5.2 数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦“由编号样本估计总数”，涵盖最大值估计与平均数估计两种方法，通过生活连续编号实例及二战坦克产量估计案例导入，引导学生从样本数据中提取信息，建立统计方法与现实问题的联系。 以问题驱动开展探究活动，采用分组合作与计算机模拟结合的教学方法，用电子表格函数生成样本并验证估计误差，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推导原理、用数学语言表达结论的核心素养，提升数据分析与建模能力，助力教师高效落实课标要求，增强课堂互动性与实践性。

5.2 数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟 教学设计-2026-2027学年 数学 人教B版 高一 必修第二册 一、章节名称 章节名称 第五章 统计与概率 5.2 数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟 课标要求 结合具体实例，利用连续编号样本信息估计总数，体会统计思想，能用计算机模拟验证估计准确度 教材版本 人教B版 必修第二册 年级 高一 课型 数学探究活动课 课时 1课时 活动背景 日常生活中人们常对人物进行连续编号，得知最大编号即知总数；但获取最大编号困难时，需用编号样本信息估计总数 实际案例 二战期间盟军据缴获德军坦克编号样本估计坦克产量，统计学家估计误差远小于情报部门 最大值估计 n不小于样本编号最大值，可用最大值作估计，即 n≈ 平均数估计 由≈x̄，用大于或等于 {2x̄−1} 的最小整数作估计；若结果小于 则用 估计 模拟函数 RANDBETWEEN产生编号样本 MAX函数 ROUNDUP(2*AVERAGE−1,0) 重点 由编号样本估计总数的最大值估计与平均数估计方法及其统计思想 难点 平均数估计中由样本平均数反推总数n的原理，用计算机模拟验证估计方法的准确度 学习方法 分组合作探究、实例分析与计算机模拟验证相结合 教具准备 多媒体课件、电子表格软件 授课教师 （教师姓名） 授课时间 （教学周次） 二、课标要求 通过具体实例，结合连续编号样本的获取与处理，利用有关统计知识估计人或物的总数。要求学生掌握最大值估计与平均数估计两种基本方法，理解由样本平均数反推总体总数的统计原理，并能借助计算机电子表格进行模拟验证，体会统计思想在现实决策中的战略意义与应用价值。 三、重点 由编号样本估计总数的最大值估计与平均数估计方法及其统计思想。具体而言，学生需理解 n≈ 的合理性，掌握由样本均值 {x̄} 与总体均值 的近似关系推导 n 的方法，并能比较两种估计的优劣。 四、难点 平均数估计中由样本平均数反推总数 n 的原理，用计算机模拟验证估计方法的准确度。关键在于理解为何 ≈{x̄} 成立，以及在何种情况下平均数估计可能失效（如出现 n< 时需改用 ）。 五、学习目标 理解连续编号样本与总数估计的现实背景，掌握最大值估计法 n≈ 和平均数估计法（由 ≈{x̄} 得 n 的估计值），能用电子表格函数 RANDBETWEEN、MAX、ROUNDUP(2*AVERAGE−1,0) 进行模拟验证，体会统计估计的随机性与准确度关系，提升数据分析与数学建模素养。 六、评价设计 1. 过程性评价：观察学生分组讨论中能否准确说出两种估计方法的原理与公式，能否正确使用电子表格函数生成样本并计算估计值。 2. 结果性评价：检查学生提交的模拟数据记录表与误差分析结论，评估其对统计思想的理解深度与对工具使用的熟练程度。 七、教学过程 1. 新课导入——提出问题 教师活动：展示生活中连续编号的实例图片（如学号001、会员卡号、资产设备编号等），提出核心问题：若无法获取最大编号，仅得到部分编号样本，能否估计总数？引出二战盟军估计德军坦克产量的经典案例，说明统计学家估计误差远小于情报部门，激发探究兴趣。 学生活动：聆听案例，思考编号样本中蕴含的统计信息，分组讨论从编号样本 14、27、58、36 中能提取哪些线索。预设回答：可算出样本最大值58、样本平均数等。 设计意图：从生活实例切入，建立连续编号与总数估计的直观联系，用真实历史案例凸显统计方法的战略价值，为本节探究活动奠定问题驱动基础。 2. 探究新知——估计方法 教师活动：设编号样本从小到大依次为 ，，…，，引导分析。第一，最大值估计：总数 n 不会小于样本最大值，故可用 估计，即 n≈。第二，平均数估计：样本均值 {x̄}= 与总体均值应相近，而总体均值为 =，故 ≈{x̄}，从而用大于或等于 {2x̄−1} 的最小整数估计 n；若该值小于 ，则用 估计。 学生活动：跟随推导，记录公式。针对导入样本 14、27、58、36，计算 =36，{x̄}===33.75，{2x̄−1}=66.5，平均数估计为67。因 67>36，取67。预设回答：两种估计分别为36和67。 设计意图：通过严谨推导呈现两种估计方法，让学生理解公式来源而非死记结论；用同一组数据分别计算，直观对比两种估计结果的差异。 3. 巩固练习——模拟验证 教师活动：演示在电子表格中设定总数 n=200，用 RANDBETWEEN(1,200) 产生 m=10 个编号样本，用 MAX 函数作最大值估计，用 ROUNDUP(2*AVERAGE−1,0) 作平均数估计，记录多次结果并观察误差。布置分组任务：各组取 n=300，m=8，模拟5次，填表分析。 学生活动：上机操作，记录数据。某组5次模拟结果如下：第1次样本最大值287、平均数估计312；第2次样本最大值295、平均数估计308；第3次样本最大值263、平均数估计279；第4次样本最大值301、平均数估计296；第5次样本最大值278、平均数估计285。各组讨论误差大小，发现最大值估计通常偏小，平均数估计有时偏大有时偏小。预设回答：两种方法均有误差，平均数估计不一定优于最大值估计。 设计意图：借助计算机模拟，让学生亲历随机抽样下估计值的波动，体会统计估计的随机性，深化对两种方法准确度的感性认识。 4. 课堂小结——归纳总结 教师活动：引导学生回顾两种估计方法的原理、公式与适用情形，提问：平均数估计为何可能出现 n<？预设回答：因为样本均值偏小时，{2x̄−1} 可能小于样本最大值 。强调此时应以 为估计值。 设计意图：梳理本节核心知识，强化易错点，形成完整认知结构。 5. 作业布置——课后延伸 教师活动：布置作业。作业：课本第91页习题5.2第1题、第2题。要求学生寻找生活中一个连续编号实例，获取适当容量样本，用两种方法估计总数并撰写探究报告。 设计意图：将课堂探究延伸至生活实际，巩固方法应用，培养数据分析与建模素养。 八、板书设计 1. 活动背景：连续编号样本 → 估计总数 n（二战坦克案例） 2. 两种估计方法：最大值估计 n≈；平均数估计 ≈{x̄}，取大于或等于 {2x̄−1} 的最小整数，若小于 则用 3. 模拟验证：RANDBETWEEN 产生样本，MAX 作最大值估计，ROUNDUP(2*AVERAGE−1,0) 作平均数估计，观察误差 学科网（北京）股份有限公司 $