专题02 特殊的因式分解法（5大题型）（专项训练）数学新教材人教版五四制八年级上册

**基本信息** 聚焦因式分解特殊方法，构建"基础要求-特殊技巧-综合应用"三阶训练体系，通过题型建模提炼可迁移方法，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |彻底分解|5题|强调分解步骤完整性，结合平方差、完全平方公式|从基本要求切入，巩固因式分解核心原则| |整体法提公因式|5题|提炼整体代换思想，将多项式视为整体提取公因式|发展符号意识，实现从单一到整体的思维进阶| |十字相乘法|5题|总结系数拆分技巧，通过"交叉相乘和等于一次项"建立模型|强化代数推理，衔接整式乘法逆运算| |分组分解法|3题|归纳"两两分组""三一分组"策略，结合提公因式与公式法|培养分类讨论能力，突破多项多项式分解难点| |应用|6题|整合几何判断、密码编译等场景，渗透模型意识|实现从知识到能力的转化，提升应用意识|

专题02 特殊的因式分解法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、因式分解要彻底分解 1 题型二、利用整体法提公因式因式分解 3 题型三、十字相乘法因式分解 5 题型四、分组分解法因式分解 9 题型五、因式分解的应用 12 B综合攻坚・能力跃升 题型一、因式分解要彻底分解 1．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提取公因式4，再利用平方差公式进行分解，然后利用完全平方公式继续分解即可得答案． 【详解】解： ． 2．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）因式分解：． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 3．（24-25八年级上·河南新乡·期中）因式分解 (1)； (2)＋8＋16． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】此题考查因式分解的方法， （1）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式； （2）根据完全平方公式和平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解：816 ． 4．（24-25八年级上·山东烟台·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，解题关键是熟练运用提取公因式和公式法进行因式分解，注意：因式分解要彻底． （1）先用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解即可； （2）先用完全平方公式分解，再提取公因式即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ． 5．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解． （1）提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型二、利用整体法提公因式因式分解 6．（24-25八年级上·山东青岛·期末）因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，关键是变形；式子变形后提取公因式，再把另一个因式用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 8．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，然后再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）分解因式： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 题型三、十字相乘法因式分解 11．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式： 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了利用了十字相乘法进行因式分解，利用了十字相乘法分解的分解原则是关键．将4化为，化为，用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： 12．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查了分解因式，直接根据十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 13．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项一次项系数，则．如图所示： 仿照上述解决下列问题： (1)因式分解：； 小亮做了如下分析： 一次项为：，则常数项为：； 则__________；=_________； （ ）（ ） (2)因式分解：： (3)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值． 【答案】(1)见详解 (2) (3)， 【知识点】十字相乘法 【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法， （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）利用十字相乘法分解分解可得； （3）找出所求满足乘积为，相加为的值即可． 【详解】（1）解：一次项为：，则常数项为，则2；3； ∴； （2）解：一次项为：，则常数项为， 则； （3）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是： ；；；， 即整数的所有可能的值是：，． 14．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为．（p，q为整数） 因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的多项式因式分解成（p、q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：_________； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式． （1）按照已知条件中方法进行分解因式即可； （2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出的值即可； （3）按照已知条件中的方法，先把分解成，然后把多项式进行第一次分解因式，再把分解成，分解成，进行第二次分解因式即可． 【详解】解：（1） ， ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴或 或或 ， 整数的值可能是或， 故答案为：或； （3）， ， ， ， ． 15．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）你数学老师教你因式分解的场面你一定还记忆犹新吧！现让我们来温故一下因式分解的几种方法并练习！ （1）提取公因式法：提取各单项式中的公因式，提取完后合并单项式分解因式： ； （2）十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．其实就是运用乘法公式的逆运算来进行因式分解： ①分解因式 ； ②解方程：． （3）拆项添项法：即把多项式中某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个符合相反的项． ① ； ② ； 除以上方法外因式分解还有双十字相乘法、换元法、因式定理法、待定系数法等． [综合应用]分解因式： ． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；②；综合应用： 【知识点】因式分解的应用、分组分解法、十字相乘法、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键； （1）根据提公因式法可进行分解因式； （2）①根据十字相乘法可进行分解因式；②先移项，然后再对方程左边进行十字相乘，进而问题可求解； （3）①把拆分，然后再根据提公因式和完全平方公式可进行分解因式；②把拆开，然后根据提公因式和平方差公式可进行分解因式； 综合应用：根据完全平方公式、十字相乘法及整体思想可进行分解因式． 【详解】解：（1）； 故答案为； （2）①； 故答案为； ② ∴或， ∴； （3）① ； ② ； 故答案为；； 综合应用： ； 故答案为． 题型四、分组分解法因式分解 16．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【知识点】分组分解法、平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，理解题目中的例题的方法是解题的关键． （1）根据“两两分组”中的例题因式分解即可； （2）根据“三一分组”中的例题写出因式分解的结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（24-25八年级上·重庆渝北·阶段练习）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下： 甲: （分成两组） （直接运用公式） = 乙 （分成两组） （提公因式） 请在他们解法的启发下，解答下列各题： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】分组分解法 【分析】本题主要考查因式分解，灵活运用分组分解法是解答本题的关键． （1）原式先进行分组，再提取公因式，最后运用平方差公式进行因式分解即可； （2）原式先进行分组，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 18．（24-25八年级上·河南新乡·期中）因式分解课后，老师给同学们布置了如下作业． 因式分解：． 小明：将“”看成整体，令，则原式，再将“A”还原，可以得到原式． 张老师：上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请大家仿照小明的做法完成下列题目． (1)因式分解：． (2)因式分解：． (3)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分组分解法、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． （1）直接利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）分组后然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可； （3）将看成整体，令，进行因式分解，再将“B”还原代入，再次因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解：令， 则 ． 将代入，得 原式． 题型五、因式分解的应用 19．（24-25八年级上·北京·期中）已知、、是的三边，且满足，则的形状是（    ）． A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，因式分解的应用，先把已知条件式左边分解因式推出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵、、是的三边， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形， 根据现有条件无法证明是直角三角形和等边三角形， 故选：C． 20．（24-25八年级上·河南南阳·期中）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：阳、爱、我、南、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．美我南阳 C．南阳游 D．我爱南阳 【答案】D 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故结果呈现的密码信息可能是我爱南阳， 故选：D． 21．（24-25八年级上·河南南阳·期中）若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是 ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义、非负数的性质及三角形三边关系；根据关系式得出，再根据是腰长和底边长两种情况讨论求解． 【详解】解：∵，即， ∴， ，， ①若是腰长，则三角形的三边长为：、、，不能组成三角形； ②若是底边长，则三角形的三边长为：、、，能组成三角形 周长为． 故答案为：． 22．（24-25八年级上·山东威海·期中）我们已经学过利用提公因式法和公式法进行分解因式．对于超过三项的多项式，可以利用分组的方法进行分解因式．即先将一个多项式进行适当的分组（或组合），再利用已经学过的方法进行分解因式．如： 分解因式： ． 利用上述方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等腰三角形，理由见解析 【知识点】分组分解法、因式分解的应用、构成三角形的条件 【分析】本题考查因式分解—分组分解法及应用，三角形三边关系，对于不能直接因式分解的式子可以用分组法因式分解，因式分解分组时要注意观察式子特点、分好组是关键． （1）依据分组分解法，把分组为，然后用平方差公式和提公因式法分别因式分解，然后再提取公因式即可求解； （2）通过分组分解法把化成，然后利用三角形三边关系得出，则，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：等腰三角形． 由，可得． ， ． ． 是等腰三角形． 23．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解： ①； ②． 下面是晶晶和小舒的解法： 晶晶： （分成两组） （直接提公因式） 小舒： （分成两组） （直接运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)已知的三边a，b，c满足，是什么三角形？ 【答案】(1)； (2)是等腰三角形． 【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了因式分解，等腰三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新分组后进行因式分解． （1）分组，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可； （2）整理后，利用完全平方公式分解，再利用三边关系即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， ∴是等腰三角形． 24．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）阅读下列材料： 对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式；同理，可以确定多项式中有另一个因式，于是我们可以得到：． 又如：对于多项式，发现当时，的值为0，则多项式有一个因式，我们可以设，解得． 于是我们可以得到： 请你根据以上材料，解答以下问题： (1)当______时，多项式的值为0，所以多项式有因式______，从而因式分解______； (2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式：． 【答案】(1)1，，； (2)，过程见解析． 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了多项式乘以多项式和因式分解，理解阅读材料的方法，借助多项式乘法进行因式分解是解题的关键． （1）根据题意，当时，，设，求出m、n的值，进而即可求出答案； （2）根据题意，当时，，设， 求出m、n的值，进而即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，， 设， 解得， ∴因式分解， 故答案为1，，； （2）当时，， 设， 解得， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解，熟练掌握因式分解的提公因式法和公式法是解题的关键． 先提公因式，再利用平方差公式法因式分解． 【详解】解：， 故选：C． 2．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）已知a、b、c是三角形的三边，则代数式的值（   ） A．不能确定 B．大于0 C．等于0 D．小于0 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握三角形的三边关系． 根据乘法公式进行整理原式，然后根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：， ∵a，b，c是三角形的三边， ∴． ∴， 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）若a是实数，则整式的值（   ） A．不是负数 B．恒为正数 C．恒为负数 D．不等于0 【答案】A 【分析】本题主要考查了求代数式的值，完全平方公式， 先从后两项中提出2，再提出，然后得完全平方公式解答即可. 【详解】解：原式， 所以整式的值不是负数. 故选：A. 4．（2025八年级上·全国·专题练习）已知的三边长分别是，，且满足，判断此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，将题目中的式子变形，然后利用完全平方公式和非负数的性质，可以求得a、b、c的关系，从而可以判断的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 故选：B． 5．（25-26八年级上·重庆·期中）在对多项式因式分解时，有一些多项式无法用提公因式和公式法分解，将其进行重新分组后可用上述两种方法继续分解，这种方法叫分组分解．如： ．下列说法中： ①因式分解： ②若a，b，c是的三边长，且满足，则为等腰三角形． ③若a，b，c为实数满足，则以a，b，c作为三边能构成等腰三角形．其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，涉及等腰三角形的判定，构成三角形的条件：将进行分组，再因式分解，即可判断；通过分组因式分解得，再进行下一步因式分解，即可判断；将原等式化成，再进行因式分解，由构成三角形的条件，即可判断；能根据式子的特点进行恰当的分组，灵活运用因式分解法是解题的关键． 【详解】解： ， ，故正确； 由得， ∴， 即 ∵，，是的三边长， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形．故正确； 由 得 ∴ ∴，，， ∵， ∴以，，作为三边不能构成三角形，故错误， 综上，正确的有，共2个． 故选：． 二、填空题 6．（25-26七年级下·河北·单元测试）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为： ． 7．（2024九年级下·安徽宣城·竞赛）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解一分组分解法：分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 先分组得到原式，再利用立方和公式和提公因式法分别对各组分解因式，再提公因式，然后把余下的因式利用十字相乘法分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，熟练掌握因式分解的常用方法是解题的关键． 将看成一个整体，利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）若为任意整数且，则的值总能被 整除． 【答案】11 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是利用平方差公式对式子进行因式分解． 先利用平方差公式对进行因式分解，再结合化简式子，从而确定能整除该式子的数． 【详解】解： 因为已知，将其代入上式，得到． 这表明是11的倍数，即它的值总能被11整除． 故答案为：11． 10．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．已知、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值 ． 【答案】13 【分析】本题考查了新定义——“完美数”，熟练掌握完全平方公式的应用，是解题的关键． 利用完全平方公式分别把含x和y的项写成一个代数式的平方的形式，根据“完美数”的定义得，从而得到k的值． 【详解】解： ， ∵S为“完美数”， ∴， ∴， 故答案为：13． 三、解答题 11．（25-26八年级上·重庆·期中）因式分解 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，利用了平方差公式，完全平方公式，结合提公因式法求解； （1）提公因式法结合平方差公式，可分解因式； （2）根据完全平方公式，可分解因式． 【详解】（1）解： （2）解： ． 12．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解； （2）利用提公因式法因式分解； （3）利用公式法分解因式即可； （4）利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 13．（20-21八年级上·陕西延安·期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如，，，…，因此12，20，28这三个数都是奇巧数． (1)设两个连续偶数为，（其中n为正整数），由这两个连续偶数构造的奇巧数是8的倍数吗？为什么？ (2)研究发现：任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数，请给出验证． 【答案】(1)这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）先根据平方差公式对两个连续偶数的平方差进行化简，再分析结果是否为8的倍数； （2）通过对两个连续“奇巧数”作差，化简后看结果是否为固定值． 【详解】（1）解：这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数，理由如下： 因为， 所以这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数． （2）证明：因为 ， 所以任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）【阅读理解】由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法“进行因式分解的公式：，示例：分解因式：． 【问题解决】分解因式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了十字相乘法，解题的关键是把常数项拆成两个数的积，而两个数的和正好等于一次项的系数． （1）根据，分解因式即可； （2）根据，分解因式即可； （3）根据，分解因式即可； （4）根据，分解因式即可． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ； 故答案为：； （3） ； 故答案为：； （4） ； 故答案为：． 15．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）我们知道，多项式可以写成的形式，这就是将多项式因式分解，当一个多项式（如）不能写成两数和（或差）的平方形式时，我们可以尝试用下面的办法来分解因式． ． 请仿照上面的做法，将下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法和分组法进行因式分解是解题的关键． （1）（2）（3）仿照阅读材料中的方法，将各式变形，利用完全平方公式及平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由，得，利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式． 例如：分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，故原式可分解为，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示： 利用上述方法，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)将代数式先分解因式，再求值，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】此题考查了利用十字相乘法进行因式分解，因式分解的应用，弄清题中的分解因式的方法是解题的关键． （1）根据所给材料信息即可求解； （2）分别计算和，然后把看作整体因式分解为，然后整体代入即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴ ． 17．（25-26八年级上·湖南郴州·阶段练习）阅读理解：用“十字相乘法”因式分解：， （1）二次项系数：； （2）常数项：； （3）验算：“交叉相乘之和”． 发现第③个“交叉相乘之和”，与一次项系数相等，则． 像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三项式因式分解的方法，叫作“十字相乘法”． 仿照以上方法，因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用十字相乘法进行因式分解，解答关键是仿照例题方法解题． （1）根据题意利用十字相乘解题即可； （2）根据题意利用十字相乘解题即可． 【详解】（1）解：： 二次项系数，常数项． 验算交叉相乘之和：，与一次项系数相等． 所以； （2）解：： 二次项系数， 常数项，验算交叉相乘之和：，不符合； 再尝试常数项，验算交叉相乘之和：，不符合；继续尝试常数项，验算交叉相乘之和：，不符合；最后尝试常数项，验算交叉相乘之和：，与一次项系数相等． 所以． 18．（25-26八年级上·广东江门·阶段练习）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：______． (2)分解因式：； (3)已知，，分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)为等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分组分解法是解题的关键： （1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）将等式左边进行因式分解，转化为两个因式的积的形式，再进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3）为等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ∵，，是三边的边长， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02特殊的因式分解法 目录 A题型建模·专项突破 题型一、因式分解要彻底分解。 .1 题型二、利用整体法提公因式因式分解。 03 题型三、十字相乘法因式分解。 5 题型四、分组分解法因式分解 9 题型五、因式分解的应用.… .12 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、因式分解要彻底分解 1.(2425七年级上·上海浦东新期中)因式分解：4x2+y2-16x2y2。 2.(2425八年级上甘肃张掖阶段练习)因式分解：9a2(x-y)+4b(y-x). 3.(2425八年级上河南新乡·期中)因式分解 ()a2(x-y)+b(y-x): 2(x2-8+8(x2-8)+16. 4.(2425八年级上山东烟台期末)因式分解： (1)(a2+1-4a2; (2)9(2x-1)2-6(2x-1)+1. 5.(2425八年级上海南省直辖县级单位期末)因式分解： (1)ab-2a2b2+ab3: (2)a2(x-y)-4b2(x-y). 题型二、利用整体法提公因式因式分解 6.(2425八年级上山东青岛期末)因式分解：x(x-)-4(x-1)= 7.(2425八年级上内蒙古呼伦贝尔期末)因式分解：x2(a-b)+4(b-a)= 8.(2425七年级上·上海期中)因式分解：a(a-b)+b(b-a)= 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.(2425七年级上·上海期中)因式分解：a(a-b)+9b2(b-m)= 10.(2025七年级下全国专题练习)分解因式：a(x-y)}+2a(x-y)3+(x-y)°= 题型三、十字相乘法因式分解 11.(2425七年级上上海杨浦阶段练习)分解因式：4x2-11y-3y2. 12.(2425九年级上山东淄博阶段练习)分解因式： (1)x2-10x+21: (2)2x2+x-6 13.(23-24八年级上贵州遵义期末)小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内 容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式x+(p+q)x+P9=(x+P(x+q)的分解因式的方法叫“十字 相乘法”·例如：将二次三项式x2+7x+10因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项10=2×5，一次 项系数7=2+5，则x+7x+10=(x+2x+5).如图所示： 仿照上述解决下列问题： 1×5+1×2=7 (1)因式分解：x2+5x+6: 小亮做了如下分析： 一次项为：0+口=5，则常数项为：O×如=6： 则O= 口= ∴.x2+5x+6=(x+_)（x+_) (2)因式分解：x2-8x+15: (3)若二次三项式x2+ax-8可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值， 14.(23-24七年级下山东菏泽期末)【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①(x+2(x+3)=x2+5x+6: ②(x-4)(x+1)=x2-3x-4: ③y-5)y-3)=y2-8y+15 通过以上计算发现，形如(x+px+q)的两个多项式相乘，其结果一定为x+(D+q)x+P9,(,q为整 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数) 因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有x+(p+9)x+p9=(x+p(x+q）,即可将形如 x2+(p+g)x+P9的多项式因式分解成(x+P)x+q）(D、q为整数)， 例如：x2+3x+2=x2+(1+2)x+1×2=(x+1)(x+2). 【初步应用】 (1)用上面的方法分解因式：x+6x+8= 【类比应用】 (2)规律应用：若x2+x-8可用以上方法进行因式分解，则整数的所有可能值是」 【拓展应用】 (3)分解因式：(x2-3x)-2(x2-3x)-8」 15.(2425八年级上江西上饶阶段练习)你数学老师教你因式分解的场面你一定还记忆犹新吧！现让我 们来温故一下因式分解的几种方法并练习！ (1)提取公因式法：提取各单项式中的公因式，提取完后合并单项式分解因式：y2-y=_: (2)十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系 数.其实就是运用乘法公式(x+a)(c+b)=x+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解： ①分解因式x2+5x+6=_; ②解方程：x2-6x+12=x, (3)拆项添项法：即把多项式中某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个符合相反的项. ①x3+2x2+2x+1=: ②x3-2x-1=-: 除以上方法外因式分解还有双十字相乘法、换元法、因式定理法、待定系数法等， [综合应用]分解因式：a2+2ab+b2-3a-3b-4=-. 题型四、分组分解法因式分解 16.(24-25八年级上：山东东营阶段练习)阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公 因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进 行分组分解. 例1：“两两分组”： 例2：“三一分组”： 3/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ax+ay+bx+by 2xy+x2-1+y2 解：原式=(ax+ay)+(br+by) 解：原式=(x2+2y+y2）-1 =a(x+y)+b(x+y) =(x+y)2-1 =(a+b)(x+y) =(x+y+1)(x+y-1). 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解。 请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题： 分解因式： (1)x2-y+4x-4y; (2)x2-y2+4y-4 17.(24-25八年级上·重庆渝北阶段练习)“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如 下： 甲：a2-2ab-4+b2 乙：a2-ab-a+b =(a2-2ab+b2）4(分成两 =(a2-ab)-(a-b)(分成两组) 组) =(a-b2-22(直接运用公式) =a(a-b)-(a-b)(提公因式) =(a-b)(a-1) =(a-b+2)(a-b-2). 请在他们解法的启发下，解答下列各题： (1)m3-2m2-4m+8; (2)x2-2xy+y2-9. 18.(24-25八年级上·河南新乡·期中)因式分解课后，老师给同学们布置了如下作业. 因式分解：(x+y)+2(x+y)+1. 小明：将“x+y”看成整体，令x+y=A,则原式=A+2A+1=(A+,再将“4”还原，可以得到原式 =(x+y+1). 张老师：上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请大家仿照小明 的做法完成下列题目. (1)因式分解：x2+2xy+y2 (2)因式分解：a2-9-2ab+b2, 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)因式分解：(a2-4a+1)(a2-4a+7）+9 题型五、因式分解的应用 19.(24-25八年级上北京期中)已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2-b2+ac-bc=0,则△ABC的 形状是(). A.直角三角形B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 20.(24-25八年级上河南南阳期中)小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息： a-b,x-y,x+y,a+b,x2-y2,a2-b分别对应下列六个字：阳、爱、我、南、游、美，现将 (x2-y2)a2-(x2-y2)b因式分解，结果呈现的密码信息可能是() A.我爱美 B.美我南阳 C.南阳游 D.我爱南阳 21.(24-25八年级上·河南南阳期中)若a,b是等腰三角形ABC的两边长，且满足关系式 (a-2)'+b2=8b-16,则△ABC的周长是 22.(24-25八年级上山东威海期中)我们已经学过利用提公因式法和公式法进行分解因式.对于超过三 项的多项式，可以利用分组的方法进行分解因式.即先将一个多项式进行适当的分组（或组合），再利用 己经学过的方法进行分解因式.如： 分解因式：x2-2y+y2-16 =(x2-2xy+y2）-16 =(x-y)}-16 =(x-y+4)(x-y-4) 利用上述方法解决下列问题： ()分解因式：x2-4y2-2x+4y: (2)已知△ABC的三边a,b,C满足a2-b2-ac+bc=0,判断△ABC的形状，并说明理由. 23.(24-25八年级上黑龙江大庆阶段练习)在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维， 张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解： ①x2-xy+6x-6y: ②25-x2-9-6x. 下面是晶晶和小舒的解法： 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 小舒：25-x2-9-6x 晶晶：x2-y+6x-6y =52-（x2+6x+32）(分成两组) =(x2-y)+(6x-6y)(分成两组) =52.(x+3)(直接运用公式) =x(x-y)+6(x-y)(直接提公因式) =(5+x+3)(5-x-3) =(x-y)(x+6) =(8+x)(2-x) 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：a2+b2-16-2ab: (2已知△ABC的三边a,b,c满足a2-b2-ac+bc=0,△ABC是什么三角形？ 24.(24-25八年级上·黑龙江大庆阶段练习)阅读下列材料： 对于多项式x+x-2,如果我们把x=1代入此多项式，发现x2+x-2的值为0，这时可以确定多项式中有 因式(x-):同理，可以确定多项式中有另一个因式(x+2),于是我们可以得到：x2+x-2=(x-1(x+2)】 又如：对于多项式2x2-3x-2,发现当x=2时，2x2-3x-2的值为0，则多项式2x2-3x-2有一个因式 (x-2),我们可以设2x2-3x-2=(-2)(mx+m）,解得m=2,n=1. 于是我们可以得到：2x2-3x-2=(x-2)(2x+) 请你根据以上材料，解答以下问题： (1)当x=_时，多项式6x2-x-5的值为0，所以多项式6x2-x-5有因式一，从而因式分解 6x2-x-5=- (2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多 项式：2x2+5x+3. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26八年级上全国课后作业)分解因式2x2-32的结果是() A.2(x2-16)B.2(x+8)(x-8)C.2(x+4)(x-4)D.(2x+8)(x-8) 2.(25-26八年级上山东淄博阶段练习)已知ab、c是三角形的三边，则代数式a2-2b+b2-c2的值 () 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.不能确定 B.大于0 C.等于0 D.小于0 3.(24-25七年级下全国单元测试)若a是实数，则整式a2(a2-2)-2a2+4的值() A.不是负数 B.恒为正数 C.恒为负数 D.不等于0 4.(2025八年级上·全国专题练习)已知△ABC的三边长分别是a,b,c,且满足 a2+2b2-2b(a+c)+c2=0,判断此三角形的形状为() A.直角三角形B.等边三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 5.(25-26八年级上·重庆期中)在对多项式因式分解时，有一些多项式无法用提公因式和公式法分解， 将其进行重新分组后可用上述两种方法继续分解，这种方法叫分组分解.如： ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y).下列说法中： ①因式分解：x2-2y+y2-1=(x-y+1(x-y-1) ②若a,b,c是△ABC的三边长，且满足a+bc=b2+ac,则△ABC为等腰三角形. ③若a,b,c为实数满足a2+2b2+c2+28=4a+8b+8c,则以a,b,c作为三边能构成等腰三角形.其中 正确的个数是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、填空题 6.(25-26七年级下河北单元测试)因式分解：a(x-)+4(y-x)= 7.(2024九年级下·安徽宣城竞赛)分解因式：m3-3m2-6m+8= 8.(24-25九年级下四川内江阶段练习)分解因式：(x+y-12(x+y)+35= 9.(24-25八年级下陕西咸阳期末)若k为任意整数且a+b=11,则(k+a-(k-b)的值总能被 整除. 10.(24-25九年级上：江苏泰州阶段练习)定义：一个整数能表示成Q+b(a、b是整数)的形式，则称 这个数为“完美数”.己知S=+4y+4r-12y+k(x、y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试写 出符合条件的一个k值一· 三、解答题 11.(25-26八年级上重庆期中)因式分解 (①)a2(x-y)-x+y: (2②)(x+y)2-4(x+y-1) 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.(25-26八年级上山东淄博阶段练习)因式分解： (1)-16m3+16m2-4m: (24(x-y)°-6(y-x2: (3)(2a+3b)2-4(2a+3b)-12; (449(a+b)}-25(a-b). 13.(20-21八年级上·陕西延安·期末)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整 数为“奇巧数”，如12=42-22,20=62-42,28=82-62，…，因此12,20,28这三个数都是奇巧数. (1)设两个连续偶数为2n,2n+2(其中n为正整数)，由这两个连续偶数构造的奇巧数是8的倍数吗？为 什么？ (2)研究发现：任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数，请给出验证， 14.(2025八年级上全国专题练习)【阅读理解】由多项式乘法：(x+P(x+9)=x2+(p+9)x+P9,将 该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法“进行因式分解的公式：x+(p+9)x+P9=(x+P)(x+9),示 例：分解因式：x2+5x+6=x+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3). 【问题解决】分解因式： (1)x2+5x+4= (2)x2-6x+8= (3)x2+2x-3= (4)x2-6x-27= 15.(25-26八年级上·湖南阶段练习)我们知道，多项式a2+6a+9可以写成(a+3的形式，这就是将多 项式a2+6a+9因式分解，当一个多项式（如a2+6a+8)不能写成两数和（或差）的平方形式时，我们可 以尝试用下面的办法来分解因式。 a2+6a+8=a2+6a+9-1 =(a+3)}2-1 =[(a+3)+1][(a+3)-1] =(a+4)(a+2) 请仿照上面的做法，将下列各式分解因式： (1)x2-6x-27: (2②x2-2y-3y2: 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)(x2-2x)[(x2-2x)+4]+3 16.(2025八年级上·全国·专题练习)整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,得x2+(a+b)x+ab=(x+ax+b),利用这个式子可以将某些二次项系数 是1的二次三项式分解因式. 例如：分解因式x2-8x+12,这个式子的常数项12=（-2)×(-6)，一次项系数-8=-2+(-6)，故原式可分 解为(x-2x-6),这个过程可用十字相乘的形式形象地表示： X名 1×(-2)+1×(-6)=-8 利用上述方法，解决下列问题： (1)分解因式：x2+4x-12: (2)将代数式(x-1Cx+2x-3x+4)+9先分解因式，再求值，其中x2+x=4, 17.(25-26八年级上·湖南郴州阶段练习)阅读理解：用“十字相乘法”因式分解：2x2-x-3, (1)二次项系数：2=1×2： (2)常数项：-3=(1)×3=1×(-3)； (3)验算：“交叉相乘之和” 发现第③个“交叉相乘之和”1×(-3)+2×1=-1，与一次项系数-1相等，则2x2-x-3=(c+1)(2x-3). 像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三项式因式分解的方法，叫作“十字相乘法”、 仿照以上方法，因式分解： (1)x2-10x+9 (2)2x2-x-10 18.(25-26八年级上广东江门阶段练习)常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分 多项式只用上述方法就无法分解，如x2-2y+y-16.我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全 平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解. 过程如下：x2-2xy+y2-16 =(x-y)-16 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(x-y+4)(x-y-4) 这种分解因式的方法叫分组分解法， 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：ax+y+x2-y2= (2)分解因式：a2+b2-n2+2ab； (3)已知a,b,c分别是△ABC三边的边长且a2+b+ac-bc-2ab=0,请判断△ABC的形状，并说明理由. 10/10