26.3 二次函数与一元二次方程 导学案2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“二次函数与一元二次方程”核心内容，通过前置补偿复习二次函数对称轴、顶点坐标及一元二次方程判别式，搭建新旧知识桥梁，结合小球飞行实例与三个具体二次函数探究，引导学生理解两者内在联系。 以“观察—对比—归纳”探究活动为主线，学生通过列表画图、分析交点与方程根的关系，发展几何直观与推理能力，分层作业设计兼顾基础与提升，例题与自测结合，渗透数形结合思想，助力模型观念养成，提升分析解决问题能力。

26.3 二次函数与一元二次方程 导学案 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 【学习目标】 1. 经历课本小球飞行实例探究，体会二次函数与一元二次方程的内在联系，理解抛物线与 x 轴交点横坐标就是对应一元二次方程的实数根，发展几何直观、推理能力。 2. 会运用一元二次方程根的判别式 Δ=b²4ac 判断抛物线 y=ax²+bx+c (a≠0) 与 x 轴交点个数；会利用二次函数图象求一元二次方程的近似根。 3. 体会函数与方程转化、数形结合数学思想，能解决简单相关问题，提升分析解决问题能力，发展模型观念。 学习重点：二次函数图象与 x 轴交点和一元二次方程根的对应关系；判别式判断抛物线与 x 轴交点个数。 学习难点：理解函数与方程相互转化；图象法求一元二次方程近似根；区分交点坐标与方程的根。 【前置补偿】 1. 二次函数 y=ax²+bx+c (a≠0)，对称轴：________，顶点坐标：___________。 2. 一元二次方程 ax²+bx+c=0 (a≠0)根的判别式Δ= 。 Δ>0，方程___________；Δ=0，方程______；Δ<0，方程________________。 3. 思考：对于二次函数 y=ax²+bx+c，如果令函数值 y=0，得到的式子是什么？ 【学生自学】 阅读课本，先初步了解教材探究思路： ①思考：观察 y=x²+x2、y=x²8x+16、y=x²x+1 三个抛物线图象，分别看抛物线与x 轴交点，再解对应的一元二次方程，对比交点 坐标与方程的 ； ②小球飞行实际情境：已知二次函数的函数值，求自变量，转化为解一元二次方程； ③归纳： 的三种情况对应抛物线与 三种位置关系； ④例题：利用二次函数图象求一元二次方程的 实数根。 探究一： 根据三个二次函数：y=x²+x2，y=x²8x+16，y=x²x+1，完成任务。 任务：先列表计算函数值，在下图同一坐标系描点、画出三条抛物线草图，完成填空。 1.y=x²+x2 x … 3 2 1 0 1 2 … y … ___ ___ ___ ___ ___ ___ … 抛物线与x 轴交点坐标： ； 令y=0，得方程 x²+x2=0，方程的根：________。 2.y=x²8x+16 x … 4 5 6 3 2 1 … y … ___ ___ ___ ___ ___ ___ … 抛物线与x轴交点坐标：____； 令y=0，得方程 x²8x+16=0，方程的根：________。 3.y=x²x+1 x … 1 0 1 2 3 … y … ___ ___ ___ ___ ___ … 抛物线与x 轴有没有交点，令y=0，得方程 x²x+1=0，方程根的情况： 。 思考问题： ①抛物线与 x 轴交点的横坐标，和对应一元二次方程的实数根有什么关系？ ②结合判别式 Δ，想一想为什么有的抛物线和 x 轴有两个交点，有的一个，有的没有交点？ 【小组互查质疑】 小组互助，核对画图、方程求解；辨析：交点坐标 ≠ 方程的根。 本组易错点记录： 探究二：小球飞行实例 一个小球以 40m/s 的速度，沿与地面成 30° 角的方向击出时，小球的飞行高度 h (单位：m) 与飞行时间 t (单位：s) 之间函数关系：h=20t5t²。 根据题意完成下面问题： (1) 飞行时间 t 为多少秒时，小球高度 h=15m？ 列方程：________________。 (2) 飞行时间 t 为多少秒时，小球高度 h=20m？ 列方程：________________。 (3) 飞行时间 t 为多少秒时，小球高度 h=20.5m？ 列方程：________________。 (4) 小球从飞出到落地，高度 h=0，求飞行时间？ 列方程：________________。 小组交流思考：已知二次函数的函数值，求自变量的取值，本质就是把______问题转化为________问题。 知识点归纳 1.二次函数与一元二次方程的联系 当y=ax²+bx+c (a≠0) 的函数值y=0 时，就得到一元二次方程 ax²+bx+c=0 (a≠0)。 抛物线 y=ax²+bx+c 与x 轴交点的________，就是一元二次方程 ax²+bx+c=0 的实数根。 2. 判别式 Δ=b²4ac 与抛物线和 x 轴交点个数对应关系 (1) Δ>0：方程有________________实数根，抛物线与 x 轴有____个交点； (2)Δ=0：方程有________________实数根，抛物线与 x 轴有____个交点（顶点落在 x 轴上）； Δ<0：方程________________实数根，抛物线与 x 轴________交点。 3.利用图象求一元二次方程近似根 画出抛物线 y=ax²+bx+c，抛物线与____轴交点的横坐标，就是方程 ax²+bx+c=0 的近似实数根。 思考拓展：抛物线与 y 轴交点坐标为________，这个点不受判别式 Δ 影响。 【例题自学】 例：利用函数图象求方程 x²2x2=0 的实数根（结果保留小数点后一位）。 解题步骤： ①画出二次函数 y=x²2x2 的图象； ②观察图象，读出抛物线与 x 轴交点的横坐标大约为： 、 ； ③因此方程 x²2x2=0 的近似实数根为：________________。 简要书写解题过程： 【自学小测】 1. 抛物线 y=x²8x+16，计算 Δ= ，抛物线与 x 轴交点坐标： 。 2. 不画图象，判断抛物线 y=x²+x2 与 x 轴有几个交点：________。 【合作学习，课堂研讨】 1. Δ=0 时，抛物线与 x 轴只有一个公共点，此时顶点位置在哪里？对应的一元二次方程根是什么特点？ 2. 如果一元二次方程 ax²+bx+c=0 没有实数根，那么抛物线 y=ax²+bx+c 和 x 轴有无交点？图象位置由哪个字母决定在 x 轴上方还是下方？ 3. 图象法得到的方程根一般是近似根，代数解方程得到的是准确根，两种方法各有什么优势？ 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】 🔔课本重点易错警示 1. 方程的根是交点的横坐标，不要把交点完整坐标 (x,0) 直接当作方程的根。 2. Δ=0，描述为：抛物线与 x 轴有一个公共点，不能说成两个交点。 3. 图象法求出的大多是近似根；代数解法可以求出准确根。 4. 抛物线与 y 轴交点固定为 (0,c)，和判别式无关。 课堂笔记： 【总结提升】 1. 课本探究路径：小球飞行实际情境（函数值已知求自变量）→课本思考图 26.31 三组抛物线观察交点→对比对应一元二次方程→Δ 判别交点个数→图象法求方程近似根。 2. 核心对应：抛物线与 x 轴交点横坐标 ⇔ 一元二次方程 ax²+bx+c=0 实数根。 3. 数学思想：函数与方程互相转化、数形结合。 【课内自测】 1. 抛物线 y=x²+x2与x轴交点坐标______、 ； 对应方程 x²+x2=0 的根： 。 2. 若抛物线 y=x²8x+m与x轴仅有一个交点，则 m=________。 3. 利用图象思想，方程 x²2x2=0 的近似根为：________。 【分层作业】 A 组【基础过关・必做】 1. 不画图象，判别抛物线与 x 轴交点个数： (1) y=x²+x2 (2) y=x²x+1 2. 求抛物线 y=x²8x+16 与 x 轴交点坐标。 B 组【能力提升・选做】 1. 已知抛物线 y=x²2 (k1) x+k² 与 x 轴有交点，求 k 取值范围。 2. 抛物线 y=x²+x2，根据图象直接写出 y>0 时 x 的取值范围。 C 组【拓广探索・培优】（课本习题拓广探索原题） 1. 求证：二次函数 y=x²(2m1) x+m²m 的图象与 x 轴一定有两个交点。 2. 求证：无论 m 取何值，二次函数 y=-x²+(m1) x+m 的图象与 x 轴总有公共点。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.3 二次函数与一元二次方程导学案【解析版】 【学习目标】 1. 经历课本小球飞行实例探究，体会二次函数与一元二次方程的内在联系，理解抛物线与 x 轴交点横坐标就是对应一元二次方程的实数根，发展几何直观、推理能力。 2. 会运用一元二次方程根的判别式 Δ=b²4ac 判断抛物线 y=ax²+bx+c (a≠0) 与 x 轴交点个数；会利用二次函数图象求一元二次方程的近似根。 3. 体会函数与方程转化、数形结合数学思想，能解决简单相关问题，提升分析解决问题能力，发展模型观念。 学习重点：二次函数图象与 x 轴交点和一元二次方程根的对应关系；判别式判断抛物线与 x 轴交点个数。 学习难点：理解函数与方程相互转化；图象法求一元二次方程近似根；区分交点坐标与方程的根。 【前置补偿】 1. 二次函数 y=ax²+bx+c (a≠0)，对称轴：直线 x=-b/(2a)，顶点坐标：(-b/(2a)，(4acb²)/(4a))。 2. 一元二次方程 ax²+bx+c=0 (a≠0) 根的判别式 Δ=b²4ac。 Δ>0，方程有两个不相等实数根；Δ=0，方程有两个相等实数根；Δ<0，方程没有实数根。 3. 思考：对于二次函数 y=ax²+bx+c，如果令函数值 y=0，得到的式子是什么？ 答：得到一元二次方程 ax²+bx+c=0 (a≠0)。 【学生自学】 阅读课本，先行了解课本设计探究思路： 1 【思考】学生通过作图：观察 y=x²+x2、y=x²8x+16、y=x²x+1 三个抛物线图象，分别看抛物线与 x 轴交点，再解对应的一元二次方程，对比交点横坐标与方程的根； ②小球飞行实际情境：已知二次函数的函数值，求自变量，转化为解一元二次方程； ③归纳：Δ 的三种情况对应抛物线与 x 轴交点的三种位置关系； ④例题：利用二次函数图象求一元二次方程的近似实数根。 探究一：课本【思考】 结合给出三个二次函数：y=x²+x2，y=x²8x+16，y=x²x+1。 任务：先列表计算函数值，在空白坐标系描点、画出三条抛物线草图，完成填空。 1.y=x²+x2 表格 x … 3 2 1 0 1 2 … y … 4 0 2 2 0 4 … 抛物线与 x 轴交点坐标：(-2,0)、(1,0)； 令 y=0，得方程 x²+x2=0，方程的根：x₁=-2，x₂=1。 2.y=x²8x+16 表格 x … 4 5 6 3 2 1 … y … 0 1 4 1 4 9 … 抛物线与 x 轴交点坐标：(4,0)； 令 y=0，得方程 x²8x+16=0，方程的根：x₁=x₂=4。 3.y=x²x+1 表格 x … 1 0 1 2 3 … y … 3 1 1 3 7 … 抛物线与 x 轴有没有交点：没有； 令 y=0，得方程 x²x+1=0，方程根的情况：无实数根。 课本思考问题： ①抛物线与 x 轴交点的横坐标，和对应一元二次方程的实数根有什么关系？ 答：抛物线与 x 轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程的实数根。 ②结合判别式 Δ，想一想为什么有的抛物线和 x 轴有两个交点，有的一个，有的没有交点？ 答：由一元二次方程判别式 Δ=b²4ac 的符号决定根的情况，也就决定抛物线与 x 轴交点个数。 【小组互查质疑】 小组互助，核对画图、方程求解；辨析：交点坐标 ≠ 方程的根。 参考提示：易错：把交点完整坐标直接当作方程的根；Δ=0 说成两个交点。 探究二：课本探究・小球飞行实例 一个小球以 40m/s 的速度，沿与地面成 30° 角的方向击出时，小球的飞行高度 h (单位：m) 与飞行时间 t (单位：s) 之间函数关系：h=20t5t²。 根据题意完成下面问题： (1) 飞行时间 t 为多少秒时，小球高度 h=15m？ 列方程：20t5t²=15。 (2) 飞行时间 t 为多少秒时，小球高度 h=20m？ 列方程：20t5t²=20。 (3) 飞行时间 t 为多少秒时，小球高度 h=20.5m？ 列方程：20t5t²=20.5。 (4) 小球从飞出到落地，高度 h=0，求飞行时间？ 列方程：20t5t²=0。 小组交流思考：已知二次函数的函数值，求自变量的取值，本质就是把函数问题转化为一元二次方程问题。 知识点归纳 1. 二次函数与一元二次方程的联系 当 y=ax²+bx+c (a≠0) 的函数值 y=0 时，就得到一元二次方程 ax²+bx+c=0 (a≠0)。 抛物线 y=ax²+bx+c 与 x 轴交点的横坐标，就是一元二次方程 ax²+bx+c=0 的实数根。 2. 判别式 Δ=b²4ac 与抛物线和 x 轴交点个数对应关系 (1)Δ>0：方程有两个不相等实数根，抛物线与 x 轴有两个交点； (2)Δ=0：方程有两个相等实数根，抛物线与 x 轴有一个交点（顶点落在 x 轴上）； (3)Δ<0：方程没有实数根，抛物线与 x 轴没有交点。 3. 利用图象求一元二次方程近似根 画出抛物线 y=ax²+bx+c，抛物线与 x 轴交点的横坐标，就是方程 ax²+bx+c=0 的近似实数根。 思考拓展：抛物线与 y 轴交点坐标为 (0,c)，这个点不受判别式 Δ 影响。 【课本例题自学】 利用函数图象求方程 x²2x2=0 的实数根（结果保留小数点后一位）。 解题步骤（课本步骤）： ①画出二次函数 y=x²2x2 的图象（空白坐标系，学生自主画图）； ②观察图象，读出抛物线与 x 轴交点的横坐标大约为：-0.7、2.7； ③因此方程 x²2x2=0 的近似实数根为：x₁≈-0.7，x₂≈2.7。 解：画出 y=x²2x2 图象，观察抛物线与 x 轴交点横坐标约 - 0.7 和 2.7， ∴方程近似根 x₁≈-0.7，x₂≈2.7。 【自学小测】 1. 抛物线 y=x²8x+16，计算 Δ=0，抛物线与 x 轴交点坐标：(4,0)。 2. 不画图象，判断抛物线 y=x²+x2 与 x 轴有几个交点：2 个交点。 【合作学习，课堂研讨】 1. Δ=0 时，抛物线与 x 轴只有一个公共点，此时顶点位置在哪里？对应的一元二次方程根是什么特点？ 答：顶点落在 x 轴上；一元二次方程有两个相等的实数根。 1. 如果一元二次方程 ax²+bx+c=0 没有实数根，那么抛物线 y=ax²+bx+c 和 x 轴有无交点？图象位置由哪个字母决定在 x 轴上方还是下方？ 答：没有交点；由 a 的正负决定，a>0 图象全在 x 轴上方；a<0 图象全在 x 轴下方。 1. 图象法得到的方程根一般是近似根，代数解方程得到的是准确根，两种方法各有什么优势？ 答：图象法直观，可以看出函数整体变化；代数解法计算快捷，得到准确解。 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】（课堂笔记区） 🔔课本重点易错警示 1. 方程的根是交点的横坐标，不要把交点完整坐标 (x,0) 直接当作方程的根。 2. Δ=0，描述为：抛物线与 x 轴有一个公共点，不能说成两个交点。 3. 图象法求出的大多是近似根；代数解法可以求出准确根。 4. 抛物线与 y 轴交点固定为 (0,c)，和判别式无关。 课堂笔记： 【总结提升】（课本知识体系梳理） 1. 课本探究路径：课本思考图 26.31 三组抛物线观察交点→小球飞行实际情境（函数值已知求自变量）→对比对应一元二次方程→Δ 判别交点个数→图象法求方程近似根。 2. 核心对应：抛物线与 x 轴交点横坐标 ⇔ 一元二次方程 ax²+bx+c=0 实数根。 3. 数学思想：函数与方程互相转化、数形结合。 【课内自测】 1. 抛物线 y=x²+x2 与 x 轴交点坐标 (-2,0)、(1,0)；对应方程 x²+x2=0 的根：x₁=-2，x₂=1。 2. 若抛物线 y=x²8x+m 与 x 轴仅有一个交点，则 m=16。 3. 利用图象思想，方程 x²2x2=0 的近似根为：x₁≈-0.7，x₂≈2.7。 【分层作业】 A 组【基础过关・必做】 1. 不画图象，判别抛物线与 x 轴交点个数： (1) y=x²+x2 (2) y=x²x+1 解：(1)Δ=9>0，2 个交点；(2)Δ=-3<0，无交点。 2. 求抛物线 y=x²8x+16 与 x 轴交点坐标。 解：(4,0)。 B 组【能力提升・选做】 1. 已知抛物线 y=x²2 (k1) x+k² 与 x 轴有交点，求 k 取值范围。 解：Δ≥0，[-2 (k-1)]²4k²≥0，解得 k≤1/2。 2. 抛物线 y=x²+x2，根据图象直接写出 y>0 时 x 的取值范围。 解：x<-2 或 x>1。 C 组【拓广探索・培优】（课本习题拓广探索原题） 1. 求证：二次函数 y=x²(2m1) x+m²m 的图象与 x 轴一定有两个交点。 证明： Δ=[-(2m-1)]²4×1×(m²m) =4m²4m+14m²+4m=1>0 Δ>0，∴抛物线与 x 轴一定有两个交点。 2. 求证：无论 m 取何值，二次函数 y=-x²+(m1) x+m 的图象与 x 轴总有公共点。 证明： Δ=(m-1)²4×(-1)×m=m²2m+1+4m=(m+1)²≥0 Δ≥0 恒成立，∴无论 m 取何值，抛物线与 x 轴总有公共点。 学科网（北京）股份有限公司 $