14.3《角的平分线》第一课时 角的平分线的画法及性质 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦角的平分线的尺规作图及性质，通过复习角平分线概念，结合折纸实验引导学生从动手操作过渡到数学工具作图，搭建从已有知识到新知探究的学习支架。 其亮点在于以探究式学习为主线，从特殊情境（OM=ON时PM=PN）推导出一般性质，培养学生推理能力（数学思维），尺规作图原理渗透SSS全等思想发展抽象能力（数学眼光），性质表述兼顾文字与几何语言规范数学表达（数学语言）。采用动手操作与逻辑证明结合的教学方法，总结提炼作图依据、性质及辅助线技巧，助力学生发展空间观念与推理能力，也为教师提供清晰教学流程与实用练习设计。

第十四章 全等三角形 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 14.3 角的平分线 第一课时 角的平分线的画法及性质 1 学习目标 1. 会用尺规作图作一个角的平分线，理解尺规作角的平分线的方法和原理，发展空间观念和空间想象力. 2. 理解角的平分线的概念，探索并证明角的平分线的性质，发展抽象能力和推理能力. 3. 通过具体练习能利用角的平分线的性质构造全等三角形，证明与线段相等有关的简单问题，培养学生观察、归纳及动手能力，发展学生的推理能力. 2 复习导入 1. 角平分线的概念. 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线. 几何语言： ∵ ∠1=∠2， ∴ OC是∠AOB的平分线. 1 2 C O B A 3 复习导入 2. 在纸上画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，如何确定角的平分线? (1)在准备好的角上标好字母A，O，B； (2)把∠ AOB对折，使得这个角的两边重合； (3)折痕就是∠AOB的角平分线. A O B 如果不能折叠，我们用数学作图工具，能作出角的平分线吗？ 4 新知探究 探究 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系. 角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的. 我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系. A M O N B P C 5 新知探究 研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况.在图中，当OM与ON 满足什么关系时，PM=PN ? 在△OPM和△OPN中， OP=OP，∠POM=∠PON. 如果OM=ON， 那么△OPM ≌ △OPN(SAS)， 就有PM=PN. A M O N B P C 6 新知探究 反过来，如图，M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM=ON. 点P在∠AOB的内部，PM=PN. 连接OP. 在△OPM和△OPN中， OP=OP， OM=ON， PM=PN. 可以证明△OPM ≌ △OPN(SSS)， 所以∠POM=∠PON， 即点P在∠AOB的平分线上. A M O N B P 7 新知探究 思考 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？ 根据上述结论， ① 先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点. ② 再在角的内部作出与这两点距离相等的点. ③ 以角的顶点为端点，作过这个点的射线. 就能得到角的平分线了，下面是具体作法. 8 新知探究 作法：如图，已知∠AOB. (1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N. (2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧(想一想为什么)，两弧在∠AOB的内部相交于点 C. (3)作射线OC.射线OC即为∠AOB的平分线. A O B M N C 9 新知探究 为什么以大于MN的长为半径作弧？ 以小于MN的长为半径作弧，两个弧没有交点. 以等于MN的长为半径作弧，不易操作. A O B M N 10 新知探究 画一画：已知：平角∠AOB，如何作平角∠AOB的角平分线？ A O B 结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. 11 新知探究 下面再来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段与角两边的位置关系，我们仍研究其中的特殊情形. 探究 如图 ，OC是∠AOB 的平分线.点P1，P2，P3，…在OC上，过点P1，P2，P3， …分别画OA与OB的垂线，垂足分别为D1与E1、D2与E2、D3与E3…… A O B C D1 D2 D3 D4 E1 E2 E3 E4 P1 P2 P3 P4 12 新知探究 分别比较P1D1与P1E1 、 P2 D2 与P2E2、 P3D3 与P3E3 ……， 你有什么发现? A O B C D1 D2 D3 D4 E1 E2 E3 E4 P1 P2 P3 P4 P1D1=P1E1 、 P2 D2 =P2E2、 P3D3 =P3E3 …… 猜想：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 验证： 已知：一个点在一个角的平分线上. 求证：这个点到这个角两边的距离相等. 13 新知探究 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证PD=PE. 分析：如果能证明△OPD≌△OPE，就 可以得到PD=PE. 由题意可知， △OPD和△OPE具备“角角边”的条件. A O B C D E P 14 新知探究 证明：∵ OC是∠AOB 的平分线，∴∠AOC=∠BOC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°. 在△OPD和△OPE中， ∴ △OPD≌△OPE(AAS). ∴ PD=PE. A O B C D E P 15 新知探究 一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 16 新知探究 文字语言：角平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质 几何语言： ∵点P在∠AOB的平分线上， 且PD⊥OA，PE⊥OB. ∴PD=PE. A O B C D E P (1)“点”是指角的平分线上任意位置的点； (2) “点到角的两边的距离”是指点到角的两边的垂线段的长度. 17 课堂练习 1.如图，在直线 MN 上求作一点P，使点P在∠AOB 的内部，且点P到射线 OA 和 OB 的距离相等. A O B N M 解：如图所示：作∠AOB 的平分线与 MN交于点 P，点 P即为所求. P 18 课堂练习 2. 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 点F，G分别在OA，OB上，DF=EG，连接PF，PG. 求证PF=PG. A O B C D E P F G 19 课堂练习 证明：∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE，∠PDF=∠PEG=90°. 在△DPF和△EPG中， ∴△DPE≌△EPG(SAS). ∴PF=PG. A O B C D E P F G 20 课程小结 角的平分线 尺规作图：依据：SSS. 属于基本作图，必须熟练掌握. 性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等. 添加辅助线：过角平分线上一点向两边作垂线段. 几何语言：∵点P在∠AOB的平分线上， 且PD⊥OA，PE⊥OB. ∴PD=PE. A O B C D E P 21 随堂演练 1.如图，∠A=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，且AB=3cm，BD=2cm，则DE=____cm. 2.如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积为_____. 3.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=6cm，则△DEB的周长为_____cm. 1 5 6 A C B D (2) B D C A E (3) A D B E C (1) 22 随堂演练 4. 如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且D是BC的中点,DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．求证：BE=CF. 证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE=DF ∵ D是BC的中点 ∴BD=CD 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL) ∴BE=CF. A E B D F C 23 随堂演练 5.如图，已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上，且PM=PN. 求证：BM=CN； 证明：∵点P为∠EAF平分线上一点， PB⊥AE ， PC⊥AF ， ∴ PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°. 在Rt△PBM和Rt△PCN中， ∴ Rt△PBM≌Rt△PCN(HL). ∴ BM=CN. E A F B C P M N 24 随堂演练 5.如图，已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上，且PM=PN. (2) 直接写出线段 AM，AN与 AC之间的数量关系： . AM+AN=2AC E A F B C P M N 25 随堂演练 6. 如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F，AC=8，BC=6，则AF=________． A D B F E C G 【分析】连接AE，BE， ∵AD=BD，∠ADE=∠BDE=90°，DE=DE， ∴△ADE≌△BDE，∴AE=BE． 过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G， ∵∠ACE+∠BCE=180°，∠GCE+∠BCE=180°， ∴∠ACE=∠GCE， ∵EF⊥AC，EC=EC 26 随堂演练 ∴EF=EG， ∴△AFE≌△BGE，△EFC≌△EGC， ∴AF=BG，CF=CG， ∴AF=BG=BC+CG=BC+CF=BC+AC-AF， ∴2AF=BC+AC， ∵AC=8，BC=6， ∴AF=7. A D B F E C G 27 $