专题01 二次函数的图象和性质（7大题型）（专项训练）数学新教材鲁教版五四制九年级上册

**基本信息** 以二次函数定义为起点，通过7类题型系统构建“概念-性质-应用-综合”的知识逻辑链，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义求参数|4题|考查二次函数定义中参数取值条件|概念生成基础| |图象和性质|4题|判断开口方向、对称轴、顶点等|性质理解核心| |增减性比较大小|4题|结合对称轴分析函数值大小|性质应用延伸| |对称点求对称轴|4题|利用对称性质推导对称轴|性质深化理解| |区域最值|4题|含参数及区间的最值计算|性质综合应用| |画图象|4题|五点法作图及平移变换|数形结合实践| |综合问题|4题|含参数、动态及多知识点融合|知识体系整合|

专题01 二次函数的图象和性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据二次函数的定义求参数 1 题型二、二次函数的图象和性质 2 题型三、利用二次函数的增减性比较大小 4 题型四、已知二次函数上对称的两点求对称轴 5 题型五、求二次函数在某区域的最值问题 6 题型六、画二次函数的图象 8 题型七、二次函数的图象和性质综合问题 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据二次函数的定义求参数 1．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）已知是关于的二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义． 根据二次函数的定义，可得关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D．3 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数定义，根据概念得，求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是二次函数， ∴， 解得， 故选：B． 3．（24-25九年级上·广东惠州·期中）若函数是关于x的二次函数，则（　　） A． B．1 C．1或 D．2 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键．二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数． 根据“形如的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解． 【详解】解： 是关于x的二次函数， |且， 解得：． 故选：A． 4．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）若函数是二次函数，则（   ） A． B．4 C．4或 D．4或3 【答案】B 【分析】本题考查根据二次函数的定义求参数的值，根据二次函数的定义，得到且，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选B． 题型二、二次函数的图象和性质 5．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的标准式形式，分析开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因，故开口向上，A正确，不符合题意； B、将代入函数，得，故抛物线经过点，B正确，符合题意； C、函数为，属于标准形式，顶点坐标为，而非，C错误，符合题意； D、因开口向上，对称轴为轴（），当时，随增大而递增，D正确，不符合题意． 故选：C． 6．（25-26九年级上·浙江·课后作业）下列关于抛物线的判断中，错误的是（    ） A．形状与抛物线相同 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，以及抛物线的开口方向的确定，根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、抛物线形状与相同，此选项不符合题意； B、抛物线对称轴为直线，此选项不符合题意． C、对于抛物线，由于，当时，函数值y随x值的增大而减小，当时，函数值y随x值的增大而增大，则当当时，y随x的增大而减小或增大，此选项错误，符合题意； D、抛物线，，抛物线开口向下，抛物线与x轴的交点为，，所以当时，，因而当时，说法正确，此选项不符合题意． 故选：C． 7．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．函数的最大值为4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐一判断即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．根据二次函数的性质即可进行解答． 【详解】解：A、∵，∴函数开口向上，故A不正确，不符合题意． B、∵， ∴对称轴是直线，故B不正确，不符合题意； C、∵函数开口向上，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而减小，故C正确，符合题意； D、∵，∴顶点坐标为， ∴函数的最大值为2，故D不正确，不符合题意． 故选：C． 8．（24-25九年级上·全国·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】解：抛物线， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而减小，即时，y随x增大而减小， ∴只有C选项正确． 故选：C． 题型三、利用二次函数的增减性比较大小 9．（23-24九年级上·河北保定·期中）若抛物线，点，为抛物线上两点，则 ．(填“<”、“>”或“=”) 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像与性质比较函数值大小，先将抛物线解析式化为顶点式，即，求出对称轴，发现点，关于直线对称，从而得到，推导出“点，关于直线对称”是解题的关键． 【详解】解： 抛物线对称轴为直线， 点，是抛物线上两点， ， 点，关于直线对称， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·重庆北碚·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的增减性，掌握增减性的影响因素是解题关键． 把二次函数解析式化为顶点式可得对称轴为直线，从而得到关于对称轴的对称点为，再根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴二次函数图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知抛物线，若点，，都在该抛物线上，，，的大小关系 （用“<”连接） 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵点都在该抛物线上，， ∴， 故答案为： 12．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据解析式求得对称轴为直线，开口向上，可知离对称轴越近，函数值越小，离对称轴越远，函数值越大，分别计算几个点的横坐标与对称轴的距离，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴开口向上，对称轴为直线，离对称轴越近，函数值越小，离对称轴越远，函数值越大， ，， ∵ ∴， 故答案为：． 题型四、已知二次函数上对称的两点求对称轴 13．（24-25九年级上·广东惠州·期中）抛物线的对称轴为 ． 【答案】直线 【分析】本题考查的是二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的对称轴公式． 利用二次函数图象的对称性，结合与x轴的两个交点坐标推导即可． 【详解】解： 与x轴的交点坐标为，， ∴对称轴为直线． 故答案为：直线． 14．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）抛物线过点和，则此抛物线的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．判断出点和是抛物线上对称的两点，据此求出抛物线的对称轴即可得． 【详解】解：∵抛物线过点和， ∴由二次函数的对称性可知，此抛物线的对称轴为直线， 故答案为：． 15．（2024九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点均在抛物线上，则b的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据的纵坐标相等得出关于抛物线的对称轴对称，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：∵点均在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线， ． 故答案为：． 16．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数的对称轴是直线，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，求出二次函数图象与x轴的两个交点坐标，利用抛物线的对称性即这两个交点关于对称轴对称，即可求得． 【详解】解：令，解得：， 即抛物线与x轴的两个交点坐标为， 由于抛物线的对称轴是直线，即， 解得： 故答案为：． 题型五、求二次函数在某区域的最值问题 17．（24-25九年级上·重庆渝北·阶段练习）对于二次函数，当时，y的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质得出该函数图象开口向下，当时，有最大值4，再结合当时，，当时，，即可以得到当时的取值范围． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向下，当时，有最大值4， 当时，，当时，， ， 的取值范围为， 故答案为：． 18．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，先求出二次函数的对称轴，再分、和三种情况，结合二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵当自变量时，函数有最大值为10， ∴当即时，时取最大值，即， 解得， 当即时，号时取最大值，即， 则 ∵，方程没有实数根， 当时即，时取最大值，即， 解得 综上，的值为或， 故答案为：或． 19．（2025·浙江衢州·模拟预测）已知二次函数，当时，y的最大值为9，则k的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据二次函数的顶点式可得在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，则可得当时，取得最大值，由此即可得． 【详解】解：将二次函数化成顶点式为，对称轴为直线， ∴抛物线开口向上，在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∵离二次函数的对称轴比离二次函数的对称轴更远， ∴当时，取得最大值，最大值为， 又∵当时，的最大值为9， ∴， 解得， 故答案为：1． 20．（24-25九年级下·浙江杭州·开学考试）已知二次函数，且当时，函数最大值与最小值的差为2，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由可知二次函数图象开口向下，将二次函数化为顶点式，得出顶点坐标为，对称轴为，再根据二次函数的性质得出当时，函数有最小值，结合题意列出方程，即可求出a的值． 【详解】解：， 二次函数的图象开口向下， ， 顶点坐标为，对称轴为， 函数最大值为， ，，且， 当时，函数有最小值，最小值为， 由题意得，， 解得：． 故答案为：． 题型六、画二次函数的图象 21．（25-26九年级上·北京·课后作业）对于抛物线． (1)将抛物线的解析式化为顶点式． (2)在坐标系中利用五点法画出此抛物线． x … … y … … 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查二次函数一般式化为顶点式，画二次函数的图象： （1）由于二次项系数是1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． （2）利用列表、描点、连线的方法画出图象即可； 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点式为； （2）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 函数图象如图所示： 22．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）已知二次函数． (1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象； (2)若三点，，且，则，，的大小关系为 ． (3)把所画的图象如何平移，可以得到函数 的图象?请写出一种平移方案． 【答案】(1)见解析 (2) (3)先向左平移2个单位，再向上平移1个单位可以得到函数的图象 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，二次函数的平移特点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）根据列表、描点、连线，画出函数图象即可； （2）根据二次函数的增减性，求出结果即可； （3）根据平移的特点，得出答案即可． 【详解】（1）解：列表： x 0 1 2 3 4 3 0 0 3 描点，连线，如图所示： （2）解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴先向左平移2个单位，再向上平移1个单位可以得到函数的图象． 23．（25-26九年级上·广东广州·开学考试）已知二次函数． (1)请按二次函数画图步骤，填写表中空格处的数值； … … … … (2)根据表格，画出这个二次函数的图象； (3)根据表格图象可知，当时，的取值范围是____________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握数形结合的应用． （1）根据所给表格填出x的值，再求y的值； （2）描点，连线即可； （3）根据表格、图象，即可看出y的取值范围 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，；… … 0 1 2 3 … … 2 3 2 … （2）解：画图如下： （3）解：根据表格图象可知，当时，的取值范围是， 故答案为：． 24．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）已知抛物线． (1)请用配方法将化为的形式，并写出对称轴和顶点的坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出的图象； (3)如果该抛物线沿x轴向左或向右平移个单位后经过原点，求m的值； (4)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)，对称轴：直线，顶点坐标 (2)作图见解析 (3)或1 (4) 【分析】本题考查二次函数的顶点式、画二次函数的图象，二次函数平移的规律，解题的关键是掌握二次函数平移的规律． （1）利用配方法进行求解即可； （2）先找顶点，再求与x轴、y轴交点，即可画出二次函数的图象； （3）根据函数经过点，，根据平移规律进行求解； （4）结合抛物线对称轴直线，分别求、、时的值，确定最值． 【详解】（1）解： 对称轴为：直线； 顶点坐标； （2）解：当时，； 当时，或， 所以该图象经过点，，； （3）∵经过点， ∴抛物线沿x轴向左平移3个单位长度或向右平移1个单位长度后经过原点， ∴或3． （4）时，； 时，（最大值）； 时，（最小值）． y的取值范围为． 题型七、二次函数的图象和性质综合问题 25．（24-25九年级上·广东东莞·期中）已知抛物线的对称轴为直线． (1)求的值； (2)若点，都在此抛物线上，且，．比较与的大小，_____． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，对称轴的公式等知识点，解决此题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质； （1）根据对称轴的公式得到结果即可； （2）先由（1）得到二次函数的图象开口向下，再由二次函数图象的性质即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴， ∴的值为； （2）解：由（1）可知，， ∴抛物线开口向下， ∴哪个点距离对称轴越远，这个点的纵坐标就越小， 又对称轴为直线，且，， ∴点距离对称轴更远， ∴； 故答案为： 26．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数（是常数，且）的图象经过点和点． (1)若，求抛物线顶点坐标； (2)在（1）的条件下，当时，的取值范围； (3)当时，的值增大，的值先减小再增大，且的最大值与的最小值的差等于3，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）当时，将抛物线的解析式化为顶点式即可得解； （2）由（1）可得当时，有最小值为，再分别求出当和时的的值，即可得解； （3）由二次函数的解析式可得二次函数的对称轴为直线，二次函数的开口向上，当时，取得最小值为，结合题意可得直线在内，求得，求出当时，；当时，；再分两种情况：当，即时；当，即；分别结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴若，抛物线顶点坐标为； （2）解：当时，， ∴当时，有最小值为， 当时，，当时，， 故当时，的取值范围为； （3）解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线，二次函数的开口向上，当时，取得最小值为， ∵当时，的值增大，的值先减小再增大， ∴直线在内， ∴， 解得：， 当时，；当时，； ∵的最大值与的最小值的差等于3， ∴当，即时，当时，有最大值，即， 解得或（不符合题意，舍去）； 当，即时，当时，有最大值，即，故不符合题意； 综上所述，． 27．（24-25九年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数）． (1)直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含有m的代数式表示）； (2)都在该抛物线上； ①若当时，成立，求m的取值范围； ②对于任意满足的m值，都有成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的图象和性质、不等式的应用等知识点，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． （1）先将原函数配方成顶点式，然后确定对称轴即可． （2）①当时，，然后根据列不等式求解即可；②由（1）可得抛物线对称轴为，且开口向下，再利用二次函数的图象和性质列不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴是直线． （2）解：①当时，， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线， 当，y随x的增大而增大，当，y随x的增大而减小， 当时，在对称轴的右侧，即，不符合题意； 当时，， ∵， ∴，解得：； 当，在对称轴的左侧，即，符合题意． 综上，m的取值范围为． ②抛物线开口向下，对称轴是直线，且开口向下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，． 28．（24-25九年级上·河北衡水·期末）已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)． (1)当时，求A、B两点的坐标； (2)当此抛物线经过点时，判断点是否在此抛物线上，并说明理由； (3)点、在此抛物线上，比较m、n的大小，并说明理由； (4)我们把横纵坐标均为整数的点叫做“整点”．当线段(包括端点)上有且只有4个整点时，直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)不在，理由见解析 (3)，理由见解析 (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系及图象上点的特征，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把代入函数解析式，解方程求解； （2）先根据抛物线过求出的值，再把代入求，进行判断； （3）先求抛物线的对称轴，再根据增减性进行判断； （4）根据抛物线的对称轴得出整点的坐标，再利用对称性求出的最值． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 解得：或， ． （2）解：由题意得， 解得：， 此时， 当时，， 所以点不在此抛物线上； （3）解：∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴； （4）解：由（3）知，抛物线顶点坐标为， ∵，线段（包括端点）上有且只有 4 个整点时， 则这四个整点分别是， ∴当抛物线过点时，， 解得：， 当抛物线过点时，， 解得：， ∴． 一、单选题 1．（25-26九年级上·天津滨海新·阶段练习）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、在时是二次函数，故该选项不符合题意； C、符合二次函数定义，故该选项符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C 2．（25-26九年级上·天津宝坻·阶段练习）若二次函数，在时，随的增大而减小，则的取值范围（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解得关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 该二次函数可化为顶点式 ，开口向上，对称轴为直线，当 时， 随的增大而减小，给定当时，随的增大而减小，因此需满足． 【详解】∵ ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当 时，随的增大而减小， ∵ 当时随的增大而减小， ∴ ， ∴． 故选：B． 3．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，比较二次函数值的大小． 根据抛物线的开口方向及对称轴分析各点与对称轴的距离，从而确定大小关系即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为，开口向下， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 离对称轴越近的点，y值越大，故。 故选：A ． 4．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段练习）对于二次函数，下列说法中正确的是（   ） A．图象的开口向下 B．函数的最大值为1 C．图象的对称轴为直线 D．当时y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确 【详解】解：依题意，， ∵， ∴该函数图象开口向上，故选项A不符合题意； 当时，函数的最小值为1，故选项B不符合题意； 函数图象的对称轴为直线，故选项C符合题意； 当时y随x的增大而减小，故选项D不符合题意； 故选：C． 5．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象的综合分析，解题的关键是熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质． 先根据题干可得抛物线开口向下，则；直线经过第一、二、三象限，则，再判断的图象即可． 【详解】解：由图可得图象开口向下，则；直线经过第一、二、三象限，则， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴对称轴 ∴对称轴在y轴右侧， ∵， ∴抛物线与y轴的正半轴相交， 故选：D． 6．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 3 … y … 1 3 4 3 … 下列关于该二次函数的说法，错误的是（   ） A．开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y有最大值4 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数函数的图象和性质，先根据表格数据确定对称轴，根据增减性，判断开口方向，再根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，和的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为直线， 在对称轴的左侧，随着的增大而增大， ∴抛物线的开口向下，当时，y随x的增大而增大，抛物线上的点离对称轴越远函数值越小， ∴当时，函数有最大值，当时，； 综上：只有选项C错误； 故选C． 二、填空题 7．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）抛物线的开口方向是 ，顶点坐标是 ． 【答案】 向下 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的顶点式，通过系数判断开口方向，并直接得出顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线方程为，其中， ∴开口向下，顶点坐标为． 故答案为：向下，． 8．（25-26九年级上·北京昌平·期中）已知是关于的二次函数，则值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，因式分解法解方程，根据二次函数的定义，得出x的最高次数为2，且二次项系数不为零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴， 解得， 故答案为：2 9．（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）已知二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数性质等知识．抛物线上有两个对称点的坐标为和，则对称轴为直线，据此即可求解． 【详解】解：设抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标是， ∴， ∴， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为． 故答案为： 10．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．将二次函数化为顶点式，确定开口方向及顶点坐标，结合给定取值范围的端点值，求函数值的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为 ， ∵ 二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，顶点处取最小值， 当时， 当 时，取得最小值； 当时，； 当时，， ∴ 当时，的取值范围为， 故答案为： 11．（25-26九年级上·江西宜春·阶段练习）已知二次函数，当时，的最大值为3，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查二次函数的最值问题，二次函数的图象与性质，先求出抛物线的对称轴为直线，分三种情况：当，即时，当，即时，当，即时，结合二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向下， 当，即时， ∴当时，函数有最大值3， ∴， ， 整理得：， 解得：； 当，即时， ∴当时，函数有最大值3， ∴， 解得：(舍去)，(舍去)； 当，即时， ∴当时，函数有最大值3， ∴， 整理得：， 解得：，； 综上分析可知：a的值为或或； 故答案为：2或或． 12．（2024·广东·模拟预测）如图是二次函数的图像，对称轴是直线，则下列说法：；；；，其中正确的是 【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数的图像和性质． 抛物线开口向上，，与y轴交点在负半轴，；由对称轴，可得，利用这几个关系式可求出其他结论． 【详解】解：由图象知，抛物线过点，对称轴为直线， ∴抛物线过点， ，故①正确； 抛物线的对称轴为直线， ， ，故②正确； 由图象知，抛物线开口向上， ， ， ， 而抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上， ， ∴，故③正确； ， ， ， ， ，故④错误． 故答案为：①②③． 三、解答题 13．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）已知抛物线 ． (1)求该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标． (2)当x为何值时，y随x的增大而减小？当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】(1)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标 (2)当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 【分析】本题考查的是二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将一般式化为顶点式，进行作答即可； （2）根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：， ， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标； （2）解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 14．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）已知二次函数． (1)用列表描点法，在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)根据图象写出当y为正数时x的取值范围为_______． (3)当时，y的取值范围为_______． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．正确画出二次函数的图象，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）求出表格中的函数值，利用描点法画出函数图象即可； （2）结合图象，找到时，的取值范围即可； （3）图象法，确定函数的最大值和最小值即可得解． 【详解】（1）解：∵， 列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 画出函数图象，如图：   ； （2）解：由图象可知：当为正数时，； 故答案为：； （3）解：由图象，可知：当时，函数值先增大后减小，抛物线关于直线对称， ∴和时的函数值相同，为最小值，， 当时，有最大值为：， ∴； 故答案为：． 15．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段练习）已知函数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值． (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 【答案】(1)m的值为 (2)m的值为1 【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的定义，掌握二次函数和一次函数的定义是解决本题的关键． （1）根据一次函数的定义即可求解； （2）根据二次函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵是一次函数， ∴当时，则， 解得， ∴ ，不是一次函数， 当时，则， ∴ ， 综上所述，m的值为； （2）解：∵是二次函数， ∴ ， 当时， ，是一次函数，不符合题意， ∴当时， ， 综上所述，m的值为1． 16．（25-26九年级上·天津西青·阶段练习）已知抛物线． (1)将上述抛物线化成的形式为______； (2)该抛物线的开口向______，对称轴是直线______，顶点坐标是______； (3)当______时，函数有最______填“大”或“小”值为______； (4)该抛物线可由抛物线先向左平移______个单位长度，再向______平移______单位长度得到． 【答案】(1)； (2)上，； (3)，小，； (4)2，下，5 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）进行配方即可求解； （2）由二次项系数的符号即可判断出图象的开口方向，再运用（1）中的顶点式即可求出对称轴与顶点坐标； （3）运用（1）中的结论即可求出y的最值； （4）抛物线的平移规律是“左加右减、上加下减”，已知目标抛物线的顶点式为，顶点坐标为；原抛物线的顶点坐标为，横坐标从0到，即向左平移2个单位长度，纵坐标从0到，变化为，即向下平移5个单位长度， 【详解】（1）； 故答案为：； （2）， 图象的开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为； 故答案为：上，； （3）∵，顶点坐标， 当时，y取得最小值为； 故答案为：，小，； （4）抛物线的平移规律是“左加右减、上加下减”，已知目标抛物线的顶点式为，顶点坐标为；原抛物线的顶点坐标为， 横坐标从0到，即向左平移2个单位长度，纵坐标从0到，变化为，即向下平移5个单位长度， 故答案为：2，下， 17．（25-26九年级上·山东·阶段练习）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，该函数图象的开口向下 (3)当时，最小值为 【分析】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题． （1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题． （2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下； （3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴，， 解得：； （2）解：∵函数图象的开口向下， ， ， ∴当时，该函数图象的开口向下； （3）解：∵当时，抛物线有最低点，函数有最小值， ，即 ∵抛物线顶点坐标为， ∴该函数最小值为． 18．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）已知抛物线． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的对称轴； ②当时，y的最大值为6，求抛物线的函数表达式； (2)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】(1)①直线；② (2) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）①将点代入函数表达式求得b的值，再把原式化为顶点式求解即可；②根据二次函数的开口方向和对称轴方程可得函数在时的最大值为，结合题意求得c的值，即可得到函数表达式； （2）先得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据题意分当时、当时和三种情况，分别利用二次函数的性质得到最大值和最小值，再根据最大值与最小值的差列方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线； ②由①可知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，当，y有最大值，最大值为， ∵当时，y的最大值为6， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：∵， ∴该抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴， ∵ ∴①当时，即， 当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为， ∵最大值与最小值的差为， ∴，即， 解得， ∵， ∴舍去； ②当时，即， 当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为， ∵最大值与最小值的差为， ∴，即， 解得， ∵， ∴舍去； ③当时，即， 当时，函数取得最大值为，当时，函数取得最小值为， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得， 综上所述，当，最大值与最小值的差为时，b的值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01二次函数的图象和性质 目录 A题型建模·专项突破 题型一、根据二次函数的定义求参数… .1 题型二、二次函数的图象和性质… .2 题型三、利用二次函数的增减性比较大小… .4 题型四、己知二次函数上对称的两点求对称轴 5 题型五、求二次函数在某区域的最值问题… 6 题型六、画二次函数的图象. 8 题型七、二次函数的图象和性质综合问题， ..14 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、根据二次函数的定义求参数 1.(2425八年级下·江苏南通阶段练习)已知y=(a+2)x-5x是关于x的二次函数，则a的取值范围是 () A.a=2 B.a≠2 C.a=-2 D.a≠-2 2.(24-25九年级上河南周口期末)若关于x的函数y=2x1-x+1是二次函数，则m的值为() A.2 B.1 C.0 D.3 3.(2425九年级上广东惠州期中)若函数y=(m-1)x+5是关于x的二次函数，则m=（) A.-1 B.1 C.1或- D.2 4.(2425九年级上河南周口阶段练习)若函数y=(a+2)-206+1是二次函数，则a=() A.-2 B.4 C.4或-2 D.4或3 题型二、二次函数的图象和性质 5.(2425八年级下·湖南长沙期末)二次函数y= +3的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是 () A.抛物线开口向上 B.抛物线经过点(3,6) C.抛物线的顶点是(L3) D.当x>0时，y随x的增大而增大 6.(25-26九年级上·浙江课后作业)下列关于抛物线y=-(x+1少+4的判断中，错误的是（) 1/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.形状与抛物线y=一x相同 B.对称轴是直线x=-1 C.当x>2时，y随x的增大而减小 D.当-3<x<1时，y≥0 7.(2425九年级上·贵州黔东南期中)对于二次函数y=x2-2x+3的图象，下列说法正确的是() A.开口向下 B.对称轴是直线x=-1 C.当x<1时，y随x的增大而减小 D.函数的最大值为4 8.(24-25九年级上·全国期中)关于抛物线y=-2x2+4x+1,下列说法正确的是() A.开口向上 B.对称轴是直线x=2 C.顶点坐标是1,3) D.x>2时，y随x增大而增大 题型三、利用二次函数的增减性比较大小 9.(23-24九年级上河北保定期中)若抛物线y=-2+2x-2,点(-1，)，(3,2)为抛物线上两点，则 y2.(填“<”、“>”或“=”) 10.(24-25八年级下·重庆北碚期中)己知点4(4，片)，B(-3,2),C(1,)都在二次函数y=x2+4x-3 的图象上，则，2，的大小关系为一·（用“<”连接） 11.(24-25九年级上甘肃张掖阶段练习)已知抛物线y=-x2+2x+2,若点(0，)，(，)，(3，)都在 该抛物线上，，2，的大小关系一（用“<”连接） 12.(24-25九年级上甘肃武威期中)己知点A(-3,乃)，B(-1,乃)，C(0,)在函数y=x2-2x+m的图象 上，则，，的大小关系为 题型四、已知二次函数上对称的两点求对称轴 13.(24-25九年级上：广东惠州期中)抛物线y=(x+5(x-)的对称轴为 14.(24-25九年级上浙江台州阶段练习)抛物线y=x2+bx+c过点(2,8)和(-6,8)，则此抛物线的对称 轴为直线， 15.(2024九年级上全国专题练习)在平面直角坐标系中，点A-m,n,B(5+m,)均在抛物线 y=x2+bx+c上，则b的值为 16.(2024江苏无锡二模)己知二次函数y=(x-ax+2a-1)的对称轴是直线x=-2,则a的值为_ 2/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型五、求二次函数在某区域的最值问题 17.(24-25九年级上重庆渝北阶段练习)对于二次函数y=-x+2x+3,当0<x<4时，y的取值范围为- 18.(24-25八年级下·浙江宁波期中)己知二次函数y=-x2-2bx+3b(b是常数)，当自变量1≤x≤5时， 函数有最大值为10，则b=一 19.(2025浙江衢州模拟预测)已知二次函数y=x2-2x+k,当-1≤x≤4时，y的最大值为9，则k的值 为 20.(24-25九年级下·浙江杭州开学考试)已知二次函数y=a(x-1(x-5)(a<0),且当-1≤x≤4时，函 数最大值与最小值的差为2，则α的值为 题型六、画二次函数的图象 21.(25-26九年级上北京课后作业)对于抛物线y=x2-4x+3. (1)将抛物线的解析式化为顶点式. (2)在坐标系中利用五点法画出此抛物线。 … … … 0 1 2 3 4 y 0 -1 0 3 22.(24-25九年级上湖北十堰期末)已知二次函数y=x-4x+3 319 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 2 1 -3-2-10 1 2 345x 2 (1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象： (②若三点A(G,),B(,),C()且2<x<x<5,则，当2，为的大小关系为 (3)把所画的图象如何平移，可以得到函数y=x的图象？请写出一种平移方案. x 0 1 3 y=x2-4x+3 3 0 -1 0 3 … 23. (25-26九年级上广东广州开学考试)已知二次函数y=-x+2x+2. (1)请按二次函数画图步骤，填写表中空格处的数值： … y=-x2+2x+2 (2)根据表格，画出这个二次函数的图象： 珠 5 - 4 -3 - -32191.2.345.6x I- --2 (3)根据表格图象可知，当-1<x<2时，y的取值范围是 -1 0 1 2 3 y=-x2+2x+2 -1 2 3 2 -1 24.(24-25九年级上河南漯河阶段练习)已知抛物线y=-2x2+4x+6, 419 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 珠 9 2 6 5 4 3 1 5-4-3-219 123.45x -2 ----k-- -4 、为 ()请用配方法将y=-2x2+4x+6化为y=a(x-h)+k的形式，并写出对称轴和顶点的坐标： (2)在平面直角坐标系中，画出y=-2x2+4x+6的图象： (3)如果该抛物线沿x轴向左或向右平移m(m>0)个单位后经过原点，求m的值： (④当0≤x≤4时，求y的取值范围， 题型七、二次函数的图象和性质综合问题 25.(24-25九年级上：广东东莞期中)己知抛物线y=ar2+2x-3(a≠0)的对称轴为直线x=1. (1)求a的值； (2)若点M(:,),N(,)都在此抛物线上，且-1<x<0,1<x<2.比较与的大小，片一乃. 26.(24-25八年级下·湖南长沙阶段练习)已知二次函数y=x2-2mx(m是常数，且m≠0)的图象经过 点A(2m+Ly)和点B(m-l1,) (1)若m=2,求抛物线顶点坐标： (2)在(1)的条件下，当1≤x≤4时，y的取值范围： (3)当m-1≤x≤2m+1时，x的值增大，y的值先减小再增大，且'的最大值与y的最小值的差等于3，求 m的值. 27.(24-25九年级上全国期中)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx(u是常数)· (1)直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含有m的代数式表示）； (②)A(a,),B(a+3,)都在该抛物线上： 519 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①若当a=0时，<2成立，求m的取值范围； ②对于任意满足0<m<2的m值，都有>2成立，求a的取值范围. 28.(24-25九年级上·河北衡水期末)已知抛物线y=ax2+ar-2(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于点 A,B(点A在点B的左侧) (1)当a=1时，求A、B两点的坐标： (2②)当此抛物线经过点（一3,10）时，判断点(3,12)是否在此抛物线上，并说明理由： (3)点DL,m)、E(2,m)在此抛物线上，比较m、n的大小，并说明理由： (④)我们把横纵坐标均为整数的点叫做“整点”，当线段AB(包括端点)上有且只有4个整点时，直接写出a 的取值范围。 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26九年级上·天津滨海新阶段练习)下列函数解析式中，一定为二次函数的是() 1 A.y=3x-1 B.y=ax'+bx+c C.s=22-2t+1 D.y=x2+1 2.(25-26九年级上·天津宝坻阶段练习)若二次函数y=x+2mx+m+2,在x<1时，y随x的增大而减 小，则m的取值范围(). A.m=1 B.m≤-1 c.m≥-1 D.m21 3.(25-26九年级上内蒙古鄂尔多斯阶段练习)点(-2，)，B(1,),乃(2，)均在二次函数 y=-x2-2x+C的图象上，则，，必的大小关系是() A.yi>y2>y3 B.yi>y3>y2 C.为>y2>y D.y3>y>y2 4.(25-26九年级上安徽准南阶段练习)对于二次函数y=3x2-12x+13,下列说法中正确的是() A.图象的开口向下 B.函数的最大值为1 C.图象的对称轴为直线x=2 D,当x<2时y随x的增大而增大 5.(25-26九年级上四川绵阳期中)在同一平面直角坐标系中，二次函数y=x与一次函数y=bx+c的 图象如图所示，则二次函数y=ar+bx+C的图象可能是() 619 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26九年级上内蒙古鄂尔多斯阶段练习)二次函数y=r+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐 标y的对应值如表所示： 0 3 … 下列关于该二次函数的说法，错误的是() A.开口向下 B.当x<1时，y随x的增大而增大 C.当x=1时，y有最大值4 D.当0<x<3时，y>3 二、填空题 7.(25-26九年级上黑龙江佳木斯期中)抛物线y=-3(x-2+4的开口方向是 一，顶点坐标是一 8.(25-26九年级上：北京昌平期中)已知y=-+2-2是关于x的二次函数，则k值是 9.(25-26九年级上甘肃陇南期中)已知二次函数y=ar+br+C的对称轴是直线x=1,与x轴的一个交 点坐标是(3,0)，则另一个交点坐标为一· 10.(25-26九年级上浙江杭州阶段练习)己知二次函数y=2x2+8x+11,当-3≤x≤0时，y的取值范围 是 11.(25-26九年级上江西宜春阶段练习)己知二次函数y=-x2-4x-a2,当-1≤x≤2时，y的最大值 为3，则a的值为 12.(2024广东模拟预测)如图是二次函数y=a2+br+c的图像，对称轴是直线x=2,则下列说法： 0a-b+e=0:@a+h-0@0 ；④16a+5b+2c>0,其中正确的是 719 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 13.(25-26九年级上·甘肃定西期中)已知抛物线y=-2x2+4x+5 (1)求该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。 (2)当x为何值时，y随x的增大而减小？当x为何值时，y随x的增大而增大？ 14.(25-26九年级上：河南信阳·阶段练习)已知二次函数y=-x2+2x+3 12 5.-4-3.-21012345x ()用列表描点法，在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象： (2)根据图象写出当y为正数时x的取值范围为 (3)当-2≤x≤4时，y的取值范围为 -1 0 0 4 3 0 15.(25-26九年级上湖北咸宁·阶段练习) 己知函数y=(m+1)x+(m-1)x+m-2. (1)若这个函数是一次函数，求m的值。 (2)若这个函数是二次函数，求的值， 16.(25-26九年级上·天津西青·阶段练习)已知抛物线y=x2+4x-1. (1)将上述抛物线化成y=a(x-h)'+k的形式为一 (②)该抛物线的开口向一，对称轴是直线， 一，顶点坐标是 (3)当x=时，函数有最（填“大”或“小”）值为： 819 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (④)该抛物线可由抛物线y=x先向左平移 个单位长度，再向平移 单位长度得到. 17.(25-26九年级上山东阶段练习)已知函数y=(m+3)x+m2是关于x的二次函数. (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 18.(25-26九年级上安徽阶段练习)已知抛物线y=x2-4hr+c. (1)若点(3，C)在抛物线上. ①求抛物线的对称轴： ②当1≤x≤4时，y的最大值为6，求抛物线的函数表达式： (2)当0≤x≤1时，y=x2-4hx+c(0<b<1)最大值与最小值的差为4，求b的值. 919