湖南省长沙市第一中学2026-2027学年高三上学期开学数学试题

高三数学一 时量：120分钟　满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设全集，集合，则 A． B． C． D． 2．设，，则“且”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一组基底的是 A．， B．， C．， D．， 4．已知，则 A． B． C． D． 5．已知甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和3个白球．从甲袋中随机摸出一个球放入乙袋，再从乙袋中摸出一个球，则从乙袋中摸到红球的概率为 A． B． C． D． 6．如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直交直线于点，则点的轨迹为（ ）的一部分． A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 7．已知在中，内角，，的对边分别为，，，满足，且，则面积的最大值为 A． B． C． D． 8．已知，且，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设函数，则下列结论正确的是 A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．的值域为 10．下列说法正确的是 A．两点分布中，时，方差最大 B．设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品的均值为0.6 C．用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响（参考公式：） D．随机变量满足，若，则 11．关于二次曲线，下列说法正确的是 A．当时，的图象为一条直线 B．，的图象为中心对称图形 C．已知时，的图象为椭圆，则上一点到原点的最大距离为2 D．已知时，的图象为双曲线，则其离心率 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．的展开式中常数项为_________． 13．函数与函数在公共点处切线相同，则_________． 14．已知函数总存在，使得关于的方程有四个实数解，则实数的取值范围是_________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 如图，已知四棱锥的底面是矩形，底面，，，是侧棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16．（本小题满分15分） 已知向量，，且，． （1）求的值； （2）在中，角，，的对边分别为，，．若，求的取值范围． 17．（本小题满分15分） 已知数列的前项和为，且，． （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的前项和； （3）若，求正整数的所有取值． 18．（本小题满分17分） 在平面直角坐标系中，已知点在双曲线上，且的离心率为． （1）求的方程； （2）若直线与交于，两点，设关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，记直线为． （ⅰ）若的斜率为，的面积为，求的方程； （ⅱ）若经过点，试判断与单位圆的位置关系，并说明理由． 19．（本小题满分17分） 已知函数，． （1）当时，求的最值； （2）当时，证明：有唯一极值点； （3）讨论的零点个数． 学科网（北京）股份有限公司 $