2.3 乘方（知识解读）讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦乘方、科学记数法及近似数核心知识点，系统梳理乘方定义（底数、指数、幂）、符号法则、混合运算顺序，延伸至乘方逆运算、应用及科学记数法表示、近似数精确度，构建从概念到运算再到实际应用的完整学习支架。 资料设计10类典型题型，含典例与变式题，如乘方应用中细菌分裂、结绳计数培养数学眼光，程序流程图计算提升运算能力，科学记数法结合实际数据强化数据意识。课中助力教师分层教学，课后学生可通过变式练习与随堂检测查漏补缺，巩固知识。

2.3 乘方（知识解读） 【人教版2024】 题型归纳 【题型·1·有理数幂的概念理解】 2 【题型·2·有理数的乘方运算】 3 【题型·3·有理数乘方逆运算】 5 【题型·4·乘方运算的符号规律】 6 【题型·5·乘方的应用】 8 【题型·6·程序流程图与有理数计算】 9 【题型·7·算“24”点】 11 【题型·8·含乘方的有理数混合运算】 12 【题型·9·用科学记数法表示绝对值大于1的数】 15 【题型·10·近似数的有关概念】 16 知识点1 乘方 1.乘方的定义 求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，记作an a：底数，表示相乘的因数 n：指数，表示相同因数的个数 An叫做幂，读作：a的n次方。 ⚠️易错区分： (-2)4：底数是-2，表示 4 个-2相乘； -24：底数是2，表示24的相反数。 2.乘方符号法则e 1.-正数的任何次幂都是正数; 2.+负数的偶次幂结果为正，负数的奇次幂结果为负; 3.-0的任何正整数次幂都等于 0。 3.·有理数混合运算顺序。 1.先算乘方，再算乘除，最后算加减; 2.同级运算，从左向右依次计算; 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【题型·1·有理数幂的概念理解】 【典例1】下列说法中不正确的是（    ） A．表示3个2相乘 B．底数是 C．指数是3 D．幂为 【答案】A 【详解】解：A．表示的是3个相乘，即选项A错误，符合题意； B．的底数是，故选项B正确，不符合题意； C．的指数是3，故选项C正确，不符合题意；   D．，故选项D正确，不符合题意． 【变式1-1】对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方定义即可判断； 【详解】解：∵根据乘方定义，个相同因数相乘，记作，其中为底数，为指数， 本题中共有个相同因数相乘， ∴底数为，指数为，正确记法为． 【变式1-2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查乘方的定义，依据乘方的概念直接推导即可． 【详解】解：∵求个相同因数的积的运算叫做乘方，其中相同因数为底数，因数的个数为指数， ∴个相乘可表示为， ∴答案选：． 【变式1-3】下列算式可以表示成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即记作，这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 依据乘方的概念判断选项中哪个算式符合的意义即可． 【详解】解：∵乘方的定义为：n个相同因数a相乘，记作， ∴表示3个2相乘，即． 故选C． 【题型·2·有理数的乘方运算】 【典例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： （4）解：． 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 【变式2-2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式2-3】计算： (1) (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【分析】（1）根据有理数的乘方计算即可； （2）根据负数的奇数次幂是负数，确定符号，再根据有理数的乘方法则求解即可； （3）先确定结果的符号为负，再计算即可； （4）根据，再计算立方即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型·3·有理数乘方逆运算】 【典例3】如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【答案】D 【分析】此题考查有理数的乘方．直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴a是：4或−4． 故选：D． 【变式3-1】若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方的逆运算，等式的性质等知识点，根据有理数乘方的运算法则即可得解，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题关键． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴， 故选：D． 【变式3-2】若是负数，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乘方的定义即可依次判断． 【详解】解：A、是负数，则，不符合题意； B、是负数，则，不符合题意； C、是负数，则，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方，解题的关键是熟知乘方的运算法则． 【变式3-3】若，，则______． 【答案】 【详解】解：，则， ，则， ． 【题型·4·乘方运算的符号规律】 【典例4】下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题需依据乘方运算的符号规则与运算顺序，分别计算每个选项中两个式子的结果，再对比是否相等． 【详解】解：∵，，， ∴A选项数值不相等，不符合题意； ∵，，， ∴B选项数值相等，符合题意； ∵，， ∴C选项数值不相等，不符合题意； ∵，， ∴D选项数值不相等，不符合题意， 故选：B 【变式4-1】计算的结果是（    ）． A．25 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方运算，掌握乘方运算的运算法则是解题的关键．遵循先计算乘方再处理符号的运算顺序计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：B． 【变式4-2】计算，，，，联系这类具体的数的乘方，你认为当时，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律是解题的关键． 根据负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数判断即可． 【详解】解：当时，∴，故A选项错误； 根据有理数乘方法则，互为相反数的两个数的偶次幂相等，，故B选项正确； 当时，，而，故C选项错误； 当时，，而，故D选项错误． 故选B． 【变式4-3】当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查乘方的运算，掌握乘方的运算法则是解题的关键． 根据乘方的意义进行判断即可． 【详解】解：当时， ①，正确． ②，正确． ③，故错误． ④，则，故错误． 故选：A． 【题型·5·乘方的应用】 【典例5】一种叫水浮莲的水草生长很快，每天增加1倍，10天刚好长满池塘，到第几天刚好长满池塘面积的一半（     ） A．6天 B．5天 C．8天 D．9天 【答案】D 【分析】水浮莲每天面积增加1倍，即后一天面积是前一天面积的2倍，可通过逆推直接得到长满一半池塘的天数． 【详解】解：∵水浮莲每天增加1倍， ∴后一天的水草面积为前一天水草面积的倍，即前一天水草面积是后一天水草面积的一半， ∵天刚好长满整个池塘， ∴长满池塘面积一半的时间为天． 【变式5-1】所有的放射性物质都有自己的半衰期，放射性物质的半衰期是其质量缩减为原来一半所用的时间，是一个不变的量．2025年河南核医疗产业发展迅速，某医用放射性物质的初始质量为mg，经历3个半衰期后，剩余质量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 半衰期是放射性物质质量缩减为原来一半所用的时间，初始质量为， ∴ 经过个半衰期后，剩余质量为， 经过个半衰期后，剩余质量为， 经过个半衰期后，剩余质量为. 【变式5-2】如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成2个，经过4小时，1个细胞能分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据每过30分钟便会由1个分裂成2个，由4小时求出分裂的次数，即可确定出分裂的个数． 【详解】解：4小时求出分裂的次数为（次）， 经过30分钟，这种细胞由1个能分裂成个 经过60分钟，这种细胞由1个能分裂成个， ...， ∴经过4小时，这种细胞由1个能分裂成个． 【变式5-3】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满八进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（   ） A．64 B．90 C．132 D．210 【答案】B 【分析】由题可知，孩子出生的天数的八进制数为132，化为十进制数即可． 【详解】解：根据题意得：孩子出生的天数的八进制数为132， 化为十进制数为：． 【题型·6·程序流程图与有理数计算】 【典例6】沫沫同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入n的值为3，则最后输出的结果y是（    ） A．63 B．3 C．64 D．8 【答案】A 【详解】解：输入n的值为3，， 输入n的值为8，，输出y． 【变式6-1】如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】根据流程图，列式计算即可． 【详解】解：． 【变式6-2】在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”．上面是一组“数值转换机”，若输出的数为15．则输入的数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：， 故选：B． 【变式6-3】如图，是一个数值运算程序框图，若开始输入，则最后输出的结果是（  ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，关键是根据输入值的类型(整数或分数)选择对应的运算，再判断运算结果是否为奇数，若不是则循环执行，直到结果为奇数时输出． 【详解】解：输入，是整数，执行运算， 是分数，不满足“结果为奇数”的条件，继续执行运算； 是分数，执行运算， 是整数，不满足“结果为奇数”的条件，继续执行运算； ∵是整数，执行运算， 是整数，不满足“结果为奇数”的条件，继续执行运算； 是整数，执行运算， 是奇数，满足“结果为奇数”的条件，输出结果； 故选：A． 【题型·7·算“24”点】 【典例7】下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【答案】A 【分析】本题考查有理数的四则运算，通过尝试不同的四则运算组合，判断每组数字是否能得到24． 【详解】解：A、无法通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； B、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； C、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； D、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24． 故选：A 【变式7-1】有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，通过计算每个算式的值，判断是否等于24即可得到答案． 【详解】解：A、，原式不正确，符合题意； B、，原式正确，不符合题意； C、，原式正确，不符合题意； D、，原式正确，不符合题意； 故选：A． 【变式7-2】有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数字，可以写出一个结果为24的算式，注意本题答案不唯一． 【详解】解： 【变式7-3】“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，每个数必须且只用一次，可以添加括号，使其运算结果等于24．现有3，，5，9，列出一个求“24点”的算式是__．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题中“24点”的游戏规则，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键．根据“24点”的游戏规则组合成结果为24的算式即可解答． 【详解】解：通过观察数字，发现，，则， 因此可列算式． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型·8·含乘方的有理数混合运算】 【典例8】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 . 【变式8-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据先乘除，再加减的运算顺序求解即可； （2）根据先乘方，再乘除，最后加减的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照有理数混合运算顺序，先算乘方，再算乘法，最后算加减；   （2）按照有理数混合运算顺序，先算乘方，再算乘法，最后算加减 ． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-3】计算：． 【答案】 【分析】先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可得解． 【详解】解：原式 ． 知识点2 科学记数法 科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 【题型·9·用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【典例9】大庆是现代宜居的生态城市，拥有湿地7470000亩．数字7470000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1的数，将小数写成的形式，其中，n为正整数． 【详解】解：． 【变式9-1】长沙，正为湖南建设年轻人友好省份贡献坚实的省会力量，让“青春长沙”成为新时代最闪耀的名片．省市两级共设亿元创业投资基金，支持大学生创业，用科学记数法将数据表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 【变式9-2】2025年6月27日，湘潭下摄司大桥正式通车，下摄司大桥横跨湘江，为五跨飞燕式中承钢箱提篮拱桥，这是湘潭市第八座跨湘江通道，全桥钢结构重量约万吨，数据“万”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：万． 【变式9-3】是一款基于混合专家（）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截至去年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的一般形式为（，n为整数），据此确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：∵1亿， ∴亿． 知识点3 近似数 1.求一个数的近似数 常用方法:四舍五入法。 按照指定的精确度，观察下一位数字，大于等于5 进1，小于5 舍去示例:元≈3.14(精确到百分位) 2.求近似数的精确度 精确度:看近似数最后一位数字所在的数位。 示例:2.40，最后一位在百分位，精确到百分位; 2.40 x 10³还原后为 2400，末位 0 在十位，精确到十位。 注意:近似数末尾的 0不能随意去掉，2.4和2.40精确度不一样， 【题型·10·近似数的有关概念】 【典例10】下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 【答案】C 【分析】本题考查近似数精确位数的判断，只需确定最后一位有效数字在原数中的位置，得到对应精确位数后逐个判断选项即可． 【详解】解：近似数的精确位数由最后一位有效数字在原数中的位置决定，逐个判断选项： A.的最后一位在千分位，因此精确到千分位，原说法错误， B.万，在千位，因此精确到千位，原说法错误， C.，在十位，因此精确到十位，原说法正确， D.近似数的精确数位具有不确定性，故原说法错误． 【变式10-1】近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 【答案】B 【分析】根据近似数精确度的定义，即最后一位有效数字所在的数位就是该近似数精确到的数位，即可求解． 【详解】解：∵近似数的精确度由最后一位有效数字所在的数位决定，2.30的最后一位有效数字是0，位于百分位， ∴近似数2.30精确到百分位． 【变式10-2】数 a 四舍五入后的近似值为，则a 的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】近似数是通过四舍五入得到的：精确到哪一位时，若下一位大于或等于5，则进1，若下一位小于5，则舍去，据此即可解答． 【详解】解：根据取近似数的方法，则a的取值范围是：． 【变式10-3】下列对使用四舍五入法得到近似数的描述正确的是（） A．近似数精确到百位 B．3.254精确到十分位是3.2 C．近似数6.32万精确到百分位 D．4.701的近似数是4 【答案】A 【分析】将科学记数法或带“万”的近似数，还原为数后再判断最后一位所在数位得到精确度，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：对于A：，最后一位有效数字在百位，精确到百位，正确； 对于B：精确到十分位时，看百分位数字为，四舍五入得，错误； 对于C：万，最后一位有效数字在百位，万精确到百位，错误； 对于D：精确到个位，四舍五入的近似数为，错误． 随堂检测 【随堂检测】 1．精确到百分位，应等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据精确到百分位需观察千分位数字四舍五入，结果保留两位小数，末尾的0不能省略，即可解决． 【详解】解：∵将精确到百分位，观察千分位数字为， ∴向百分位进， ∴百分位，向十分位进，百分位记， ∴十分位， ∴最终结果为． 2．在、、、中，负数的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：，是负数， ，不是负数， ，是负数， ，是负数， 综上，负数的个数是3个． 3．随着科技的不断进步，生成式人工智能成为我国经济社会数字化、智能化转型的重要引擎．截至2025年12月，我国生成式人工智能用户达602000000人．数据602000000用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的标准形式为，需要满足，为整数．题中数据的小数点向左移动位，可以得到，此时，即可求解． 【详解】解：． 4．把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】C 【分析】根据题意明确第n次对折后的厚度为，根据，求出n的最小整数值即可． 【详解】解：设对折次后整叠纸总厚度为． 由题意得， ． ，，， ， 至少要对折8次． 5．下列各组数中，数值相等的是（     ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】注意乘方运算中括号对底数的影响，准确计算各选项数值． 【详解】解：A选项：，，数值相等，符合题意； B选项：，，数值不等，不符合题意； C选项：，，数值不等，不符合题意； D选项：，，数值不相等，不符合题意． 6．定义，例如，则的结果为（     ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴ ． 7．在中，底数是__________，指数是__________； 【答案】 【详解】解：根据有理数乘方的定义，表示个相乘，其中为底数，为指数 ∵表示个相乘，括号将负号和括为整体，负号属于底数， ∴ 本题中底数是，指数是． 8．一个三位小数“四舍五入”到百分位约是，这个三位小数最小是________． 【答案】 【分析】根据“五入”法则逆推原数各数位即可得到结果． 【详解】解：根据题意可知，由五入得到近似数， 千分位向百分位进、百分位向十分位进，使百分位和十分位变成，则原来是， 个位进后是，则原来个位是， 千分位最小取，得到． 9．若有理数，互为倒数，，互为相反数，则__________． 【答案】 【详解】解：∵有理数，互为倒数，，互为相反数， ∴，， ∴． 10．按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值是___________． 【答案】7 【详解】解：由题意得， ∴输出的值是7． 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方，再从左到右依次计算乘除即可； （2） 先计算乘方，再计算括号内的运算，接着计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．对于任意有理数，，我们规定：． 例如：；． (1)计算： ； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 乘方（知识解读） 【人教版2024】 题型归纳 【题型·1·有理数幂的概念理解】 2 【题型·2·有理数的乘方运算】 2 【题型·3·有理数乘方逆运算】 3 【题型·4·乘方运算的符号规律】 3 【题型·5·乘方的应用】 4 【题型·6·程序流程图与有理数计算】 4 【题型·7·算“24”点】 5 【题型·8·含乘方的有理数混合运算】 6 【题型·9·用科学记数法表示绝对值大于1的数】 7 【题型·10·近似数的有关概念】 8 知识点1 乘方 1.乘方的定义 求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，记作an a：底数，表示相乘的因数 n：指数，表示相同因数的个数 An叫做幂，读作：a的n次方。 ⚠️易错区分： (-2)4：底数是-2，表示 4 个-2相乘； -24：底数是2，表示24的相反数。 2.乘方符号法则e 1.-正数的任何次幂都是正数; 2.+负数的偶次幂结果为正，负数的奇次幂结果为负; 3.-0的任何正整数次幂都等于 0。 3.·有理数混合运算顺序。 1.先算乘方，再算乘除，最后算加减; 2.同级运算，从左向右依次计算; 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【题型·1·有理数幂的概念理解】 【典例1】下列说法中不正确的是（    ） A．表示3个2相乘 B．底数是 C．指数是3 D．幂为 【变式1-1】对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列算式可以表示成的是（    ） A． B． C． D． 【题型·2·有理数的乘方运算】 【典例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式2-2】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2-3】计算： (1) (2)； (3)； (4)． 【题型·3·有理数乘方逆运算】 【典例3】如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【变式3-1】若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】若是负数，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】若，，则______． 【题型·4·乘方运算的符号规律】 【典例4】下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式4-1】计算的结果是（    ）． A．25 B． C．1 D． 【变式4-2】计算，，，，联系这类具体的数的乘方，你认为当时，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【题型·5·乘方的应用】 【典例5】一种叫水浮莲的水草生长很快，每天增加1倍，10天刚好长满池塘，到第几天刚好长满池塘面积的一半（     ） A．6天 B．5天 C．8天 D．9天 【变式5-1】所有的放射性物质都有自己的半衰期，放射性物质的半衰期是其质量缩减为原来一半所用的时间，是一个不变的量．2025年河南核医疗产业发展迅速，某医用放射性物质的初始质量为mg，经历3个半衰期后，剩余质量为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成2个，经过4小时，1个细胞能分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式5-3】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满八进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（   ） A．64 B．90 C．132 D．210 【题型·6·程序流程图与有理数计算】 【典例6】沫沫同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入n的值为3，则最后输出的结果y是（    ） A．63 B．3 C．64 D．8 【变式6-1】如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 【变式6-2】在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”．上面是一组“数值转换机”，若输出的数为15．则输入的数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-3】如图，是一个数值运算程序框图，若开始输入，则最后输出的结果是（  ） A．1 B．2 C．3 D．5 【题型·7·算“24”点】 【典例7】下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【变式7-1】有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【变式7-3】“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，每个数必须且只用一次，可以添加括号，使其运算结果等于24．现有3，，5，9，列出一个求“24点”的算式是__．（写出一个即可） 【题型·8·含乘方的有理数混合运算】 【典例8】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式8-1】计算： (1)； (2)． 【变式8-2】计算： (1)； (2)． 【变式8-3】计算：． 知识点2 科学记数法 科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 【题型·9·用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【典例9】大庆是现代宜居的生态城市，拥有湿地7470000亩．数字7470000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】长沙，正为湖南建设年轻人友好省份贡献坚实的省会力量，让“青春长沙”成为新时代最闪耀的名片．省市两级共设亿元创业投资基金，支持大学生创业，用科学记数法将数据表示为（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】2025年6月27日，湘潭下摄司大桥正式通车，下摄司大桥横跨湘江，为五跨飞燕式中承钢箱提篮拱桥，这是湘潭市第八座跨湘江通道，全桥钢结构重量约万吨，数据“万”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式9-3】是一款基于混合专家（）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截至去年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 知识点3 近似数 1.求一个数的近似数 常用方法:四舍五入法。 按照指定的精确度，观察下一位数字，大于等于5 进1，小于5 舍去示例:元≈3.14(精确到百分位) 2.求近似数的精确度 精确度:看近似数最后一位数字所在的数位。 示例:2.40，最后一位在百分位，精确到百分位; 2.40 x 10³还原后为 2400，末位 0 在十位，精确到十位。 注意:近似数末尾的 0不能随意去掉，2.4和2.40精确度不一样， 【题型·10·近似数的有关概念】 【典例10】下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 【变式10-1】近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 【变式10-2】数 a 四舍五入后的近似值为，则a 的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【变式10-3】下列对使用四舍五入法得到近似数的描述正确的是（） A．近似数精确到百位 B．3.254精确到十分位是3.2 C．近似数6.32万精确到百分位 D．4.701的近似数是4 随堂检测 【随堂检测】 1．精确到百分位，应等于（     ） A． B． C． D． 2．在、、、中，负数的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．随着科技的不断进步，生成式人工智能成为我国经济社会数字化、智能化转型的重要引擎．截至2025年12月，我国生成式人工智能用户达602000000人．数据602000000用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 4．把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 5．下列各组数中，数值相等的是（     ） A． B．和 C．和 D．和 6．定义，例如，则的结果为（     ） A． B． C．1 D．3 7．在中，底数是__________，指数是__________； 8．一个三位小数“四舍五入”到百分位约是，这个三位小数最小是________． 9．若有理数，互为倒数，，互为相反数，则__________． 10．按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值是___________． 11．计算： (1)； (2)． 12．对于任意有理数，，我们规定：． 例如：；． (1)计算： ； (2)计算：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $