微专题06 二次函数中的特殊四边形存在性问题四大题型（专项训练）数学新教材鲁教版五四制九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与特殊四边形存在性问题，按平行四边形、矩形、菱形、正方形分题型构建“思路-技巧-方法”体系，体现从基础到特殊的知识逻辑，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形存在性问题|4题|中点坐标公式、向量平行，代数法联立方程|二次函数与平行四边形对边相等/对角线平分性质结合| |矩形存在性问题|4题|对角线等长+斜率积-1，先证平行四边形再验直角|平行四边形基础上叠加矩形“对角线相等”“直角”判定| |菱形存在性问题|4题|距离公式表边长、斜率积-1，先证平行四边形再验邻边等|平行四边形基础上叠加菱形“四边相等”“对角线垂直”判定| |正方形存在性问题|4题|边等+垂直+中点重合，先菱形/矩形再叠加另一特性|矩形与菱形性质融合，体现特殊四边形判定的递进关系|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题06二次函数中的特殊四边形存在性问题四大题型 题型一二次函数中的平行四边形存在性问题 题型二二次函数中的矩形存在性问题 二次函数中的特殊四边形存 在性问题四大题型 题型三二次函数中的菱形存在性问题 题型四二次函数中的正方形存在性问题 德点量破 题型一二次函数中的平行四边形存在性问题 啸方法 1解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P、Q,分以AB为边或对角线两类，利用平行四边形 对边平行且相等或对角线互相平分性质分析。 2解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）列方程，结合抛物线表达式消元：借向量平行（坐标 差相等)简化关系，注意动点范围。 3.解题方法：代数法联立中点或向量方程求解：辅以几何法（平移定点得动点轨迹），验证四点不共线 及图形合理性。 1.(25-26九年级上黑龙江阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线'=+r+ 与两坐标轴分别 交于点A小B~C,直线y=手+4经过点B:与)轴交点为0：MB)是抛物线的原点。 1/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式。 (2)已知点N在对称轴上，且AN+DN的值最小.求点N的坐标. (3)在(2)的条件下，在坐标平面内是否存在点P,使以A、B、N、P为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 2.(25-26九年级上广东阶段练习)如图，直线y=-X-2交x轴于点A,交y轴于点B，,抛物线 y=a(-)的顶点为A,且经过点B. (1)求该抛物线对应的函数解析式.· 、9 C m,- (2)若点 2)在该抛物线上，求m的值. (3)若点 D(-4,n) 在抛物线上，求Sm (④在对称轴上是否存在一点Q,使以，A,O,B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出 点Q的坐标；若不存在，请说明理由 y=ax2+bx+5 3.(25-26九年级上江西宜春·期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于点1， B,与》轴交于点C,且点A的坐标为 -5,0),点B的坐标为 -5,0) ,0) 2/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)求该抛物线所对应的函数解析式. (②)如图1，若D是抛物线上第二象限内的一个动点，连接AD,CD.当△ACD的面积最大时，求点D的坐 标及该面积的最大值. (3)如图2，若M是抛物线上的一点，N是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M,使得以A,C,M,N为顶 点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由， 4,（25-26九年级上广东珠海期中)如图。已知二次函数=-4x+3 的图象与x轴交于点A,B,与y 轴交于点C. (1)直接写出A,B的坐标与 (2)若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A,B,P,F为顶点的四边形为平行四边形， 直接写出点P的坐标： (3)点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D,求四边形AEBD面积 的最大值及此时点E的坐标. 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二二次函数中的矩形存在性问题 嫩方法 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P、Q,分以AB为边或对角线，利用矩形“对角线互 相平分且相等”或“平行四边形+一角为直角”的性质分析。 2解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）和勾股定理（对角线等长）列方程，借抛物线表达式 消元；结合斜率（垂直时积为-1）验直角，限定动点范围。 3.解题方法：代数法联立对角线条件方程求解；先证平行四边形再验证直角（斜率法），结合图形验合 理性。 1.(2025·青海西宁中考真题)如图，在平面直角坐标系0少中，以P为顶点的抛物线的解析式为 y=ar-4ra<0,点A的坐标是-10 ,以原点为中心，把点A顺时针旋转90°，得到点4 (1)直接写出A点的坐标和抛物线的对称轴： (2)当3≤x≤5时，y有最大值为1-2a,求抛物线的解析式： (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点A',P,M,N为顶点的四边形是 矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标：若不存在，请说明理由。 2(2025-江苏二模)如图，已知二次函数”=m2-2m-30 是常数，m>0 的图象与x轴分别相交于点 A、B(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C,对称轴为直线L.点C关于I的对称点为D,连接AD. 点E为该函数图象上一点，AB平分∠DAE. 4/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)①线段AB的长为 ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (2)设M是该函数图象上一点，点N在1上.探索：是否存在点M.使得以A、E、M、N为顶点的四边形是 矩形？如果存在，求出点M坐标：如果不存在，说明理由. 3。(24-25九年级下江苏无锡期中)已知二次函数'=ar+2x+ 的图象与x轴分别交于点A和点 B(-1,0 ,与y轴交于点C,对称轴为直线1，交x轴于点D,P为抛物线上一动点. BI O D (1)求这个二次函数的表达式： (2)当∠PCA=∠ACD时，求点P的坐标； (3)若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q,使得以A,C,P,Q为顶点的四边形是矩形？ 若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由 xOy 4.(2025四川眉山一模)如图所示，在平面直角坐标系中，抛物 y=r2-2ax-3a(a<0)与'轴交 于A,B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线：y=c+b与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另 一个交点为D,且CD=4AC. 5/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (1)求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴： (2)求直线1的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； 5 (3)点E是直线I上方的抛物线上的动点，若△4CE的面积的最大值为4，求a的值： (4)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若 能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由. 题型三二次函数中的菱形存在性问题 ©熔方法 1解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P、Q,分以AB为边（邻边相等）或对角线（对角线 垂直平分)两类，利用菱形“四边相等”或“平行四边形+邻边相等”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式表边长（四边相等），中点坐标公式（对角线平分），斜率乘积1（对角线垂 直)列方程，结合抛物线消元，限定动点范围。 3.解题方法：代数法联立平行四边形与邻边相等方程；先证平行四边形，再验四边相等或对角线垂直， 结合图形验合理性。 1(24-25九年级下甘肃武威阶段练习)如图，已知二次函数)=ar+2x+C C(0,3) 的图象经过点 与x (3,0) 轴分别交于点A,点 点P是直线8C上方的抛物线上一动点， 6/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (①求二次函数'=ar+2x+ 的表达式： (2)连接PO,PC,并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POPC,若四边形POP'C为菱形，请求出此时点 P的坐标： (3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标 2.(25-26九年级上黑龙江期中)如图，抛物线y=ar+bx+c与轴交于4 A(-2,0),B(6,0) 两点，与》轴 C(0-3) 交于 V (1)求抛物线的表达式： (②，点P在直线BC下方的抛物线上，连接CP,BP,当△CP 的面积最大时，求点P的坐标 S,cPB的最大 值； (3)在(2)的条件下，N为x轴上一点，在平面内是否存在点Q,使以A,P,N,Q为顶点的四边形为 菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标：若不存在，请说明理由. y=x+bx+c 3.(25-26九年级上四川绵阳期中)已知如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 B(3,0),C(0,-3) 7/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A B 图1 图2 (1)求这条抛物线的解析式： ②如图1，若点尸是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP交轴于点9，当5m=S时，求点P的 坐标 (3)如图2，若E是'轴右侧抛物线上的一个动点，过点E作EF⊥x轴交直线BC于点F,在平面内找一点 G，使得以点O,C,F,G为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标。 y=x+bx+c 4.(24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习)如图，二次函数1 的图象交”轴于点B,交'轴 C 于点C,点B的坐标为 ,对称轴是直线=，点P是轴上一动点，PM1轴，交直线1C于点M, ,0) 交抛物线于点N, (1)求这个二次函数的解析式. (2)若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求△ACN面积的最大值， (③)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q,使以M从C卫为顶点的四边形是菱形？若存在， 请直接写出所有满足条件的点Q的坐标：若不存在，请说明理由 题型四二次函数中的正方形存在性问题 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 啸方法 1解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P、Q,分以AB为边（邻边等且垂直）或对角线（对 角线等且垂直平分)，利用正方形“四边等+四角直”或“菱形+矩形”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式（边等）、斜率积-1（垂直）、中点重合（对角线平分）列方程，借抛物线消 元，结合图形限动点范围。 3解题方法：代数法联立邻边等与垂直方程；先证矩形再验邻边等，或先菱形再验直角，结合图形验合 理性。 1.(24-25九年级上·安徽阜阳期末)如图，在平面直角坐标系中，点4(0,2).C(-1,0 ,以AC为直角边， ABC,∠ACB=90° y=ax'+ax-2 在第二象限作等腰直角三角形 抛物线 经过点B (1)求抛物线的解析式. (②)设抛物线的顶点为D,连接BD,CD，,求△BDC的面积. (3)在抛物线上是否还存在两点G,H,使四边形ACGH为正方形？若存在，请求出点G,H的坐标；若不存 在，请说明理由. 2.(2025广东矿州模拟预测)如图，抛物线=a+2x+c与'轴交于点4(-2,0)和点B(6,0）,与轴 C(0,6 交于点 ,点D是抛物线的顶点，过点D作*轴的垂线，垂足为E. 9/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 YA D B 备用图 (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)连接BD,若点F是Y轴上的动点，直线BF与抛物线交于点G.当∠FBA=∠BDE时，求点G的坐标： (3)若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N,点P在x轴上，点O在坐标平面 内，以线段MN为对角线作正方形MPN吧，请求出点Q的坐标， 2.(2425九年级上河北石家庄·阶段练习)在平面直角坐标系中，抛物线y= 2x2+bx+C交x轴于 A(-3,0)B(4,0) 两点，交y轴于点C D E 备用图 (1)求抛物线的解析式. 39 (2如图，直线y=4+4与抛物线交于A,D两点，与直线BC交于点E.若M(m,0)(m≠)是线段AB上 (不包括点A,B)的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F,交直线AD于点G,交直线BC于点 H 5 ①连接EF,OG,OE,当点F在直线AD上方的抛物线上，且Sm=。as时，求m的值。 ②在平面内是否存在点P,使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明 理由 25山东烟台三模)如图，抛物线℃少=r++C的图像经过点D儿，，与抽交 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 抛物线对称轴为=一召 5. C C2 B OA 备用图 C (1)求抛物线的表达式： C (②将抛物线C向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C,求抛物线C的表达式，并判断点 D是否在抛物线C,上： (3③)在抛物线C的对称轴上是否存在一点P,使 PB-PD 最大，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请 说明理由； C ，B,DE,F ④点F是平面内的一点，在抛物线9和抛物线上是否存在一点E,使以点5，D, 为顶点的四边形 是以BD为边的正方形.若存在，请直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由， 11/11 微专题06 二次函数中的特殊四边形存在性问题四大题型 题型一 二次函数中的平行四边形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线两类，利用平行四边形对边平行且相等或对角线互相平分性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）列方程，结合抛物线表达式消元；借向量平行（坐标差相等）简化关系，注意动点范围。 3.解题方法：代数法联立中点或向量方程求解；辅以几何法（平移定点得动点轨迹），验证四点不共线及图形合理性。 1.（25-26九年级上·黑龙江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别交于点、、，直线经过点，与轴交点为，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)已知点在对称轴上，且的值最小．求点的坐标． (3)在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)点的坐标为或或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，对称性，平行四边形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）先确定出点坐标，最后用待定系数法即可得出结论； （2）先判断出点是直线与对称轴的交点，即可得出结论； （3）设出点坐标，分三种情况利用用平行四边形的两条对角线互相平分和中点坐标公式求解即可得出结论． 【详解】（1）解：对于直线， 令，则， ， ， 是抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 点在抛物线上， ， ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为， 点，关于抛物线对称轴对称，且的值最小． 直线与对称轴的交点即为点， 当时，， ； （3）解：设， ，，， 当为对角线时，与互相平分， ，， ，， ； 当为对角线时，，， ，， ； 当为对角线时，，， ，， ， 即：满足条件的点的坐标为或或． 2.（25-26九年级上·广东·阶段练习）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)若点在该抛物线上，求的值． (3)若点在抛物线上，求． (4)在对称轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1或 (3)4 (4)或 【分析】（1）利用轴上的点纵坐标为，轴上的点横坐标为代入直线的表达式求出点的坐标，再利用顶点坐标式待定系数法求出抛物线的表达式； （2）把时，代入抛物线的表达式求出； （3）先求出点，然后根据三角形面积公式进行计算即可； （4）根据抛物线的对称轴为直线，设点Q的坐标为，根据以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，，，得出，求出t的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：对于，当时，；当时，， ， 抛物线的顶点为， ， 又抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线对应的函数解析式为． （2）解：点在抛物线上， ， 解得， 的值为1或． （3）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∵， ∴． （4）解：存在； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设点Q的坐标为， ∵，，， ∴当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：， ∴点Q的坐标为或． 3．（25-26九年级上·江西宜春·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为． (1)求该抛物线所对应的函数解析式． (2)如图1，若是抛物线上第二象限内的一个动点，连接．当的面积最大时，求点的坐标及该面积的最大值． (3)如图2，若是抛物线上的一点，是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点D的坐标为，面积的最大值； (3)或或． 【分析】本题二次函数综合题，主要考查了二次函数及其图象的性质，平行四边形的分类，一元二次方程的解法等知识，解决问题的关键是熟练掌握平行四边形在坐标系中的点的坐标特点． （1）将点A、B两点代入抛物线解析式，求得a，b的值，进一步得出结果； （2）作于D，交于E，连接，，作于F，可求得，从而得出要使最大，只需的面积最大，设，，从而表示出，进一步得出结果； （3）分为：当时，根据平行四边形和点坐标的关系得出N的横坐标为：，进而求得结果；当时（图中），同样方法得出结果；当（图中），类似方法得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， 且点的坐标为，点的坐标为， ∴将点A和点B坐标代入得， ， 解得， ∴该抛物线所对应的函数解析式为； （2）作于H，交于E，连接，，作于F，如图1， ∵， 令，， ∴， 设直线的解析式为：， 将和代入， ， 解得， ∴直线的解析式为：， ∵，， ∴， ∴， ∴要使最大，只需的面积最大， 设，， ∴， ∴， ∴当时，， ∴点D的坐标为，面积的最大值； （3）如图2， 当时， ∵， ，N的横坐标为：， ∴， ∴当时，， ∴， 当时（图中）， 此时， ∴当时，， ∴， 当（图中）， 此时， ∴当时，， ∴， 综上所述：或或． 4．（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． (1)直接写出A，B的坐标与； (2)若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标； (3)点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线于点D，求四边形面积的最大值及此时点E的坐标． 【答案】(1)，， (2)点P的坐标为或或 (3)面积有最大值为，点E的坐标为 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，二次函数和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系； （1）分别令和，求出的坐标，即可求解； （2）分当为平行四边形一条边、对角线，两种情况进行讨论，分别求解即可； （3）利用，即可求解． 【详解】（1）解：当，则， 解得：， 故，， 当时，，则， ； （2）解：①当为平行四边形一条边时，如图1， 则， 则点坐标为， 当点在对称轴左侧时，即点的位置，点、、、为顶点的四边形为平行四边形， 故：点或； ②当是四边形的对角线时，如图2， 中点坐标为 设点的横坐标为，点的横坐标为2，其中点横坐标为：， 即：，解得：， 故点； 故：点P的坐标为或或； （3）解：直线的表达式为：， 设点坐标为，则点， ， ，故四边形面积有最大值， 当，其最大值为，点E的坐标为． 题型二 二次函数中的矩形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线，利用矩形“对角线互相平分且相等”或“平行四边形+一角为直角”的性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）和勾股定理（对角线等长）列方程，借抛物线表达式消元；结合斜率（垂直时积为-1）验直角，限定动点范围。 3.解题方法：代数法联立对角线条件方程求解；先证平行四边形再验证直角（斜率法），结合图形验合理性。 1.（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；， 【分析】本题考查旋转的性质，二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，二次函数的对称轴公式进行计算即可； （2）根据二次函数的增减性，列出方程求出的值即可； （3）分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标是， ∴， ∵以原点为中心，把点A顺时针旋转， ∴， 此时点在轴正半轴上， ∴； ∵， ∴对称轴为直线； （2）∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，有最大值为， ∴， ∴； （3）存在； ∵， ∴当时，， ∴， 设，， 由（1）知：； 当以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况： ①当为对角线时，则为以为顶点的直角三角形，，即轴，， ∴轴， ∴轴， ∴，； ②当以为对角线时，则：，解得， ∴，， ∵， ∴，解得； ∴； ③当以为对角线时，要满足，P，M，N为顶点的四边形是矩形，则需要满足是以为直角的直角三角形，即轴，与题意不符；故此种情况不存在； 综上：或． 2.（2025·江苏·二模）如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分． (1)①线段的长为_______． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，对称轴，勾股定理，矩形的性质，解本题的关键是用角平分线得到直线解析式． （1）①令，求出抛物线与轴的交点坐标； ②根据抛物线解析式确定出对称轴，和轴交点坐标； （2）先设出点的坐标，分两种情况计算，利用矩形的对角线互相平分来确定出点的坐标，再用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：①令，则， 或， ，， ， 故答案为：； ②二次函数， ，对称轴， ， 平分， 点关于轴的对称点，在直线上， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，， 点是抛物线和直线的交点， ． （2）解：设， ，． 以、、、为顶点的四边形是矩形， ①以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去，或， ， ②以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去或 ， ③以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ，此方程无解， 即：存在，或． 3．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）已知二次函数的图象与x轴分别交于点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，交x轴于点D，P为抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求点P的坐标； (3)若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或； (3)点Q的横坐标是或4或或． 【分析】（1）先根据对称轴公式，可得，再将点B的坐标代入抛物线的解析式中可得，即可解答； （2）分两种情况：①点P在的下方时，先利用待定系数法可得的解析式，联立抛物线和直线的解析式，解方程可得点P的坐标；②点P在的上方时，证明，可得，即可解答； （3）设点P的坐标为，分三种情况：①如图3，过点P作轴于F，则，②如图4，过点P作轴于G，则，③如图5，，即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将点代入中得：， ∴， ∴这个二次函数的表达式为：； （2）解：分两种情况： ①点P在的下方时，如图1， 当时，， ∴，， 设的解析式为：， ∴， ∴， ∴的解析式为：， ∴， 解得：（舍），， ∴点P的坐标为； ②点P在的上方时，如图2，设直线交x轴于E， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， 同理，的解析式为：， ∴， ∴，即， ∴，， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， 分三种情况： ①如图3，过点P作轴于F，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴点P的横坐标为， ∵，， ∴由平移得点Q的横坐标为； ②如图4，过点P作轴于G，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴或1， ∴点P的横坐标为1， ∵，， ∴由平移得点Q的横坐标为4； ③如图5，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍），，， ∵，， ∴点Q的横坐标是或； 综上，点Q的横坐标是或4或或． 4．（2025·四川眉山·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），经过点的直线与轴负半轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且． (1)求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴； (2)求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； (3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若的面积的最大值为，求a的值； (4)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，，对称轴为直线 (2) (3) (4)能，或 【分析】（1）令解方程即可得到结论，利用对称轴公式求得对称轴； （2）根据直线过，得到直线，解方程得到点的横坐标为4，求得，得到直线的函数表达式为； （3）过作轴交直线于，设，得到，求出，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （4）令，即，得到，设，①若是矩形的一条边，②若是矩形的对角线，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，， ，， 对称轴为直线； （2）解：直线过， ， 即， 直线， 抛物线与直线交于点，， ， 即， ， 点的横坐标为4， ， ， 直线的函数表达式为； （3）解：过作轴交直线于，设， 则，， ， ， ， 的面积的最大值为， 的面积的最大值为， ， 解得； （4）以点、、、为顶点的四边形能成为矩形， 令，即， 解得：，， ， 抛物线的对称轴为直线， 设， ①若是矩形的一条边， 则， ，则， 四边形是矩形， ， ， ， 即， ， ， ； ②若是矩形的对角线， 则， ，则， 四边形是矩形， ， ， ， 即， ， ， ， 综上所述，点、、、为顶点的四边形能成为矩形，点或． 题型三 二次函数中的菱形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边相等）或对角线（对角线垂直平分）两类，利用菱形“四边相等”或“平行四边形+邻边相等”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式表边长（四边相等），中点坐标公式（对角线平分），斜率乘积-1（对角线垂直）列方程，结合抛物线消元，限定动点范围。 3.解题方法：代数法联立平行四边形与邻边相等方程；先证平行四边形，再验四边相等或对角线垂直，结合图形验合理性。 1.（24-25九年级下·甘肃武威·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点，与x轴分别交于点A，点．点P是直线上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，并把沿y轴翻折，得到四边形，若四边形为菱形，请求出此时点P的坐标； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时P点的坐标 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，连接，由菱形的性质可得垂直平分，从而可得点的纵坐标为，令，则，计算即可得解； （3）连接、、，求出，则，计算可得，直线的解析式为，作轴交直线于，设，则，，表示出，再由二次函数的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：将，代入二次函数的解析式， 得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， 如图，连接， ， ∵四边形为菱形， ∴垂直平分， ∴点的纵坐标为， ∵点P是直线上方的抛物线上一动点， ∴令，则， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：如图，连接、、， ， 在中，当时，，解得：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 作轴交直线于， ∵点P是直线上方的抛物线上一动点， ∴设，则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，最大，最大为， 当时，，即． 2．（25-26九年级上·黑龙江·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在直线下方的抛物线上，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，为轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为； (3)存在，的坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）将、，代入即可求解析式； （2）如图，连接，，，设，而，，则，，，再利用割补法建立面积函数关系式，利用二次函数的性质可得答案； （3）根据题意，以，，，为顶点的四边形为菱形，可分四种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过、，． ，解得：， ∴抛物线为：； （2）如图，连接，，， 设，而，， ∴，，， ∴ ，其中， 当时，取得最大值， 此时P的纵坐标为：， ∴， 所以当时，取得最大值． （3）存在，由（2）知，又， ， 在轴上，以，，，为顶点的四边形为菱形， ①如图，以为边构成菱形， ，，且， ,即； ②如图，以为边构成菱形， ，，且， ,即； ③如图，当，且互相平分时， 此时关于轴对称，； ④如图，当，且互相平分时，， 设相交于，过作交于， 易得， ，即， 解得， ； 综上，存在，的坐标为或或或． 3．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）已知如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点， (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图1，若点是第一象限抛物线上的一个动点，连接交轴于点，当时，求点的坐标． (3)如图2，若是轴右侧抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，在平面内找一点，使得以点为顶点的四边形为菱形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点G的坐标为或或 【分析】本题考查求二次函数的解析式与一次函数的解析式，二次函数与一次函数的性质，一元二次方程，二元一次方程组，菱形的性质，勾股定理中两点之间的距离，掌握知识点是解题的关键． （1）由抛物线经过点和，得到二元一次方程组，求解即可； （2）先求出，设点，求出直线的解析式为得到，分别求出，，列方程求解即可； （3）先求出直线的解析式为，设，分类讨论：①当为对角线时，②当为边，为边时，③当为边，为对角线时，有，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴ 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）∵抛物线与x轴交于A、B两点， 令，得， ∴解得或， 即． 设点，其中 ∵直线过点， ∴设直线的解析式为，将代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为． 令，得 ， ∴， 即． ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 即， ， 解得或2或， ∵， ∴， 当时，， ∴． （3）设直线的解析式为， 将分别代入，得 ， ∴直线的解析式为， ∵F在直线上， ∴设， ①当为对角线时，如图 ∵四边形是菱形，且在y轴上， ∴F、G关于y轴对称， ∴点F的纵坐标为， 解得， 即， ∴； ②当为边，为边时，如图 ∵四边形是菱形，且在y轴上， ∴， ∵， ∴， 解得， 当时，， ∴， 则， ∴． 当时，， ∴， 则， ∴． 如图所示 ∴点G的坐标为或； ③当为边，为对角线时，有，如图 此时点F与点B，E重合，不符合题意， 或此时点F与点C，E重合，不符合题意，如图所示 综上所述，点G的坐标为或或． 4．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求面积的最大值， (3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为 (3)Q的坐标为或或 【分析】（1）由抛物线对称轴是直线，点B的坐标为，得点A的坐标为，故二次函数解析式为； （2）连接，设，则，得，根据二次函数的性质可得答案； （3）由，得直线解析式为，设，则，，由，知是一组对边；分两种情况：①当为对角线时，的中点重合，且，②当为对角线时，的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． 【详解】（1）解：抛物线对称轴是直线，点B的坐标为， 点A的坐标为， 二次函数解析式为； （2）解：连接，如图： 设，则， 在中，令得， ， ， ， ， 当时，取得最大值，且最大值为； （3）解：在y轴上存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下： 由，得直线解析式为， 设，则，， ， 当M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形时，是一组对边； 当为对角线时，的中点重合，且， ， 解得：（此时M，N与C重合，舍去）或， ； ②当为对角线时，的中点重合，且， ， 解得：（舍去）或或， 或； 综上所述，Q的坐标为或或． 题型四 二次函数中的正方形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边等且垂直）或对角线（对角线等且垂直平分），利用正方形“四边等+四角直”或“菱形+矩形”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式（边等）、斜率积-1（垂直）、中点重合（对角线平分）列方程，借抛物线消元，结合图形限动点范围。 3.解题方法：代数法联立邻边等与垂直方程；先证矩形再验邻边等，或先菱形再验直角，结合图形验合理性。 1.（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，以为直角边，在第二象限作等腰直角三角形，抛物线经过点． (1)求抛物线的解析式． (2)设抛物线的顶点为，连接，求的面积． (3)在抛物线上是否还存在两点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）过点作轴于点，则．证明，则，则，得到点．把点代入，解得，即可求出答案； （2）求出抛物线的顶点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式为．设直线和轴的交点为，得到点的坐标为，则，即可求出答案； （3）延长至点，使，过点作轴于点，证明进一步得到点．过点作为垂足，且使，连接，则四边形为正方形．过点作轴于点，证明，进一步得到点．验证两点都在抛物线上，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，则． ∴ ∵， ∴ ． 在和中， ∵， ， ， ， 点． 把点代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）由， 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将点代入， 得， 解得， 直线的解析式为． 设直线和轴的交点为， 当时，，解得 ∴点的坐标为， ， ． （3）存在．如图，延长至点，使，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 点． 过点作为垂足，且使，连接，则四边形为正方形． 过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， 点． 当时，， 当时，， ∴两点都在抛物线上， 在抛物线上存在两点，使四边形为正方形． 2．（2025·广东广州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)连接，若点是轴上的动点，直线与抛物线交于点．当时，求点的坐标； (3)若点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，点在坐标平面内，以线段为对角线作正方形，请求出点的坐标． 【答案】(1)； (2)G点坐标为或 (3)Q点坐标为或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角函数值的定义，正方形的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据题意求出，可得，则点或，分别求直线与抛物线的交点即可； （3）根据正方形的性质和抛物线的对称性可知Q点横坐标为2，，设，则，，再由，得到，解得或，当与时，；当与时，． 【详解】（1）解：将点，代入中， ∴， 解得， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵轴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴或， 当时，设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴； 当时，同理可得直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴； 综上所述：G点坐标为或； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵轴， ∴关于直线对称， ∵线段为对角线作正方形， ∴轴，且P、Q点在对称轴上， ∴Q点横坐标为2，， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得或， 当与时，； 当与时，． 综上所述：Q点坐标为或． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，直线与抛物线交于A，D两点，与直线交于点E．若是线段上（不包括点A，B）的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线于点H． ①连接，，，当点F在直线上方的抛物线上，且时，求m的值． ②在平面内是否存在点P，使四边形为正方形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，；②存在，点P的坐标为或 【分析】（1）根据抛物线的交点式求出函数表达式即可； （2）①用m和抛物线及一次函数的解析式表示出的长度，根据，列出方程，求出m，即可求出答案； ②分两种情况讨论：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，两点， ∴抛物线的解析式可写为：； （2）解：①把代入得：， ∴直线与y轴交点为， 设直线与y轴交于点N，则， 把代入得：， 则点， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为． 令， 解得， ∴， ∵，且轴， ∴， 设直线与y轴交于点N， ∵， ∴，且， ∴ 解得：，； ②存在，点P的坐标为或； ∵四边形是正方形， ∴，． ∵，且轴， ∴，． 分以下两种情况讨论： （i）当时，如图1，点F在的左侧， ∴ ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴； （ii）当时，如图2，点F在的右边， 同理得， 解得，（舍去）， 同理得； 故存在点P，使四边形为正方形，点P的坐标为或． 3．（2025·山东烟台·二模）如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 (3)存在， (4)存在，点的坐标为：或或 【分析】（1）由对称轴为，计算得到，将点D的坐标代入抛物线表达式求出，计算即可； （2）求出，当时，，即可判断点D在抛物线上 （3）设点关于抛物线对称轴的对称点为点，可知，连接并延长交直线于点，此时最大，设直线的表达式为：，求出直线的表达式为：，即可得到 （4）连接，勾股定理求出，得到为等腰直角三角形，进而得到当于点重合时，满足题意，作关于点得对称点，易得为等腰直角三角形，且点在抛物线上，得到点于点重合时满足题意，过点作的平行线交抛物线于点，求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标，求出，满足题意，即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 将点D的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由题意得：， 当时，， 故点D在抛物线上； （3）解：设点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴ 连接并延长交直线于点，此时最大， 令，解得：， ∴， 设直线的表达式为：，将、两点坐标代入， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得， ∴ （4）存在，理由如下： 连接， ∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴当点与点重合时，存在正方形， 作点关于点的对称点，则：为等腰直角三角形， 当点与重合时，存在正方形， 对于，当时，， 故，在抛物线上，满足题意； 过点作的平行线交抛物线于点，则：， 同（2）法可得，直线的解析式为：， 设的解析式为：，把代入，得：，解得：， ∴， 联立，解得：或（不合题意，舍去） ∴， ∴， 故存在正方形； 综上：存在，点的坐标为或或 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $