重庆市巴蜀中学校等校2026-2027学年高三上学期适应性月考卷（一）数学试题

▣■▣▣■■■■ 巴蜀中学高2027届8月适应性月考（一） 数学答案 题号1234567891011121314 答案B A B C D AA C ABD AC BCD36-I<≤E 15.(本小题满分13分) (1)证明：如图1，连接MO,PB∥平面MAC,PBc平面PBD 平面MACn平面PBD_MO, 所以PB∥M0.…2分) 在平行四边形ABCD中，因为0为4C与BD的交点， 所以O为BD的中点， 所以MO是三角形PBD中位线，则M是棱PD的中点 ………(4分） 2)法一（几何法：如图2，过0作AD的垂线，垂足为E, 连接PE 因为PO⊥L平面ABCD,所以ADc平面ABCD,所以PO⊥AD 又OE∩PO=O,又OE,P0c平面OPE,所以AD⊥平面OPE 又PEc平面OPE,所以AD⊥PE, 所以∠PE0为二面角P-AD-C的平面角 …(7分) 因为四边形4BCD是菱形，∠ADC=60,AD=2 所以△ADC是等边三角形，所以∠AD0=30°，4C1BD 所以0D=2os30°=V5,所以 E=号oD= 1 2 (10分) cos∠PE0=VS →tm∠PE0=4W5_Po =P0=2. 19 3 5 在Rt△POE中， 2 (13分) 法二（坐标法）.设OP=a(a>0), E 以OD为x轴，以OA为'轴，以OP为z轴，如图3建系 O(0,0,0A0,10)D(5,00)P00a) DA=(-5,1b0)bAP=(0,-1ad) …(6分) 设平面ADP的法向量为m=(x凸) DA.m=0.「-5x+y=0, 由P.m=0 -y+c=0, x=a得一个法向量m=(a,5a3). …(8分） 取平面4DC的一个法向量为n=(0,0,1) …(10分) 数学参考答案·第1页（共5页） 口■■口口■■■■■口 os(m,m1=m月。5 V57 →2=4， 则 1m1-n1.V4a2+319 则→aOP=2. …(13分) 16.(本小题满分15分) a)解，n=1,V4g=4+1→4a=G+2a+1→(a-12=0→a=1 …(2分) n22,4Sn=a+2an+1,4Sm1=a元1+2a-1+1 两式相减得.4a.=a-a+2a,-2a1→d-a1-2a,-2a1=0, (an+an-1)(an-an-1-2)=0. 又因为a,}是正项数列，则a,-a-1=2, ……(6分) 则a,}是首项为1，公差是2得等差数列，则a,=2n-1. ……(分) S,=0+2n--m 2)证明由(1）得 2 …(10分) 所以(a+1VSn2 (12分) -0目》（日 所以 非提品品 ……(15分 17.(本小题满分15分) [2a=42 迈 e= (1)解由题意， a2,则a=2W2c=2b2=a2-c2=4 x2,y2 =1 从而椭圆C的方程为84 …(4分) 2)证明.①当直线4,2的斜率一个为0，一个不存在时1DE=2a=451N%2B -=2N2 1 1 1,13V2 此时，DEN4W5+25 8 …(6分》 ②当直线，上的斜率都存在且不为0时，椭圆的左焦点F(-2,0) x2.y2 不纺设的方程为=m-2(m≠0)，联立椭C8+年1 得： (m+2)y2-4mv-4=0,其中△=32(m2+1)>0恒成立 4m -4 设D,),E⅓)，则月+m2+2,%m+2, …《(8分) 数学参考答案·第2页（共5页） ▣■■▣▣■■■■■ DE,+1-上+m)2-4 (0m2+2) m2+2 IMN=- 42(1+m2) m*2 1 1+2m2 由的凸，用m代替m的位置可得： …(12分） 1 1 m2+2 1+2m2 3m2+1)）32 此附，DE可N4W20m+1)4W20m2+D4W2m+力-8 1 1 2 综上所述，DEI'IMNI为定值，且该定值为8 …(15分) 18.(本小题满分17分) (1)解由题意，X的可能取值为0,1,2， …(1分) Px=0)='x1 236 PX-D-1x2+1x2_2 2*写+2*等Px=2)=1x1 236 …(4分) 所以黑球个数X的分布列如下 1 2 1 6 2-3 6 E(x)=0x2+1×2+2×1=1 故数学期望 6 3 6 …(5分) (A)= (2)证明当i=1时，显然 2, 根据游戏抽取规则， 当D2时 P4)=2P4.)+a-P4》 3 PC4) P(4)= 3 …………(9分) 2A …(11分) 1 (A)= 于是 2(22) 综上 p(40-2 1 …(12分) 3)解：由2)知 一轮游戏结束后，每名队员盒子中小球的颜色相同的概率 11 P=P(4)x1+a-P(4)x 3 33 1 即每名队员中奖的概率为3 (13分) 数学参考答案·第3页（共5页） 口■■口口■■■■■口 =cc·号ao-c( 15分) ∫R≥R 由R≥’解得：<K6 又k∈Z,从而k=5或6 ……(17分) 19.(本小题满分17分) a)解，血g)=xn1-),所以g 得-h0-功言 g0=0-[-0产}-h2+ -(2ln2+3) 即切线的斜率为4 …(4分) 2)解：令p()=lhh()=xlnx-(1-x)ln1-) p(x)=hx0-x)+2=0 111 1,11 24E24e …(6分 当x∈(0，)时，()<0，()单调递减 o()>0,()单调递增 7分) 1111 0<x< 24e< e )-xlax-Q-hQ-)<xlax-Q)1-<x(ax+<0 8分) (x)max=o 2 =0 所以 h(x)max =1 …(10分) g)证明，令F()=x-+0-x产(0<x<),则函数F)的图象关于直线2对掀 ………(11分) 现证明-+1-≤V 上恒成立 Fr)=rx+1-+-对[a0-产 =x(-xnx+1-)+1-x) (1-x)In(1-x)-x 1-x _-xhx+1-[Q-x)+Q-x)h1-)-x 1-x)-0 -xInx+1-x 而 其中显，然(x血x+1-)>0 …(13分) 数学参考答案·第4页（共5页） 口■■口口■■■■■口 1-9≥1-x血a-9+x 下面证明x -xlnx+1-x 1 2) 0<x≤五所，0-≥ -≥1 ，即 -1-)lm1-x+x≤1 0, 1 下面证明 -xlnx+1-x 2」上恒成立 1-xlh1-0-x≥-1台G=xnx-(1-)lm0-)+2x-1≤0 -xlnx+1-x 由2)知， xnx-1-x)ln1-x)≤0,2x-1≤0 所以F)=x-+1-≤V反 月-+1-< 所以 当且仅当n=2时取等号 炉 20m-1) 所以不等式 对任意的n≥2(e)成立 17分) 数学参考答案·第5页（共5页） 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知，，则是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式的各项系数之和为 A． B． C． D． 4．已知函数，若，则的值是 A． B．1 C．1或0 D．或0或1 5．已知，，，则，，的大小关系是 A． B． C． D． 6．张、王、李、赵、吴共五名教师，利用周末时间去包括“半山崖线”在内的四条徒步路线进行考察．要求每条路线至少去一名教师，每名教师只能去一条路线，那么张老师恰好安排去“半山崖线”考察的不同安排方法数为 A．60 B．64 C．72 D．96 7．已知为定义在上的偶函数，为奇函数，，则 A．-2 B．0 C．1 D．2 8．已知函数．若存在两个不同的非零实数，，使得成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知正项等比数列的前项和为，若，，则 A．数列的公比 B．数列有最大项 C．数列为递增数列 D．数列为等差数列 10．阅读是一种很好的休闲方式，可以使人获得内心的宁静与精神的升华．已知某图书馆阅读者的日阅读时长（单位：小时）服从正态分布，则 A． B． C．若，则 D．设，则 11．已知函数，，，则下列说法正确的是 A． B．的图象关于原点对称 C．对任意的，（），的最大值与最小值之和为3 D．的解为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知的导函数为，且，则________． 13．已知正实数，满足，则的最小值为________． 14．在平面内，点位于直线的上方，点到点的距离与到直线的距离之积为1，则点纵坐标的取值范围是________． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是与的交点，，平面，是棱上一点，且平面． （1）证明：是棱的中点； （2）锐二面角的余弦值为，求线段的长度． 16．（本小题满分15分） 已知正项数列的前项和为，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证：． 17．（本小题满分15分） 已知椭圆：上任意一点到它两焦点的距离之和为，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的左焦点作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，求证：为定值，并求出此定值． 18．（本小题满分17分） 在某公司的团建活动中，组织了摸小球中奖品的游戏，游戏规则如下： ①将10名参加游戏的队员依次编号为1，2，3，…，10，游戏主持人和每名队员手中的小盒里有1个黑球和1个白球，这些球除颜色不同外其余均相同； ②1号队员先从主持人的盒子里随机摸出一球放入自己的盒子中； ③2号队员从1号的盒子里随机摸出一球放入自己的盒子中，接着，3号队员从2号的盒子里随机摸出一球放入自己的盒子中，重复上述操作，一直到10号队员从9号的盒子里随机摸出一球放入自己的盒子中； ④游戏主持人从10号的盒子里随机摸出一球后，该轮游戏结束． （1）该轮游戏结束后，记1号队员盒子里的黑球个数为，求的分布列与数学期望； （2）在取球过程中，记事件“号队员摸取小球后他的盒子中是2黑1白球”（，），求证：； （3）该轮游戏结束后，盒子中小球的颜色相同（视为中奖）的队员恰有人（，）， 将剩下未中奖的队员重新编号并按游戏规则再进行一轮摸球游戏，记两轮游戏结束后有且仅有一 名队员未中奖的概率为，问为何值时取得最大值． 19．（本小题满分17分） 已知材料：对于函数求导，一般是这样处理：两边同时取对数得，左边是关于的复合函数，两边同时对求导得，．根据材料解决下列问题：已知，． （1）求在处的切线的斜率； （2）求函数在上的最大值； （3）求证：不等式对任意的（）都成立． 学科网（北京）股份有限公司 $