奥数培优 多人多次相遇与追及（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

六年级奥数培优讲义 · 多人多次相遇与追及 六年级奥数培优讲义 多人多次相遇与追及 人教版 · 行程问题专题培优 【知识梳理 + 典型例题 + 真题实战 + 详细解析】 目 录 第一部分 知识思维导图 ................................... 3 第二部分 知识点梳理 ..................................... 4 第三部分 典型例题精讲 ................................... 7 一、基础相遇问题 ..................................... 7 二、基础追及问题 ..................................... 9 三、相遇点与中点问题 ................................ 11 四、直线往返·多次相遇 .............................. 13 五、环形跑道问题 .................................... 15 六、多人行程问题 .................................... 17 第四部分 综合练习题（真题实战） ........................ 19 第五部分 参考答案与解析 ................................ 24 第一部分 知识思维导图 图1 多人多次相遇与追及知识体系思维导图 第二部分 知识点梳理 一、行程问题的基本数量关系 核心公式 路程 = 速度 × 时间 速度 = 路程 ÷ 时间 时间 = 路程 ÷ 速度 审题“三看”：一看时间（同时出发还是先后出发）；二看地点（同地还是两地）；三看方向（相向、同向还是背向）。 单位要统一：米/秒、米/分、千米/时不能混用，计算前先换算成相同单位。 二、相遇问题（相向而行） 两个人或物体面对面运动，共同走完一段路程而相遇，叫做相遇问题。 相遇问题公式 路程和 = 速度和 × 相遇时间 相遇时间 = 路程和 ÷ 速度和 速度和 = 甲速 + 乙速 中点规律：若相遇点距中点 d 千米，则快车比慢车多行了 2d 千米（快车过中点 d，慢车还差 d）。 三、追及问题（同向而行） 两人同方向运动，慢的在前、快的在后，快的追上慢的，叫做追及问题。 追及问题公式 路程差 = 速度差 × 追及时间 追及时间 = 路程差 ÷ 速度差 速度差 = 快速 − 慢速 环形跑道上同向运动：同时同地同向出发，快的每追上慢的一次，就比慢的多跑一圈。 四、直线往返中的多次相遇 两人在两地之间不断往返跑步（或开车），会反复相遇，这是本专题的重点。 多次相遇规律（两端相向出发） 第 1 次迎面相遇：两人合走 1 个全程； 第 2 次迎面相遇：两人合走 3 个全程； 第 n 次迎面相遇：两人合走 (2n−1) 个全程。 每个人走的路程，也是第一次相遇时所走路程的 (2n−1) 倍。 同端出发（两人从同一地点背向出发再往返）：第 n 次迎面相遇时，两人合走 2n 个全程。 解题口诀：“第一次”是钥匙——先求第一次相遇时每人走的路程，再乘相遇次数对应的倍数。 五、环形跑道问题 环形跑道两大规律 反向（背向）而行：每相遇一次合走 1 圈；第 n 次相遇合走 n 圈。相遇时间 = 圈长 × n ÷ 速度和。 同向而行：每追上一次路程相差 1 圈；第 n 次追上相差 n 圈。追及时间 = 圈长 × n ÷ 速度差。 从直径两端出发：第一次相遇（或追上）时，路程和（或路程差）只有半圈。 回到起点相遇：求两人同时回到出发点的时间，用两人跑一圈所用时间的最小公倍数。 六、多人行程与“三大法宝” 1. 画图法：画出线段示意图，标出每人走过的路程，相遇问题找路程和，追及问题找路程差。 2. 比例法：时间相同时，两人的路程比等于速度比。 3. 方程法：设速度或全程为未知数，根据路程和、路程差的关系列方程。 多人相遇问题：第三人（如骑车人、信使）与两人先后相遇时，“相遇时间差 × 速度和”就是后两人在这段时间拉开的距离。 往返跑动物体（如苏步青的狗）：不必分段算它每次往返的路程，只要用“总时间 × 它的速度”即可。 第三部分 典型例题精讲 一、基础相遇问题 【题型特征】两人从两地同时出发相向而行，求相遇时间或各行路程。 【解题思路】相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和。 【例题1】小明家和小红家相距1500米。星期天两人同时从家出发相向而行，小明每分钟走60米，小红每分钟走40米。两人经过多少分钟相遇？相遇时各走了多少米？ 解析： 解：两人的速度和 = 60 + 40 = 100（米/分） 相遇时间 = 1500 ÷ 100 = 15（分钟） 小明走的路程 = 60 × 15 = 900（米） 小红走的路程 = 40 × 15 = 600（米） 检验：900 + 600 = 1500（米），正好等于两家距离。 答：两人经过15分钟相遇；相遇时小明走了900米，小红走了600米。 【例题2】甲、乙两辆汽车从相距360千米的两座城市同时相对开出，甲车每小时行70千米，乙车每小时行50千米。（1）经过几小时两车相遇？（2）相遇时甲车比乙车多行多少千米？（3）相遇点距离全程中点多少千米？ 解析： 解：（1）速度和 = 70 + 50 = 120（千米/时） 相遇时间 = 360 ÷ 120 = 3（小时） （2）甲车比乙车多行 = (70 − 50) × 3 = 60（千米） （3）甲车过中点后又走了一段，乙车还没到中点，两段相等： 相遇点距中点 = 60 ÷ 2 = 30（千米） 答：经过3小时相遇；相遇时甲车比乙车多行60千米；相遇点距中点30千米。 【随堂练习】 1. 甲、乙两艘轮船从相距300千米的两个码头同时相向开出，甲船每小时行28千米，乙船每小时行22千米。经过几小时两船相遇？ 2. 快递员哥哥骑车以每分钟200米的速度给小区里的王奶奶送药，王奶奶同时以每分钟50米的速度步行去迎他，两人相距2000米。几分钟后两人相遇？ 3. 甲、乙两车从相距480千米的两地同时相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行35千米。相遇时甲车比乙车多行多少千米？ 二、基础追及问题 【题型特征】两人同方向运动，慢的先走（或在前），快的后出发追赶。 【解题思路】追及时间 = 路程差 ÷ 速度差。 【例题3】弟弟以每分钟40米的速度从家出发去书店，5分钟后哥哥以每分钟60米的速度沿同一路线去追弟弟。哥哥出发多少分钟后追上弟弟？追上时离家多少米？ 解析： 解：哥哥出发时，弟弟已经走了 40 × 5 = 200（米），这就是路程差。 两人的速度差 = 60 − 40 = 20（米/分） 追及时间 = 200 ÷ 20 = 10（分钟） 追上时离家的距离 = 60 × 10 = 600（米） 检验：弟弟一共走了 40 × (5 + 10) = 600（米），两人位置相同。 答：哥哥出发10分钟后追上弟弟，追上时离家600米。 【例题4】学校环形跑道一圈长400米，甲、乙两人同时从起跑线同方向出发，甲每秒跑6米，乙每秒跑4米。甲第一次追上乙需要多少秒？追上的地点在哪里？ 解析： 解：同向而行，甲第一次追上乙时，比乙多跑整整 1 圈，即路程差为400米。 速度差 = 6 − 4 = 2（米/秒） 追及时间 = 400 ÷ 2 = 200（秒） 此时甲跑了 6 × 200 = 1200（米），1200 ÷ 400 = 3（圈），正好跑了3整圈。 答：甲第一次追上乙需要200秒，追上地点正好是起跑线（起点）。 【随堂练习】 1. 小明以每分钟60米的速度步行去公园，8分钟后爸爸发现他忘带水壶，立即以每分钟100米的速度骑车去追。爸爸出发多少分钟后追上小明？ 2. 一条环形跑道长300米，甲、乙两人同时同地同向出发，甲每秒跑5米，乙每秒跑3米。甲第一次追上乙需要多少秒？ 3. 兄弟俩沿湖边小路同向跑步，弟弟每分钟跑120米先出发3分钟，哥哥每分钟跑160分钟后出发去追。哥哥在离家多少米处追上弟弟？ 三、相遇点与中点问题 【题型特征】已知相遇点距中点（或距某地）的距离，反求全程或速度。 【解题思路】距中点 d 千米相遇，快车多行 2d 千米，先求相遇时间，再求全程。 【例题5】快车和慢车同时从甲、乙两地相对开出，在距离中点24千米的地方相遇。已知快车每小时行78千米，慢车每小时行66千米。甲、乙两地相距多少千米？ 解析： 解：相遇点距中点24千米，说明快车比慢车多行了 24 × 2 = 48（千米）。 速度差 = 78 − 66 = 12（千米/时） 相遇时间 = 48 ÷ 12 = 4（小时） 速度和 = 78 + 66 = 144（千米/时） 全程 = 144 × 4 = 576（千米） 答：甲、乙两地相距576千米。 【例题6】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，第一次在距离A地320米处相遇；相遇后两人继续前进，分别到达B地、A地后立即返回，第二次在距离A地280米处相遇。A、B两地相距多少米？ 解析： 解：第一次相遇时，两人合走 1 个全程，甲（从A出发）走了320米。 第二次迎面相遇时，两人合走 3 个全程，所以甲一共走了 320 × 3 = 960（米）。 甲走的路线是：从A到B走了1个全程，再从B往回走。 第二次相遇点距A地280米，说明该点距B地为（全程 − 280）米，这正是甲返回后走的路程。 设全程为 x 米，则甲返回走了 (x − 280) 米，可得： x + (x − 280) = 960，解得 2x = 1240，x = 620（米）。 答：A、B两地相距620米。 【随堂练习】 1. 甲、乙两车同时从两地相对开出，在距中点15千米处相遇。甲车每小时行60千米，乙车每小时行50千米。两地相距多少千米？ 2. 客车和货车分别从甲、乙两站同时相向开出，第一次在离甲站50千米处相遇；相遇后继续前进，到达对方车站后立即返回，第二次在离乙站30千米处相遇。甲、乙两站相距多少千米？ 3. 小明和小亮分别从学校和书店同时出发相向而行，第一次在距学校480米处相遇；各自到达后立即返回，第二次在距书店200米处相遇。学校与书店相距多少米？ 四、直线往返·多次相遇 【题型特征】两人在直路两端（或同端）出发往返运动，求相遇次数或相遇点位置。 【解题思路】第 n 次迎面相遇，两端出发合走 (2n−1) 个全程；同端出发合走 2n 个全程。 【例题7】甲、乙两人在一条长90米的直路上来回跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑2米。如果他们同时分别从直路的两端出发，跑了10分钟，这段时间内两人共迎面相遇多少次？ 解析： 解：第一次迎面相遇，两人合走 1 个全程：90 ÷ (3 + 2) = 18（秒）。 以后每迎面相遇一次，两人要合走 2 个全程：90 × 2 ÷ (3 + 2) = 36（秒）。 10分钟 = 600秒。第一次相遇后还剩 600 − 18 = 582（秒）。 582 ÷ 36 = 16……6，即还能相遇16次。 迎面相遇总次数 = 1 + 16 = 17（次）。 答：这段时间内两人共迎面相遇17次。 【例题8】A、B两地相距1000米，甲步行每分钟60米、乙跑步每分钟150米，两人同时从A地出发，在A、B两地之间不断往返锻炼。30分钟内，两人第几次迎面相遇时距离B地最近？最近距离是多少米？ 解析： 解：两人同端出发，第 n 次迎面相遇时合走 2n 个全程，速度和 = 60 + 150 = 210（米/分）。 第1次相遇：合走2000米，时间 = 2000 ÷ 210 = （分），乙跑了 150 × = （米）； 乙到达B地后返回 − 1000 = （米），即相遇点距B地 米（约428.6米）。 第2次相遇：合走4000米，时间 = 4000 ÷ 210 = （分），乙跑了 150 × = （米）； − 2000 = （米），此时乙在从A地返回B地的路上，距B地 1000 − = （米）（约142.9米）。 第3次相遇：合走6000米，时间 = 6000 ÷ 210 = ≈ 28.6（分），乙跑了 150 × = （米）； − 4000 = （米），即乙跑完4个全程后又从A地向B地跑了 米，相遇点距B地 1000 − = （米）（约714.3米）。 第4次相遇需要 8000 ÷ 210 ≈ 38.1（分），超过30分钟，不再发生。 比较 、、，最小的是 。 答：第2次迎面相遇时距B地最近，最近距离是 米（约143米）。 【随堂练习】 1. 甲、乙两人在长100米的直路上来回跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑2米，两人同时从两端出发。5分钟内两人共迎面相遇多少次？ 2. 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，第一次在距A地800米处相遇；到达后立即返回，第二次在距B地400米处相遇。A、B两地相距多少米？ 3. 甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，第一次在距B地68千米处相遇；到达后立即返回，第二次在距A地52千米处相遇。两次相遇地点之间相距多少千米？ 五、环形跑道问题 【题型特征】沿环形路（跑道、湖、花坛）运动，分反向相遇和同向追及两类。 【解题思路】反向看速度和、同向看速度差；第 n 次相遇合走 n 圈，第 n 次追上相差 n 圈。 【例题9】绕湖一周的小路长6000米，小玲和小华同时从同一地点出发。小玲每分钟走220米，小华每分钟走180米。（1）如果两人反向而行，多少分钟后第一次相遇？（2）如果两人同向而行，小玲多少分钟后第一次追上小华？（3）同向而行时，小玲第二次追上小华是在什么地点？ 解析： 解：（1）反向而行，第一次相遇合走1圈： 6000 ÷ (220 + 180) = 6000 ÷ 400 = 15（分钟） （2）同向而行，第一次追上路程差为1圈： 6000 ÷ (220 − 180) = 6000 ÷ 40 = 150（分钟） （3）第二次追上时路程差为2圈：6000 × 2 ÷ 40 = 300（分钟） 小玲走了 220 × 300 = 66000（米），66000 ÷ 6000 = 11（圈），正好走了11整圈。 答：反向15分钟第一次相遇；同向150分钟第一次追上；第二次追上时小玲正好回到出发点。 【例题10】甲、乙两人在周长400米的环形跑道上跑步，A、B是跑道一条直径的两端（相距半圈）。甲从A地、乙从B地同时出发相向而行，第一次相遇时甲跑了140米。两人继续跑，第二次相遇的地点与第一次相遇的地点相距多少米？ 解析： 解：从直径两端出发，第一次相遇时两人合跑半圈（200米），其中甲跑了140米。 从第一次相遇到第二次相遇，两人又合跑整整1圈（400米）。 因为速度不变，合跑的路程扩大到原来的 400 ÷ 200 = 2 倍，甲又跑了 140 × 2 = 280（米）。 从开始到第二次相遇，甲一共跑了 140 + 280 = 420（米）。 甲从A点出发跑420米，相当于绕跑道1圈后又跑20米，即第二次相遇点在距A点沿甲方向20米处。 第一次相遇点距A点140米，两点相距 140 − 20 = 120（米）。 答：第二次相遇地点与第一次相遇地点相距120米。 【随堂练习】 1. 甲、乙两人在400米环形跑道上同时同地反向出发，甲每秒跑6米，乙每秒跑4米。两人第二次相遇经过了多少秒？ 2. 妈妈和小小沿圆形花坛散步，小小走一圈用12分钟，妈妈走一圈用8分钟。两人同时同地相背而行，多少分钟后第一次相遇？ 3. 甲绕圆形广场一圈要6分钟，乙绕一圈要8分钟。两人同时同地同向出发，至少经过多少分钟两人又在出发点相遇？这时各走了几圈？ 六、多人行程问题 【题型特征】三个或更多人（车）参与运动，出现多次相遇、追及。 【解题思路】用好画图法、比例法、方程法；抓住“时间相同，路程比等于速度比”。 【例题11】甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米。现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇。东、西两村之间的距离是多少米？ 解析： 解：甲与乙相遇时，甲和丙之间还隔着一段距离。甲、丙相向而行，这段距离让他们又走了6分钟才相遇： 这段距离 = (100 + 75) × 6 = 175 × 6 = 1050（米）。 这1050米，正是从出发到甲、乙相遇这段时间里，乙比丙多走的路程（乙、丙同时从西村出发）。 乙比丙每分钟多走 80 − 75 = 5（米）， 所以从出发到甲、乙相遇共用了 1050 ÷ 5 = 210（分钟）。 东、西两村距离 = (100 + 80) × 210 = 180 × 210 = 37800（米）。 答：东、西两村之间的距离是37800米。 【例题12】数学家苏步青小时候做过这样一道题：甲、乙两人同时从相距3000米的两地相向而行，甲每分钟走70米，乙每分钟走80米。甲带着一只狗，狗每分钟跑200米，狗与甲同时出发，碰到乙就调头跑回，碰到甲又调头跑向乙，这样不断往返，直到甲、乙两人相遇。这只狗一共跑了多少米？ 解析： 解：狗每次往返的路程很难一段段算，但狗一直在跑，它跑的总时间就等于甲、乙两人的相遇时间。 甲、乙相遇时间 = 3000 ÷ (70 + 80) = 3000 ÷ 150 = 20（分钟）。 狗跑的总路程 = 200 × 20 = 4000（米）。 答：这只狗一共跑了4000米。 【随堂练习】 1. 甲、乙、丙三人进行赛跑，同时从A地出发跑向B地。当甲到达B地时，乙离B地还有25米，丙离B地还有40米；当乙到达B地时，丙离B地还有20米。A、B两地相距多少米？ 2. 快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一条公路追赶前面一个骑车人，三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。已知快车每小时行24千米，中车每小时行20千米，慢车每小时行多少千米？ 3. 甲、乙、丙三辆车同时从A地出发开往B地，甲、乙两车的速度分别是每小时60千米和48千米。一辆卡车同时从B地迎面开来，分别在它们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙三车相遇。丙车每小时行多少千米？ 第四部分 综合练习题（真题实战） 本部分精选2024-2025学年各地六年级期末及小升初真题共18道，按难度分为基础篇、提升篇、拓展篇。请先独立完成，再对照第五部分的详细解析。 基础篇（第1～6题） 1. （2024-2025学年湖北省武汉市武昌区六年级期末） 公园有一条环形健身步道，小明走一圈需要20分钟，小亮走一圈需要30分钟。两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后两人相遇？ 2. （2025-2026学年人教版六年级上册期末密押卷） 学校的环形跑道长400米，甲、乙两人同时从跑道的同一地点背向而行。已知甲的速度是120米/分，甲、乙两人的速度比是3∶2，他们几分钟后首次相遇？ 3. （2025年江苏省泗洪县小升初真题） 甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发同向而行。甲的速度是每分钟290米，乙的速度是每分钟250米。经过多少分钟甲第一次追上乙？ 4. （2024年福建省霞浦县小升初真题） 快、慢两列火车分别从甲、乙两站同时开出，相对而行，经过2.5小时相遇，相遇时快车超过中点25千米。已知慢车每小时行驶40千米，快车每小时行多少千米？ 5. （2024-2025学年小升初数学真题汇编） 小王和小李沿着水库四周的道路跑步，他们从同一地点出发反向而行，小王的速度是225米/分，小李的速度是205米/分，经过15分钟两人第一次相遇。水库四周的道路长多少米？ 6. （2024-2025学年小升初数学真题汇编） 欢欢和笑笑在一个周长为300米的环形跑道上练习跑步，她们同时从同一地点出发背向而行，欢欢每秒跑4米，笑笑每秒跑6米。经过多少秒两人第一次相遇？ 提升篇（第7～12题） 7. （2024-2025学年小升初数学真题汇编） 甲、乙两人同时从两地出发相向而行，两地距离是1000米，甲每分钟走120米，乙每分钟走80米。甲带着一只狗，狗每分钟跑500米，这只狗与甲一道出发，碰到乙时调头，碰到甲时又调头，直到两人相遇。这只狗一共跑了多少米？ 8. （2024-2025学年小升初数学真题汇编） 客车和货车分别从甲、乙两站同时相向开出，第一次相遇在离甲站40千米的地方；相遇后两车仍以原速度继续前进，客车到达乙站、货车到达甲站后均立即返回，结果它们又在离乙站20千米的地方相遇。求甲、乙两站之间的距离。 9. （2024-2025学年小升初数学真题汇编） 小王和小李同时从东、西两村出发相向而行，第一次相遇时离开东村1.8千米；相遇后两人继续前进，小王到达西村、小李到达东村后都立即返回，第二次相遇时相遇点离开西村1.2千米。东、西两村相距多少千米？ 10. （2024-2025学年小升初数学真题汇编） 客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，相遇后继续前进，各自到达对方出发地后立即返回，途中第二次相遇，两次相遇地点相距120千米。客车每小时行60千米，货车每小时行48千米。甲、乙两地相距多少千米？ 11. （2024-2025学年小升初数学真题汇编） 小明和小红两人在长100米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为6米/秒，小红的速度为4米/秒。他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟。在这段时间内，他们迎面相遇了多少次？ 12. （2024-2025学年小升初数学真题汇编） 甲、乙两车绕周长为400千米的环形跑道行驶，它们从同一地点同时出发背向而行，5小时相遇一次。如果两车每小时各加快10千米，那么相遇点距离前一次相遇地点3千米，已知乙车比甲车快。甲车原来每小时行多少千米？ 拓展篇（第13～18题） 13. （2024-2025学年小升初数学真题汇编） 小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去，小新、正南两人的速度分别是每分钟20米和每分钟16米。在他们出发的同时，风间从公园迎面走来，分别在他们出发后6分钟、7分钟、8分钟先后与小新、正南、妮妮相遇。妮妮每分钟走多少米？ 14. （2024-2025学年小升初数学真题汇编） 甲、乙、丙三人同时从A地向B地跑步，当甲跑到B地时，乙离B地还有20米，丙离B地还有40米；当乙跑到B地时，丙离B地还有24米。（1）A、B两地相距多少米？（2）如果丙从A地跑到B地用了24秒，那么甲的速度是多少？ 15. （2024-2025学年小升初数学真题汇编） A、B、C三位好朋友沿着小区的环形跑道匀速慢跑，他们同时从跑道上一固定点出发，B、C两人同向，A与B、C反向。A在第一次遇上B后1.5分钟第一次遇上C，再经过2.5分钟第二次遇上B。已知A的速度与B的速度的比是3∶2，环形跑道的周长是1100米。B、C两人每分钟各跑多少米？ 16. （2024-2025学年小升初数学真题汇编） 甲、乙二人分别从A、B两地同时出发往返跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑7米。如果他们的第四次迎面相遇点与第五次迎面相遇点的距离是150米，求A、B两点间的距离。 17. （2024-2025学年小升初数学真题汇编） 甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为每小时60千米和48千米。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。丙车每小时行多少千米？ 18. （2024-2025学年湖北省武汉市武昌区六年级期末） 学校操场的400米跑道中套着300米的小跑道，大跑道与小跑道有200米路程重合。甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑，乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑，两人同时从两跑道的交点处出发。当他们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了多少米？ 第五部分 参考答案与解析 一、随堂练习参考答案 第1题 相遇时间 = 300 ÷ (28 + 22) = 300 ÷ 50 = 6（小时）。 答：经过6小时两船相遇。 第2题 相遇时间 = 2000 ÷ (200 + 50) = 2000 ÷ 250 = 8（分钟）。 答：8分钟后两人相遇。 第3题 相遇时间 = 480 ÷ (45 + 35) = 6（小时）； 甲车比乙车多行 = (45 − 35) × 6 = 60（千米）。 答：相遇时甲车比乙车多行60千米。 第4题 路程差 = 60 × 8 = 480（米）；追及时间 = 480 ÷ (100 − 60) = 12（分钟）。 答：爸爸出发12分钟后追上小明。 第5题 追及时间 = 300 ÷ (5 − 3) = 150（秒）。 答：甲第一次追上乙需要150秒。 第6题 路程差 = 120 × 3 = 360（米）；追及时间 = 360 ÷ (160 − 120) = 9（分钟）； 追上时哥哥跑了 160 × 9 = 1440（米）。 答：哥哥在离家1440米处追上弟弟。 第7题 快车比慢车多行 15 × 2 = 30（千米）；相遇时间 = 30 ÷ (60 − 50) = 3（小时）； 全程 = (60 + 50) × 3 = 330（千米）。 答：两地相距330千米。 第8题 第二次相遇时客车共走 50 × 3 = 150（千米），等于1个全程加上从乙站返回的30千米。 全程 = 150 − 30 = 120（千米）。 答：甲、乙两站相距120千米。 第9题 第二次相遇时小明共走 480 × 3 = 1440（米），等于1个全程加上从书店返回的200米。 全程 = 1440 − 200 = 1240（米）。 答：学校与书店相距1240米。 第10题 第一次迎面相遇时间 = 100 ÷ (3 + 2) = 20（秒）；以后每次间隔 100 × 2 ÷ 5 = 40（秒）。 5分钟 = 300秒，(300 − 20) ÷ 40 = 7，共相遇 1 + 7 = 8（次）。 答：5分钟内共迎面相遇8次。 第11题 第二次相遇时甲共走 800 × 3 = 2400（米），等于1个全程加上返回的400米。 全程 = 2400 − 400 = 2000（米）。 答：A、B两地相距2000米。 第12题 全程 = 68 × 3 − 52 = 152（千米）。第一次相遇点距A地 152 − 68 = 84（千米）， 第二次相遇点距A地52千米，两次相遇点相距 84 − 52 = 32（千米）。 答：两次相遇地点相距32千米。 第13题 第二次相遇两人合跑2圈：400 × 2 ÷ (6 + 4) = 80（秒）。 答：第二次相遇经过了80秒。 第14题 把花坛一圈看作单位“1”，小小速度为 ，妈妈速度为 ； 相遇时间 = 1 ÷ ( + ) = 1 ÷ = = 4.8（分钟）。 答：4.8分钟后第一次相遇。 第15题 两人同时回到出发点的时间是6和8的最小公倍数：[6, 8] = 24（分钟）。 此时甲走了 24 ÷ 6 = 4（圈），乙走了 24 ÷ 8 = 3（圈）。 答：至少经过24分钟在出发点相遇；甲走了4圈，乙走了3圈。 第16题 乙跑最后25米时，丙跑了 40 − 20 = 20（米），所以乙、丙速度比为 25∶20 = 5∶4。 设全程为 x 米，则 (x − 25)∶(x − 40) = 5∶4，即 4(x − 25) = 5(x − 40)，解得 x = 100。 答：A、B两地相距100米。 第17题 快车速度24千米/时 = 0.4千米/分，中车20千米/时 = 千米/分。 快车6分钟走2.4千米，中车10分钟走 千米；骑车人在相差的4分钟里走了 − 2.4 = （千米）， 骑车人速度 = ÷ 4 = （千米/分）；出发时三车与骑车人相距 2.4 − × 6 = 1（千米）。 慢车12分钟走的路程 = 1 + × 12 = （千米），速度 = ÷ 12 = （千米/分）= 19（千米/时）。 答：慢车每小时行19千米。 第18题 设卡车速度为 x 千米/时，A、B全程固定：(60 + x) × 6 = (48 + x) × 7， 即 360 + 6x = 336 + 7x，解得 x = 24；全程 = (60 + 24) × 6 = 504（千米）。 丙车速度 = 504 ÷ 8 − 24 = 39（千米/时）。 答：丙车每小时行39千米。 二、综合练习真题详解 第1题 解：把步道一圈的路程看作单位“1”。小明的速度是 （圈/分），小亮的速度是 （圈/分）。 相背而行，相遇时间 = 1 ÷ ( + ) = 1 ÷ = 12（分钟）。 答：12分钟后两人相遇。 第2题 解：甲、乙速度比是3∶2，乙的速度 = 120 ÷ 3 × 2 = 80（米/分）。 背向而行首次相遇合走1圈：400 ÷ (120 + 80) = 400 ÷ 200 = 2（分钟）。 答：他们2分钟后首次相遇。 第3题 解：同向而行，甲第一次追上乙时比乙多跑1圈，路程差为400米。 速度差 = 290 − 250 = 40（米/分）；追及时间 = 400 ÷ 40 = 10（分钟）。 答：经过10分钟甲第一次追上乙。 第4题 解：相遇时快车超过中点25千米，说明快车比慢车多行了 25 × 2 = 50（千米）。 慢车2.5小时行了 40 × 2.5 = 100（千米），则快车行了 100 + 50 = 150（千米）。 快车速度 = 150 ÷ 2.5 = 60（千米/时）。 答：快车每小时行60千米。 第5题 解：反向而行第一次相遇，两人路程和正好是水库一周的长度。 道路长 = (225 + 205) × 15 = 430 × 15 = 6450（米）。 答：水库四周的道路长6450米。 第6题 解：背向而行第一次相遇合走1圈：300 ÷ (4 + 6) = 300 ÷ 10 = 30（秒）。 答：经过30秒两人第一次相遇。 第7题 解：狗跑的总时间就是甲、乙两人的相遇时间：1000 ÷ (120 + 80) = 5（分钟）。 狗一共跑了 500 × 5 = 2500（米）。 答：这只狗一共跑了2500米。 第8题 解：第一次相遇合走1个全程，客车走了40千米；第二次迎面相遇合走3个全程，客车共走 40 × 3 = 120（千米）。 这120千米等于1个全程加上客车从乙站返回的20千米，所以全程 = 120 − 20 = 100（千米）。 答：甲、乙两站之间相距100千米。 第9题 解：第一次相遇合走1个全程，小王（从东村出发）走了1.8千米；第二次迎面相遇合走3个全程，小王共走 1.8 × 3 = 5.4（千米）。 这5.4千米等于1个全程加上从西村返回的1.2千米，所以两村距离 = 5.4 − 1.2 = 4.2（千米）。 答：东、西两村相距4.2千米。 第10题 解：客车与货车速度比为 60∶48 = 5∶4。第一次相遇时，客车走了全程的 。 第二次迎面相遇两车合走3个全程，客车共走 × 3 = （个全程），即到达乙地后又返回走了全程的 ， 所以第二次相遇点距甲地为全程的 。两次相遇点相距全程的 − = 。 全程 = 120 ÷ = 120 × = 540（千米）。 答：甲、乙两地相距540千米。 第11题 解：两人从跑道两端出发，第一次迎面相遇合走1个全程：100 ÷ (6 + 4) = 10（秒）； 以后每迎面相遇一次合走2个全程：100 × 2 ÷ (6 + 4) = 20（秒）。 12分钟 = 720秒，第一次相遇后还剩 720 − 10 = 710（秒）。 710 ÷ 20 = 35……10，即还能迎面相遇35次。 迎面相遇总次数 = 1 + 35 = 36（次）。 答：在这段时间内，他们迎面相遇了36次。 第12题 解：原来两车速度和 = 400 ÷ 5 = 80（千米/时）；各加快10千米后速度和 = 100（千米/时），相遇时间 = 400 ÷ 100 = 4（小时）。 加速后甲车4小时比按原速多行 10 × 4 = 40（千米）；相遇点移动了3千米，说明这40千米相当于甲车按原速走1小时还差3千米。 甲车原来的速度 = (40 − 3) ÷ (5 − 4) = 37（千米/时）。 （检验：乙车原速 80 − 37 = 43 千米/时，确实乙车更快。） 答：甲车原来每小时行37千米。 第13题 解：设风间的速度为 x 米/分。学校到公园的路程不变： (20 + x) × 6 = (16 + x) × 7，即 120 + 6x = 112 + 7x，解得 x = 8。 学校到公园路程 = (20 + 8) × 6 = 168（米）。 妮妮的速度 = 168 ÷ 8 − 8 = 21 − 8 = 13（米/分）。 答：妮妮每分钟走13米。 第14题 解：（1）乙跑最后20米时，丙跑了 40 − 24 = 16（米），乙、丙速度比为 20∶16 = 5∶4。 设A、B相距 x 米，则 (x − 20)∶(x − 40) = 5∶4，即 4(x − 20) = 5(x − 40)，解得 x = 120。 （2）丙的速度 = 120 ÷ 24 = 5（米/秒）；甲到达B地时，丙跑了 120 − 40 = 80（米），用时 80 ÷ 5 = 16（秒）， 甲的速度 = 120 ÷ 16 = 7.5（米/秒）。 答：A、B两地相距120米；甲的速度是7.5米/秒。 第15题 解：A第一次遇上B后，再经过 1.5 + 2.5 = 4（分钟）第二次遇上B，这4分钟里A、B合跑1圈， 所以 A、B速度和 = 1100 ÷ 4 = 275（米/分）。 A与B速度比为3∶2，A的速度 = 275 × = 165（米/分），B的速度 = 275 × = 110（米/分）。 从出发到A第一次遇上C共用 4 + 1.5 = 5.5（分钟），A、C合跑1圈， A、C速度和 = 1100 ÷ 5.5 = 200（米/分），C的速度 = 200 − 165 = 35（米/分）。 答：B每分钟跑110米，C每分钟跑35米。 第16题 解：甲、乙速度比为3∶7。第 n 次迎面相遇两人合走 (2n−1) 个全程，甲走其中的 。 第4次迎面相遇时，甲共走 × 7 = （个全程），即走完2个全程后又走 ，相遇点距A地 个全程； 第5次迎面相遇时，甲共走 × 9 = （个全程），即走完2个全程后又走 ，相遇点距A地 个全程。 两个相遇点相距全程的 − = = ，对应150米。 全程 = 150 ÷ = 250（米）。 答：A、B两点间的距离是250米。 第17题 解：设卡车速度为 x 千米/时。A、B全程不变：(60 + x) × 6 = (48 + x) × 7， 即 360 + 6x = 336 + 7x，解得 x = 24；全程 = (60 + 24) × 6 = 504（千米）。 丙车速度 = 504 ÷ 8 − 24 = 63 − 24 = 39（千米/时）。 答：丙车每小时行39千米。 第18题 解：设两人同时出发的交点为A。第一次相遇时乙还在两跑道重合段上，两人合跑大跑道1圈： 第一次相遇时间 = 400 ÷ (6 + 4) = 40（秒），甲跑 6 × 40 = 240（米），乙跑 4 × 40 = 160（米）。 乙跑完小跑道回到A点还需 (300 − 160) ÷ 4 = 35（秒），这35秒甲又跑 6 × 35 = 210（米）； 此时甲共跑 240 + 210 = 450（米），相当于绕大跑道1圈后越过A点50米。 甲、乙再次相向而行，到第二次相遇还需 (400 − 50) ÷ (6 + 4) = 35（秒）。 从出发到第二次相遇共 40 + 35 + 35 = 110（秒），甲共跑 6 × 110 = 660（米）。 答：第二次相遇时甲共跑了660米。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $