专题01 利用三角形相似解决投影中物体的高度（2大题型）（专项训练）数学新教材鲁教版五四制九年级上册

**基本信息** 聚焦投影问题中物体高度计算，通过平行投影与中心投影分类训练，以三角形相似为核心构建解题模型，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型一：平行投影|4题|含影子落地、墙面投影、标杆测量等情境，结合实际场景数据|以平行光线性质为基础，通过相似三角形对应边成比例建立高度与影长关系| |题型二：中心投影|4题|涉及路灯、点光源下双杆测量、动态影子变化等问题|基于点光源光线相交特性，利用相似三角形对应高比等于相似比推导高度公式|

专题01 利用三角形相似解决投影中物体的高度 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用平行投影求物体的高度 1 题型二、利用中心投影求物体的高度 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用平行投影求物体的高度 1．在学习完投影之后，数学兴趣小组赵亮和王琦两名同学想利用太阳光线形成的投影的特点测量学校实验楼的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： （1）将实验楼的影子记为，身高为的赵亮竖直站立在距离实验楼底部的点处； （2）王琦用皮尺测量出赵亮的影子长，赵亮与实验楼影子之间的距离为． 请你求这栋实验楼的高． 【答案】这栋实验楼的高为 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解题的关键．先根据题意求出，证明，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】解：根据题意可得：，，，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故这栋实验楼的高为． 2．如图，阳光下，小亮的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，线段表示旗杆的高，线段表示一堵高墙． (1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子； (2)如果小亮的身高，他的影子，旗杆的高，旗杆的高与墙的距离，请求出旗杆的影子落在墙上的长度． 【答案】(1)见解析 (2)旗杆的影子落在墙上的长度为 【分析】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是正确地构造直角三角形． （1）连接，过点作的平行线即可； （2）过作于，利用相似三角形列出比例式求出旗杆的高度即可． 【详解】（1）解：如图：线段和就表示旗杆在阳光下形成的影子． （2）过作于， 设旗杆的影子落在墙上的长度为，由题意得：， ∴， 又∵，， ， ∴， 解得：， 答：旗杆的影子落在墙上的长度为米． 3．如图，公路旁有两个高度相等的路灯．小明上午上学时发现路灯在太阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯的底部C处．晚自习放学时，站在上午同一个地方，发现在路灯的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处． (1)在图中画出小明的位置（用线段表示），并画出光线，标明太阳光、灯光． (2)若上午上学时候高的木棒的影子为，小明身高为，他离里程碑E恰好，求路灯高． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题综合考查了相似三角形的判定和性质的运用，掌握平行投影的光线是平行的是解题的关键． （1）根据题意画出图形，即可求解； （2）证明，即可求解． 【详解】（1）解：如图． （2）解：∵上午上学时候高的木棒的影子为，小明身高为， ∴小明的影长为． ∵，， ∴， ∴，， ∴． ∴， 即， 解得：． 即路灯高． 4．焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【答案】(1)见解析； (2)纪念碑的高度为． (3)小红的结果误差较大，理由见解析 【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论； （2）令与的交点为，则四边形和是矩形，设，证明，得到，求出的值即可； （3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可． 【详解】（1）解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处， ， 标杆的影子的长和标杆的长相等，即， ； （2）解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， 答：纪念碑的高度为． （3）解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为， 则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果． 题型二、利用中心投影求物体的高度 5．某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度．因路上设有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面．同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长米时停止移动，并标记为点，然后沿着方向直行2米，即米，在点处直立竹竿，测得此时竹竿的影长米，求路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】路灯的高度约为7.7米． 【分析】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用．由题意可知，推出，求得，求得，再由相似三角形的对应边成比例即可得出答案． 【详解】解：设米， 由题意得， 米， ， ， ， 米，米，米， ∴(米）， 米， ， ， ， ， ， 解得． 答：路灯的高度约为7.7米． 6．如图，小树在路灯的照射下形成投影． (1)此光源下形成的投影属于_________（填“平行投影”或“中心投影”） ． (2)已知树的高为，树影为，树与路灯的水平距离为，，点，，在同一条水平线上，求路灯的高度． 【答案】(1)中心投影 (2) 【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由中心投影的定义确定答案即可； （2）先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）解：∵此光源属于点光源， ∴此光源下形成的投影属于中心投影， 故答案为：中心投影； （2）解：，， ， 又， ， ，即， 解得， 路灯的高度为4.4米 7．如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站立在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置． (1)在小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为 ； (2)请你在图中画出小亮站在处的影子； (3)当小亮离开灯杆的距离时，身高（AB）为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少m？ 【答案】(1)变短 (2)见解析 (3)小亮的影长是． 【分析】本题考查的是相似三角形的判定及性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质解答． （1）根据光是沿直线传播的道理可知在小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短； （2）连接并延长交直线于点E，则线段即为小亮站在处的影子； （3）根据灯的光线与人、灯杆、地面形成的两个直角三角形相似解答即可． 【详解】（1）解：因为光是沿直线传播的，所以当小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短； 故答案为：变短； （2）解：如图所示，即为所求； ； （3）解：如图， 先设，则当时，， ∴，即， ∴米； 当米时，设小亮的影长是y米， ∴=， ∴， ∴． 即小亮的影长是． 8．如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆，垂直立在一盏亮着的路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子恰好在一条直线上． (1)请在图中画出路灯灯泡P的位置； (2)哥哥和弟弟测得如下数据：米，米，米，两根标杆的距离为米．请你根据以上信息： ①求与四边形的面积比． ②求灯泡P距离地面的高度． 【答案】(1)作图见解析 (2)①；②米 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据熟练掌握中心投影的定义，相似三角形判定与性质解题关键． （1）连接、并延长，相交于点，则点即是灯泡的位置； （2）①先证明四边形是矩形，得出，，证明，得出相似比，再利用相似三角形的性质即可求解； ②过作，则即是灯泡距离地面的高度，利用，得出，再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接、并延长，相交于点， 则点即是灯泡的位置； （2）解：①∵，， ∴， ∵米， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵（米）， ∴相似比为， ∴， ∴； ②如图，过作，则即是灯泡距离地面的高度， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（米）， 答：灯泡距离地面的高度是米． 一、单选题 1．如图，笔直的水平公路上有一盏10米高的路灯．晚上欢欢站在位置的影子和站在位置的影子相比（　　） A．在位置的影子长些 B．在位置的影子长些 C．在位置和的影子一样长 D．在位置和的影子谁长无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心投影，同一物体，离光源越远，影子越长，据此求解即可． 【详解】解：由图可知，点A距离路灯的距离小于点B距离路灯的距离， ∴在位置的影子长些， 故选；B． 2．如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，则旗杆的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了平行投影，作于点，如图，则四边形为矩形，，，利用“在同一时刻物高与影长的比相等得到” ，求出从而可得到的长． 【详解】作于点，如图， 则四边形为矩形，，， 根据题意得， 即， 解得， 所以． 故选：A． 3．数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，同学们认为继续量也可以求出树高，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米（每级台阶的宽度相同），请你和他们一起算一下，树高为（   ）．（假设两次测量时太阳光线是平行的） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质， 先根据题意画出图形，再求出，然后根据物高与影长的比相等求出，最后根据得出答案． 【详解】如图所示，根据题意可知，， 根据物高与影长的比相等，得， 解得， ∴． 所以树高为4米． 故选：C． 4．如图，方桌正上方的灯泡发出的光线照射方桌后（方桌可看成正方形），在地面上形成阴影，已知方桌的边长为，桌面距离地面，灯泡距离地面，则地面上阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心投影、位似图形的性质，解答此题要根据相似多边形的性质：相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 根据中心投影的图形性质，将图形中高的比转化为相似比解答． 【详解】解：如图所示，垂直于水平面，依题意得： ，， 正方形与阴影相似，相似比为：． 由于面积比等于相似比的平方， 故地面上阴影部分的面积为． 故选A． 二、填空题 5．在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一根旗杆的影长为，那么这根旗杆的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，平行投影，根据“同时同地物高与影长成正比”列式计算即可得解．解题的关键要熟练掌握相似三角形的性质． 【详解】解：设旗杆高度为， 由题意得：， 解得：， ∴这根旗杆的高度为． 故答案为：． 6．如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为 ． 【答案】80 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，证明，推出，构建方程求出EF即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：80． 7．如图，小丽家旁边有两棵树，一棵高11米的和一棵高6米的，它们都与地面垂直．某一时刻，在太阳光照射下，树落在地面上的影子的长为12米，落在小丽家墙上影子的长为2米，另一棵树落在地面上的影子的长为4米，则落在小丽家墙上的影子的长为 米． 【答案】3 【分析】本题主要考查了平行投影、相似三角形的判定与性质等知识点，根据平行投影的对应边成比例列出方程成为解题的关键． 如图：过点E作于M，过点G作于N．利用矩形的性质和平行投影的知识可以得到比例式，然后代入求出即可． 【详解】解：如图：过点E作于M，过点G作于N． 由题意得：四边形，是矩形， 则米，，米，米． ∵米，米 ∴， 由平行投影可知：，即， 解得：． 故答案为：3． 8．如图，身高米的张亮想利用路灯下的影子测量路灯的高度．张亮晚上由路灯正下方的处走到处，测得影子的长为米，继续往前走米到达处时，测得影子的长为米，路灯的高度为 米． 【答案】6 【分析】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．通过相似三角形的性质可得，，可得，即可求解． 【详解】解：， 当张亮在处时，，即， 当张亮在处时，，即， ， 米，米，米，米， 设，， ， 解得：，经检验是原方程的根． ，即， 解得米． 即路灯的高度米． 故答案为：6． 三、解答题 9．太阳能光伏发电因其消洁、安全、高效等特点，已成为世界各国重点发展的新能源产业．图①是太阳能电板，图②是其截面示意图，其中为太阳能电板，、均为钢架且垂直于地面为水平钢架且垂直于，已知太阳能电板，测得电板上两个支撑点的距离，钢架连接点．若某一时刻的太阳光线垂直照射，求太阳能电板的影子的长． 【答案】太阳能电板的影子的长为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理的应用，矩形的判定和性质，平行投影，得出．在中，由，进而得，，过点作于，易证四边形是矩形，由矩形的性质得出，即，再根据，得出，进而得出，根据相似三角形的判定可证，利用相似三角形的性质即可解答，熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行投影是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 由题意，得，，，，， ，， 四边形是矩形， ，， ． 在中，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ． ， ， ． ， ， ． 在中，由勾股定理， 得， ，解得 答：太阳能电板的影子的长为． 10．如图，身高的小鹏从距路灯的底部（点O）的点A处沿方向行走到达点C处，小鹏在点A处时，头顶B在路灯投影下形成的影子在点M处． (1)已知灯杆垂直于路面，试标出路灯P的位置和小鹏在点C处时，头顶D在路灯投影下形成的影子N的位置； (2)若路灯（点P）距地面，小鹏从点A走到点C时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少？ 【答案】(1)见解析 (2)变短了，身影的长度变短了 【分析】本题考查了中心投影以及相似三角形的应用，读懂题目信息，列出两个影长的表达式是解题关键． （1）连接并延长，与过点且垂直于里面的直线的交点为路灯P的位置，连接并延长，与路面的交点为影子N的位置； （2）设小鹏在A点处时身影为，C处的身影为，根据相似三角形的性质，分别求出，，即可求解． 【详解】（1）解：路灯P的位置和影子N的位置如图所示． （2）解：变短了． 由题意可知，，，，， 设小鹏在A点处时身影为，C处的身影为， 由题意知：， ∴，即， 解得， 由题意知， ∴，即， 解得， ∴， 即小鹏从点A走到点C时，身影的长度变短了． 11．小明想利用阳光下的影长测量学校旗杆的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆，测得其影长米． (1)请在图中画出此时旗杆在阳光下的投影； (2)如果米，求旗杆的高． 【答案】(1)见解析 (2)旗杆的高为 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，相似三角形的应用，平行投影等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接，过A点作交于F，则为所求； （2）利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：连接，过A点作交于F，则为所求，如图∶ （2）解：∵， ∴， 而， ∴， ∴， 即， ∴． 答：旗杆的高为． 12．如图，晚上小丽由路灯走向路灯，当她行至点处时，发现她在路灯下的影长为，且影子的顶端恰好在点，接着她又走了至点处，此时她在路灯下的影子的顶端恰好在点，已知小丽的身高为，路灯的高度为小丽与路灯，在同一平面内    (1)请在图中画出路灯在位置灯下的影子； (2)计算路灯的高度． 【答案】(1)见解析 (2)路灯的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的应用．中心投影； （1）连接并延长，交过点且垂直于的直线于，即为所求； （2）由题意知，，，，，证明，则，求，，证明，则，求即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）解：由题意知，，，，， ， ， ，即， 解得， ， ， ， ，即， 解得， 路灯的高度为． 13．阳光明媚的一天，小明和小丽在操场上玩耍，小丽突然高兴地对小明说：“我踩到你的影子顶端了．”如图，线段表示小明，线段表示小丽，线段表示小明某一时刻在阳光下的影子，，． (1)请画出此时小丽在阳光下的影子； (2)若已知小明身高为，小明的影子长为，而此时小丽的影子长为，求小丽的身高． 【答案】(1)见解析； (2)小丽的身高为． 【分析】本题考查了平行投影，相似三角形的应用； （1）利用阳光是平行投影进而得出小丽在阳光下的影子进而得出答案； （2）利用相同时刻身高与影子成正比进而得出即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为此时小丽在阳光下的影子． （2）解：∵，， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得． 答：小丽的身高为． 14．如图，三根木杆、、竖直立于地平面，点、、在同一条直线上，且每两根木杆之间的距离为6米，即米，木杆、的影子分别为、． (1)在图1、图2两个示意图中，反映阳光下情形的是图 ，反映灯光下情形的是图 ；（填图形序号） (2)请在图1中画出表示木杆的影长的线段； (3)已知木杆长为3.6米，木杆长为2.25米，木杆长为1.5米，在图1中测得木杆、的影长米，求木杆的影长． 【答案】(1)2，1 (2)见解析 (3)3.6米 【分析】 本题考查了作图-应用与设计作图、相似三角形的判定和性质、平行投影、中心投影，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题． （1）根据图形以及中心投影，平行投影的定义判断即可； （2）根据中心投影的定义画出图形； （3）利用相似三角形的性质构建方程组求解． 【详解】 解：（1）由图1，图2可知，图1是中心投影，图2是平行投影． 故答案为：，； （2）如图1中，线段即为所求； （3）如图1，过点作于点，设米，O米． ∵，， ∴∽△， ∴， ∴①， 同法可得， ∴②， 由①②解得， 经检验是分式方程组的解， 同法可得， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解． 即的影长为米． 15．如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（）在某一灯光下的影子为，继续按原速行走2秒到达点F，此时他（）在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（）在同一灯光下的影子为（点C，E，G在一条直线上） (1)请在图中画出小明位于点F时的影子（不写画法）； (2)求小明原来的速度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的应用：从实际问题中抽象出几何图形，然后利用相似比计算相应线段的长． （1）利用中心投影的定义画图； （2）设小明原来的速度为，则，，，，根据相似三角形的判定方法得到，，则，，推出，即，然后解方程解决． 【详解】（1）解：图形如图所示： ； （2）解∶设小明原来的速度为，则，，，， ∵点C，E，G在一条直线上，， ∴，， ∴，， ∴，即， 解得， 经检验为方程的解， ∴小明原来的速度为． 答：小明原来的速度为． 16．小明家有一栋附带小庭院的楼房，为提高居住的舒适度，他在楼房的窗子上方安装一个圆弧形遮阳棚（如图1所示）．图2是安装遮阳棚一侧的院子的俯视图，设房子墙壁与院墙分别为、，这两面墙间距米，经观测，太阳光线常从院墙方向照进院子中，房子墙壁下方紧挨着矩形花圃（花圃高度忽略不计），花圃的另一边紧贴着左侧院墙，米．图3是院子的左视图，已知弧所在的圆的圆心O恰好在墙壁上，测得遮阳棚的顶部到地面的距离，外边缘B到墙壁的距离，．在太阳光的照射下，遮阳棚对面院墙落在地面上的影子是，． (1)根据以上数据求圆心O到地面的距离； (2)小明说：“当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧的半径．”，你认为他的说法正确吗？请说明理由． (3)如图4，从某一时刻开始，过点G的太阳光线正好落在花圃边沿H处，随着时间的推移，光线逐渐向左移动．假设太阳光线可照射在花圃上的宽度为l米，影长为n米（），试判断l与n有什么关系？并说明理由． (4)在（3）的条件下，若要求太阳光线照在花圃上的宽度不得小于米，则n的取值范围是多少？ 【答案】(1)圆心O到地面的距离为 (2)小明的说法正确，理由见解析 (3)或； (4) 【分析】（1）由题意可得：，，设，再利用勾股定理求解，从而可得答案； （2）如图，设光线的延长线交于，证明，可得，从而可得结论； （3）当重合时，过作交于，过作于，证明，可得，证明四边形为矩形，可得，，如图，当光线时，可得，如图，当时，光线时，求解，结合，可得：，如图，当时，结合，可得，从而可得答案； （4）当时，，此时：，当时，，可得，再进一步解答即可. 【详解】（1）解：由题意可得：，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴圆心O到地面的距离为； （2）解：小明的说法正确。理由如下： 如图，设光线的延长线交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧的半径，小明的说法正确. （3）解：当重合时，过作交于，过作于， ∴，， ∴， ∴， ∵，结合题意可得四边形为矩形， ∴，， 如图，当光线时， 同理可得：， ∴，解得：， 如图，当时，光线时， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 如图，当时， ∵， ∴， ∴， 综上：或； （4）解：当时，， ∴， 此时：， 当时，， ∴， 解得：， ∴， 综上：太阳光线照在花圃上的宽度不得小于米时，. 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一次函数的应用，平行投影，本题的难度很大，清晰的分类讨论是解本题的关键. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01利用三角形相似解决投影中物体的高度 目录 A题型建模·专项突破 题型一、利用平行投影求物体的高度 1 题型二、利用中心投影求物体的高度. 6 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、利用平行投影求物体的高度 1,在学习完投影之后，数学兴趣小组赵亮和王琦两名同学想利用太阳光线形成的投影的特点测量学校实 验楼的高度.在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 中申中由 FDE B (1)将实验楼的影子记为BE,身高为1.7m(CD=1.7m)的赵亮竖直站立在距离实验楼底部(B)10m的点D 处： (2)王琦用皮尺测量出赵亮的影子DF长1.4m,赵亮与实验楼影子之间的距离(DE)为0.9m. 请你求这栋实验楼的高。 2.如图，阳光下，小亮的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段BC所示，线段DE表 示旗杆的高，线段FG表示一堵高墙。 F A G E CB (1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子： (2)如果小亮的身高AB=1.65m,他的影子BC=2.4m,旗杆的高DE=15m,旗杆的高与墙的距离 119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EG=16m,请求出旗杆的影子落在墙上的长度. 3.如图，公路旁有两个高度相等的路灯AB,CD.小明上午上学时发现路灯AB在太阳光下的影子恰好落 到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯CD的底部C处.晚自习放学时，站在上午同一个地方，发现 在路灯CD的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处. B A E (1)在图中画出小明的位置（用线段G表示），并画出光线，标明太阳光、灯光， (2)若上午上学时候高1m的木棒的影子为2m,小明身高为l.6m,他离里程碑E恰好5m,求路灯高. 4.焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心.某 综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下， 活动 测量纪念碑的高度 主题 实物 图和 测量 E 示意 N 图 F MD 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点 测量 D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处 说明 的观测者眼睛所在位置为点N，点N,E,A在一条直线上，纪念碑底部点B在观 测者的水平视线上 测量 DE =2.1m.DF =2.1m.DM =1m.MN =1.2m 数据 备注 点F,M,D,C在同一水平线上. 根据以上信息，解决下列问题 (I)由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD=CA,请说明理由. (2)求纪念碑AB的高度， 219 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m,查阅资料得知，纪念碑的实际 高度为19.64m.请判断小红的结果和(2)中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一 条即可). 题型二、利用中心投影求物体的高度 5,某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度.因路上设有隔离带，同 学们无法直接到达路灯下面.同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在 路灯下的影长EC=1米时停止移动，并标记为点C,然后沿着BC方向直行2米，即CF=2米，在点F处 直立竹竿，测得此时竹竿的影长HF=1.3米，求路灯的高度.（结果精确到0.1米） G D HF EC B 6.如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC 路灯P (1)此光源下形成的投影属于 (填“平行投影”或“中心投影”)· (2)已知树AB的高为2m,树影BC为2.5m,树与路灯的水平距离BP为3m,OP⊥PC,AB⊥PC,点P, B,C在同一条水平线上，求路灯的高度OP 7.如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在 广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置 A D 7777777777777777777777777 (1)在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为_： (2)请你在图中画出小亮站在AB处的影子： (3)当小亮离开灯杆的距离0B=3.2m时，身高(AB)为1.6m的小亮的影长为1.6m,问当小亮离开灯杆的 319 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 距离OD=6m时，小亮的影长是多少m? 8.如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆AB,CD垂直立在一盏亮着的路灯下，然后调整标杆 位置，使它们在该路灯下的影子BE,DF恰好在一条直线上 E B D F (1)请在图中画出路灯灯泡P的位置； (2)哥哥和弟弟测得如下数据：AB=CD=1.6米，BE=1米，DF=2米，两根标杆的距离为3.6米.请你根 据以上信息： ①求△PAC与四边形AEFC的面积比. ②求灯泡P距离地面的高度. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.如图，笔直的水平公路上有一盏10米高的路灯.晚上欢欢站在位置A的影子和站在位置B的影子相比 () B A.在位置A的影子长些 B.在位置B的影子长些 C.在位置A和B的影子一样长 D.在位置A和B的影子谁长无法确定 2.如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.25米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平 地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD=9米，留在墙上的影长CD=2米，则旗 杆的高度() 419 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.7.2米 B.8.2米 C.9.2米 D.10.2米 3.数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高.课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子 是0.9米，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上， 且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，同学们认为继续量也可以求出树高，他们测得落在地面 的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米（每级台阶的宽度相同)，请你和他们 起算一下，树高为()·（假设两次测量时太阳光线是平行的） A.2 B.3 C.4 D.5 4.如图，方桌正上方的灯泡O发出的光线照射方桌ABCD后（方桌可看成正方形ABCD),在地面上形 成阴影4B,CD,已知方桌ABCD的边长为1.2m,桌面ABCD距离地面1.2m,灯泡O距离地面3.6m,则 地面上阴影部分ABCD的面积为() A.3.24m2 B.0.36m2 c.1.8m2 D.1.44m2 二、填空题 5.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m,同时测得一根旗杆的影长为l0m,那么这根旗杆 的高度为■ m 6.如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB投影到与胶片平行的屏幕上，形成 影像CD.己知AB=0.3(dm),点光源到胶片的距离0E长为6(dm),CD长为4.3(dm),则胶片与屏幕的 519 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 距离EF为！ dm. 胶片 屏幕 C 点光源 E 0 B 7.如图，小丽家旁边有两棵树，一棵高11米的AB和一棵高6米的CD,它们都与地面垂直.某一时刻， 在太阳光照射下，树AB落在地面上的影子BF的长为12米，落在小丽家墙上影子EF的长为2米，另一棵 树CD落在地面上的影子DH的长为4米，则落在小丽家墙上的影子G的长为一米。 A 墙面 D 地面B 8.如图，身高1.5米的张亮想利用路灯下的影子测量路灯AB的高度.张亮晚上由路灯A正下方的B处走 到C处，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，路灯AB的高度 为 米 G C D F 三、解答题 9.太阳能光伏发电因其消洁、安全、高效等特点，已成为世界各国重点发展的新能源产业.图①是太阳 能电板，图②是其截面示意图，其中GF为太阳能电板，AE、CD均为钢架且垂直于地面DE,AB为水平 钢架且垂直于CD,已知太阳能电板GF=1.8m,测得电板上两个支撑点的距离AC=lm,钢架连接点 BC=O.8m.若某一时刻的太阳光线垂直照射GF，求太阳能电板GF的影子EH的长. 图① 图② 10.如图，身高1.6m的小鹏从距路灯的底部（点O)30m的点A处沿A0方向行走16m到达点C处，小鹏 619 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在点A处时，头顶B在路灯投影下形成的影子在点M处. D C A M (1)已知灯杆垂直于路面，试标出路灯P的位置和小鹏在点C处时，头顶D在路灯投影下形成的影子N的位 置； (2)若路灯（点P)距地面11.6m,小鹏从点A走到点C时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短 了多少m? 11.小明想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度.如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长 的标杆CD,测得其影长DE=1.5米. (I)请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF: (2)如果BF=6米，求旗杆AB的高 12.如图，晚上小丽由路灯AB走向路灯CD,当她行至点F处时，发现她在路灯CD下的影长为2m,且 影子的顶端恰好在B点，接着她又走了5.5m至点H处，此时她在路灯AB下的影子的顶端恰好在D点，已 知小丽的身高为l.6m,路灯CD的高度为8m(小丽与路灯AB,CD在同一平面内) G H D (I)请在图中画出路灯AB在H位置灯下的影子： (2)计算路灯AB的高度， 13.阳光明媚的一天，小明和小丽在操场上玩耍，小丽突然高兴地对小明说：“我踩到你的影子顶端 了.”如图，线段AB表示小明，线段CD表示小丽，线段BD表示小明某一时刻在阳光下的影子， AB⊥BD,CD⊥BD 719 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C B Dh 小明 小丽 (I)请画出此时小丽在阳光下的影子DF: (2)若已知小明身高AB为l.60m,小明的影子长BD为2m,而此时小丽的影子长DF为1.75m,求小丽的身 高CD 14.如图，三根木杆AB、CD、EF竖直立于地平面，点B、D、F在同一条直线上，且每两根木杆之间 的距离为6米，即BD=DF=6米，木杆AB、CD的影子分别为BG、DH. B GDH F 图1 图2 (1)在图1、图2两个示意图中，反映阳光下情形的是图，反映灯光下情形的是图；（填图形序号） (2)请在图1中画出表示木杆EF的影长的线段： (3)已知木杆AB长为3.6米，木杆CD长为2.25米，木杆EF长为1.5米，在图1中测得木杆AB、CD的影 长BG=DH=4米，求木杆EF的影长， 15.如图，A,B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D,此时他(CD) 在某一灯光下的影子为AD，,继续按原速行走2秒到达点F,此时他(EF)在同一灯光下的影子仍落在其 身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H,此时他(GH )在同一灯光下的影子为BH(点C,E,G在一条直线上) G H B (I)请在图中画出小明位于点F时的影子FM(不写画法)： (2)求小明原来的速度. 16.小明家有一栋附带小庭院的楼房，为提高居住的舒适度，他在楼房的窗子上方安装一个圆弧形遮阳棚 (如图1所示).图2是安装遮阳棚一侧的院子的俯视图，设房子墙壁与院墙分别为DP、EQ,这两面墙 间距DE=3米，经观测，太阳光线常从院墙E0方向照进院子中，房子墙壁DP下方紧挨着矩形花圃（花圃 高度忽略不计)，花圃的另一边DH紧贴着左侧院墙，DH=2米.图3是院子的左视图，已知弧AB所在 的圆的圆心O恰好在墙壁AD上，测得遮阳棚的顶部到地面的距离AD=2.6m,外边缘B到墙壁AD的距 离BC=1.6m,AC=0.8m.在太阳光的照射下，遮阳棚对面院墙EG落在地面上的影子是EF, 819 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EG=1.2m. D 花 遮阳棚 B G 圃 H 院子 F D H(F E 图1 图2 图3 图4 (1)根据以上数据求圆心O到地面的距离； (2)小明说：“当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等 于弧AB的半径.”，你认为他的说法正确吗？请说明理由 (3)如图4，从某一时刻开始，过点G的太阳光线正好落在花圃边沿H处，随着时间的推移，光线GH逐渐 向左移动.假设太阳光线可照射在花圃上的宽度为I米，影长EF为n米(1<n<3),试判断l与n有什么 关系？并说明理由、 (4)在(3)的条件下，若要求太阳光线照在花圃上的宽度不得小于0.8米，则的取值范围是多少？ 919