精品解析：安徽省六安市毛坦厂中学东部新城校区2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

高三8月数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，，所以． 2. 已知，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的基本概念与四则运算求解. 【详解】由题意可得， 所以． 3. 样本数据8，3，12，5，9，15，6的上四分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【详解】这组数据从小到大排序为3，5，6，8，9，12，15， 由知上四分位数为第6个数，即12． 4. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，点是上除长轴端点外的动点，若的周长恒为6，面积的最大值为，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列式，求出，结合离心率定义，即得答案. 【详解】 如图所示，当点位于上顶点（或下顶点）时，的面积取最大值， 因此，由题意得，且，联立得，解得（负值舍去），则， 离心率，故A正确. 5. 在正项数列中，，，成等差数列，，，成等比数列，若，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项与等比中项的性质，列出等式求解，进而得出结论. 【详解】设，，是公比为的等比数列，则，． 又因为，所以，整理得：，解得或， 因为，所以，则． 6. 若圆台的母线与下底面成角，且下底面半径是上底面半径的2倍，记圆台的侧面积为，上、下底面积之和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆台的结构特征及相关公式计算． 【详解】圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为，则下底面半径为， 由圆台的母线与下底面成角，可知圆台的高为，则母线长为， 则，， 则． 7. 已知直角坐标系中的点集，，，则中的点形成的曲线长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合交集的运算，根据集合表示的几何意义及弧长运算即可求解． 【详解】集合表示单位圆上的点集，表示单位圆在直线上方的圆弧， 表示单位圆在直线上方的圆弧，如图， 中的点形成的圆弧如图中实线部分，其圆心角为， 所以弧长为． 8. 已知函数，集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，确定集合的关系，再构造函数并利用导数探讨单调性即可. 【详解】任意，，则函数的定义域为， 若，则，则有，因此，即，又， 于是是的真子集，即集合中存在不属于集合的元素， 设存在，使得，但，此时记，则，即， 令函数，求导得， 当时，由，得，即，在上单调递减，不可能有，矛盾， 当时，，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则必存在使得成立， 所以的取值范围是． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记等比数列的前项和为，已知，，则（ ） A. 的公比 B. 是递减数列 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，利用等比数列的性质依次判断即可. 【详解】对于A，由等比数列前项和的性质可得，即，得，解得，故A正确； 对于B，由A知，数列的项正负交替出现，所以是摆动数列，不是递减数列，故B错误； 对于C，由，代入，，可得，所以，故C正确； 对于D，，故D错误． 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的最小正周期为 C. 在上单调递减 D. 的图象关于直线对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】得到以为周期后，去绝对值并计算可得A；计算是否恒等于可得B；结合正弦型函数性质计算可得C；计算是否恒成立可得D. 【详解】对于A， ，故以为周期， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故的值域为，A正确； 对于B， ，故的最小正周期不为，故B错误； 对于C，当时，，， 故单调递减，故C正确； 对于D，由 ，故的图象关于直线对称，故D正确． 11. 定义：过曲线上一点且垂直于曲线在该点处的切线的直线，称为曲线在该点处的“法线”．已知，，是抛物线：上不重合的三个点，且在，，三点处的法线交于一点，若点的横坐标为，则下列说法正确的是（ ） A. 在点处的法线方程为 B. ，两点的横坐标之和为1 C. 点的纵坐标最小值为 D. 若点在轴上，则一定是等腰三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合导数的几何意义及法线定义计算可得A；可设，结合法线定义可得，可得，是关于的一元二次方程的两个不同的实根，结合韦达定理即可得B；假设点的纵坐标为，结合B项可得，即可得C；若点在轴上，可得，计算可得点和中一个点与原点重合，另一个点为，即可得D. 【详解】对于A，由已知得，抛物线方程为，求导得， 所以在点处的切线斜率为，法线斜率为，可知法线方程为， 即，故A正确； 对于B，由A项知点在直线上，可设， 设，，， 根据法线的定义，可得在点处的法线方程为， 将代入，得， 整理得， 因为，所以，同理可得， 于是，是关于的一元二次方程的两个不同的实根， 由根与系数的关系可知，故B正确； 对于C，若点的纵坐标为，即， 由B项的分析知，是关于的一元二次方程的两个不同的实根， 当时，，，不符合题意，故C错误； 对于D，若点在轴上，则，由方程， 解得或，则点和中一个点与原点重合，另一个点为， 又，故此时一定是等腰三角形，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，常数项为________． 【答案】60 【解析】 【详解】展开式的通项， 令，得，所以常数项为． 13. 已知函数，若曲线的任意一条切线都与直线相交，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【详解】原条件等价于无实数解，因为，所以无实数解． 又因为，所以，即，所以的取值范围为． 14. 已知正四面体的棱长为，球与正四面体的四个面分别相切于点，，，，为球的球面上一点，则的最大值为________． 【答案】12 【解析】 【分析】首先用向量展开四个切点到球面点的距离平方和，结合正四面体内切球四个切点关于球心对称的向量和为零的性质，可得四段距离平方和为定值，原总和的最大值等价于球面上点到顶点的最大距离. 【详解】设球的半径为，正四面体的高为，正四面体的一个面的面积为， 利用正四面体的体积公式可得：， 将内切球的球心和正四面体的4个顶点相连， 则正四面体分割成了4个完全相同的小三棱锥：、、 、，每个小三棱锥的底面都是正四面体的一个面（面积为）， 高就是球心到面的距离，也就是内切球半径， 因此单个小三棱锥的体积是，4个小三棱锥的总体积为：  ，则​，化简可得， 记，，，，， 由对称性可知， 为定值， 所以要求的最大值，即求的最大值， 又因为的最大值为，故所求的最大值为， 正四面体的棱长为，则， 所以的最大值为12． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式进行角化边，利用余弦定理得，结合得到的值． （2）由利用平方关系求出．将转化为 ，利用两角差的正弦公式求出，利用求出，利用三角形的面积公式得解. 【小问1详解】 将正弦定理代入已知条件， 得． 由余弦定理得， 因为，所以． 【小问2详解】 由，可得． 又 ， 则． 故的面积． 16. 如图，在三棱锥中，棱，，两两互相垂直，且，．点是的中点，点是棱上的一个动点． （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】（1）如图，连接． 因为，是的中点，所以． 因为，，且，平面，所以平面， 因为平面，所以． 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以． （2）1 【解析】 【分析】（1）先根据，，得出平面，再推出平面，最后证明； （2）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角计算公式，建立方程求得即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系． 由已知可得，，，． 设，则，，，． 设平面的法向量为， 由得，取． 设直线与平面所成的角为， 则． 令，解得（负值舍去）． 故线段的长为1 17. 已知双曲线：的离心率为2，过的右顶点作轴的垂线，与的两条渐近线分别交于点，，且． （1）求的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线，，分别交于点，（，均异于），证明：直线过定点． 【答案】（1） （2）易得，设：，，． 由得， 则，，且，， 所以，． 则 ． 因为，所以，解得（舍去）或， 所以：，故直线过定点． 【解析】 【分析】（1）利用右顶点处的垂线与两条渐近线的交点距离，直接得到的值，再结合离心率公式求出 即可； （2）设直线的方程，与双曲线联立后用韦达定理表示交点坐标关系，利用两条直线垂直的向量条件（点积为零）建立方程，解得 ，从而确定直线过定点． 【小问1详解】 的渐近线方程为和， 将分别代入渐近线方程，得，所以． 又，所以． 又的离心率，得， 故的方程为． 【小问2详解】 略． 18. 已知，集合，，其中是不小于3的正整数，从中随机抽取3个不同的元素，，． （1）若，记，，中数值大于6的元素个数为，求的分布列； （2）对于任意的，求，，成等差数列的概率； （3）对于任意的，若已知，，成等差数列，求的概率． 【答案】（1） 0 1 2 3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用超几何分布模型求解随机变量的分布列即可.（2）先计算从中随机抽取3个不同的元素的所有可能的总数有种；再计算满足随机抽取3个元素使，，成等差数列的所有可能的总数有种，然后利用古典概型计算，，成等差数列的概率即可.(3) 设事件“”为，设事件“，，成等差数列”为，计算的值，再利用条件概率公式即可. 【小问1详解】 当时，，共有6个元素，且其中大于6的元素有3个．所以的所有可能取值为0，1，2，3，且服从超几何分布，． 故的分布列为 0 1 2 3 【小问2详解】 设事件“，，成等差数列”为． 从中随机抽取3个不同的元素，有种情况． 若，，成等差数列，则，可得，因为为正整数，所以为偶数，，必须同为奇数或同为偶数． 因为中奇数和偶数各有个，所以满足事件的取法有种． 故． 【小问3详解】 设事件“”为，所求概率为． 由（2）知，满足事件的取法种数为，下面只需要求出满足事件的取法种数． 当，，成等差数列时，，由，得． 因为，所以，即的所有可能取值为，，…，，当的值确定时，的可能取值有种，再由确定． 所以符合事件的取法种数为 ， 故所求概率为 19. （1）分析函数的单调性； （2）证明：当时，； （3）证明：，． 【答案】（1）在上单调递增 （2）设， 因为， 所以． 设，则， 当时，单调递增，且，注意到，所以， 所以，， 故存在唯一的，使得， 则在上单调递增，在上单调递减． 又，，所以当时，， 又当时，显然有，所以， 所以在上单调递增． 所以当时，，即． （3）①在（2）所证的结论中，令（，且），得． ②当时，． ③由（1）知，当时，，即， 令（，且），得， 整理得． 综合①②③，得． 所以 ． 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据的正负即可判断的单调性； （2）设，利用导数分析可知在上单调递增，因此可得，即证结论； （3）利用（1）（2）的结论可得到，进而采用累加法即可证明不等式． 【详解】（1）的定义域为， . 故在上单调递增． （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三8月数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 样本数据8，3，12，5，9，15，6的上四分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 15 4. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，点是上除长轴端点外的动点，若的周长恒为6，面积的最大值为，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 在正项数列中，，，成等差数列，，，成等比数列，若，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7.5 6. 若圆台的母线与下底面成角，且下底面半径是上底面半径的2倍，记圆台的侧面积为，上、下底面积之和为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直角坐标系中的点集，，，则中的点形成的曲线长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记等比数列的前项和为，已知，，则（ ） A. 的公比 B. 是递减数列 C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的最小正周期为 C. 在上单调递减 D. 的图象关于直线对称 11. 定义：过曲线上一点且垂直于曲线在该点处的切线的直线，称为曲线在该点处的“法线”．已知，，是抛物线：上不重合的三个点，且在，，三点处的法线交于一点，若点的横坐标为，则下列说法正确的是（ ） A. 在点处的法线方程为 B. ，两点的横坐标之和为1 C. 点的纵坐标最小值为 D. 若点在轴上，则一定是等腰三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，常数项为________． 13. 已知函数，若曲线的任意一条切线都与直线相交，则的取值范围为________． 14. 已知正四面体的棱长为，球与正四面体的四个面分别相切于点，，，，为球的球面上一点，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 16. 如图，在三棱锥中，棱，，两两互相垂直，且，．点是的中点，点是棱上的一个动点． （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 17. 已知双曲线：的离心率为2，过的右顶点作轴的垂线，与的两条渐近线分别交于点，，且． （1）求的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线，，分别交于点，（，均异于），证明：直线过定点． 18. 已知，集合，，其中是不小于3的正整数，从中随机抽取3个不同的元素，，． （1）若，记，，中数值大于6的元素个数为，求的分布列； （2）对于任意的，求，，成等差数列的概率； （3）对于任意的，若已知，，成等差数列，求的概率． 19. （1）分析函数的单调性； （2）证明：当时，； （3）证明：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $