或． 2．【实践操作】小明是一名图案设计师，他常常利用图形的轴对称、平移和旋转来设计美丽的图案．小明以线段作为研究对象研究三种图形变换之间的关系．已知线段，直线a和b，作线段关于直线a对称的线段，再作关于直线b对称的线段，对应点的连线、分别与对称轴相交于点P、Q． 【问题探究】如图①，当直线a与直线b平行时 (1)可看作是沿着 方向平移而成的图形，平移的距离等于线段 的长度； (2)若，则 ； 【类比探究】如图②，当直线a与直线b相交于点O时 (3)可看作是绕着点 旋转而成的，与的数量关系为 ； (4)当直线a与直线b垂直时，与关于 成 对称； 【知识应用】 (5)由实践操作可知：平移和旋转都可转化为若干次轴对称变换，即图形的变换都可由轴对称完成．如图③，可以由经过3次轴对称变换得到，请画出3次轴对称变换的示意图（保留画图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】(1)射线； (2)8 (3)， (4)点；中心 (5)如图：以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线，以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线 【分析】（1）根据平移和轴对称的性质求解即可； （2）根据轴对称的性质即可得证； （3）根据旋转和轴对称的性质求解即可； （4）画出符合题意的图形，然后根据中心对称的定义判断即可； （5）以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线，以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线,据此即可作出． 【详解】（1）解：当直线与直线平行时：可看作是沿着射线方向平移而成的图形，平移的距离等于线段的长度； （2）解：根据题意得，，， ∴； （3）解：当直线与直线相交于点时：可看作是绕着点旋转而成的， 由对称可得，，， ∴， ∴与的数量关系为； （4）解：当直线与直线垂直时， 与的对称关系是关于点O成中心对称； （5）略 3．综合探究 (1)如图1，在中，、交于点O，过点O的线段交于E，交于F， ①判断和的数量关系：____________________，并证明． ②______（填“＞”或“＝”或“＜”）． (2)如图2是一块“L”形的材料，请你作一条直线m，使得直线m两边的材料的面积相等（保留作图痕迹，不用证明）． 【答案】(1)①，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ② (2)如图所示： 先找到两个矩形的中心，然后连接中心直线m即为所求 【分析】（1）①通过证明即可判断，的数量关系； ②利用平行四边形和全等三角形的性质得到，，然后利用等式的性质求解； （2）直接利用矩形的性质结合中心对称图形的性质得出答案． 【详解】（1）解：① ②∵在中， 又由①可知 ∴ ∴ 即； （2）略 【课后检测】 1．如图，在中，顶点在第一象限，点在轴的负半轴上，点，，，将绕点每次顺时针旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据、坐标求出长，结合及勾股定理求出点坐标；根据旋转角度和次数确定旋转后的位置关系，利用中心对称性质求解. 【详解】解：，， ，轴， ， ； 在中，， ， 点在轴负半轴， ， 每次顺时针旋转， 每旋转次为一个循环， ， 第2026次旋转结束时，点的位置相当于绕点顺时针旋转， 点与旋转后的对应点关于点中心对称，设旋转后点的坐标为， 则，， 解得，， 点的坐标为. 2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A，绕图形中心旋转后与自身重合，是中心对称图形，找不到一条直线，使图形沿直线折叠后两边完全重合，不是轴对称图形，选项A错误； 选项B，把图形沿竖直中线折叠，两边能完全重合，是轴对称图形，绕图形中心旋转后，图形“倒置”，与原图形不符，不是中心对称图形，选项B错误； 选项C，把图形沿水平、竖直中线或对角线折叠，两边能完全重合，是轴对称图形，绕图形中心旋转后与自身重合，是中心对称图形，选项C正确； 选项D，有3条对称轴，是轴对称图形，绕图形中心旋转后，图形顶点位置变化，与原图形不符，不是中心对称图形，选项D错误． 3．中国古代算学与诗词、工程的交融，藏着古人的智慧巧思．《九章算术》中记载了“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”等经典算题，它们的几何图形在建筑营造、器物设计中被广泛应用．下列分别是这四道古算题所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A. 该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； B. 该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； C. 该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D. 该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项符合题意． 4．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据中心对称图形的概念，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，由此判断选项即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 5．“福禄寿喜”是中国传统文化中极具代表性的吉祥符号，寄托了人们对幸福、成功、健康、快乐的全面期盼，是中国民间文化永恒的主题．下图是“福禄寿喜”变形设计图，其中是轴对称，但不是中心对称的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； 6．如图，在矩形中，，为对角线的中点，点，分别从点和同时出发，在边和上匀速运动，并且同时到达终点，，连接，并延长分别与，交于点，．在整个运动过程中，下列判断不一定正确的是（     ） A．四边形是矩形 B． C．与成中心对称 D． 【答案】A 【分析】利用矩形的性质证明，可得，，同理可得：，证明四边形为平行四边形，再进一步逐一分析判断即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴四边形为平行四边形， ∵是动点，是变化的，不一定相等， ∴四边形不一定是矩形，A符合题意； ∵， ∴， ∴与成中心对称，故B，C不符合题意； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴，故D不符合题意． 7．七巧板源于古人对测量工具“矩”的认识，后在民间演变为拼图板玩具．下列由七巧板中部分板拼成的图形的轮廓中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解： 、图形的轮廓不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、图形的轮廓不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、图形的轮廓既是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、图形的轮廓是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意． 8．如图，A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，轴于点M，轴于点N，连接，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设，则，，作轴交的延长线于点，作轴交的延长线于点，易得四边形为矩形，分割法求出阴影部分的面积即可. 【详解】解：∵A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，设， ∴，， 作轴交的延长线于点，作轴交的延长线于点， ∵轴于点M，轴于点N， ∴四边形为矩形， ∴， ∴阴影部分的面积为. 9．下列中国古典园林花窗纹样中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（     ） A．回纹 B．橄榄纹 C．风车纹 D．套三角纹 【答案】C 【分析】根据轴对称图形：沿一条直线对折后，直线两侧的部分可以完全重合；中心对称图形：绕图形中心旋转后，旋转后的图形可以和原图形完全重合；据此求解即可． 【详解】解：A、选项图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； B、选项图形既不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C、选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意； D、选项图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意． 10．下列关于函数的说法：①该函数的图象关于原点对称；②、两点在该函数图象上，若，则；③当时，；④该函数图象与反比例函数的图象没有交点．其中所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题根据点关于原点的对称性、增减性、函数值范围、交点的判定方法，逐个判断四个结论的正误即可得到答案． 【详解】解：函数的自变量取值范围为，关于原点对称； 对①：设是函数图象上任意一点，则满足， 关于原点的对称点为， 当时，， 表明关于原点的对称点也在函数的图象上，则此函数图象关于原点对称，①正确； 对②：若取，，满足， 此时，，，不满足，因此②错误； 对③：当时，则， 因此，即，③正确； 对④：联立两个函数解析式得， 整理得，该方程有解，说明两个函数图象有交点，因此④错误； 综上，正确结论为①③． 11．如图，边长为8的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和为________． 【答案】32 【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为64，由此可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵正方形的对称中心是坐标原点，轴，轴， ∴正方形的面积， 根据题意：观察图形可得，图中以B、D为顶点的小阴影部分，绕点O顺时针旋转，正好和以A、C为顶点的小空白部分重合， ∴阴影的面积是图中正方形面积的一半， ∴阴影部分的面积． 12．如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据中心对称图形的性质得出，，，根据含角的直角三角形的性质求出，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵图形是一个中心对称图形，为对称中心，，，， ∴，，， ∴， ∴． 13．正比例函数（）与反比例函数（）的一个交点为，则另一个交点坐标为________． 【答案】 【分析】正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，因此两个函数的交点也关于原点对称，根据关于原点对称的点的坐标规律即可求出另一个交点坐标． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 14．如图，与关于点O成中心对称，已知，，，则的周长为________________． 【答案】21 【分析】根据中心对称的性质可得，，，即可求出的周长． 【详解】解：∵与关于点成中心对称，，，， ∴，，， ∴． 15如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． 【答案】3 【分析】设矩形边长，表示出对称中心D的坐标，利用点D在反比例函数图象上建立k与边长的关系，结合矩形面积求解． 【详解】解：设矩形的边，， 则点B的坐标为，， ∵点D是矩形的对称中心， ∴点D是对角线的中点， ∴点D的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， ∴． 16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为个单位长度）． (1)将平移，使点移动到点，请画出； (2)作出关于点成中心对称的． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求． 【分析】（1）由点移动到点找出平移坐标变化规律，按此规律得出、坐标，在平面直角坐标系中描点顺次连线即可得到； （2）根据关于原点对称的点的坐标变化规律求出点、、坐标，在平面直角坐标系中描点顺次连线即可得到． 【详解】（1）解：∵点移动到点，横坐标，纵坐标， ∴点的对应点， 点的对应点， 在平面直角坐标系中描点顺次连线，即为所求,如图略； （2）解：∵点关于原点对称的点为， ∴点关于原点对称的点为； 点关于原点对称的点为； 点关于原点对称的点为； 在平面直角坐标系中描点顺次连线，即为所求，如图略． 17．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． (1)请写出点C关于原点O对称的点的坐标； (2)画出绕点A逆时针旋转得到的（点B、C的对应点分别为点、），并写出点的坐标． 【答案】(1) (2)如图，即为所求，点的坐标为． 【分析】（1）根据关于原点对称的性质即可解答； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点C的坐标为， ∴点C关于原点O对称的点的坐标为； （2）略 18．定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如，函数与关于原点O互为“伴随函数”． (1)函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ，函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ； (2)已知函数与函数G关于点互为“伴随函数”．若当时，函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围； (3)已知点，点，点，二次函数与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段恰有2个公共点，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)， (2)函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，m的取值范围为 (3)a的取值范围为或或 【分析】（1）由题意可得两个函数的点分别关于原点中心对称，设函数上的任一点为，则它的对称点为，将代入函数得函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为；同理可得，函数关于原点的“伴随函数”的函数解析式； （2）画出函数图象，再结合二次函数的图象与性质计算即可得出结果； （3）分三种情况：当“伴随函数”的顶点在上时，当两个函数的交点在上时，当“伴随函数”经过点B时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵两个函数是关于原点O的“伴随函数”， ∴两个函数的点分别关于原点中心对称， 设函数上的任一点为，则它的对称点为， 将代入函数得， ∴． 函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为； 同理可得，函数关于原点的“伴随函数”的函数解析式为； （2）解：如图，当时，函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大， ∵“伴随函数”的开口方向向下， ∴在对称轴的左侧y随自变量x的增大而增大， ∴，同时“伴随函数”的对称轴应与直线重合或在直线的左侧， ∴， ∴， 综上，函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，m的取值范围为； （3）解：①当“伴随函数”的顶点在上时，如图， ∵， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵点为对称中心， ∴函数N的对称轴为直线， ∴函数N的顶点坐标为， ∵关于点对称的点为， ∴将代入得， ∴； ②当两个函数的交点在上时，如图， 二次函数与x轴的交点为和， ∵点为对称中心， ∴函数N与x轴的交点为和， ∴函数N的解析式为， 当时，， 解得； ③当“伴随函数”经过点B时，如图， ∵点， ∴， 解得． 综上，图形W与线段恰有2个公共点，a的取值范围为或或． 【复盘笔记】 第 2 页 共 62 页 第 1 页 共 62 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题28.2 中心对称 （新教材人教版） 知识点一、中心对称的定义 2 知识点二、轴对称与中心对称 2 知识点三、轴对称图形与中心对称图形 2 【题型1 成中心对称】 3 【题型2 画已知图形关于某点对称的图形】 4 【题型3 画出两个图形的对称中心】 5 【题型4 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 6 【题型5 中心对称图形的识别】 7 【题型6 判断中心对称图形的对称中心】 8 【题型7 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 9 【题型8 中心对称图形规律问题】 10 【题型9 求关于原点对称的点的坐标】 11 【题型10 已知两点关于原点对称求参数】 12 【题型11 判断两个点是否关于原点对称】 13 【题型12 说出一个图形运动到另一个图形的运动过程】 13 【题型13 按图形变换要求画出另一个图形】 15 【探究式学习】 17 【课后检测】 19 【复盘笔记】 24 知识点一、中心对称的定义 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 知识点二、轴对称与中心对称 类别 轴对称 中心对称 定义 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 性质 1）对应点的连线被对称轴垂直平分； 2）成轴对称的两个图形全等； 3）只有一条对称轴. 1）对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分； 2）成中心对称的两个图形全等； 3）只有一个对称中心. 知识点三、轴对称图形与中心对称图形 类别 轴对称图形 中心对称图形 定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 性质 1）有对称轴; 2）将图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分完全重合. 1) 有对称中心; 2) 将图形绕对称中心旋转180°旋转后的图形能与原来的图形重合. 【题型1 成中心对称】 【例1】如图，在平行四边形中，对角线、交于点，要通过一次变换使与完全重合，下列说法正确的是（     ） A．通过一次平移变换即可实现 B．通过一次轴对称变换即可实现 C．通过一次中心对称变换即可实现 D．上述单一变换都无法实现 【变式1-1】给出下列4个命题：①平移前后的两个图形中，对应点的连线段一定相等；②成轴对称的两个图形对应点的连线是对称轴的垂直平分线；③旋转前后的两个图形，对应点与旋转中心连线所成的角都相等；④成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心．其中，真命题的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】如图，数轴上两点对应的实数分别为1和，若点关于点的对称点为点，则点C所对应的实数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】称．若点，，，⋯，，都在函数图象上，这10个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B．1 C． D．0 【题型2 画已知图形关于某点对称的图形】 【例2】在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】在平面直角坐标系中，与点A（3，2）关于原点成中心对称的点的坐标是（　　） A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣2，﹣3） 【变式2-2】与在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们关于点成中心对称，其中点，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图由个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点，，均在格点上，是与网格线的交点，将绕着点顺时针旋转．以下是嘉嘉和淇淇得出的结论，下列判断正确的是（    ）    嘉嘉：旋转后的三角形的三个顶点均在格点上； 淇淇：旋转前后两个三角形可形成平行四边形 A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对 【题型3 画出两个图形的对称中心】 【例3】如图，若与关于某个点对称，则这个点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式3-1】如图，与成中心对称则对称中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（）    A． B． C． D． 【变式3-3】如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 【题型4 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 【例4】如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（     ） ①点与点关于点对称；②；③；④ A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，点 M是矩形边上的点．若反比例函数的图象经过顶点，其上另一点D 与点A 关于点M成中心对称，则点 D 的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，点O是矩形的中心，E是上的点，沿折叠后，点B恰好与点O重合，若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【变式4-3】如图，与关于点O成中心对称．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型5 中心对称图形的识别】 【例5】如图（1）所示，魔术师把4张扑克牌（方块4、黑桃5、梅花6、红桃7）放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转．魔术师解除蒙具后，看到4张扑克牌如图（2）所示，他很快确定了哪一张牌被旋转过，这一张牌是（     ） A．方块4 B．黑桃5 C．梅花6 D．红桃7 【变式5-1】已知反比例函数，下列说法中不正确的是（     ） A．点在它的图象上 B．双曲线不经过第二、四象限 C．它的图象既是中心对称图形又是轴对称图形 D．函数值随的增大而减小 【变式5-2】下列图形中，不是轴对称图形但是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，等边三角形绕点C顺时针旋转度后所得的图形与原图形关于某一点成中心对称，则旋转角度可以是（     ） A． B． C． D． 【题型6 判断中心对称图形的对称中心】 【例6】如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D．与关于点成中心对称 【变式6-1】如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（     ）．    A．点G B．点H C．点I D．点J 【变式6-2】如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对如图，线段是由线段a经过平移得到的，线段还可以看作是线段a经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次中心对称；②1次轴对称；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号是(      )　　      A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式6-3】如图，已知点， ， ． （1）若线段绕点旋转，使点B与点C重合，设点A的对应点为D，直接写出点D的坐标________； （2）若将线段绕另一点旋转一定角度，也可使其与（1）中的线段重合，则这个旋转中心的坐标为______． 【题型7 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 【例7】如图，在正方形网格中，阴影部分是5个涂黑的小正方形，若再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴影部分变成一个中心对称图形，这样的涂法有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式7-1】如图所示的是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成中心对称图形的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式7-2】．在如图所示的方格纸中，将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形，该小正方形的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式7-3】如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色的小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为中心对称图形，这样的白色小方格有___________个． 【题型8 中心对称图形规律问题】 【例8】已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【变式8-3】B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（　　） A．（4n﹣1，﹣） B．（4n﹣1，） C．（4n+1，﹣） D．（4n+1，） 【题型9 求关于原点对称的点的坐标】 【例9】若点关于原点的对称点位于第四象限，则常数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为，，，，直线交y轴于点P，若与关于点P成中心对称，则点关于原点对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点已知三个顶点的坐标分别为，，．将平移，使点的对应点恰好与点关于原点成中心对称，则平移后点的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在第一象限，点在轴上，交轴于点轴，垂足为．若，则以下结论不正确的是（     ） A．平分 B． C．点的坐标为 D．矩形的面积为 【题型10 已知两点关于原点对称求参数】 【例10】在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点成中心对称，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式10-1】点和点关于原点对称．则值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式10-2】在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴交于点，将该直线沿轴向上平移6个单位长度后，与轴交于点，若点与关于原点对称，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【变式10-3】已知点和点关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型11 判断两个点是否关于原点对称】 【例11】现有点，点，点，点．则下列说法正确的是（     ） A．点、关于轴对称 B．点、关于轴对称 C．点、关于轴对称 D．点、关于轴对称 【变式11-1】点和点在坐标平面内的关系是（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．没有对称关系 【变式11-2】在平面直角坐标系中，点与点关于（    ） A．原点中心对称 B．y轴轴对称 C．x轴轴对称 D．以上都不对 【变式11-3】在平面直角坐标系中，有，，，四点，其中关于原点对称的两点为（　　） A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点D和点A 【题型12 说出一个图形运动到另一个图形的运动过程】 【例12】在平面内，由图1经过两次图形变换后得到图2，下列说法错误的是（    ） A．只需经过两次轴对称变换 B．只需经过两次中心对称变换 C．先经过轴对称变换，再进行中心对称变换 D．先经过中心对称变换，再进行轴对称变换 【变式12-1】主题学习：探究图形变换之间的联系． (1)如图，在方格纸中，大正方形的两条对角线与相交于点．请在图中画出三角形①关于直线对称的三角形②，再画出三角形②关于直线对称的三角形③； (2)三角形③能否由三角形①通过一次图形变换得到？若能，请写出变换的方式；若不能，请说明理由． 【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将每个顶点纵坐标不变，横坐标乘，得到．其中点A，B，C的对应点分别是，，，请在图中画出； (2)与关于直线对称，其中点，，的对应点分别是，，，请在图中画出； (3)可以看作由经过一次变换得到的，请写出变换过程． 【变式12-3】如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点的坐标分别为，，，依次完成下列问题： (1)直接写出三角形的面积； (2)将线段先向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度（点A，B平移后的对应点分别为点D，E），画出平移后的线段并写出点D的坐标； (3)在点E的左侧画点F，连接，使且； (4)连接，若三角形是由三角形经过某种变换后得到的图形，点A，B，C分别与点E，D，F对应，观察对应点的坐标之间的关系．三角形内任意一点M的坐标为，点M经过这种变换后得到点N，直接用含a，b的式子表示点N的坐标． 【题型13 按图形变换要求画出另一个图形】 【例13】如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A．① B．② C．②或③ D．①或③ 【变式13-1】在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整点，如图，，的顶点均为整点． (1)可经过________（填“平移”、“轴对称”、“旋转”、“位似”其中一种）的图形变化方式得到，直接写出的值； (2)在图中画出关于原点对称的；若P，分别为AC，的中点，连接，，直接写出的值． 【变式13-2】如图，的各个顶点的坐标分别是， (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕原点顺时针旋转后的． 【变式13-3】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (2)请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (3)点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______． 【探究式学习】 1．如图，的边在直线上（点在点左侧），动点在点右侧直线上 操作探究（1）：若是等边三角形，关于点的中心对称图形是，连接，，则四边形的形状是_____． 操作探究（2）：如图，若为等腰三角形，，与关于成中心对称，当在的右侧且时，判断四边形的形状，并说明理由． 操作探究（3）：若是任意三角形，（在点左侧），动点在点右侧直线上，在下图中已作出关于点的中心对称图形的一个参考图形，连接，，当与满足什么关系时，四边形是正方形，直接写出答案． 2．【实践操作】小明是一名图案设计师，他常常利用图形的轴对称、平移和旋转来设计美丽的图案．小明以线段作为研究对象研究三种图形变换之间的关系．已知线段，直线a和b，作线段关于直线a对称的线段，再作关于直线b对称的线段，对应点的连线、分别与对称轴相交于点P、Q． 【问题探究】如图①，当直线a与直线b平行时 (1)可看作是沿着 方向平移而成的图形，平移的距离等于线段 的长度； (2)若，则 ； 【类比探究】如图②，当直线a与直线b相交于点O时 (3)可看作是绕着点 旋转而成的，与的数量关系为 ； (4)当直线a与直线b垂直时，与关于 成 对称； 【知识应用】 (5)由实践操作可知：平移和旋转都可转化为若干次轴对称变换，即图形的变换都可由轴对称完成．如图③，可以由经过3次轴对称变换得到，请画出3次轴对称变换的示意图（保留画图痕迹，写出必要的文字说明） 3．综合探究 (1)如图1，在中，、交于点O，过点O的线段交于E，交于F， ①判断和的数量关系：____________________，并证明． ②______（填“＞”或“＝”或“＜”）． (2)如图2是一块“L”形的材料，请你作一条直线m，使得直线m两边的材料的面积相等（保留作图痕迹，不用证明）． 【课后检测】 1．如图，在中，顶点在第一象限，点在轴的负半轴上，点，，，将绕点每次顺时针旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．中国古代算学与诗词、工程的交融，藏着古人的智慧巧思．《九章算术》中记载了“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”等经典算题，它们的几何图形在建筑营造、器物设计中被广泛应用．下列分别是这四道古算题所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 4．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，，为对角线的中点，点，分别从点和同时出发，在边和上匀速运动，并且同时到达终点，，连接，并延长分别与，交于点，．在整个运动过程中，下列判断不一定正确的是（     ） A．四边形是矩形 B． C．与成中心对称 D． 7．七巧板源于古人对测量工具“矩”的认识，后在民间演变为拼图板玩具．下列由七巧板中部分板拼成的图形的轮廓中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，轴于点M，轴于点N，连接，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．下列中国古典园林花窗纹样中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（     ） A．回纹 B．橄榄纹 C．风车纹 D．套三角纹 10．下列关于函数的说法：①该函数的图象关于原点对称；②、两点在该函数图象上，若，则；③当时，；④该函数图象与反比例函数的图象没有交点．其中所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 11．如图，边长为8的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和为________． 12．如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为________． 13．正比例函数（）与反比例函数（）的一个交点为，则另一个交点坐标为________． 14．如图，与关于点O成中心对称，已知，，，则的周长为________________． 15如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． 16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为个单位长度）． (1)将平移，使点移动到点，请画出； (2)作出关于点成中心对称的． 17．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． (1)请写出点C关于原点O对称的点的坐标； (2)画出绕点A逆时针旋转得到的（点B、C的对应点分别为点、），并写出点的坐标． 18．定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如，函数与关于原点O互为“伴随函数”． (1)函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ，函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ； (2)已知函数与函数G关于点互为“伴随函数”．若当时，函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围； (3)已知点，点，点，二次函数与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段恰有2个公共点，直接写出a的取值范围． 【复盘笔记】 第 2 页 共 62 页 第 1 页 共 62 页 学科网（北京）股份有限公司 $