微专题07 二次函数中的角度存在性问题三大题型（专项训练）数学新教材鲁教版五四制九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数中角度存在性问题，以等角、倍角、特殊角为模块，系统整合几何构造与代数转化方法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等角存在性|5题（含中考真题）|辅助线构造（对称/平行/垂线）、代数化（三角函数/斜率）|二次函数性质→等角几何判定→代数表达| |倍角存在性|4题|倍角公式（tan2α）、等腰三角形构造|三角函数→倍角关系→函数图像找点| |特殊角存在性|4题|特殊角三角函数值、直角三角形构造|特殊角性质→坐标关系→方程求解|

微专题07 二次函数中的角度存在性问题三大题型 题型一 二次函数中的等角存在性问题 知识点：1. 二次函数图像性质，如对称轴、顶点坐标、单调性，用于确定点的位置关系；2. 等角的几何判定，包括等腰三角形性质（等边对等角）、平行线性质（同位角/内错角相等）、全等/相似三角形对应角相等。 解题技巧：1. 构造辅助线，如作对称点、平行线或垂线，转化等角为已知角或易求角；2. 代数化处理，设点坐标，利用三角函数（正切值相等）或斜率表示角的关系，列方程求解。 1.（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．其中，． (1)直接写出该抛物线的解析式； (2)如图2，连接，在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数综合—角度问题，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将代入解析式计算得出，即可得解； （2）先求出，结合题意可得，作轴于，设，则，求出，，再由正切的定义计算即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得：，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵在第三象限内抛物线上找点，使， ∴， 如图，作轴于， 设，则 ∴，， ∴， 整理可得：， 解得：或（不符合题意）， 经检验，是所列分式方程的解且符合题意，此时， ∴． 2．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·月考）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接． (1)求此二次函数的解析式； (2)若点在二次函数图象上，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，求二次函数解析式，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出直线解析式为，则可求直线与直线相交于，设为点D，连接并延长交抛物线于P，根据抛物线的对称性得出A、C关于直线对称，则，即，同理可求出直线解析式为，联立方程组，即可求出点P的坐标；作点D关于x轴的对称轴点E，连接并延长交抛物线于，则，，即同理可求点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：把和代入， 得， 解得， ∴； （2）解：当，则， 解得，， ∴， ∵， ∴对称轴为直线 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 当时， ∴与直线相交于，设为点D，连接并延长交抛物线于P， ∵A、C关于直线对称， ∴，即， 同理可求出直线解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴， 作点D关于x轴的对称轴点E，连接并延长交抛物线于， 则，，即 同理可求直线解析式为，， 综上，当时，点P的坐标为或 3．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，平面直角坐标系中，，把绕点顺时针旋转得到． (1)直接写出点和点的坐标； (2)抛物线过、、三个点，求抛物线的解析式； (3)若抛物线上一点，在上方，满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查坐标与图形变换，二次函数的综合，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点．． （1）根据题意得到点C对应点B，点D对应点A，得到，即可求出； （2）根据题意设抛物线的解析式为把代入解析式，计算即可； （3）根据题意得到，设点P坐标，过点P作轴于点E，则，得到，即，代入计算求解即可． 【详解】（1）解：∵绕点顺时针旋转得到． ∴点C对应点B，点D对应点A， ∵ ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴设抛物线的解析式为 把代入解析式，得， 解得， ∴； （3）解：在中，， ， ∵点P在抛物线上， ∴设点P坐标为， 过点P作轴于点E，则， ∴， ∵， ∴， 即， ， ， 或， 解得或或（舍）， 代入点P坐标， 解得点P坐标或． 4.（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与 轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线下方的抛物线上是否存在点M，使得的面积为6，若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线的顶点为，连接．抛物线上是否存在一点，使得 ？ 若存在，求点的坐标； 若不存在，说明理由； 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）根据题意得出的面积与的面积相等，先求出直线的解析式为，进而得到经过点A且与直线平行的直线解析式为，再由平行线间间距相等且和有公共边，因此当点在直线上时，满足题意，据此联立，解方程即可得到答案； （3）分两种情况①根据题意得出的坐标，进而得出是直角三角形，再过点作垂直于，连接，且，求出，进而得出直线解析式，即可得出点坐标；②先求出直线解析式，根据只要，则有，设直线为，代入点坐标，求出直线解析式为，联立：，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴点在x轴上或x轴下方的抛物线上，的面积与的面积相等， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ∴设经过A点且与直线平行的直线解析式为， 则，解得：， ∴， ∴当点在直线上时，满足题意， 联立， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：存在，理由如下：①连接， ∵函数的解析式为：， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， 过点作垂直于，且，连接， ∵， ， 过点作轴于点，则， ∴， 在和中， ， ∴， 则， 此时与抛物线的交点就是满足条件的点， 设直线的解析式为：， 则， 解得：． ∴直线解析式为：， ， 解得：（不合题意舍去），， ， ∴点坐标为：； ②设直线解析式为，代入坐标，得， 解得：， ∴直线为， 只要，则有， 设直线为，代入点坐标： 则， 直线解析式为， 联立：， ， 解得：（舍去 ），， 把代入解析式可得，， ， 综上所述：点坐标为：或． 5.（2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，正切的定义，等腰三角形的性质与判定； （1）当时，二次函数的图象与轴交于，设二次函数的交点式为，展开后得到求解即可得到答案； （2）根据解析式求得点，进而勾股定理求得，作的角平分线交轴于点，则，，进而得出，根据角平分线的定义得出，求得，进而可得，从而求得点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解． （3）先找到临界值，当时，，此时得出重合，根据题意可得是第四象限的点，则当时，即可求解； （4）根据题意得出是等腰直角三角形，进而根据已知得出，取得出是等腰直角三角形，进而求得，即可得出的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当时，二次函数的图象与轴交于， ∴设二次函数的交点式为， ，， ∴， 解得， ∴函数的解析式为； （2）解：对于二次函数， 令，可得，则点的坐标为，则 ∵， ∴， ∵ ∴， 如图，作的角平分线交轴于点，则， ∴， 设到的距离为，则， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，则， ∴． ∴． 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式． （3）解：当时，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴，则重合，重合， 又∵是第四象限的点， ∴当时，则，． ∴要使得成立， 的取值范围为； （4）解：∵， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 在中，． 如图所示，取． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴． 即． 题型二 二次函数中的倍角存在性问题 知识点：1. 三角函数倍角公式（如tan2α=2tanα/(1-tan²α)），通过角的正切值关系转化代数等式；2. 几何构造中倍角与等腰三角形关系（如外角等于不相邻内角2倍）。 解题技巧：1. 代数法：设点坐标表示角的正切值，代入倍角公式列方程求解；2. 几何法：构造含倍角的等腰三角形，利用对称性或全等转化角的关系，结合函数图像找点。 1.（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接交于点Q，过点P作轴于点D． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接BC，当时，求直线的解析式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）设与y轴交于点E，设，则，，运用勾股定理可求得，得出，再利用待定系数法即可求出答案． 【详解】（1）解：∵的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：如图，设与y轴交于点E， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 令，得， ∴，， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得 ， ∴， 设所在直线表达式为 ， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为． 2.（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线 与x轴分别交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一点，且 ，求点的坐标； (3)点为抛物线第一象限上一点，连、，若 ，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法运算求解即可； （2）解：将绕点顺时针旋转得到，取的中点，连接并延长交抛物线于点，则，利用中点坐标公式求出的坐标从而得到直线的表达式，再联立二次函数的解析式运算求解即可； （3）连接并延长交轴于点，连接，分析出点在的垂直平分线上，设点，求出的解析式，得到点的坐标，再利用列式运算即可． 【详解】（1）解：把代入可得：， ∴， ∵， ∴,， ∴，， 把，代入可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：将绕点顺时针旋转得到，取的中点，连接并延长交抛物线于点，则如图所示： ∵，，即点可由点向下平移个单位，向左平移个单位得到，故， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把，分别代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立与可得：， 解得：或， ∴把代入可得：， ∴； （3）解：当时，连接并延长交轴于点，连接， ∵， ∴， 点在的垂直平分线上， ∴， 设， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入可得：， 整理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴解得：或（第一象限舍去）， ∴把代入可得：， ∴． 3．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于A点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，在y轴的负半轴是否存在点Q，使得？若存在，求Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点P是抛物线上的一个动点，且点P在第三象限内，连接与直线交于点D，若，请求出k的取值范围． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当，可导角得到，由（1）可得点A坐标由勾股定理得即可求解； （3）过点P作轴垂线交直线于点E得将转化为，再利用二次函数的性质求解最值，即可求解取值范围 【详解】（1）解：将，两点代入得 ， 解得：， 抛物线解析式为：； （2）解：存在， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 设点Q坐标为， 由（1）可知：，， ， ， ， 解得：， 故Q点的坐标为； （3）解：过点P作轴垂线交直线于点E如图： 设直线的解析式为：， 将代入得， ， 解得：， 直线的解析式为： 设点P的坐标为， ， ∴， 解得， 则E的坐标为， ∴， ， ， ， ， ， ， 当时，有最大值为， 当或时，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数—几何综合，三角形相似的判定及性质，一次函数，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，题目综合性强、难度较大，解题关键的正确做出辅助线及数形结合思想．为中考常考题型． 4．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为线段上面一个动点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)求周长的最小值，并求出此时点的坐标； (3)在该抛物线上是否存在点使得，如果存在请直接写出所有符合条件的点点的坐标；如果不存在请说明不存在的理由． 【答案】(1)， (2)的周长最小为12， (3)存在，或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点关于的对称点，连接，易得四边形为正方形，求出点坐标，进而得到当点在线段上时，的周长最小为的长，求出直线的解析式，联立两条直线的解析式求出点坐标即可； （3）分点在上方和下方，2种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ∴抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； 设直线的解析式为，把，代入得， ∴； （2）作点关于的对称点，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵对称， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∴的周长为， ∴当点在线段上时，的周长最小为， 设直线的解析式为， 则：，解得， ∴， 联立，解得； 故； （3）存在； 作点关于轴的对称点，连接，作，则：，则：， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 当点在直线上方时，作交于点，作轴， 由（2）可知，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同法可得，直线的解析式为， 联立，解得或； ∴； 当点在直线得下方时，延长至点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， 由中点坐标公式可知：， 同法可得，直线的解析式为， 联立，解得或； ∴； 综上：或． 题型三 二次函数中的特殊角存在性问题 知识点：1. 特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值（如tan45°=1、sin30°=0.5），用于建立线段比例关系；2. 二次函数与坐标几何结合，如两点间距离公式、直线斜率与倾斜角关系。 解题技巧：1. 几何构造：过动点作坐标轴垂线，构造含特殊角的直角三角形，利用边角比表示坐标关系；2. 代数转化：设点坐标，用斜率或距离公式表示角的三角函数值，结合函数解析式列方程求解。 1．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点P是该抛物线对称轴l上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的周长最小时，在图中标出点P的位置并求出点P的坐标． (3)抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)P点见解析； (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合，能够正确做出辅助线是解题关键； （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据轴对称的性质先找到点，然后确定P点为函数对称轴和直线的交点，求出的函数解析式以及二次函数的对称轴，进而可求出P点； （3）当Q在上方时，过B作于T，过T作轴于N，过B作于M，证明，有，设，可得，即知，直线解析式为，联立，解得点坐标；当Q在下方时，过B作于R，过R作轴于W，过B作于S，同理可得点坐标． 【详解】（1）解：把，两点，代入抛物线， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为：． （2）如图，P点即为所求， ∵抛物线的解析式为：， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：，代入，， 得到， ∴， ∴， ∵二次函数， ∴函数的对称轴为直线，两点关于直线对称， ∴， ∴的周长为：， ∴当三点共线时，的周长取到最小值， 此时点在对称轴上， ∴将代入，得到， ∴点坐标为． （3）解：抛物线上存在点Q，使，理由如下： 当Q在上方时，过B作于T，过T作轴于N，过B作于M，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴ 解得 ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得， ∴； 当Q在下方时，过B作于R，过R作轴于W，过B作于S，如图： 同理可得， ∴， 设， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得，， 解得，， ∴直线解析式为， 联立， 解得 ， ∴， 综上所述，Q的坐标为或． 2.（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点为直线下方抛物线上一点，连接并交于点，若分的面积为两部分，请求出点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得，若存在，请求出点．的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的三角函数，平行线的性质是解题的关键． （1）求出、点坐标后代入，即可求解； （2）设，过点作轴交于点，过点作轴交于点，，求出直线的解析式和直线的解析式，再联立方程组，求出点坐标，由题意可知或，求出的值即可求解； （3）在轴上取点，当N在y轴负半轴时，证明，然后根据相似三角形的性质可求出；当N在y轴正半轴时，根据轴对称性求解即可． 【详解】（1）解：， ，， 将点、代入， ， 解得， ； （2）解：令， 解得或， ， 如图，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得， ， 分的面积为两部分， 或， ， ， 当时，， 可得， 解得或， 或； 当时，， 可得， 此时方程无解， 综上所述，或； （3）解：存在一点，使得，理由如下： 在轴上取点， 当N在y轴负半轴时，如图， ，， ，，， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， ， 当N在y轴正半轴时，记为，如图， 则和N关于x轴对称， ∴ 综上，N的坐标为或． 3.（2025·江苏无锡·二模）已知平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上一点，若，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移，点D平移至点E处，过点E作，垂足为点F，若 ，求平移后抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线，结合得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）过点作于点，过点作轴的垂线交轴于点，交过点和轴的平行线于点，则为等腰直角三角形，得出，设点的坐标为，证明，得出，，即且，求出，，即可得出，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，求解即可； （3）求出，设抛物线向左平移了个单位，则点，新抛物线的解析式为，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点，由（2）可得，，求出直线的解析式为，设点的坐标为，证明，得出，解直角三角形可得，从而可得， 求出，，，，代入式子计算得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），且， ∴，， 将代入抛物线解析式可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作于点，过点作轴的垂线交轴于点，交过点和轴的平行线于点， ， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设点的坐标为， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即且， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴； （3）解：∵，抛物线的顶点为D， ∴， 设抛物线向左平移了个单位，则点，新抛物线的解析式为， 如图，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， ， 由（2）可得，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴新抛物线的解析式为． 4．（25-26九年级上·辽宁盘锦·月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知，． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若P为抛物线上位于直线上方的一点，求面积S的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)在直线下方的抛物线上，是否存在一点Q，使得，若存在，求出Q点坐标； (4)直线与抛物线的对称轴交于点D，M为对称轴右侧抛物线上一动点，点N在x轴上，若以点D、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点M的坐标． 【答案】(1)； (2)；； (3)存在，； (4)，； 【分析】本题考查了二次函数，一次函数与几何综合，涉及到二次函数的图像性质，坐标轴上点的特征，三角形面积最值的求法，平行四边形的性质，熟练掌握几何的构造是解题的关键． （1）利用待定系数法运算求解即可； （2）过点作轴交于点R，连接，，设出，则，求出的长，再利用三角形面积公式列出函数式子求解即可； （3）作交延长线于S，过S作轴于F，作，可知E、S、F在一条直线上，且,，证明，得到，设，列二元一次方程组求出，得到，设直线的解析式为：，求出直线的解析式为：，联立和求出Q点坐标即可； （4）设出点的坐标，利用中点坐标公式分类讨论对角线的情况列式运算即可． 【详解】（1）解：把，分别代入可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 把代入，可得：， ∴， 设直线的解析式为：，把，分别代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：； （2）过点作轴交于点R，连接，如图所示： ∵，， ∴设，则， ∴， ∴ ∴当时，最大面积为， 把代入可得：； （3）存在，； 如图，作交延长线于S，过S作轴于F，作于E，可知E、S、F在一条直线上，且,， ∵， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴， ∵，, ∴，, ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 设， 则， 解得：， ∴， 即， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立和得： ， 解得：（舍去） 当时，， 即； （4）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴把代入可得：， ∴， ∵为对称轴右侧抛物线上一动点，设；点在轴上，设， ∵， ∴①当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或（不合题意，舍去）， 代入可得：， ②当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或，与①相同； ③当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或（不合题意，舍去）， 代入可得：， 综上所述的坐标为：，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题07二次函数中的角度存在性问题三大题 型 题型一二次函数中的等角存在性问题 二次函数中的角度存在 题型二二次函数中的倍角存在性问题 性问题三大题型 题型三二次函数中的特殊角存在性问题 /00 德点量破 题型一二次函数中的等角存在性问题 妹方法 知识点：1.二次函数图像性质，如对称轴、顶点坐标、单调性，用于确定点的位置关系；2.等角的几 何判定，包括等腰三角形性质（等边对等角）、平行线性质（同位角/内错角相等）、全等/相似三角形 对应角相等。 解题技巧：1.构造辅助线，如作对称点、平行线或垂线，转化等角为已知角或易求角；2.代数化处 理，设点坐标，利用三角函数（正切值相等）或斜率表示角的关系，列方程求解。 1.(25-26九年级上福建福州阶段练习)如图，抛物线 钱"=r+r+C与产轴交于4,8两点，与'轴交于 点C,顶点为D.其中1-3,0)），D(-1-4) 图1 图2 (I)直接写出该抛物线的解析式： 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，连接BC,在第三象限内抛物线上找点E,使∠ABE=∠OCB,求点E的坐标. 2。(25-26九年级上：黑龙江牡丹江月考)如图，二次函数'=-r+r+ 的图象与”轴相交于点A和点 C1.0),与'轴交于点B(0,3),连接B (1)求此二次函数的解析式： (2)若点P在二次函数图象上，且满足∠PCA=∠BAC,请直接写出所有符合条件的点P的坐标。 3。（2425九年级上广东广州期中)如图，平面直角坐标系中， A(-1,0),B(0,-3 ,把△01B绕点0顺 时针旋转90°得到△ODC. D (I)直接写出点C和点D的坐标： (2)抛物线过A、B、C三个点，求抛物线的解析式： (3)若抛物线上一点P,P在BC上方，满足∠PCA=∠OBA,求点P的坐标. 4(25-26九年级上江苏阶段练习)如图，抛物线=+r+ 与x轴交于A、B两点，与轴的正半 轴交于C点，且OB=OC=3OA=3. 2/7 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA D B (1)求抛物线的表达式： (2)在直线BC下方的抛物线上是否存在点M,使得△MBC的面积为6，若存在求出点M的坐标，若不存在， 请说明理由. (3)抛物线的顶点为D,连接BC、BD.抛物线上是否存在一点P,使得∠PCB=∠CBD？若存在，求P 点的坐标：若不存在，说明理由： 3(2023西藏中考真题)已知抛物线"=r+-4过店1(1,0).8(0，与'轴交T点C。点“是x 轴正半轴上的动点，点F是抛物线在第四象限图象上的动点，连接BC,AF,且AF交'轴于点D,交 BC于点E. 图1 图2 (1)当m=3时，求抛物线的解析式： (②)如图1，在(1)的条件下，若∠CDE=∠CED,求直线AF的解析式： (3)要使得∠DCE=∠DEC成立，请探索m的取值范围（直接写出结果）： (4)如图2，∠DCE=∠DEC,当m为何值时，OD的长度等于1？ 题型二二次函数中的倍角存在性问题 啸方法 知识点：1.三角函数倍角公式（如tm2a=2tawa/(1-tm2a)),通过角的正切值关系转化代数等式；2. 几何构造中倍角与等腰三角形关系（如外角等于不相邻内角2倍）。 3/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题技巧：1.代数法：设点坐标表示角的正切值，代入倍角公式列方程求解；2几何法：构造含倍角 的等腰三角形，利用对称性或全等转化角的关系，结合函数图像找点。 y=ax2+bx+4a≠0) A(-4,0)B(1,0 1.(2025九年级上·浙江·专题练习)二次函数 的图象经过点 ,与y 轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC交于点O,过点P作PD⊥x轴于点D. VA 图1 图2 (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接BC,当∠DPB=2∠BCO时，求直线BP的解析式： 2(25-26九年级上湖北武汉阶段练习)如图，抛物线'=r+br+ 与x轴分别交于A、B两点，与'” 轴交于点C,且OC=OB=3OA A 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)点P为抛物线上一点，且∠CAP=45°，求点P的坐标； (3)点O为抛物线第一象限上一点，连A0、CO,若∠CDA=2∠QAB,求点O的坐标. 3.(2526九年级上安微安庆期中)抛物线'=+r+C与x轴交于 (1,0)C(-3,0) 两点，与y轴交于 A点. 417 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA B B 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (②如图1，连接MC,在y轴的负半销是香存在点Q,使得<00C-<01C?若存在，求Q点的坐标： 若不存在，请说明理由： (3)如图2，点P是抛物线上的一个动点，且点P在第三象限内，连接PO与直线AC交于点D,若 PD=kOD,请求出k的取值范围. 4.(25-26九年级上重庆：期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线'=+br+c与*轴交于1(-2,0) B(6,0) 两点，与'轴交于点C0,6),D为线段BC上面-个动点. (1)求抛物线及直线BC的解析式： (2)求△AOD周长的最小值，并求出此时D点的坐标： y=ax+bx+c (3)在该抛物线 上是否存在点P使得∠P℃B=2∠0CA 如果存在请直接写出所有符合条件的 点P点的坐标；如果不存在请说明不存在的理由. 题型三二次函数中的特殊角存在性问题 啸方法 知识点：1.特殊角(30°、45°、60°)的三角函数值（如tw45°=1、si30°=0.5)，用于建立线段比例关 5/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 系；2.二次函数与坐标几何结合，如两点间距离公式、直线斜率与倾斜角关系。 解题技巧：1.几何构造：过动点作坐标轴垂线，构造含特殊角的直角三角形，利用边角比表示坐标关 系：2.代数转化：设点坐标，用斜率或距离公式表示角的三角函数值，结合函数解析式列方程求解。 1.(25-26九年级上：福建三明期中)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a2+bx+2与x轴相交 于1(-2,0)8(4,0) 两点，与y轴交于点C,点P是该抛物线对称轴1上的一个动点. 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)当△PAC的周长最小时，在图中标出点P的位置并求出点P的坐标. (3)抛物线上是否存在点Q,使∠QCB=45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. y=x2+bx+c 2.(25-26九年级上江苏苏州阶段练习)如图，已知抛物线 “与轴交于点A,B(点A在点 B的左侧)，与y轴交于点C,OA=OC=4, 备用图 (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P为直线AC下方抛物线上一点，连接BP并交AC于点Q,若AC分△ABP的面积为3：5两部分， 请求出点P的坐标； (3)在y轴上是否存在一点N,使得∠BC0+∠BN0=45°，若存在，请求出点N.的坐标；若不存在，请 说明理由. 617 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3(2025-江苏无锡二模)已知平面直角坐标系中，抛物线'=ar-2ar-3(a≠0) 与x轴交于点A、B(点 A在点B的左侧)，与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,且AB=4. (1)求抛物线的解析式： (2)点P是线段BC上一点，若∠PAC=45°，求点P的坐标： (3)在(2)的条件下，将该抛物线向左平移，点D平移至点E处，过点E作EF⊥AP,垂足为点F,若 am∠PEF,求平移后抛物线的表达式。 4.(25-26九年级上辽宁盘锦·月考)如图，抛物线 y=ax'+bx+6 ”与x轴交于A、B两点，与y轴交于点 A(-1,0)B(3,0) C,已知 D D B (I)求抛物线及直线BC的解析式： (②)若P为抛物线上位于直线BC上方的一点，求△PBC面积S的最大值，并求出此时点P的坐标： (3)在直线BC下方的抛物线上，是否存在一点Q,使得∠QBC=45°，若存在，求出Q点坐标； (4)直线BC与抛物线的对称轴交于点D,M为对称轴右侧抛物线上一动点，点N在x轴上，若以点D、A、 MN为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点M的坐标. 7/7