25.2.3 因式分解法 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“因式分解法解一元二次方程”，通过旧知回顾（因式分解方法、已有解方程方法）和物理上抛问题情境，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生理解降次策略的形成过程。 其亮点在于以“化归”思想贯穿，对比不同解法并结合易错题型分析，培养学生运算能力与推理意识。课程小结分类总结方程类型与解法选择，助力学生形成优化思维，既提升学生问题解决能力，也为教师提供清晰教学流程和典型例题。

第二十五章 一元二次方程 人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 25.2 降次------解一元二次方程 25.2.3 因式分解法 1 学习目标 1. 运用提取公因式、平方差公式、完全平方公式等方法完成因式分解，理解“化归”思想在代数变形中的应用，提升数学运算的准确性与灵活性. 2.掌握用因式分解法将一元二次方程转化为两个一元一次方程 的“降次”策略，体会数学方法从“运算”到“问题解决”的迁移过程. 3. 通过解决实际问题，运用因式分解法分析数量关系，感受数学与生活的联系，发展用数学语言表达现实世界的能力. 2 旧知回顾 1. 若 ab=0，则 ；若 (x−a)(x−b)=0，则方程的根为 。 a=0 或 b=0 x₁=a，x₂=b 2. 分解因式： (1) 9x²+12x+4= ； (2) 30x−5x²= . (3x+2)² 5x (6−x) 3 旧知回顾 3. 什么叫因式分解？ 把一个多项式分解成几个 的形式叫做因式分解，也叫把这个多项式分解因式. 4. 分解因式的方法有哪些？ （1）提取公因式法： am+bm+cm=m (a+b+c) （2）公式法： a²−b²=(a+b)(a−b)，a²±2ab+b²=(a±b)² 整式乘积 4 旧知回顾 5. 我们学过的解一元二次方程的方法有哪些？ 直接开平方法： . 配方法： . 公式法： . x²=a (a≥0) (x+m)²=n (n≥0) x = (≥0) 【思考】能不能借助因式分解，找到更简便的解方程方法？ 5 新知探究 问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s后的离地高度（单位：m）约为 10x － 5x². 根据上述规律，物体经过多少秒落 回地面? 6 新知探究 设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为 0 m，即 10x － 5x² = 0. 你能试着用学过的方法解这个方程吗？ 7 新知探究 用配方法解：10x － 5x² = 0. 二次项系数化为1，得 整理后，得 解：移项，得 配方，得 由此可得 5x2－10x =0 x2－2x = 0 (x－1)2= 1 x2－ 2x+ 1=1 x1= 2， x2= 0. 用公式法解：10x － 5x² = 0. 解：方程化为5x2－10x =0 a=5，b=－10，c=0. ∴Δ=b2－4ac =(－10)2－4×5×0=100. x= = . ∴ x1= 2， x2= 0. 8 新知探究 除了配方法和公式法，你还能找到更简便的方法解方程10x－5x²=0吗？ 因式分解 x(10－ 5x) = 0. 降次，化为两个一次方程 x= 0或10－5x= 0 若 ab = 0，则 a = 0 或 b = 0 所以x = 0 或10－5x = 0 解两个一次方程，得出原方程的根 x1= 0，x2= 2. x1=0表示物体抛出的时刻， x2=2表示物体在抛离地面2s时落回地面. 9 新知探究 思考 解方程10x － 5x2=0时，二次方程是如何降为一次的? 可以发现，在上述解法中，由10x － 5x2=0到x= 0或10－5x= 0的过程，不是用开平方降次， 而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式， 再使这两个一次式分别等于0， 从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 10 新知探究 因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 01移项 将方程右边化为0. ax²+bx+c=0 02分解 将方程左边进行因式分解. (mx+n)(px+q)=0 03置零 根据“ab=0，则a= 0或b=0”得到两个一元一次方程. mx+n=0 或 px+q=0 04求解 解这两个一元一次方程，得到原方程的两个根. 核心思想 降次转化 将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而化繁为简. 11 新知探究 例4 解下列方程： (1) x(x－2) ＋x－2=0； 解：左边分解因式，得 (x－2)(x＋1)=0. 于是x－2=0，或x＋1=0， 即 x1=2， x2= －1. (2) 5x2－2x－ = x2－2x＋ . 解：移项、合并同类项，得 4x2－1=0. 左边分解因式，得 (2x＋1)(2x－1)=0. 于是2x＋1 =0，或2x－1 =0， 即x1= － ， x2= . 12 易错题型 1. 解方程：(x+2)(x－3)=1 典型错误步骤：直接令 x+2=1，x－3=1，算出 x1=－1，x2=4. 正确解法： 先展开整理成标准一元二次方程 x²－x－7=0，该式无法因式分解，使用公式求解. 错因分析：因式分解法的依据是“若ab=0，则a=0 或 b=0 ”.只有方程右边等于 0 时，才能拆分因式求解；右边为非零数时，拆分逻辑不成立. 13 易错题型 2. 解方程：2x (x-2)=3 (x-2) 典型错误步骤：两边同时除以 (x-2)，得到 2x=3，只算出 x = ， 正确解法：移项得 2x (x-2)-3 (x-2)=0 提取公因式 (x-2)(2x-3)=0 x-2=0 或 2x-3=0 解得 x1=2，x2= 错因分析：当除式是含未知数的整式时，该整式的值可能为 0，直接相除会丢失 “该整式 = 0” 对应的根.必须先移项归零，再提取公因式求解. 14 新知探究 配方法要先配方，再开方，进而降次； 通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程； 因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0. 思考 学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗? 15 新知探究 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法只在解某些一元二次方程时比较简便，总之，解一元二次方程的基本思路是：先将二次方程化为两个一次方程，即降次，再分别解两个一次方程. 解法 适用方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 x²=p 或 (mx+n)²=p（m≠0，p≥0） 优先用于二次项系数为 1，一次项系数为偶数的一元二次方程，可解所有一元二次方程 所有一元二次方程 一边化为 0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程 16 随堂演练 1.解下列方程: (1) x2+x=0； (2) x2－2x=0； 解：左边分解因式，得 x (x＋1)=0. 于是x=0，或x＋1=0， 即 x1=0， x2= －1. 解：左边分解因式，得 x (x－2x)=0. 于是x=0，或x－2x =0， 即 x1=0， x2= 2. 17 随堂演练 1.解下列方程: (3)3x2 － 6x= －3； (4) 4x2 － 81=0； 解： 方程变形，得 3x2 －6x+3=0 x2－2x＋1=0. 左边分解因式，得 (x-1)2=0， 即x1=x2= 1. 解： (2x)2 －92=0 左边分解因式，得 (2x＋9)(2x－9)=0. 于是2x＋9 =0或2x－9=0 即 x1= ，x2= － . 18 随堂演练 1.解下列方程: (5) 3x(2x+1)=4x+2； (6) (x－4)2=(5－2x)2. 解：方程变形，得 6x2 －x－2=0 左边分解因式，得 (2x+1)(3x－2)=0. 于是2x+1 =0或 3x－2=0， 即 x1=，x2= . 解：方程变形，得 (x－4)2 － (5－2x)2=0 左边分解因式，得 (x－4+5－2x)[x－4 －(5－2x)]=0. (1－x)(3x －9)=0 于是1－x =0或 3x－9=0， 即x1=1，x2=3. 19 随堂演练 2.如图，把小圆形场地的半径增加5m，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为9:4. 求小圆形场地的半径. 解：设小圆半径为x m，则大圆半径为(x+5)m. 由面积比9:4，得： π(x+5)2= π x2 ，可化为 (x+5)2= x2 ， (x+5)2 － (x)2 =0， [(x+5) + x] [(x+5) － x]=0，即(x+5)(5－ x)=0. ∴x1= －2(不合题意，舍去)，x2=10. 答：小圆形场地的半径为10m. 20 随堂演练 3.三角形两边的长分别是7和11，第三边的长是一元二次方程 x2 － 25=2(x － 5)2的一个实数根，则该三角形的周长是( ) A. 23 B.23或33 C. 24 D.24或30 【点拨】x2 － 25=2(x － 5) 2，(x+ 5)(x － 5) － 2(x － 5) 2 =0， (x － 5)[(x+5) － 2(x － 5)]=0，(x － 5)(－ x+15)=0，x1=5， x2=15. ∵长为7,11,5的线段和长为7,11,15的线段都能组成三角形， ∴该三角形的周长是7+11+5=23或7+11+15=33，故选B. B 21 随堂演练 4.设m是方程x2+5x=0的一个较大的根，n是方程x2-x-6=0的一个较小的根，则m+n的值是( ) A.-4 B.-3 C. -2 D.2 【点拨】∵ x2+5x=0 ， ∴ x(x+5)=0， ∴ x=0或x+5=0，解得x=0或x=-5. ∵ m是方程x2+5x=0的一个较大的根， ∴ m=0. ∵ x2-x-6=0， ∴(x-3)(x+2)=0， ∴ x-3=0或x+2=0，解得x=3或x=-2. ∵ n是方程x2-x-6=0的一个较小的根， ∴ n=-2， ∴ m+n=0+(-2)=-2，故选C. C 22 随堂演练 5.解下列方程： ①2x2-18= 0； ②2x2-12x-782 = 0； ③3x2+10x+1=0； ④2(5x-1)2=2(5x-1). 用较简便的方法依次是( ) A. ①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B. ①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法 C. ①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法 D. ①直接开平方法，②③公式法，④因式分解法 A 23 随堂演练 6.已知：(x2+ y2)(x2 + y2 －1)=6，求x2 + y2的值. 解：设t= x2 + y2. 因为平方和非负，所以t ≥ 0. 原方程变为：t(t －1)=6， t2－t－6=0. 因式分解：(t－3)(t+2)=0. 解得：t1=3，t2=－2. 因为t= x2+ y2 ≥0，舍去t=－2. 所以x2+ y2 =3. 24 课程小结 1. ax²+c=0 —— 优先选用直接开平方法 ax²+bx=0 —— 优先选用因式分解法 ax²+bx+c=0 —— 可尝试因式分解法；不易分解时选用公式法(配方法) 2. 公式法适用性广，对任何一元二次方程都适用，但计算量偏大，不一定最简便. 解方程优先思路：先观察能否使用直接开平方法、因式分解法；无法简便求解时，再选用公式法，必要时使用配方法. 3. 方程带有括号时，先尝试整体思想寻找简便解法；若无简便方法，再去括号整理成一元二次方程一般形式，选择合适方法求解. 25 第二十五章 一元二次方程 人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 25.2 降次------解一元二次方程 25.2.3 因式分解法 26 $