20.1 认识二次根式 同步练习 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

**基本信息** 20.1认识二次根式同步练（华东师大版九年级上册）以A/B/C三层递进设计，覆盖概念理解、性质应用到综合实践，适配新授课分层巩固需求，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A基础达标|二次根式概念、基本性质、简单运算|单选聚焦概念辨析，解答题强化化简技能，夯实基础| |B能力提升|性质灵活应用、条件化简、技巧性运算|填空渗透配方思想，解答题结合字母取值范围，提升推理能力| |C综合与实践|跨知识整合、新定义运算、证明探究|新定义运算题培养模型意识，证明题发展逻辑推理，体现数学思维|

20.1 认识二次根式 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．下列各式中，属于二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．当时，二次根式的值为（     ） A．4 B． C． D． 3．计算的结果是（　　） A．4 B． C．2 D． 4．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 6．点在第四象限，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．请写出一个使在实数范围内有意义的的值_______________． 8．已知是整数，则正整数的最小值为____________． 三、解答题 9．化简下列各式： (1)(2)(3)(4) 10．已知x、y都为有理数，且，求的平方根． 【B能力提升】 一、单选题 1．下面计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．在下列代数式有意义的情况下，代数式的值随着a的值增大而一定减小的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 3．当时，化简二次根式的正确结果是_____________． 4．形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 三、解答题 5．已知． (1)化简T； (2)若有意义，请选择一个合适的整数作为m的值，求T的值． 6．计算并化简：． 【C综合与实践】 1．解决问题： (1)关于分式有这样一个结论：若，且，则．请补全下面小明的证明过程． (2)小红从小明的证明过程中获得启发，尝试解决下列问题： 已知（，），（，），求证：． 证明：设，…请接着完成证明． 2．在学习二次根式的过程中，对于代数式M定义新的运算： (1) ， ， ; (2)若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示， 化简： (3)若，求的值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.1 认识二次根式 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．下列各式中，属于二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：二次根式要求被开方数是非负数． A、中的，不符合被开方数为非负数，故不是二次根式，选项A不符合题意； B、中的，当时不符合被开方数为非负数，故不是二次根式，选项B不符合题意； C、中的，当时，，不符合被开方数为非负数，故不是二次根式，选项C不符合题意； D，中的，符合被开方数为非负数，故是二次根式，选项D符合题意． 2．当时，二次根式的值为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】将给定的值代入二次根式，根据二次根式的性质计算即可． 【详解】解：将代入二次根式可得． 3．计算的结果是（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据即可求解． 【详解】解：， 故选C． 【点睛】本题考查了平方和平方根之间的运算以及联系．要求熟练运用乘方法则计算无理数的乘方，平方和开方是互逆运算． 4．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：． 5．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误． 6．点在第四象限，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由点所在象限确定a的取值范围，再将二次根式化为绝对值形式后化简计算． 【详解】解：∵点在第四象限 ∴， 解得 ∵ ∴， ∴原式． 二、填空题 7．请写出一个使在实数范围内有意义的的值_______________． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】二次根式有意义要求被开方数为非负数，据此解出的取值范围，在范围内任取一个值即可． 【详解】解：∵要使在实数范围内有意义， ∴ 被开方数需大于或等于0，可得，解得， ∴任取一个小于或等于3的数即可，例如，． 8．已知是整数，则正整数的最小值为____________． 【答案】4 【详解】解：是正整数，是整数， 是完全平方数， ∵大于的最小完全平方数是， ∴， 解得． 三、解答题 9．化简下列各式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）运用二次根式的性质化简； （2）运用进行化简，即可作答． （3）运用进行化简，即可作答． （4）运用进行化简，即可作答． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 10．已知x、y都为有理数，且，求的平方根． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件，求得的值，从而可求得，再求出的平方根． 【详解】解：∵x、y都为有理数，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 【B能力提升】 一、单选题 1．下面计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用二次根式运算结果的非负性排除错误选项，再验证剩余选项的开方运算是否正确． 【详解】解：A：，故A错误； B：，故B错误； C：由，可得，故C正确； D：，错误． 2．在下列代数式有意义的情况下，代数式的值随着a的值增大而一定减小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各代数式的有意义条件确定定义域，再结合代数式的性质，判断代数式值随增大的变化趋势，即可得到答案． 【详解】解：A、有意义时，当时，取，，得，此时，，，代数式值随增大而增大，故A错误； B、有意义时，取，，得，此时，，，代数式值随增大而增大，故B错误； C、有意义时，∵增大时增大，算术平方根随被开方数增大而增大，∴代数式值随增大而增大，故C错误； D、有意义时，由分式和二次根式有意义条件得，即，∵增大时减小，算术平方根随被开方数减小而减小，∴随增大一定减小，故D正确． 二、填空题 3．当时，化简二次根式的正确结果是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先将改写成，再利用二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 4．形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 【答案】/ 【分析】把化为，再进行化简即可． 【详解】解：． 三、解答题 5．已知． (1)化简T； (2)若有意义，请选择一个合适的整数作为m的值，求T的值． 【答案】(1) (2)选取，的值为（答案不唯一） 【详解】（1）解： ； （2）解：∵有意义， ∴， 解得， ∵且， ∴且，， 综上所述，，且， 选取，． 6．计算并化简：． 【答案】当时，结果为；当时，结果为；当时，结果为 【分析】运用完全平方公式将式子变形为，再讨论的取值范围，结合绝对值和二次根式的性质计算即可得出结果． 【详解】解：， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，当时，结果为；当时，结果为；当时，结果为． 【C综合与实践】 1．解决问题： (1)关于分式有这样一个结论：若，且，则．请补全下面小明的证明过程． (2)小红从小明的证明过程中获得启发，尝试解决下列问题： 已知（，），（，），求证：． 证明：设，…请接着完成证明． 【答案】(1)，； (2)证明：∵ ∴， ∴， 设，则， ∴左边 ， 右边 ， ∴． 【分析】（1）将代入中，化简后可得答案； （2）设，则，求出左边，右边，可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 2．在学习二次根式的过程中，对于代数式M定义新的运算： (1) ， ， ; (2)若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示， 化简： (3)若，求的值. 【答案】(1)5，0，5 (2) (3)6 【分析】首先明确新运算的本质：，所有运算均转化为绝对值的相关计算． （1）直接根据绝对值的代数意义，分别计算正数、0、负数的绝对值即可． （2）先根据数轴确定、的取值范围，再判断每个绝对值内表达式的正负性，根据绝对值的性质去绝对值符号后合并同类项． （3）先将方程转化为，根据绝对值的非负性得到确定的取值范围，再去掉绝对值符号解方程求出，最后代入所求式子，按新运算规则计算． 【详解】（1）根据，可得： ，，． （2）由数轴可得：判断符号： ，，因此； ，，因此。 代入化简： ． （3）由得： 绝对值结果非负，因此，即， 此时， 去绝对值得： 解得 代入： ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $