空间直角坐标系的建立习题课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何中空间直角坐标系的建立，通过情景导入明确建系关键，结合共顶点三条垂线、线面垂直、面面垂直三种类型例题解析，辅以巩固练习和课堂小结，构建从方法到应用的完整知识网络。 其亮点在于采用“问题驱动-类型突破-分层巩固”复习策略，如引导学生用数学眼光观察几何体建系难点，通过逻辑推理确定坐标轴培养数学思维，提供多种建系方案实现分层教学。帮助学生规范用数学语言表达坐标与向量，提升知识应用能力，为教师提供系统复习框架。

第一章 空间向量与立体几何 专项练习 空间直角坐标系的建立 情景导入 我们要利用坐标法解决问题，那就有一个不可逃脱的问题——建系 我们去解题，遇到的几何体不可能都是正方体、长方体之类的，多少都长得奇形怪状，这就给我们建系设点带来了极大的不便。 如何建系？ ①z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直（面面垂直） ②x，y 轴的确定：利用好底面中的垂直条件，让底面上更多的点位于x，y 轴上 类型一：共顶点的三条垂线 例1、在直三棱柱中， 的中点。(用坐标法解决) (2)求的值 （1）求 BN 的长 (3)求证： CA、CB、CC1两两互相垂直 x y z 答案 解：（1）以C为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴 建立空间直角坐标系，则B(0,1,0)，N(1,0,1)， ； （2）依题意得 又 例1、在直三棱柱中， 的中点。 （1）求 BN 的长 (2)求的值 (3)求证： x y z （3）证明：依题意得， 例1、在直三棱柱中， 的中点。 (3)求证： x y z 答案 类型二：线面垂直型 例2、如图，在四棱锥满足： 求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值。 底面垂直 AB、AD、AS两两互相垂直 x y z 可以确定z轴！ 解：以点A为坐标原点，分别以AD、AB、AS所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，根据已知边长可得各点坐标： 是平面SAB的一个法向量， 设平面SCD的法向量为，列方程组： 解得： 设平面SCD与平面SAB的夹角为， 例2、如图，在四棱锥满足： 求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值。 x y z 答案 1、如图，在三棱锥 中， （1）求证：平面； （2）若 ，三棱锥 的体积为 100， 求二面角 的余弦值。 巩固练习 可以确定z轴！ x y z 底面垂直 x y z 1、如图，在三棱锥 中， （1）求证：平面； （2）若 ，三棱锥 的体积为 100， 求二面角 的余弦值。 x y z 解(1)证明：PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA ⊥BC ， AC ⊥BC ，PA ，AC ⊂平面P AC ，PA ∩AC =A ， BC ⊥平面PAC ， BC ⊂平面PBC ，平面PAC ⊥平面PBC . (2)AC =5，BC =12，AC ⊥BC ， 又三棱锥 的体积为100， PA =10. 以A 为原点，过A 且平行于BC 的直线为x 轴，AC ，AP 所在直线分别为y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 答案 则 所以 设平面APB 的法向量为， 则 设平面PBC 的法向量为， 则 设二面角的平面角为θ ， 则 x y z 类型三：面面垂直型 例3、如图，已知三棱柱 平面 ， E，F 分别是的中点。 (1) 证明：​ (2) 求直线 EF 与平面 所成角的余弦值。 交线AC是关键 其中一个平面内作交线的垂线，根据面面垂直性质，这条垂线就垂直于另一个平面，直接变成 z 轴。 x y z x y z EH⊥AC x轴//BC; y轴//AB （1）如图、连接． 是等边三角形，中点，． 平面且平面 由三棱柱性质知 且 ， ． 答案 （2）在底面ABC内作，以E为坐标原点，方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系． 设EH=1，则． B， 设平面的法向量为，则： 此时 x y z 答案 tips: 底面自带垂直型 底面图形本身有垂直关系，比如矩形、直角梯形、菱形(对角线垂直)、等边/等腰三角形(中线)等。利用底面的垂直关系先定 x、y 轴，再找垂直于底面的 z 轴。 建系时： 1、先看看有没有“线面垂直”和“面面垂直”方便确定z轴 2、看底面有没有自带的垂直或者可以构造垂直 小结: 建系之后要能够快速准确的写出点的坐标， 1.能够直接写出坐标的点 (1)坐标轴上的点，； (2)底面上的点: 坐标均为(x，y , 0)， 即竖坐标 z=0 2.需要计算的点 (1)中点坐标公式，比例关系等 (2)不好写的点：把它投影到某个坐标平面，“拆开”求解 巩固练习 2、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD =DC =CB =1，∠ABC=60°，AB=2，CP⊥平面ABCD，且CP=1， 建立适当的直角坐标 系并确定各点坐标. 方案①： 解：如图连接AC， 在 以CA，CB，CP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系 x y z 方案②： 如图：过点C作CE交AB与点E， 以CD，CE，CP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系 x y z 2、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD =DC =CB =1，∠ABC=60°，AB=2，CP⊥平面ABCD，且CP=1， 建立适当的直角坐标 系并确定各点坐标. 巩固练习 E 巩固练习 3、如图，在Rt中，，将 绕PO旋转到的位置，使得，得到圆锥的一部分，点C为弧AB上靠近A点的三等分点(三等分弧)，建立适当的直角坐标 系并确定各点坐标. 解：两两互相垂直，以分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系 x y z 4、如图所示，正四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上靠近D点的三等分点.建立适当的直角坐标系并确定各点坐标. 方案①： x y z O(0,0,0) 解：以底面中心 O 为原点，OB,OC,OS为x,y,z 轴。建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz 解：以底面中心 O 为原点，平行于底面边 CD，BC的方向为x,y轴， OS 方向为z 轴。建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz 4、如图所示，正四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上靠近D点的三等分点.建立适当的直角坐标系并确定各点坐标. 方案②： x y z O(0,0,0) 课堂小结 ①建系：先证后建，建系前必须先证明三条线两两垂直，不能直接默认。 ②写点坐标： 用坐标法解题流程： ③求向量：向量坐标公式(终点减起点)；平面的法向量(数量积为零) ④套公式：距离公式/夹角公式 $