2027年上海市中考数学 备考一模复习讲义

该初中数学中考复习讲义聚焦反比例函数与一次函数综合、二次函数图象与性质、无刻度尺作图、位似变换与三视图等核心考点，通过知识梳理构建体系，考点精讲结合方法总结与真题训练，分层作业巩固提升，形成系统复习链。 亮点在于融入几何直观、模型意识等核心素养，如无刻度尺作图利用格点构造等腰直角三角形作45°角，二次函数结合实际问题建模。真题选用各区期末题，分层作业适配不同水平，助力学生高效突破难点，教师可精准把控复习节奏。

2027年上海市中考数学 备考一模复习 优等生讲义 简答第20-21题 （精讲+精练+新考纲题型） 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握反比例函数与一次函数的综合：能联立解析式求交点坐标，能利用函数性质解决实际问题。 · 理解二次函数图象与性质：能熟练运用待定系数法求解析式，掌握平移、对称、最值等性质。 · 掌握无刻度尺作图方法：能在网格中利用格点作垂线、平行线、角平分线等，解决几何问题。 · 理解位似变换与三视图：能利用位似性质作图，能根据俯视图画主视图与左视图。 · 提升数形结合与建模能力：将实际问题转化为函数或几何模型，综合运用知识解决问题。 知识梳理 · 核心知识点 ☆1. 反比例函数与一次函数综合 交点坐标：联立两个函数解析式，解方程组可得交点坐标。 函数关系式的确定：利用待定系数法，将已知点坐标代入求解。 实际应用：根据实际问题中的变量关系，建立反比例函数模型求解。 ☆2. 二次函数的图象与性质 顶点式：y = a(x − h)² + k，顶点为 (h, k)。 待定系数法：根据已知点坐标列方程组求解 a、b、c。 平移规律：左加右减（x方向），上加下减（y方向）。 增减性：a > 0 时，对称轴左侧 y 随 x 增大而减小，右侧增大；a < 0 时相反。 ☆3. 无刻度尺作图 特点：仅用无刻度的直尺，利用格点（小正方形顶点）完成作图。 常见操作：作垂线、作平行线、作角平分线、构造等腰直角三角形、利用相似比找点。 关键技巧：利用网格的对称性、平行关系、相似三角形对应边成比例。 ☆4. 位似三角形作图 定义：两个图形不仅相似，且对应点的连线交于同一点（位似中心）。 性质：位似比等于相似比，对应点到位似中心的距离比等于位似比。 作图方法：连接位似中心与各顶点，按位似比延长或缩短，确定对应点。 ☆5. 投影与三视图 中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影，影长随物体与光源距离变化。 平行投影：由平行光线（如太阳光）形成的投影，同一时刻物高与影长成正比。 三视图：主视图（正面）、左视图（左面）、俯视图（上面）。画图原则：长对正、高平齐、宽相等。 📋 知识总结表 考点 核心方法 关键工具 反比例函数综合 待定系数法、联立方程组 交点坐标、实际建模 二次函数图象与性质 顶点式、配方法、平移规律 对称轴、增减性、最值 无刻度尺作图 利用格点构造特殊图形 垂线、平行线、角平分线 位似三角形作图 连接位似中心与顶点 按位似比取对应点 投影与三视图 中心投影、平行投影性质 三视图画法原则 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】反比例函数 （第1—3题） 📌 方法总结： · 联立一次函数与反比例函数求交点，解一元二次方程。 · 利用待定系数法求函数解析式。 · 实际问题中根据压力、压强、接触面积关系建模。 · 注意自变量的取值范围。 1．（2025秋•浦东新区期末）已知反比例函数的图象与一次函数y＝2x﹣1的图象交于点A（1，m）． （1）求k与m的值； （2）求反比例函数图象与一次函数图象的另一个交点B的坐标． 2．（2025秋•普陀区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k≠0）与反比例函数在第一象限内的图象交于点A（2，a），点B（b，8）在直线OA上． （1）求点A、B的坐标； （2）点C在反比例函数的图象上，如果∠ABC＝45°，将直线OA平移，使其经过点C，求平移后所得直线的表达式． 3．（2025秋•闵行区期末）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示． 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 地面所受压强p（Pa） … 4×104 6×104 8×104 1×105 … 接触面积S（m2） … 1.2×10﹣3 8×10﹣4 6×10﹣4 4.8×10﹣4 … 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 地面材质 玻璃 木地板 大理石 能承受的最大压强p（Pa） 4.8×107 2.4×107 2.5×108 （1）求地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式（不写定义域）； （2）求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 【考点2】二次函数的图像及性质 （第4—15题） 📌 方法总结： · 利用顶点式确定对称轴、顶点。 · 待定系数法：根据已知点列方程（组）。 · 平移规律：左加右减，上加下减。 · 增减性：结合开口方向和对称轴判断。 · 与坐标轴交点：令 x=0 或 y=0 求解。 4．（2025秋•长宁区期末）宁宁同学用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列表如下： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 5 0 3 4 3 0 ﹣5 … （1）由于计算粗心，宁宁算错了其中的一个y值，请指出这个算错的y值所对应的x＝　 　 ． （2）上述函数图象的对称轴是　 　 ，且当y≥0时，x的取值范围是　 　 ． （3）若、B（﹣3，n）都在这个函数图象上，比较m、n的大小，并说明为什么？ 5．（2025秋•青浦区期末）已知抛物线y＝（x﹣1）（x+3）． （1）写出这条抛物线的开口方向、对称轴，以及它的变化情况； （2）将这条抛物线平移，使其顶点P移到点Q（﹣3，1）的位置，求抛物线平移的距离． 6．（2025秋•宝山区期末）将抛物线y＝﹣x2平移，使平移后的抛物线经过点A（0，﹣10）、B（8，﹣10）． （1）求平移后的抛物线的表达式； （2）说明由抛物线y＝﹣x2如何平移得到新抛物线． 7．（2025秋•徐汇区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表所示． x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 m 4 4.5 4 2.5 0 … （1）求m的值和二次函数的解析式； （2）将该二次函数的图象上下或左右平移后得到新的抛物线，如果新抛物线经过原点，请直接写出三种平移的方式； （3）选择（2）中一种平移方式说明你是如何获得解题思路的． 8．（2025秋•崇明区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（3，﹣1）、B（0，﹣4）． （1）求抛物线的表达式； （2）若将该抛物线向上平移m（m＞0）个单位长度，使得平移后的抛物线与x轴只有一个公共点，求m的值． 9．（2025秋•金山区期末）在平面直角坐标系xOy中，把抛物线y＝x2+bx+c向下平移1个单位长度，所得的新抛物线顶点坐标为A（﹣2，1）． （1）求原抛物线的表达式； （2）若新抛物线与y轴交于点C，原抛物线顶点为B，求∠ACB的正切值． 10．（2025秋•黄浦区期末）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（1，2）和（0，4）． （1）求此抛物线的表达式； （2）指出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明这条抛物线的变化情况． 11．（2025秋•松江区期末）在画二次函数y＝x2+bx+c的图象时，列表如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 0 m n ﹣3 0 … （1）直接写出b、c、m、n的值： b＝　 　 ；c＝　 　 ；m＝　 　 ；n＝　 　 ； （2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的大致图象，并描述图象的变化趋势． 12．（2025秋•杨浦区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x之间的部分对应关系如表所示． x … 0 1 2 3 … y … ﹣3 0 1 0 … （1）求该二次函数的解析式及其图象的对称轴； （2）设该二次函数图象与x轴相交于点A（点A在对称轴的右侧），与y轴相交于点B，顶点为C，求△ABC的面积． 13．（2025秋•嘉定区期末）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位后得到的新抛物线L与x轴交于点A和B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，新抛物线L的顶点为D，联结BC，CD． （1）请求出平移后新抛物线L的表达式及点C的坐标； （2）求∠BCD的正切值． 14．（2025秋•奉贤区期末）数学课上老师给同学们出示了一条抛物线，甲、乙、丙三位同学分别用一句话描述了它： 甲：这条抛物线的对称轴是直线x＝2； 乙：将这条抛物线向下平移2个单位，会经过原点； 丙：这条抛物线在对称轴的右侧部分是下降的． （1）如果这三位同学关于这条抛物线的描述都是正确的，请你写出一个同时满足这些描述的抛物线的表达式，并求出此时它的顶点坐标； （2）请你根据老师给出的这条抛物线，再写出一个正确结论．（与三位同学的描述不一样） 15．（2025秋•虹口区期末）“已知抛物线经过点A（0，﹣5），B（﹣1，0），求抛物线C1的表达式．”上述题目中的黑色阴影部分由于墨水污染而无法辨认，因此导致题目缺失了一个条件无法解答，经查询发现抛物线C1的表达式为y＝x2﹣4x﹣5． （1）请根据已有的信息添加一个缺失的条件：　 　 ； （2）将抛物线C1向上平移m个单位后得到抛物线C2，如果抛物线C2的顶点关于原点的对称点在抛物线C1上，求m的值． 【考点3】无刻度尺作图 （第16—19题） 📌 方法总结： · 利用格点构造等腰直角三角形（45°角）。 · 利用网格平行关系作垂线。 · 利用相似三角形对应边成比例找点。 · 角平分线：利用网格对称性构造。 · 保留作图痕迹，不要求写作法。 16．（2025秋•杨浦区期末）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在8×8的网格图形中，△ABC的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问题： （1）sin∠BAC＝　 　 ； （2）请仅用无刻度的直尺作图（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）． ①如图1，在边AB上求作一点P，使∠ACP＝45°； ②如图2，在边AC上求作一点Q，使BQ⊥AC． 17．（2026春•闵行区月考）【问题情境】如图1，平行四边形ABCD中，点E和点F分别是边AB，CD的中点，连接EF，DE，CE，AF，BF，那么图中与△DEC面积相等的平行四边形是　 　 ；（写出图中所有符合要求的平行四边形） 【问题探究】在由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图2，已知在5x5的网格图形中，△ABC的顶点A、B、C都在格点上，画出平行四边形ABGH，使S△ABC＝S▱ABGH，且点G，H均在格点上（要求：只需画出一个符合要求的图形）； 阅读：《无刻度直尺作图》“无刻度直尺作图是一种特殊的几何作图方式，仅依靠无刻度的直尺这一工具来完成特定的几何图形绘制”，我们规定无刻度的直尺只能用来连接两点作线段． 【问题拓展】如图3，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，求作一点Q，使S△CDQ＝S▱ABCD（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）． 18．（2025秋•沛县期末）如图是8×6的正方形网格，已知格点△ABC（顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形），请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）． （1）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AB1C1，请在图1中作出△AB1C1（点B1与点B是对应点）． （2）设小正方形的边长为1cm，在（1）的条件下，求点C转过的路径的长度和扇形ACC1的面积．（结果保留π） （3）在图2中，仅用无刻度直尺在线段AB上找一点P，使． 19．（2025•江岸区校级模拟）如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，仅凭无刻度尺的直尺在给定网格中画图，按步骤完成下列问题，每个作图任务不超过三条线： （1）在图1中，先将线段AC绕点C逆时针旋转90°得到线段CD；再在BC边上找一点E，使． （2）在图2中，先作△ABC的角平分线BF；再在AB边上找点G使得FG∥BC． 【考点4】位似三角形作图（预测） （第20—24题） 📌 方法总结： · 位似中心为原点时，对应点坐标乘位似比（或负位似比）。 · 利用平行线分线段成比例找点。 · 位似图形相似，面积比等于位似比的平方。 · 注意位似中心的位置及方向（同侧或异侧）。 20．（2026春•环翠区期末）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按要求完成以下作图． （1）在线段AB上找一点D，使得AD：BD＝3：2； （2）以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，请在网格纸内画出缩小后的三角形，并直接写出A点的对应点坐标　 　 ． 21．（2026•潜山市一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点为格点（网格线的交点）．已知A（0，﹣2），B（﹣2，0），C（﹣3，﹣3）． （1）以原点O为位似中心在第一象限画出△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2； （2）利用格点，在线段A1C1上找一点D，使得B1D⊥A1C1． 22．（2024秋•北仑区期末）在7×7的方格纸中，用无刻度的直尺作图． （1）在图1中找到△ABC外接圆的圆心O（保留作图痕迹）． （2）在图2中画出△DEC，使得△DEC∽△ABC，且相似比为（△DEC的顶点均在格点上，画出一个即可）． 23．（2025秋•高碑店市期中）已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）． （1）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出△OAB放大后的图形△OA1B1； （2）直接写出A1点的坐标；若点D（a，b）在线段OA上，点D对应点D1的坐标为 　 　 ． 24．（2025秋•东莞市校级期末）如图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，在图①、图②中、只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以点A为位似中心、以线段AD为边画一个三角形，使它与△ABC位似； （2）在图②中△ABC的边AB上画一个点P，使． 【考点5】投影与三视图（预测） （第25—35题） 📌 方法总结： · 中心投影：物高与影长不成固定比例，利用相似三角形求解。 · 平行投影：同一时刻物高与影长成正比。 · 三视图：根据俯视图标数确定主、左视图每列最大数。 · 注意看得见的轮廓线画实线，看不见的画虚线。 25．（2025秋•峡江县期末）如图，是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体从上面看到的图形，图中所示数字为该位置小正方体的个数． （1）请画出这个几何体从正面看和从左面看得到的形状图； （2）若小正方体的棱长为2cm，求该几何体的体积． 26．（2025秋•威海期末）如图，是由7个大小相同的小正方体组合成的简单几何体． （1）请在相应网格中画出这个几何体的三视图，并用阴影表示出来； （2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图不变，那么最多可以再添加　 　 个小正方体． 27．（2026春•滕州市期末）“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”AB与“圭”BC垂直，冬至时节“表”AB的日影最长（BC的长），某一节气，光线AM平分∠BAC，D为AC上一点，连接MD，BD，MD⊥AC． （1）若“表”AB＝6，AC＝10，求CM的长； （2）若AM＝CM，判断△ABD的形状，并说明理由． 28．（2025秋•抚州月考）学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿AB、CD、EF，垂足分别为B、D、F，两根竹竿之间的距离均为6米（BD＝DF＝6米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿AB、CD的影子分别为BG、DH，如图1和图2的示意图．请解决下列问题： （1）反映平行投影的情形图是　 　 ，反映中心投影的情形图是　 　 ；（填“图1”或“图2”） 【画图操作】 （2）结合图1中的影子BG、DH画出表示竹竿EF的影子FM及光源O；【数学思考】 （3）在（2）中，小明从点P向右沿地面走，经过光源O的正下方沿直线走到点M，小明的影长y随小明与点P之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为　 　 ． A． B．．C． D． 【解决问题】 （4）在图2中，学习小组经测量：竹竿AB＝3.6米，竹竿CD＝2.25米，竹竿EF＝1.5米，竹竿AB、CD的影长BG＝DH＝4米，求竹竿EF的影长． 29．（2025秋•城关区校级期末）用12个棱长为1的小正方体搭成如图所示的几何体． （1）请利用网格纸画出从正面看和从上面看该几何体的形状图； （2）若要使从正面看和从上面看的形状图保持不变，最多还能加 　 　 个棱长为1的正方体． 30．（2025秋•沈北新区期末）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． （1）这个几何体是由　 　 个大小相同的小立方块搭成的； （2）请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图． 31．（2025秋•伊川县期末）用小立方块搭一个几何体，使它从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图的小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数．试回答下列问题： （1）a，d，f各表示几？ （2）这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ （3）当b＝e＝3，c＝1时，画出这个几何体从左面看到的形状图． 32．（2025秋•淄博期末）（1）由大小相同的小立方块搭成的几何体，请在方格中画出该几何体的三视图，并回答问题． 若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图都不变，那么最多可以再添加　 　 个小正方体； （2）楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出小树在路灯下的影子．（不写作法，保留作图痕迹） 33．（2026春•安远县校级期末）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． 【任务1】若m＝158，求n，x，y的值； 【任务2】求x+y的最大值． 34．（2026•临平区二模）综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为10cm的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为7的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤将滤纸对折两次； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 （1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． （2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留π） 35．（2026春•金山区校级月考）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是两种纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． 【任务1】若m＝158，求n、x、y的值； 【任务2】求x+y的最大值． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 反比例与一次函数综合作业2 反比例与等腰直角三角形作业3 反比例函数实际应用 作业4 二次函数图象与性质作业5 二次函数平移与距离作业6 二次函数图象与面积 作业7 二次函数解析式与平移作业8 二次函数与x轴交点作业9 二次函数最值 作业10 二次函数综合作业11 无刻度尺作图作业12 位似三角形作图 作业13 三视图与体积作业14 位似与面积比 💡 复习建议 函数综合：熟练联立方程组求交点坐标，注意待定系数法的灵活运用。 二次函数性质：熟记顶点式、平移规律，结合图象分析增减性和最值。 无刻度尺作图：充分利用格点特征构造特殊图形，积累常见作图技巧。 位似变换：理解位似中心与位似比，注意坐标变换规律。 投影与三视图：分清中心投影与平行投影，掌握三视图画法原则。 【作业1】（2025秋•崂山区期末）已知一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数交于点A（1，6）和B（3，2）． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）设点P是x轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标． 【作业2】（2026•苏州）如图，一次函数y＝ax+b的图象经过点A（﹣4，0），B（0，2），点P在一次函数的图象上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图象于M，N两点，连接MN． （1）求a，b的值； （2）若△PMN是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 【作业3】（2025秋•兰山区期末）近年来国产智能手机的电池技术持续突破，某品牌手机搭载了研发的新型电池．若电池的总储电量Q（单位：mAh）为定值，经测试，当电池满电时，手机的工作电流与最长运行时间（电量全部耗尽）如下表所示（忽略环境等其他因素）： 测试场景 待机 息屏听歌 有线耳机听歌 蓝牙耳机听歌 播放视频 模型设计 工作电流I/mA 5 20 40 50 250 1000 工作时间t/h 1000 250 125 100 20 5 （1）该电池的总储电量Q为　 　 mAh，放电时间t与电流I之间的函数解析式为　 　 ； （2）当手机进行视频剪辑场景测试时，放电电流为800mA，求此时电池的最长放电时间； （3）若此手机满电时先播放视频xh，再进行模型设计yh，总放电时间为10h，且剩余电量不低于总电量的10%，求x的取值范围． 【作业4】（2025•富阳区二模）已知二次函数y＝﹣（x+1）2+h（h为常数）的图象经过点A（﹣2，3）． （1）求此二次函数的表达式． （2）将抛物线先向左平移n（n＞0）个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求n的值． （3）已知点（p，m），（q，m）在二次函数y＝﹣（x+1）2+h的图象上，且﹣7＜2p+3q＜2，求m的取值范围． 【作业5】（2025秋•南京期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5交x轴于点A，B，已知点A的坐标为（﹣1，0）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）将抛物线顶点向上平移个长度单位得点P，过点P作AB的平行线交抛物线于点C、D，求CD的长． 【作业6】（2026春•江北区校级期中）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣5）和B（0，﹣8）． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； （2）当﹣2≤x＜3时，求函数y的取值范围； （3）当y≥﹣8时，利用图象，直接写出x的取值范围． 【作业7】（2025•杭州二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上． （1）直接写出这个二次函数的解析式； （2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值； （3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围． 【作业8】（2026春•铁岭县期末）把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面积为2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体容器．（接缝忽略不计） （1）求这个容器的侧面积； （2）如果向容器里注满水，则需注入多少水？ 【作业9】（2026春•普陀区期末）如图，已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为216°的扇形，母线AB长为10cm． （1）求该圆锥的底面直径BC的长； （2）如果该圆锥的高为8cm，求它的体积（结果保留π）． 【作业10】（2026春•思明区校级期中）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒（其中x，y均不为零），恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． （1）若m＝158，求n，x，y的值； （2）求x和y值． 【作业11】（2025•哈尔滨校级模拟）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： （1）在图1中，过B作AC边上的高BH（H为垂足）； （2）在图2中，在AB边上找一点P，使tan∠ACP． 【作业12】（2025秋•龙岗区月考）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣2，3），B（﹣3，1）． （1）△O1A1B1与△OAB是以P点为位似中心的位似图形，点O1，A1，B1都在格点上，则点P的坐标为　 　 ； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出与△OAB位似的，△OA2B2使它与△OAB的相似比为2：1；若P（m，n）是△ABC内部一点，则请直接写出点P的对应点Q的坐标　 　 ． 【作业13】（2026•汝阳县一模）根据题目要求，用无刻度的直尺作图，并回答相应问题．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图1，点A，B，C都在格点上，在网格中求作△A1B1C，使得△A1B1C与△ABC是以点C为位似中心，相似比为2的一对位似图形； （2）根据（1）中所作图形，可得　 　 ； （3）如图2，点D，E都在格点上．在DE上求作一点P，使得EP：PD＝1：3． 【作业14】（2025秋•滦南县期中）在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． （1）写出点P的坐标为　 　 ； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1； （3）△OAB的内部一点M的坐标为（a，b），直接写出点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为　 　 ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年上海市中考数学 备考一模复习 优等生讲义 简答第20-21题 （精讲+精练+新考纲题型） 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握反比例函数与一次函数的综合：能联立解析式求交点坐标，能利用函数性质解决实际问题。 · 理解二次函数图象与性质：能熟练运用待定系数法求解析式，掌握平移、对称、最值等性质。 · 掌握无刻度尺作图方法：能在网格中利用格点作垂线、平行线、角平分线等，解决几何问题。 · 理解位似变换与三视图：能利用位似性质作图，能根据俯视图画主视图与左视图。 · 提升数形结合与建模能力：将实际问题转化为函数或几何模型，综合运用知识解决问题。 知识梳理 · 核心知识点 ☆1. 反比例函数与一次函数综合 交点坐标：联立两个函数解析式，解方程组可得交点坐标。 函数关系式的确定：利用待定系数法，将已知点坐标代入求解。 实际应用：根据实际问题中的变量关系，建立反比例函数模型求解。 ☆2. 二次函数的图象与性质 顶点式：y = a(x − h)² + k，顶点为 (h, k)。 待定系数法：根据已知点坐标列方程组求解 a、b、c。 平移规律：左加右减（x方向），上加下减（y方向）。 增减性：a > 0 时，对称轴左侧 y 随 x 增大而减小，右侧增大；a < 0 时相反。 ☆3. 无刻度尺作图 特点：仅用无刻度的直尺，利用格点（小正方形顶点）完成作图。 常见操作：作垂线、作平行线、作角平分线、构造等腰直角三角形、利用相似比找点。 关键技巧：利用网格的对称性、平行关系、相似三角形对应边成比例。 ☆4. 位似三角形作图 定义：两个图形不仅相似，且对应点的连线交于同一点（位似中心）。 性质：位似比等于相似比，对应点到位似中心的距离比等于位似比。 作图方法：连接位似中心与各顶点，按位似比延长或缩短，确定对应点。 ☆5. 投影与三视图 中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影，影长随物体与光源距离变化。 平行投影：由平行光线（如太阳光）形成的投影，同一时刻物高与影长成正比。 三视图：主视图（正面）、左视图（左面）、俯视图（上面）。画图原则：长对正、高平齐、宽相等。 📋 知识总结表 考点 核心方法 关键工具 反比例函数综合 待定系数法、联立方程组 交点坐标、实际建模 二次函数图象与性质 顶点式、配方法、平移规律 对称轴、增减性、最值 无刻度尺作图 利用格点构造特殊图形 垂线、平行线、角平分线 位似三角形作图 连接位似中心与顶点 按位似比取对应点 投影与三视图 中心投影、平行投影性质 三视图画法原则 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】反比例函数 （第1—3题） 📌 方法总结： · 联立一次函数与反比例函数求交点，解一元二次方程。 · 利用待定系数法求函数解析式。 · 实际问题中根据压力、压强、接触面积关系建模。 · 注意自变量的取值范围。 1．（2025秋•浦东新区期末）已知反比例函数的图象与一次函数y＝2x﹣1的图象交于点A（1，m）． （1）求k与m的值； （2）求反比例函数图象与一次函数图象的另一个交点B的坐标． 【分析】（1）将A（1，m）代入一次函数y＝2x﹣1求出点A的坐标，再将点A代入反比例函数求解即可； （2）联立一次函数和反比例函数解析式即可解答． 【解答】解：（1）由条件可得m＝2×1﹣1＝1， ∴A（1，1）． 把A（1，1）代入得k＝1×1＝1． （2）联立可得， 即2x2﹣x﹣1＝0， 解得x＝1或， 当时，， ∴． 【点评】该题考查了一次函数和反比例函数交点问题．熟练掌握该知识点是关键． 2．（2025秋•普陀区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k≠0）与反比例函数在第一象限内的图象交于点A（2，a），点B（b，8）在直线OA上． （1）求点A、B的坐标； （2）点C在反比例函数的图象上，如果∠ABC＝45°，将直线OA平移，使其经过点C，求平移后所得直线的表达式． 【分析】（1）把点A（2，a）代入得a2，求得A（2，2），把A（2，2）代入y＝kx得2＝2k，求得直线OA的解析式为y＝x，把点B（b，8）代入y＝x得b＝8，得到B（8，8）； （2）设C（m，），延长BC交x轴于D，求得∠BDO＝90°，得到OD＝BD＝8，求得C（8，），设平移后所得直线的表达式为y＝x+n，把C（8，）代入y＝x+n即可得到结论． 【解答】解：（1）把点A（2，a）代入得a2， ∴A（2，2）， 把A（2，2）代入y＝kx得2＝2k， ∴k＝1， ∴直线OA的解析式为y＝x， 把点B（b，8）代入y＝x得b＝8， ∴B（8，8）； （2）点C在反比例函数的图象上， ∴点C在点A的右侧， 设C（m，）， 延长BC交x轴于D， ∵∠BOD＝∠ABC＝45°， ∴∠BDO＝90°， ∴OD＝BD＝8， ∴m＝8， ∴C（8，）， ∵将直线OA平移， ∴设平移后所得直线的表达式为y＝x+n， 把C（8，）代入y＝x+n得8+n， ∴n， ∴平移后所得直线的表达式为y＝x． 【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 3．（2025秋•闵行区期末）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示． 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 地面所受压强p（Pa） … 4×104 6×104 8×104 1×105 … 接触面积S（m2） … 1.2×10﹣3 8×10﹣4 6×10﹣4 4.8×10﹣4 … 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 地面材质 玻璃 木地板 大理石 能承受的最大压强p（Pa） 4.8×107 2.4×107 2.5×108 （1）求地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式（不写定义域）； （2）求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 【分析】（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系，设地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p，将一对数据代入即可求出F的值． （2）将p＝2.5×108Pa代入（1）中所求函数表达式中，即可求出这种机器人与玻璃通道的最小接触面积． 【解答】解：（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系． 设地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p． 将（4×104，1.2×10﹣2）代入p，得F＝4×104×1.2×10﹣3＝48×， ∴地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p． （2）把p＝2.4×107代入p得，S＝2×10﹣6， 答：该机器人与地面的接触面积至少为2×10﹣6平方米． 【点评】本题主要考查了以物理知识为情境的反比例函数的应用相关知识，知道物理学中压力、压强与接触面积三者之间的关系是解题的关键．计算时需要仔细． 【考点2】二次函数的图像及性质 （第4—15题） 📌 方法总结： · 利用顶点式确定对称轴、顶点。 · 待定系数法：根据已知点列方程（组）。 · 平移规律：左加右减，上加下减。 · 增减性：结合开口方向和对称轴判断。 · 与坐标轴交点：令 x=0 或 y=0 求解。 4．（2025秋•长宁区期末）宁宁同学用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列表如下： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 5 0 3 4 3 0 ﹣5 … （1）由于计算粗心，宁宁算错了其中的一个y值，请指出这个算错的y值所对应的x＝　﹣2　 ． （2）上述函数图象的对称轴是　直线x＝1　 ，且当y≥0时，x的取值范围是　﹣1≤x≤3　 ． （3）若、B（﹣3，n）都在这个函数图象上，比较m、n的大小，并说明为什么？ 【分析】（1）根据表格容易判断出这个二次函数的对称轴与增减性，逐个判断即可； （2）根据表格判断出这个二次函数的对称轴与增减性，从而判断出x的取值范围； （3）结合二次函数的对称轴和增减性，判断m和n的大小即可． 【解答】解：（1）由表格中的坐标可知，这个二次函数的图象关于直线x＝1对称， 点（4，﹣5）关于对称轴直线x＝1的对称点为（﹣2，﹣5）， 因此x＝﹣2对应的y值应为﹣5而非5； 故答案为：﹣2． （2）由表格中的坐标可知，函数图象的对称轴为直线x＝1，且开口向下； 当y≥0时，﹣1≤x≤3； 故答案为：直线x＝1；﹣1≤x≤3． （3）由表格中的坐标可知，这个二次函数的图象关于直线x＝1对称，且当x＜1时，y随x的增大而增大； 当x＞1时，y随x的增大而减小， ∴函数图象上的点离对称轴越近，其函数值越大， ，|﹣3﹣1|＝4， ∵， ∴点A比点B更接近对称轴， ∴若、B（﹣3，n）都在这个函数图象上，则m＞n． 【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 5．（2025秋•青浦区期末）已知抛物线y＝（x﹣1）（x+3）． （1）写出这条抛物线的开口方向、对称轴，以及它的变化情况； （2）将这条抛物线平移，使其顶点P移到点Q（﹣3，1）的位置，求抛物线平移的距离． 【分析】（1）先将抛物线解析式展开并转化为顶点式，根据二次项系数判断开口方向，根据顶点式确定对称轴，再结合开口方向分析函数的增减变化情况； （2）先确定原抛物线的顶点坐标，再计算原顶点与目标顶点的坐标差，利用勾股定理求出两点间的距离，即为平移的距离． 【解答】解：（1）将抛物线y＝（x﹣1）（x+3）展开得y＝x2+2x﹣3，转化为顶点式为y＝（x+1）2﹣4， ∵二次项系数1＞0， ∴对称轴为直线x＝﹣1；抛物线开口向上； ∵开口向上， ∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；当x＜﹣1时，y随x的增大而减小； （2）由（1）知原抛物线的顶点P坐标为（﹣1，﹣4），目标顶点Q坐标为（﹣3，1）， 两点的横坐标差为﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，纵坐标差为1﹣（﹣4）＝5， 根据勾股定理，平移的距离为． 【点评】本题考查抛物线的图象性质和抛物线平移，关键是将抛物线解析式转化为顶点式，确定顶点坐标，再结合平移的坐标变化计算距离． 6．（2025秋•宝山区期末）将抛物线y＝﹣x2平移，使平移后的抛物线经过点A（0，﹣10）、B（8，﹣10）． （1）求平移后的抛物线的表达式； （2）说明由抛物线y＝﹣x2如何平移得到新抛物线． 【分析】（1）根据平移后的抛物线经过点A（0，﹣10）、B（8，﹣10），得出平移后的抛物线对称轴，从而得出平移后函数解析式； （2）根据平移规律得出结论． 【解答】解：（1）∵平移后的抛物线经过点A（0，﹣10）、B（8，﹣10）， ∴平移后抛物线的对称轴为直线x4， 设平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣4）2+k， 把（8，﹣10）代入解析式得：﹣10＝﹣16+k， 解得k＝6， ∴平移后的抛物线的表达式y＝﹣（x﹣4）2+6； （2）把抛物线y＝﹣x2向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+6解析式． 【点评】主要考查了二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 7．（2025秋•徐汇区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表所示． x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 m 4 4.5 4 2.5 0 … （1）求m的值和二次函数的解析式； （2）将该二次函数的图象上下或左右平移后得到新的抛物线，如果新抛物线经过原点，请直接写出三种平移的方式； （3）选择（2）中一种平移方式说明你是如何获得解题思路的． 【分析】（1）利用待定系数法进行计算即可； （2）根据题意，写出平移方式即可； （3）根据题意，写出平移的思路即可． 【解答】解：（1）由题知， 将（﹣4，0），（﹣2，4），（0，4）代入y＝ax2+bx+c得， ， 解得， 所以二次函数得解析式为y． 将（﹣3，m）代入二次函数解析式得， m； （2）由（1）知， 方式一：将抛物线向右平移4个单位长度； 方式二：将抛物线向左平移2个单位长度； 方式三：将抛物线向下平移4个单位长度； （3）选择方式三，解题思路如下： 因为抛物线与y轴的交点坐标为（0，4）， 而原点坐标为（0，0）， 所以将抛物线向下平移4个单位长度可使新抛物线经过原点（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征及待定系数法求二次函数解析式，熟知待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． 8．（2025秋•崇明区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（3，﹣1）、B（0，﹣4）． （1）求抛物线的表达式； （2）若将该抛物线向上平移m（m＞0）个单位长度，使得平移后的抛物线与x轴只有一个公共点，求m的值． 【分析】（1）直接将点A（3，﹣1）、B（0，﹣4）代入y＝x2+bx+c，解得b、c的值即可求得表达式； （2）求得抛物线的顶点，再判断顶点经过怎样的平移能到x轴上即可． 【解答】解：（1）由题意可得： 得， 解得． ∴抛物线的表达式y＝x2﹣2x﹣4； （2）∵y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5， ∴该抛物线的顶点为（1，﹣5）． ∵要使抛物线与x轴只有一个公共点，即要求顶点在x轴上， ∴顶点纵坐标应为0． ∴将该抛物线向上平移5个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． ∴m的值是5． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的平移，解决本题的关键是掌握待定系数法求解析式和函数的图象特征及平移规律． 9．（2025秋•金山区期末）在平面直角坐标系xOy中，把抛物线y＝x2+bx+c向下平移1个单位长度，所得的新抛物线顶点坐标为A（﹣2，1）． （1）求原抛物线的表达式； （2）若新抛物线与y轴交于点C，原抛物线顶点为B，求∠ACB的正切值． 【分析】（1）根据平移的性质求出平移前的抛物线顶点为（﹣2，2），再求解析式即可； （2）根据新抛物线顶点坐标为A（﹣2，1），求出解析式为y＝x2﹣4x+5，过点B过BG⊥AC交于G，利用等积法BG，解得BG，在Rt△BCG中求出CG，即可求tan∠ACB． 【解答】解：（1）∵平移后新抛物线顶点坐标为A（﹣2，1）， ∴平移前的抛物线顶点为（﹣2，2）， ∴y＝（x+2）2+2＝x2+4x+6； （2）∵新抛物线顶点坐标为A（﹣2，1）， ∴y＝（x﹣2）2+1＝x2﹣4x+5， ∴C（0，5）， 由（1）知B（﹣2，2）， 过点B过BG⊥AC交于G， ∵AB＝1，BC，AC＝2， ∴BG， 解得BG， 在Rt△BCG中，CG， ∴tan∠ACB． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，函数图象平移的性质是解题的关键． 10．（2025秋•黄浦区期末）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（1，2）和（0，4）． （1）求此抛物线的表达式； （2）指出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明这条抛物线的变化情况． 【分析】（1）把（1，2）和（0，4）代入y＝x2+bx+c求出b，c，从而可得二次函数解析式； （2）根据a的值可确定开口方向，并将抛物线的解析式配方后可得对称轴和顶点坐标，进而得解． 【解答】解：（1）由题意，∵抛物线y＝x2+bx+c经过点（1，2）和（0，4）， ∴． ∴b＝﹣3，c＝4． ∴此抛物线的表达式为y＝x2﹣3x+4； （2）由题意，∵y＝x2﹣3x+4＝（x）2， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线x，顶点为（，）； 当x时，y随x的增大而减小，当x时，y随x的增大而增大． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 11．（2025秋•松江区期末）在画二次函数y＝x2+bx+c的图象时，列表如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 0 m n ﹣3 0 … （1）直接写出b、c、m、n的值： b＝　2　 ；c＝　﹣3　 ；m＝　﹣3　 ；n＝　﹣4　 ； （2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的大致图象，并描述图象的变化趋势． 【分析】（1）利用交点式写出解析式，变形后即可得到b、c，化成顶点式即可求得n，利用对称性可以求得m； （2）描点、连线得到二次函数的图象，根据图象得出结论． 【解答】解：（1）当x＝﹣3和x＝1时，y＝0， ∴y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3， ∴b＝2，c＝﹣3， ∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，﹣4）， ∴n＝﹣4， ∴当x＝﹣2和x＝0时的函数值相同，为﹣3， ∴m＝﹣3； 故答案为：2，﹣3，﹣3，﹣4； （2）描点、连线得到二次函数的图象如下： 观察图象可知，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小， 【点评】本题考查了画二次函数的图象，二次函数的性质，解题的关键是数形结合． 12．（2025秋•杨浦区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x之间的部分对应关系如表所示． x … 0 1 2 3 … y … ﹣3 0 1 0 … （1）求该二次函数的解析式及其图象的对称轴； （2）设该二次函数图象与x轴相交于点A（点A在对称轴的右侧），与y轴相交于点B，顶点为C，求△ABC的面积． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，利用对称轴公式即可求得对称轴； （2）利用矩形的面积减去两个三角形的面积求解即可． 【解答】解：（1）∵x＝1、x＝3时的函数值相等，都是0， ∴二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象过点（1，0），（3，0）， ∴y＝a（x﹣1）（x﹣3）， ∵x＝0时，y＝﹣3， ∴﹣3＝3a， ∴a＝﹣1， ∴y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），即该二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3， ∴此函数图象的对称轴为直线x2； （2）过点C作DE∥x轴，交y轴于D，作AE∥y轴， 由题意可知，A（3，0），B（0，﹣3），C（2，1）， ∴CD＝2，BD＝4，AE＝1，CE＝3﹣2＝1， ∴S△ABC＝S梯形AEDB﹣S△BCD﹣S△ACE3． 【点评】本题考查了二次函数图象与性质，待定系数法求函数解析式以及三角形面积，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 13．（2025秋•嘉定区期末）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位后得到的新抛物线L与x轴交于点A和B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，新抛物线L的顶点为D，联结BC，CD． （1）请求出平移后新抛物线L的表达式及点C的坐标； （2）求∠BCD的正切值． 【分析】（1）根据题意可得平移后新抛物线L的表达式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3，进而可得点C的坐标． （2）连接BD，由（1）可知，新抛物线L的顶点D的坐标为（2，﹣1），A（1，0），B（3，0），可得BC，BD，CD，可知CD2＝BC2+BD2，则∠CBD＝90°，则可得∠BCD的正切值为． 【解答】解：（1）由题意得，平移后新抛物线L的表达式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3． 将x＝0代入y＝x2﹣4x+3，得y＝3， ∴C（0，3）． （2）如图，连接BD， 由（1）可知，新抛物线L的顶点D的坐标为（2，﹣1）， 令x2﹣4x+3＝0， 解得x1＝1，x2＝3， ∴A（1，0），B（3，0）， ∴BC，BD，CD， ∴CD2＝BC2+BD2， ∴∠CBD＝90°， ∴∠BCD的正切值为． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 14．（2025秋•奉贤区期末）数学课上老师给同学们出示了一条抛物线，甲、乙、丙三位同学分别用一句话描述了它： 甲：这条抛物线的对称轴是直线x＝2； 乙：将这条抛物线向下平移2个单位，会经过原点； 丙：这条抛物线在对称轴的右侧部分是下降的． （1）如果这三位同学关于这条抛物线的描述都是正确的，请你写出一个同时满足这些描述的抛物线的表达式，并求出此时它的顶点坐标； （2）请你根据老师给出的这条抛物线，再写出一个正确结论．（与三位同学的描述不一样） 【分析】（1）利用待定系数法按照甲乙的描述确定好a，b，c三者的关系，然后根据丙同学描述可取a＝﹣1，进而可求解； （2）求出与y轴的交点，然后利用对称性可得到抛物线经过点（4，2）． 【解答】解：（1）设抛物线表达式为 y＝ax2+bx+c， 乙描述：向下平移2个单位后表达式为 y＝ax2+bx+c﹣2，经过原点 （0，0）， 代入得0＝c﹣2，即c﹣2＝0， 解得c＝2， 甲描述：对称轴为直线x＝2，即 ， 整理得b＝﹣4a， 丙描述：对称轴右侧部分下降，即抛物线开口向下，所以a＜0， 取 a＝﹣1，则 b＝﹣4×（﹣1）＝4，c＝2， 抛物线表达式为y＝﹣x2+4x+2， ∵对称轴为x＝2， ∴代入得y＝﹣4+8+2＝6， ∴顶点为 （2，6）． （2）当x＝0时，y＝2， ∴二次函数与y轴的交点为（0，2）， ∵对称轴为直线x＝2， ∴点 （0，2）关于 x＝2 的对称点为 （4，2）， ∴抛物线经过点（4，2）． 【点评】本题考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 15．（2025秋•虹口区期末）“已知抛物线经过点A（0，﹣5），B（﹣1，0），求抛物线C1的表达式．”上述题目中的黑色阴影部分由于墨水污染而无法辨认，因此导致题目缺失了一个条件无法解答，经查询发现抛物线C1的表达式为y＝x2﹣4x﹣5． （1）请根据已有的信息添加一个缺失的条件：C（5，0）（答案不唯一）　 ； （2）将抛物线C1向上平移m个单位后得到抛物线C2，如果抛物线C2的顶点关于原点的对称点在抛物线C1上，求m的值． 【分析】（1）由y＝x2﹣4x﹣5，经过B（﹣1，0），得x1＝﹣1是x2﹣4x﹣5＝0的一个根，求另一个根即可解答； （2）求出平移后的函数解析式的顶点坐标和关于原点对称的点的坐标，再代入y＝x2﹣4x﹣5求解即可． 【解答】解：（1）抛物线C1的表达式为y＝x2﹣4x﹣5，且经过B（﹣1，0）， ∴x1＝﹣1是x2﹣4x﹣5＝0的一个根， 由根与系数关系，得：， 解得：x2＝5， ∴添加的条件为C（5，0）， 故答案为：C（5，0）（答案不唯一）； （2）将抛物线C1向上平移m个单位后得到抛物线C2，平移后的解析式为y＝x2﹣4x﹣5+m＝（x﹣2）2﹣9+m， ∴抛物线C2的顶点坐标为（2，﹣9+m）， （2，﹣9+m）关于原点的对称点为（﹣2，9﹣m）， 将（﹣2，9﹣m）代入y＝x2﹣4x﹣5， 得9﹣m＝（﹣2）2﹣4×（﹣2）﹣5即9﹣m＝7， 解得：m＝2． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 【考点3】无刻度尺作图 （第16—19题） 📌 方法总结： · 利用格点构造等腰直角三角形（45°角）。 · 利用网格平行关系作垂线。 · 利用相似三角形对应边成比例找点。 · 角平分线：利用网格对称性构造。 · 保留作图痕迹，不要求写作法。 16．（2025秋•杨浦区期末）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在8×8的网格图形中，△ABC的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问题： （1）sin∠BAC＝　　 ； （2）请仅用无刻度的直尺作图（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）． ①如图1，在边AB上求作一点P，使∠ACP＝45°； ②如图2，在边AC上求作一点Q，使BQ⊥AC． 【分析】（1）如图1中，过点C作CH⊥AB于点H，求出AC，CH再根据正弦函数的定义求解； （2）①构造等腰直角三角形ACJ，CJ交AB于点P，点P即为所求； ②取格点J，连接BJ，延长BJ交AC于点Q，点Q即为所求． 【解答】解：（1）如图1中，过点C作CH⊥AB于点H， ∵AC2，CH＝3， ∴sin∠BAC． 故答案为：； （2）①如图1中，点P即为所求； ②如图②中，点Q即为所求． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，解直角三角形，等腰三角形三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 17．（2026春•闵行区月考）【问题情境】如图1，平行四边形ABCD中，点E和点F分别是边AB，CD的中点，连接EF，DE，CE，AF，BF，那么图中与△DEC面积相等的平行四边形是　▱ADFE，▱AFCE，▱EFCB，▱DEBF ；（写出图中所有符合要求的平行四边形） 【问题探究】在由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图2，已知在5x5的网格图形中，△ABC的顶点A、B、C都在格点上，画出平行四边形ABGH，使S△ABC＝S▱ABGH，且点G，H均在格点上（要求：只需画出一个符合要求的图形）； 阅读：《无刻度直尺作图》“无刻度直尺作图是一种特殊的几何作图方式，仅依靠无刻度的直尺这一工具来完成特定的几何图形绘制”，我们规定无刻度的直尺只能用来连接两点作线段． 【问题拓展】如图3，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，求作一点Q，使S△CDQ＝S▱ABCD（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）． 【分析】【问题情境】先证明四边形ADFE，四边形AFCE，四边形EFCD，四边形DEBF都是平行四边形，再利用平行线间距离处处相等即可解答； 【问题探究】利用网格的特点取BC的中点，即格点G，再利用平移的性质取格点H，连接GH，即AB∥GH，AB＝GH，连接AH即可得到平行四边形ABGH，可得AH∥BC，再根据点A，点H到BC的距离相等，，可得S△ABC＝S▱ABGH； 【问题拓展】连接DE并延长交AB延长线于点G，连接AE并延长交DC延长线于点F，作射线FG，DB交于点Q即可． 【解答】解：【问题情境】平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD， ∵点E和点F分别是边AB，CD的中点， ∴， ∴AE＝DF＝BE＝CF， ∴四边形ADFE，四边形AFCE，四边形EFCD，四边形DEBF都是平行四边形， ∵平行线间距离处处相等， 设AB，CD间的距离为h， ∴▱ADFE，▱AFCE，▱EFCB，▱DEBF等底等高，且面积都为， ∵， ∴与△DEC面积相等的平行四边形是▱ADFE，▱AFCE，▱EFCB，▱DEBF， 故答案为：▱ADFE，▱AFCE，▱EFCB，▱DEBF； 【问题探究】使S△ABC＝S▱ABGH的平行四边形ABGH，如图2即为所求； ∵B点先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到A点，G点先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到H点， ∴AB∥GH， ∴四边形ABGH是平行四边形， ∴AH∥BG，即AH∥BC， 点A，点H到BC的距离相等， 设点A，点H到BC的距离为h， ∵点G是BC的中点， ∴， ∴， ∴； 【问题拓展】使S△CDQ＝S▱ABCD的点Q，如图3即为所求； 如图3，在平行四边形ABCD中，E是边BC的中点， ∴AB∥CD，AB＝CD，BE＝CE， ∴DF∥AG， ∴∠CFE＝∠BAE，∠FCE＝∠ABE， 在△CFE和△BAE中， ， ∴△CFE≌△BAE（AAS）， ∴AB＝CF， ∴， 同理，△CDE≌△BGE， ∴CD＝BG， ∴， ∴AG＝DF， ∵DF∥AG， ∴四边形AGFD是平行四边形， ∴AD∥FQ，AD＝FG， ∴∠DAB＝∠QGB，∠ADB＝∠GQB， 在△DAB和△QGB中， ， ∴△DAB≌△QGB（AAS）， ∴BD＝BQ， ∴S△BCQ＝S△BCD， ∴S△CDQ＝2S△BCD， ∵， ∴S△CDQ＝S▱ABCD． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，四边形的面积，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质． 18．（2025秋•沛县期末）如图是8×6的正方形网格，已知格点△ABC（顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形），请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）． （1）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AB1C1，请在图1中作出△AB1C1（点B1与点B是对应点）． （2）设小正方形的边长为1cm，在（1）的条件下，求点C转过的路径的长度和扇形ACC1的面积．（结果保留π） （3）在图2中，仅用无刻度直尺在线段AB上找一点P，使． 【分析】（1）根据旋转的性质，先作出点B、C的对应点B1、C1，然后再顺次连接即可； （2）利用勾股定理求得AC的长，再利用弧长公式和扇形面积公式求解即可； （3）取格点D，连接CD交AB于点P，即可得出答案． 【解答】解：（1）如图，△AB1C1为所求作的三角形； （2）由图可得（cm）， 点C转过的路径的长度， 点C转过的扇形ACC1的面积； （3）如图，点P即为所求作的点． ∵AD∥BC，AD＝3，BC＝4， ∴． 【点评】本题主要考查了旋转作图，平行线分线段成比例，弧长公式和扇形面积．掌握旋转作图，平行线分线段成比例，弧长公式和扇形面积是解题的关键． 19．（2025•江岸区校级模拟）如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，仅凭无刻度尺的直尺在给定网格中画图，按步骤完成下列问题，每个作图任务不超过三条线： （1）在图1中，先将线段AC绕点C逆时针旋转90°得到线段CD；再在BC边上找一点E，使． （2）在图2中，先作△ABC的角平分线BF；再在AB边上找点G使得FG∥BC． 【分析】（1）旋转得到的CD与网格交点记为T，连接AT，则AT与BC记为点E，结合网格的特征易知△CHT∽△DWT，，根据旋转的性质得AC＝DC，∠ACD＝90°，即，在 Rt△ACT 中，，即可作答； （2）观察AB，CB与网格的关系，故△ATB≌△WHB，得出∠1＝∠2，结合网格特征得出∠1+∠5＝45°＝∠2+∠3，则∠5＝∠3，因为FG∥BC，则∠3＝∠4，即∠5＝∠4，运用等腰三角形的性质，点G在BF的垂直平分线上，故结合网格特征，作出BF的垂直平分线，与AB的交点即为点G． 【解答】解：（1）线段CD，点E即为所求； （2）BF、点G即为所求； 【点评】本题考查作图能力，根据题意准确画出图形是解题的关键． 【考点4】位似三角形作图（预测） （第20—24题） 📌 方法总结： · 位似中心为原点时，对应点坐标乘位似比（或负位似比）。 · 利用平行线分线段成比例找点。 · 位似图形相似，面积比等于位似比的平方。 · 注意位似中心的位置及方向（同侧或异侧）。 20．（2026春•环翠区期末）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按要求完成以下作图． （1）在线段AB上找一点D，使得AD：BD＝3：2； （2）以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，请在网格纸内画出缩小后的三角形，并直接写出A点的对应点坐标　（﹣2，1）或（2，﹣1）　 ． 【分析】（1）取格点M，N，使AM∥BN且AM：BN＝3：2，连接MN交AB于点D，则点D即为所求． （2）根据位似的性质作图，即可得出答案． 【解答】解：（1）如图，取格点M，N，使AM∥BN且AM：BN＝3：2，连接MN交AB于点D， 此时△ADM∽△BDN， ∴AD：BD＝AM：BN＝3：2， 则点D即为所求． （2）如图，△A1B1C1和△A2B2C2均满足题意． 由图可得，A点的对应点坐标为（﹣2，1）或（2，﹣1）． 故答案为：（﹣2，1）或（2，﹣1）． 【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 21．（2026•潜山市一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点为格点（网格线的交点）．已知A（0，﹣2），B（﹣2，0），C（﹣3，﹣3）． （1）以原点O为位似中心在第一象限画出△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2； （2）利用格点，在线段A1C1上找一点D，使得B1D⊥A1C1． 【分析】（1）画△A1B1C1位似中心是原点，相似比2，对应点坐标是原坐标乘﹣2（点到第一象限）：A（0，﹣2）→A1（0，4）（﹣2×﹣2＝4）；B（﹣2，0）→B1（4，0）（﹣2×﹣2＝4）；C（﹣3，﹣3）→C1（6，6）（﹣3×﹣2＝6，﹣3×﹣2＝6），连接A1、B1、C1，画出三角形． （2）找点D利用网格的垂直：A1（0，4）、C1（6，6），B1（4，0），找A1C1上的格点D，使B1D和A1C1垂直． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，点D即为所求． 【点评】本题考查作图﹣位似变换，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22．（2024秋•北仑区期末）在7×7的方格纸中，用无刻度的直尺作图． （1）在图1中找到△ABC外接圆的圆心O（保留作图痕迹）． （2）在图2中画出△DEC，使得△DEC∽△ABC，且相似比为（△DEC的顶点均在格点上，画出一个即可）． 【分析】（1）分别作线段AB，AC的垂直平分线，相交于点O，则点O即为所求． （2）根据相似三角形的判定与性质画图即可． 【解答】解：（1）如图1，分别作线段AB，AC的垂直平分线，相交于点O， 则点O即为所求． （2）如图2，△DEC即为所求（答案不唯一）． 【点评】本题考查作图﹣相似变换、三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23．（2025秋•高碑店市期中）已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）． （1）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出△OAB放大后的图形△OA1B1； （2）直接写出A1点的坐标；若点D（a，b）在线段OA上，点D对应点D1的坐标为 　（﹣2a，﹣2b）　 ． 【分析】（1）根据位似图形的性质得出A1、B1，再顺次连接即可； （2）利用（1）中位似比得出对应点坐标关系即可． 【解答】解：（1）△OA1B1如图所示： （2）由图可得：A1（﹣6，﹣2）， 点D（a，b）在线段OA上，点D对应点D1的坐标为（﹣2a，﹣2b）． 【点评】本题考查了位似变换，正确掌握位似比与坐标的关系是解题的关键． 24．（2025秋•东莞市校级期末）如图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，在图①、图②中、只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以点A为位似中心、以线段AD为边画一个三角形，使它与△ABC位似； （2）在图②中△ABC的边AB上画一个点P，使． 【分析】（1）取格点E，连接DE，使DE∥BC，由相似三角形的判定可知△ADE∽△ABC． （2）取格点M，N，连接MN，交AB于点P，连接AM，BN，此时△AMP∽△BNP，由，可得． 【解答】解：（1）如图①，△ADE即为所求． （2）如图②，点P即为所求． 【点评】本题考查作图﹣相似变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【考点5】投影与三视图（预测） （第25—35题） 📌 方法总结： · 中心投影：物高与影长不成固定比例，利用相似三角形求解。 · 平行投影：同一时刻物高与影长成正比。 · 三视图：根据俯视图标数确定主、左视图每列最大数。 · 注意看得见的轮廓线画实线，看不见的画虚线。 25．（2025秋•峡江县期末）如图，是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体从上面看到的图形，图中所示数字为该位置小正方体的个数． （1）请画出这个几何体从正面看和从左面看得到的形状图； （2）若小正方体的棱长为2cm，求该几何体的体积． 【分析】（1）根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，进而得出答案； （2）利用已知俯视图上所标小立方体的个数得出答案． 【解答】解：（1）主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形， （2）该几何体的小正方体个数为1+3+1+2+1+2＝10个， 故该几何体的体积为10×23＝80（cm3）． 【点评】本题考查简单组合体的三视图以及由三视图判断几何体．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字． 26．（2025秋•威海期末）如图，是由7个大小相同的小正方体组合成的简单几何体． （1）请在相应网格中画出这个几何体的三视图，并用阴影表示出来； （2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图不变，那么最多可以再添加　2　 个小正方体． 【分析】（1）从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为3，1；从上面看得到从左往右4列正方形的个数依次为1，2，1，2，依此画出图形即可； （2）根据保持这个几何体的主视图和左视图不变，最多在几何体的左侧后排第一层和右侧前排第一层各添一个即可求解． 【解答】解：（1）从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为3，1；从上面看得到从左往右4列正方形的个数依次为1，2，1，2，依此画出图形，如图所示： （2）保持这个几何体的主视图和左视图不变，最多在几何体的左侧后排第一层和右侧前排第一层各添一个，即最多可再添加2个小正方体． 故答案为：2 【点评】此题主要考查了几何体三视图画法，注意观察角度是解题关键． 27．（2026春•滕州市期末）“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”AB与“圭”BC垂直，冬至时节“表”AB的日影最长（BC的长），某一节气，光线AM平分∠BAC，D为AC上一点，连接MD，BD，MD⊥AC． （1）若“表”AB＝6，AC＝10，求CM的长； （2）若AM＝CM，判断△ABD的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据角平分线的性质可得BM＝DM，再证明Rt△ABM≌Rt△ADM（HL），可得AB＝AD＝6，在Rt△ABC中利用勾股定理可得BC＝8，从而得到DC＝AC﹣AD＝4，DM＝BM＝BC﹣CM＝8﹣CM，在Rt△DCM中，根据勾股定理，即可求解； （2）根据角平分线的定义以及等腰三角形的性质可得∠BAM＝∠CAM＝∠C，从而得到∠BAD＝60°，由（1）知：AB＝AD，即可解答． 【解答】解：（1）∵MB⊥AB，AM平分∠BAC，MD⊥AC， ∴BM＝DM； 在Rt△ABM和Rt△ADM中， ， ∴Rt△ABM≌Rt△ADM（HL）， ∴AB＝AD＝6， ∵在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝10， ∴， ∴DC＝AC﹣AD＝10﹣6＝4，DM＝BM＝BC﹣CM＝8﹣CM， 在Rt△DCM中，根据勾股定理得：DC2+DM2＝CM2， ∴42+（8﹣CM）2＝CM2， ∴CM＝5； （2）△ABD是等边三角形，理由如下： ∵AM平分∠BAC， ∴∠BAM＝∠CAM， ∵AM＝CM， ∴∠C＝∠CAM， ∴∠BAM＝∠CAM＝∠C， ∵∠BAM+∠CAM+∠C＝90°， ∴∠BAM＝∠CAM＝∠C＝30°， ∴∠BAD＝60°， 由（1）知：AB＝AD， ∴△ABD是等边三角形． 【点评】本题主要考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，掌握其相关知识点是解题的关键． 28．（2025秋•抚州月考）学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿AB、CD、EF，垂足分别为B、D、F，两根竹竿之间的距离均为6米（BD＝DF＝6米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿AB、CD的影子分别为BG、DH，如图1和图2的示意图．请解决下列问题： （1）反映平行投影的情形图是　图2　 ，反映中心投影的情形图是　图1　 ；（填“图1”或“图2”） 【画图操作】 （2）结合图1中的影子BG、DH画出表示竹竿EF的影子FM及光源O；【数学思考】 （3）在（2）中，小明从点P向右沿地面走，经过光源O的正下方沿直线走到点M，小明的影长y随小明与点P之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为D ． A． B．．C． D． 【解决问题】 （4）在图2中，学习小组经测量：竹竿AB＝3.6米，竹竿CD＝2.25米，竹竿EF＝1.5米，竹竿AB、CD的影长BG＝DH＝4米，求竹竿EF的影长． 【分析】（1）根据平行投影和中心投影的定义判断即可； （2）根据中心投影的定义画出图形； （3）利用相似三角形的性质构建方程组求解即可． 【解答】解：（1）反映平行投影的情形图是图2，反映中心投影的情形图是图1， 故答案为：图2，图1； （2）根据中心投影的定义画出图形，的影子BG、DH画出表示竹竿EF的影子FM及光源O如图所示： ； （3）∵在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长， ∴小明的影长变化是先越来越短，再越来越长， 故选：D； （4）如图，过点O作OR⊥BG于点R，设OR＝y米，BR＝x米， ∵AB⊥BG，OR⊥BG， ∴AB∥OR， ∴△ABG∽△ORG， ∴， 即①， 同理可得：， 即②， 联立①②，得， 整理得，， 解得， ∴OR＝9米，BR＝6米， 又同理可得：， 即， 解得FM＝3.6， 答：EF的影长为3.6米． 【点评】本题考查了平行投影、中心投影和相似三角形的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 29．（2025秋•城关区校级期末）用12个棱长为1的小正方体搭成如图所示的几何体． （1）请利用网格纸画出从正面看和从上面看该几何体的形状图； （2）若要使从正面看和从上面看的形状图保持不变，最多还能加 　4　 个棱长为1的正方体． 【分析】（1）根据简单组合体三视图的画法画出它的主视图与俯视图即可； （2）在俯视图的相应位置标注所能摆放小正方体最多时的个数即可． 【解答】解：（1）这个组合体从正面看，从上面看所得到的图形如下： （2）由于添加后从正面看和从上面看的形状图保持不变，在从上面看到的图形的相应位置标注所能添加最多时的个数，如图所示， 所以最多可以添加1+1+2＝4（个）， 故答案为：4． 【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键． 30．（2025秋•沈北新区期末）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． （1）这个几何体是由　12　 个大小相同的小立方块搭成的； （2）请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图． 【分析】（1）根据俯视图数据解答即可； （2）分别画出从正面、左面看到的这个几何体的图形即可． 【解答】解：（1）2+3+4+1+2＝12（个）， 即这个几何体是由12个大小相同的小立方块搭成的； 故答案为：12； （2）如图所示： 【点评】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字． 31．（2025秋•伊川县期末）用小立方块搭一个几何体，使它从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图的小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数．试回答下列问题： （1）a，d，f各表示几？ （2）这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ （3）当b＝e＝3，c＝1时，画出这个几何体从左面看到的形状图． 【分析】（1）根据主视图，俯视图判断即可； （2）利用俯视图，主视图判断即可； （3）根据左视图的定义画出图形． 【解答】解：（1）由主视图，俯视图可知a＝2，d＝f＝1； （2）这个几何体最少2+3+1+1+1+1＝9（个），最多2+3+3+3+1+1＝13（个）； （3）左视图为： 【点评】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 32．（2025秋•淄博期末）（1）由大小相同的小立方块搭成的几何体，请在方格中画出该几何体的三视图，并回答问题． 若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图都不变，那么最多可以再添加　4　 个小正方体； （2）楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出小树在路灯下的影子．（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】（1）分别从正面、左面、上面观察几何体，数出每一列（或行）的小正方体个数，从而画出主视图、左视图、俯视图；要保持主视图和左视图不变，意味着在添加小正方体时，每一列的高度（对应主视图）和每一行的高度（对应左视图）都不能超过原来的高度．通过对比俯视图中每个位置的现有高度与允许的最大高度，计算出每个位置最多能添加的数量，最后求和． （2）确定路灯位置：根据中心投影的特点，连接物体的顶端和其影子的顶端，这两条连线的交点就是点光源（路灯灯泡）的位置，连接路灯灯泡的位置和小树的顶端，将这条线延长直到与地面相交，交点到树根的线段就是小树的影子． 【解答】解：（1）作图如下： 若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图都不变，那么最多可以再添加4个，如下图： 故答案为：4； （2）根据题意作图如下． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图、中心投影的性质，解题的关键是熟练掌握三视图的定义以及中心投影中“三点一线”的作图原理． 33．（2026春•安远县校级期末）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． 【任务1】若m＝158，求n，x，y的值； 【任务2】求x+y的最大值． 【分析】任务1：33张标准卡纸通过剪裁得到158张小长方形，而一张可以剪裁6个小长方形，先算出总的小长方形，减去158，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以2即可求解n，根据1个竖式叠盖纸盒可以需要4个小长方形和3个正方形，1个横式叠盖纸盒5个小长方形和2个小正方形，即可建立二元一次方程组求解； 任务2：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形，则6x+5.5y＝33×6，求其整数解，判断x+y的最大值即可． 【解答】解：任务1：由题意得，n＝（33×6﹣158）×2＝80， 根据题意得：， 解得：， ∴n的值为80，x的值为22，y的值为12； 任务2：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形， ∴6x+5.5y＝33×6， ∴整数解为：或或或， ∵11+24＝35，22+12＝34，0+36＝36，33+0＝33， ∴36＞35＞34＞33， ∴x+y的最大值为36． 【点评】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 34．（2026•临平区二模）综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为10cm的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为7的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤将滤纸对折两次； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 （1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． （2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留π） 【分析】（1）证△CDE∽△CAB即可得证； （2）利用圆锥体积公式计算即可． 【解答】解：（1）滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下， 方法一：如图作出示意图，由题意知，AB＝AC＝BC＝7cm， 折叠后CD＝CE10＝5（cm）， ∵底面周长10π＝5π（cm）， ∴DE•π＝5πcm， ∴DE＝5cm， ∴， ∴△CDE∽△CAB， ∴滤纸能紧贴此漏斗内壁． 方法二：由2πr得，， 图3中，n1＝90°×2＝180°， 图4中，， ∴n2＝180°， ∵n1＝n2， ∴滤纸能紧贴此漏斗内壁． （2）由（1）知CD＝DE＝CE＝5cm， ∴∠CDE＝60°， 过C作CF⊥DE于点F，则DFDEcm， 在Rt△CDF中，CFcm， ∴Vπr2h＝π•（）2π（cm3）． 答：圆锥形的体积是π cm3． 【点评】本题主要考查了圆锥的计算、相似三角形判定、勾股定理等知识，正确读懂题意和掌握圆锥体积公式是解题关键． 35．（2026春•金山区校级月考）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是两种纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． 【任务1】若m＝158，求n、x、y的值； 【任务2】求x+y的最大值． 【分析】任务1：33张标准卡纸通过剪裁得到158张小长方形，而一张可以剪裁6个小长方形，先算出总的小长方形，减去158，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以2即可求解n，根据1个竖式叠盖纸盒可以需要4个小长方形和3个正方形，1个横式叠盖纸盒5个小长方形和2个小正方形，即可建立二元一次方程组求解； 任务2：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形，则6x+5.5y＝33×6，求其整数解，判断x+y的最大值即可． 【解答】解：任务1：由题意得，n＝（33×6﹣158）×2＝80， ， 解得：； 任务2：每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形， ∴6x+5.5y＝33×6， ∴整数解为： 或， ∵11+24＝35＞22+12＝34， ∴x+y的最大值为35． 【点评】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 反比例与一次函数综合作业2 反比例与等腰直角三角形作业3 反比例函数实际应用 作业4 二次函数图象与性质作业5 二次函数平移与距离作业6 二次函数图象与面积 作业7 二次函数解析式与平移作业8 二次函数与x轴交点作业9 二次函数最值 作业10 二次函数综合作业11 无刻度尺作图作业12 位似三角形作图 作业13 三视图与体积作业14 位似与面积比 💡 复习建议 函数综合：熟练联立方程组求交点坐标，注意待定系数法的灵活运用。 二次函数性质：熟记顶点式、平移规律，结合图象分析增减性和最值。 无刻度尺作图：充分利用格点特征构造特殊图形，积累常见作图技巧。 位似变换：理解位似中心与位似比，注意坐标变换规律。 投影与三视图：分清中心投影与平行投影，掌握三视图画法原则。 【作业1】（2025秋•崂山区期末）已知一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数交于点A（1，6）和B（3，2）． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）设点P是x轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）作B点关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点P，连接PB，当A、P、B'三点共线时，△PAB的周长最小，直线AB'与x轴交点即为所求P点． 【解答】解：（1）由题意，将点B（3，2）代入， ∴m＝6， ∴． 将A（n，6）代入， ∴n＝1， ∴A（1，6）， 将A（1，6）和B（3，2）代入y1＝kx+b， ∴． ∴ ∴y1＝﹣2x+8； （2）作B点关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点P，连接PB， ∴PB＝PB'． ∴PB+PA+AB＝PB'+AP+AB≥AB'+AB． 当A、P、B'三点共线时，△PAB的周长最小， ∵B（3，2）， ∴B'（3，﹣2）， 设直线AB'的解析式为y＝k'x+b'， ∴ ∴ ∴y＝﹣4x+10， ∴P（2.5，0）． 【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，轴对称的最短路径问题，熟练掌握反比例函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 【作业2】（2026•苏州）如图，一次函数y＝ax+b的图象经过点A（﹣4，0），B（0，2），点P在一次函数的图象上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图象于M，N两点，连接MN． （1）求a，b的值； （2）若△PMN是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 【分析】（1）将点A（﹣4，0），B（0，2）代入一次函数 y＝ax+b，即可求解； （2）解：设点P的坐标为，根据△PMN是腰长为3的等腰直角三角形得到点M的坐标为，点N的坐标为，把它们代入反比例函数，即可求出的值，进而得到点P的坐标与k的值． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax+b的图象经过点A（﹣4，0），B（0，2）， ∴， 解得； （2）由（1）有，b＝2， ∴一次函数为， ∵点P在一次函数的图象上， ∴设点P的坐标为． ∵△PMN是腰长为3的等腰直角三角形， ∴PM＝PN＝3， ∴点M的坐标为，点N的坐标为， ∵点M，N在反比例函数的图象上， ∴， 解得t＝4， ∴点P的坐标为（4，4），点M的坐标为（1，4）． ∴k＝4． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【作业3】（2025秋•兰山区期末）近年来国产智能手机的电池技术持续突破，某品牌手机搭载了研发的新型电池．若电池的总储电量Q（单位：mAh）为定值，经测试，当电池满电时，手机的工作电流与最长运行时间（电量全部耗尽）如下表所示（忽略环境等其他因素）： 测试场景 待机 息屏听歌 有线耳机听歌 蓝牙耳机听歌 播放视频 模型设计 工作电流I/mA 5 20 40 50 250 1000 工作时间t/h 1000 250 125 100 20 5 （1）该电池的总储电量Q为　5000　 mAh，放电时间t与电流I之间的函数解析式为　　 ； （2）当手机进行视频剪辑场景测试时，放电电流为800mA，求此时电池的最长放电时间； （3）若此手机满电时先播放视频xh，再进行模型设计yh，总放电时间为10h，且剩余电量不低于总电量的10%，求x的取值范围． 【分析】（1）根据题意即可得到结论； （2）把I＝800mA代入解析式，即可得到结论； （3）由表格知播放视频耗电量为250xmAh，做模型设计耗电量为1000ymAh，根据剩余电量不低于10%，求得总耗电不超过5000×（1﹣10%）＝4500，得到250x+1000（10﹣x）≤4500，解不等式即可得到结论． 【解答】解：（1）根据题意得Q＝5×1000＝5000； 放电时间t与电流I之间的函数解析式为， 故答案为：5000，； （2）当I＝800mA时，， ∴最长放电时间为6.25h； （3）由表格知播放视频耗电量为250xmAh，做模型设计耗电量为1000ymAh， ∵剩余电量不低于10%， ∴总耗电不超过5000×（1﹣10%）＝4500， ∵x+y＝10， ∴y＝10﹣x． ∴250x+1000（10﹣x）≤4500， 解得， ∴x的取值范围是． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 【作业4】（2025•富阳区二模）已知二次函数y＝﹣（x+1）2+h（h为常数）的图象经过点A（﹣2，3）． （1）求此二次函数的表达式． （2）将抛物线先向左平移n（n＞0）个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求n的值． （3）已知点（p，m），（q，m）在二次函数y＝﹣（x+1）2+h的图象上，且﹣7＜2p+3q＜2，求m的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用平移的规律求得平移后的解析式，代入原点坐标即可求得n的值； （3）根据题意点（p，m），（q，m）关于对称轴对称，则p+q＝﹣2，由﹣7＜2p+3q＜2，得出﹣7＜﹣4+q＜2，即﹣3＜q＜6，然后利用图象上点的坐标特征即可求得m的取值． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣（x+1）2+h（h为常数）的图象经过点A（﹣2，3）． ∴3＝﹣（﹣2+1）2+h， 解得h＝4， ∴此二次函数的表达式为y＝﹣（x+1）2+4； （2）将抛物线先向左平移n（n＞0）个单位，再向上平移5个单位，得到y＝﹣（x+1+n）2+4+5，即y＝﹣（x+1+n）2+9， ∵图象恰好经过原点， ∴﹣（0+1+n）2+9＝0， 解得n＝2或n＝﹣4， ∵n＞0， ∴n的值为2． （3）∵点（p，m），（q，m）在二次函数y＝﹣（x+1）2+4的图象上， ∴p+q＝﹣2， ∴2p+2q＝﹣4， ∵﹣7＜2p+3q＜2， ∴﹣7＜﹣4+q＜2， ∴﹣3＜q＜6， ∵当x＝6时，y＝﹣（x+1）2+4＝﹣45， 当x＝﹣1时，y＝﹣（x+1）2+4＝4， ∴m的取值范围是﹣45＜m≤4． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次和是图象与几何变换，二次函数的性质，掌握平移的规律以及二次函数的对称性是解题的关键． 【作业5】（2025秋•南京期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5交x轴于点A，B，已知点A的坐标为（﹣1，0）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）将抛物线顶点向上平移个长度单位得点P，过点P作AB的平行线交抛物线于点C、D，求CD的长． 【分析】（1）把A点坐标代入y＝ax2﹣4ax﹣5中求出a得到抛物线解析式； （2）先通过平移求出P点坐标，进而得到C，D两点的纵坐标，代入抛物线可得两点的横坐标，进而可求解． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣4ax﹣5得a+4a﹣5＝0，解得a＝1， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x﹣5， （2）∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9， ∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣9）， ∵抛物线顶点向上平移个单位得点P， ∴， ∵过点P作AB的平行线交抛物线于点C、D， ∴C，D两点的纵坐标都为， 当时，， 解得，， ∴CD的长为：． 【点评】本题考查二次函数的基本性质，能够利用待定系数法求出二次函数解析式是解题关键． 【作业6】（2026春•江北区校级期中）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣5）和B（0，﹣8）． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； （2）当﹣2≤x＜3时，求函数y的取值范围； （3）当y≥﹣8时，利用图象，直接写出x的取值范围． 【分析】（1）依据题意，由二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣5）和B（0，﹣8），可得，进而计算可以得解y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，从而可得顶点坐标； （2）依据题意，由（1），y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，则当x＝﹣1时，y取最小值为﹣9；当x＝﹣2时，y＝﹣8；当x＝3时，y＝7，从而可以得解； （3）依据题意，由y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，则对称轴是直线x＝﹣1，抛物线开口向上，结合当x＝﹣2时，y＝﹣8，从而根据对称性可得，当x＝0时，y＝﹣8，进而可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣5）和B（0，﹣8）， ∴． ∴． ∴y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9， ∴顶点为（﹣1，﹣9）； （2）由（1），y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9， ∴当x＝﹣1时，y取最小值为﹣9． 又∵当x＝﹣2时，y＝﹣8；当x＝3时，y＝7， ∴当﹣2≤x＜3时，﹣9≤y＜7； （3）由题意，∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9， ∴对称轴是直线x＝﹣1，抛物线开口向上， 又∵当x＝﹣2时，y＝﹣8， ∴根据对称性可得，当x＝0时，y＝﹣8． ∴当y≥﹣8时，x≤﹣2或x≥0． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【作业7】（2025•杭州二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上． （1）直接写出这个二次函数的解析式； （2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值； （3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围． 【分析】（1）将点A（2，﹣1）代入二次函数解析式中即可求解； （2）找出抛物线的对称轴为x，根据二次函数的性质结合“当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n”，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值； （3）根据平移的性质可得出a＝1，由二次函数的性质可得出h≥2，再将（0，0）代入二次函数解析式中可得出k＝﹣h2，进而即可得出k的取值范围． 【解答】解：（1）∵点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上， ∴﹣1＝4﹣2（2m+1）+m， 解得m＝1， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x+1； （2）∵y＝x2﹣3x+1， ∴抛物线的对称轴为直线x， ∴当x时，y随x的增大而减小， 当x＝1时，y＝x2﹣3x+1＝﹣1，当x＝n时，y＝x2﹣3x+1＝n2﹣3n+1， ∵当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n， ∴n2﹣3n+1＝4﹣n， 解得n1＝﹣1，n2＝3， ∵n≤x≤1， ∴n的值为﹣1； （3）根据平移的性质可知，a＝1， ∵当x＜2时，y随x的增大而减小， ∴h≥2． ∵平移后的图象经过原点O， ∴0＝（0﹣h）2+k，即k＝﹣h2， ∴k≤﹣4． 【点评】本题考查了二次函数与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是（1）根据待定系数法找出m的值；（2）根据二次函数的单调性找出关于n的一元二次方程；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征找出k＝﹣h2． 【作业8】（2026春•铁岭县期末）把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面积为2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体容器．（接缝忽略不计） （1）求这个容器的侧面积； （2）如果向容器里注满水，则需注入多少水？ 【分析】（1）先求出面积都为18的正方形和面积为2的正方形的边长，然后结合题意求出这个长方体容器的侧面积； （2）结合题意可知，注入水的量即为该容器的体积，根据长方体体积公式计算即可． 【解答】解：（1）正方形纸片的边长都是， ∵剪去的正方形的面积为2， ∴剪去的正方形的边长为， ∴做出的双层底的无盖长方体纸盒的底面是边长为的正方形，盒子高为， ∴这个容器的侧面积为； （2）容器的体积为， 如果向容器里注满水，则需注入水的体积为． 【点评】本题考查了算术平方根的应用，二次根式的应用，长方体的侧面积和体积公式，理解题意是解题的关键． 【作业9】（2026春•普陀区期末）如图，已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为216°的扇形，母线AB长为10cm． （1）求该圆锥的底面直径BC的长； （2）如果该圆锥的高为8cm，求它的体积（结果保留π）． 【分析】（1）根据圆锥侧面展开图的特征以及弧长公式进行计算即可； （2）根据圆锥体积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：（1）∵圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角为216°，半径AB长为10cm， ∴这个扇形的弧长为12π（cm），即圆锥的底面周长为12π cm， ∴圆锥的底面直径为12π÷π＝12（cm）， 答：该圆锥的底面直径BC的长为12cm； （2）由题意得，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm， ∴V圆锥Shπ×62×8＝96π（cm3）， 答：它的体积为96π cm3． 【点评】本题考查圆锥的侧面展开图，圆锥的体积，掌握圆锥侧面展开图的特征以及圆锥体积的计算方法是正确解答的关键． 【作业10】（2026春•思明区校级期中）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒（其中x，y均不为零），恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． （1）若m＝158，求n，x，y的值； （2）求x和y值． 【分析】（1）33张标准卡纸通过剪裁得到158张小长方形，而一张可以剪裁6个小长方形，先算出总的小长方形，减去158，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以2即可求解n，根据1个竖式叠盖纸盒可以需要4个小长方形和3个正方形，1个横式叠盖纸盒5个小长方形和2个小正方形，即可建立二元一次方程组求解； （2）由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形，则6x+5.5y＝33×6，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意得，n＝（33×6﹣158）×2＝80， 根据题意得：， ∴． ∴n的值为80，x的值为22，y的值为12； （2）由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形， ∴6x+5.5y＝33×6， ∴整数解为：或． 【点评】本题考查了几何体的展开图、二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 【作业11】（2025•哈尔滨校级模拟）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： （1）在图1中，过B作AC边上的高BH（H为垂足）； （2）在图2中，在AB边上找一点P，使tan∠ACP． 【分析】（1）取格点D，连接BD，延长AC交BD于H，则BH即为所求； （2）取格点E、F、G，连接EA，FG交于点O，连接OC交AB于点P，点P即为所求． 【解答】解：（1）如图所示，BH即为所求； 取格点D，连接BD，延长AC交BD于H，则BH即为所求； 由网格的特点可知AC⊥BD，则BH⊥AC； （2）如图所示，点P即为所求； 取格点E、F、G，连接EA，FG交于点O，连接OC交AB于点P，点P即为所求； 由网格的特点可知，则，即． 【点评】本题主要考查了格点作图，解直角三角形，画三角形的高等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 【作业12】（2025秋•龙岗区月考）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣2，3），B（﹣3，1）． （1）△O1A1B1与△OAB是以P点为位似中心的位似图形，点O1，A1，B1都在格点上，则点P的坐标为　（﹣6，1）　 ； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出与△OAB位似的，△OA2B2使它与△OAB的相似比为2：1；若P（m，n）是△ABC内部一点，则请直接写出点P的对应点Q的坐标　（2m，2n）　 ． 【分析】（1）连接A1A，B1B，O1O并分别延长，相交于点P，即可得出答案； （2）根据位似的性质作图，运用位似比即可解答． 【解答】解：（1）如图1，连接A1A，B1B，O1O并分别延长，相交于点P， 则P点为位似中心， ∴点P的坐标为（﹣6，1）， 故答案为：（﹣6，1）； （2）与△OAB位似的△OA2B2，如图2即为所求； ∵P（m，n）是△ABC内部一点， ∴点P的对应点Q的坐标为（2m，2n）． 【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 【作业13】（2026•汝阳县一模）根据题目要求，用无刻度的直尺作图，并回答相应问题．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图1，点A，B，C都在格点上，在网格中求作△A1B1C，使得△A1B1C与△ABC是以点C为位似中心，相似比为2的一对位似图形； （2）根据（1）中所作图形，可得　4　 ； （3）如图2，点D，E都在格点上．在DE上求作一点P，使得EP：PD＝1：3． 【分析】（1）根据位似的性质作图即可； （2）根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）根据题意画出图形即可． 【解答】解：（1）如图1，△A1B1C即为所求； （2）∵△A1B1C与△ABC是以点C为位似中心，相似比为2的一对位似图形， ∴△A1B1C∽△ABC，且相似比为2， ∴得（）2＝4； 故答案为：4； （3）如图2，点P即为所求． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换，相似三角形的性质，正确地作出图形是解题的关键． 【作业14】（2025秋•滦南县期中）在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． （1）写出点P的坐标为　（﹣5，﹣1）　 ； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1； （3）△OAB的内部一点M的坐标为（a，b），直接写出点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为　（2a，2b）　 ． 【分析】（1）分别延长A1A、B1B、O1O，它们的交点为P点，再写出P点坐标； （2）把A、B点的横纵坐标都乘以2得到A2、B2点的坐标，然后描点并连线即可； （3）利用（2）中对应点的坐标变换规律求解即可． 【解答】解：（1）∵△O2A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形， ∴分别延长A1A、B1B、O1O，它们的交点为P点，如图1， 则点P为所作，P点坐标为（﹣5，﹣1）； 故答案为：（﹣5，﹣1）； （2）如图2，A（﹣2，﹣1），B（﹣1，﹣3）， 把A、B点的横纵坐标都乘以2得：A2（﹣4，﹣2）、B2（﹣2，﹣6）， 连接OA2、OB2，A2B2， 则△OA2B2即为所作； （3）∵△OAB的内部一点M的坐标为（a，b）， 由（1）知：△OA2B2与△OAB是关于原点O为位似中心的位似图形，且位似比为2：1， ∴点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为（2a，2b）． 故答案为：（2a，2b）． 【点评】本题考查位似变换，解题的关键要明确：如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $