专题02 分式的运算（9大题型）（专项训练）数学新教材人教版五四制八年级上册

**基本信息** 以题型建模为核心，通过9类专项题型构建从基础运算到综合应用的递进式训练体系，强化分式运算的逻辑推理与规范表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|题型一至三（约15题）|分式乘除分步约分、乘方符号法则|从单一运算到含乘方的混合运算，构建运算规则链| |综合应用|题型四至七（约20题）|最简公分母确定法、恒等式待定系数法|从概念（公分母）到复杂运算（加减乘除混合），形成应用逻辑| |错解分析|题型八（2题）|运算顺序纠错、符号处理技巧|通过错解复原强化严谨思维，完善运算规范| |化简求值|题型九（5题）|整体代入法、条件限制分析|结合代数变形与实际条件，提升综合解题能力|

专题02 分式的运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分式乘除混合运算 1 题型二、分式的乘方运算 4 题型三、含乘方的分式乘除混合运算 5 题型四、最简公分母 7 题型五、已知分式恒等式，确定分子或分母 8 题型六、分式加减混合运算 11 题型七、分式加减乘除混合运算 16 题型八、分式混合运算错解复原问题 17 题型九、分式混合运算中的化简求值 20 B综合攻坚・能力跃升 题型一、分式乘除混合运算 1．（24-25八年级上·全国·假期作业）计算： ． 【答案】 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】此题考查了分式的乘除混合运算．利用分式的除法和乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 2．（24-25八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算． （1）先把除法运算化为乘法运算，再进行计算，约分，即可求解； （2）先把除法运算化为乘法运算，再进行约分即可求解； （3）先把除法运算化为乘法运算，再进行约分即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 3．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)2 (2) (3) (4) 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】此题了考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可； （2）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可； （3）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可； （4）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型二、分式的乘方运算 4．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： （1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 【知识点】分式乘方 【分析】本题考查了分式的乘方，解题的关键是掌握分式的乘方的运算法则． （1）根据分式的乘方法则直接计算即可； （2）根据分式的乘方法则直接计算即可； （3）根据分式的乘方法则直接计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：． 5．（2025八年级下·河南驻马店·学业考试）计算： ． 【答案】 【知识点】分式除法、分式乘方 【分析】本题考查分式的乘除，先算乘方再算除法即可． 【详解】原式， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）当，时， . 【答案】 【知识点】分式乘法、分式除法、分式乘方 【分析】先计算分式的乘方，再计算分式的乘除，然后代值计算即得答案. 【详解】解： ； 当，时，原式； 故答案为：. 题型三、含乘方的分式乘除混合运算 7．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的分数乘除法混合计算，先计算乘方，再把除法变成乘法，最后根据分式乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 8．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】此题考查了分式的乘除混合运算，关键是掌握运算法则． (1) 分子的积作积的分子，分母的积作积的分母再约分即可； (2)先算乘方，再把除法变为乘法同时进行因式分解，约分即可得到答案． (3) 先把除法运算转化成乘法运算，把分子分母分解因式再进行分式乘法运算即可． 【详解】（1）解：， （2）解： ； （3）解： ． 9．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】运用平方差公式进行运算、分式乘除混合运算、含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则，运算顺序是解题的关键． （1）先把除法变成乘法，再利用分式的乘法法则计算； （2）先算乘方，再算分式的乘法即可； （3）先因式分解，把除法变乘法，再利用分式的乘法法则计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 题型四、最简公分母 10．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查的是最简公分母，熟知通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母是解题的关键．根据最简公分母的定义解答即可． 【详解】解：分式与的最简公分母是． 故选：A． 11．（2024八年级上·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．与的最简公分母是 B．与的最简公分母是 C．与的最简公分母是 D．与的最简公分母是 【答案】C 【知识点】最简公分母 【分析】求几个分式的最简公分母时，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，根据这一条件即可得出答案．此题考查了最简公分母，求几个分式的最简公分母时，应注意将分母转化为最简式后再进行相乘． 【详解】解：A、与的最简公分母是，故本选项不符合题意； B、与的最简公分母是，故本选项不符合题意； C、与的最简公分母是，故本选项符合题意； D、与的最简公分母是，故本选项不符合题意； 故选：C． 12．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查了分式的最简公分母，根据确定最简公分母的方法：①找系数：找各分母中系数的最小公倍数；②找分母：找各分母中所有单个字母因式或多项式字母因式；③找指数：取各相同字母因式或多项式字母因式的最大指数求解即可． 【详解】解：分式，，的最简公分母是， 故答案为：． 题型五、已知分式恒等式，确定分子或分母 13．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）若（其中，为常数），则 ， ． 【答案】 【知识点】加减消元法、异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的加减，计算，根据，为常数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得：， 故答案为：，． 14．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，求，，的值． 【答案】，，的值分别为，，． 【知识点】异分母分式加减法、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查异分母分式的加减法及解三元一次方程组，首先通分化为同分母分式，再按照分母不变，把分子相加减的方法计算．已知等式右边两项通分并利用异分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的条件构造方程组，求解方程组即可． 【详解】解： ， 解得 即，，的值分别为，，． 15．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）阅读下列材料： 若，试求A、B的值 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题． (1)已知（其中M、N为常数）求M、N的值； (2)若对任意自然数n都成立，则_________，_________． (3)计算：_________． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据阅读材料中的方法计算即可求出M与N的值； （2）根据阅读材料中的方法计算即可求出a与b的值； （3）由，，，利用裂项相消，即可求解． 【详解】（1）解：等式右边通分，得 ， 根据题意，得，解之得； （2）解：等式右边通分，得 ， 根据题意，得，解之得； 故答案为：，； （3）解： 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型六、分式加减混合运算 16．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【知识点】同分母分式加减法、异分母分式加减法、分式加减混合运算 【分析】（1）按照同分母分式的加减运算法则进行计算即可； （2）先化为同分母分式，再计算即可； （3）先通分化为同分母分式，再计算即可； （4）先通分化为同分母分式，再计算即可； 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3） ． （4） ． 【点睛】本题考查的是分式的加减运算，掌握分式的加减运算的运算法则是解本题的关键． 17．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】分式加减混合运算 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解题的关键． （1）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （2）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （3）括号内先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （4）括号内先通分，分子分母分解因式，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】分式加减混合运算 【分析】（1）先将分式进行通分，按照整式的加减混合运算法则计算即可； （2）利用平方差公式将分式进行通分，按照整式的加减混合运算法则计算，最后再约分即可； （3）利用平方差公式将分式进行通分，分母则按照十字相乘以及整式的加减乘除混合运算计算即可； （4）先将分式进行约分，再按照整式的加减混合运算计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： 故答案为：． （3）解： 故答案为：． （4）解： 故答案为：． 题型七、分式加减乘除混合运算 19．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）计算：． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查分式的混合运算，先通分，计算括号内的，再除法变乘法，约分化简即可． 【详解】解： ． 20．（2024七年级上·上海·专题练习）化简：． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查分式的混合运算，熟练分式的混合运算顺序和方法是解答的关键． 原括号内先通分并用同分母分式的减法法则计算，再利用平方差公式进行化简，最后利用除法法则变形，最后约分即可． 【详解】解： ． 21．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）化简： 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果． 【详解】解：原式 ． 题型八、分式混合运算错解复原问题 22．（24-25八年级下·全国·期末）下面是小赣同学化简的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 ．第四步 (1)①以上化简步骤中，变形的依据是分式的基本性质和 ； ②从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； (2)请直接写出该式子化简后的正确结果，请你从，，1中选择一个合适的数代入求值． 【答案】(1)①分式的除法法则　②二；应用分式的基本性质时，第二个分式的分子没乘（x－1） (2) 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键． （1）根据题目中的解答过程可得出结论； （2）利用分式的混合运算的法则解答即可． 【详解】（1）解：①以上化简步骤中，第一步变形的依据是分式的基本性质和分式的除法法则， ②第二步开始出现错误，这一步错误的原因是应用分式的基本性质通分时，第二个分式的分子没乘， 故答案为：①分式的基本性质和分式的除法法则；②二；应用分式的基本性质通分时，第二个分式的分子没乘； （2）解： ； ∵ ∴， ∴当时，原式． 23．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题： 解：． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 (1)以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ； 第         步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 请写出正确的化简结果： ． (2)先化简再求值：，已知． 【答案】(1)①一，分式的基本性质；②三，括号前面是“ ”号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号；③ (2)， 【分析】本题考查了分式的混合运算、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）①以上化简步骤中，第一步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；②根据去括号的法则即可得出答案；③根据分式的混合运算法则计算即可得出答案； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，由题意得出，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：以上化简步骤中，第一步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质； 故答案为：一，分式的基本性质； 第三步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是“ ”号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号； 故答案为：三，括号前面是“ ”号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号； ． ， 故答案为：； （2）解： ， ， ， 原式． 题型九、分式混合运算中的化简求值 24．（24-25八年级上·青海果洛·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】分式化简求值 【分析】此题考查了分式的化简求值，先利用分式的运算法则和顺序计算后得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 25．（24-25八年级上·浙江台州·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查的是分式的化简求值，根据分式的混合运算法则把原式化简，把代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 26．（24-25八年级上·全国·假期作业）先化简，再求值，其中与、构成的三边长，且为整数． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了分式的化简求值，三角形三边关系，熟练掌握分式化简求值、三角形三边关系的应用是解题的关键； 先利用分式的性质和运算法则对分式进行化简，然后根据三角形三边关系得到，然后代数求解即可． 【详解】解：原式 ， 与、构成的三边长， ， 又为整数， ， 当时，原式． 27．（24-25八年级上·山东聊城·期中）（1）化简求值：，其中． （2）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】（1）；；（2）；1 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键． （1）先化简分式，然后代入x求值． （2）根据分式的混合运算法则把原式化简，把代入计算即可． 【详解】解：（1） ； 当时，原式   （2） ； ∵， ∴， ∴原式 一、单选题 1．（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式乘方 【分析】本题考查分式的乘方，根据分式的乘方运算法则计算即可． 【详解】． 故选：B． 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式除法 【分析】本题考查分式的乘除法，熟知运算法则是正确解决本题的关键． 运用分式的乘除法运算法则逐选项进行判断即可得出正确答案． 【详解】解：A．，此选项错误，不符合题意；     B．，此选项错误，不符合题意； C．，此选项正确，符合题意；     D．，此选项错误，不符合题意； 故答案为：C． 3．（24-25八年级上·山东临沂·期末）下列关于分式的说法正确的是（    ） A．约分的结果是 B．分式与的最简公分母是 C． D．化简的结果是 【答案】C 【知识点】约分、最简公分母、异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的基本性质和分式的加减运算，解决本题的关键是根据分式的基本性质把分式进行变形即可． 【详解】解：A选项：，故A选项错误； B选项：，与的最简公分母是，故B选项错误； C选项：，故C选项正确； D选项：，故D选项错误． 故选： C． 4．（2025·河北唐山·一模）试卷上一个正确的式子被小明同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分⋆处的代数式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 先根据分式的加减法计算括号内的，再根据分式的除法计算可得答案． 【详解】解：由， 得， 即， ∴， 故选：B． 5．（24-25八年级上·浙江台州·期末）规定运算为：，例如：，则当且时，的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】新定义下的实数运算、运用平方差公式进行运算、异分母分式加减法 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，异分母分式加减法，平方差公式等知识点，根据新定义下的运算正确列式计算是解题的关键． 由“且”可得，通分后可得，然后利用平方差公式可得，约分后即可得出答案． 【详解】解：，且， ， ， ， ， ， ， 故选：． 二、填空题 6．（24-25八年级上·山东淄博·期末）分式与的最简公分母是 ． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查了最简公分母，根据平方差和完全平方公式先把分母因式分解，再确定最简公分母即可，掌握最简公分母的确定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴最简公分母是， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）若恒成立，则的值是 ． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法、已知分式恒等式，确定分子或分母 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将等式的左边通分并化简得出，再根据等式恒成立得出，根据题意列二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解： 恒成立， ， 故答案为：． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）有下列各式：①；②；③；④．其中计算结果正确的是 （填序号）． 【答案】③ 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题考查分式的乘除运算，根据分式的乘除运算法则依次计算各项并判断，即可解题． 【详解】解：①， 故①计算结果错误； ②， 故②计算结果错误； ③， 故③计算正确； ④， 故④计算结果错误． 故答案为：③． 9．（24-25八年级上·全国·期末）当，时， ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的乘除运算，首先根据分式的乘除运算法则进行计算，把分式化简可得原式，然后再把，代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 故答案为： ． 10．（2025八年级下·全国·专题练习）给定一列分式：，，，，…（其中，），那么第n个分式是 ，这列分式中第n个分式除以第个分式的商是 ． 【答案】 ； 【知识点】分式的规律性问题、分式除法 【分析】本题侧重考查知识分式的定义，掌握分式的化简是解题的关键．观察这组分式，可知分子为x的奇次幂，分母为乘以y的n次幂，据此得到第n个分式；用第二个分式除以第一个分式，第三个分数除以第二个分式，…，你能发现规律不难得到相除所得的商相等，至此问题便可迎刃而解了． 【详解】解：观察这组分式，可知分子为x的奇次幂，分母为乘以y的n次幂， ∴第n个分式为； ， ， …… 综上可知规律是：任意一个分式除以前面一个分式，商都为； 故这列分式中第n个分式除以第个分式的商是． 故答案为：；． 三、解答题 11．（23-24八年级上·西藏拉萨·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘除混合运算、含乘方的分式乘除混合运算 【分析】此题考查了分式的混合运算． （1）先计算分式的乘方，再计算乘除法即可； （2）把分式的除法变为乘法计算即可． 【详解】（1）解：原式= ； （2）解：原式= 12．（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【知识点】分式加减乘除混合运算、异分母分式加减法 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握其基础运算法则是解题的关键． （1）利用异分母分式的加减混合运算法则进行计算即可； （2）利用分式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 13．（2024·广东佛山·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 首先利用完全平方公式和平方差分解因式，同时小括号内通分、括号、约分，将分式的除法转化为乘法，利用分式的乘除法进行化简，然后合并可得到结果，最后代入数值计算即可解答． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 14．（23-24九年级上·四川南充·开学考试）先化简，再求值：，在，2，1，中选一个你最喜欢的数带入求值． 【答案】，当时，原式，当时，原式 【知识点】分式化简求值 【分析】此题考查了分式的化简求值，先计算括号内的加减法，再计算除法，得到化简结果，选取合适的值代入计算即可． 【详解】解： ∵，， ∴或， 当时，原式 当时，原式 15．（2025八年级下·全国·专题练习）已知． (1)化简； (2)当，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】幂的乘方的逆用、分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值， （1）先把括号内的分式通分，再按照同分母的分式相减，然后把除式中的分母分解因式再约分，并把除法换成乘法，进行计算即可； （2）把已知条件中的两个幂的底数都换成，从而把用表示出来，最后把（1）中化简后的式子中的换成，进行计算并约分即可； 解题关键是熟练掌握分式的通分和约分． 【详解】（1）解： ； （2）∵， ∴， ∴， ∴ ． 16．（2025·江西九江·模拟预测）计算：．下面是甲同学的部分计算过程： 解：原式 (1)甲同学解法的依据是________．（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请写出完整的解答过程，并从0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】(1)③ (2)，4 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据乘法分配律，即可解答； （2）利用乘法分配律化简计算，然后把符合条件的x值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：甲同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：③； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． (1)给出下列分式：①；②；③；④．其中属于“和谐分式”的是_______（填序号）； (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)化简．若该式的值为整数，求x的整数值． 【答案】(1)①③④ (2) (3) 【知识点】分式有意义的条件、分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查新定义运算，分式的混合运算法则，理解“和谐分式”的定义，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据分式加减运算法则，再根据“和谐分式”的定义进行判定即可； （2）根据分式加减运算法则，再根据“和谐分式”的定义进行判定即可； （3）先根据分式的混合运算法则先化简得，再根据该式的值为整数，得到或，最后根据分式有意义的条件得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：①，属于“和谐分式”； ②，不属于“和谐分式”； ③，属于“和谐分式”； ④，属于“和谐分式”； ∴属于“和谐分式”的是①③④， 故答案为：①③④； （2）解： ． （3）解： ． ∵该式的值为整数， ∴或， 解得或或1或． 又∵， ∴， ∴． 18．（24-25八年级上·河南三门峡·期末）定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如：，我们称是的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式是分式的“ 差分式”． (2)分式是分式的“差分式”． （含的代数式表示）； 若的值为正整数，为正整数，求值． 【答案】(1) (2) 或 【知识点】同分母分式加减法、异分母分式加减法 【分析】本题考查新定义运算，分式的加减法，熟练掌握掌握分式的加减法法则是解答本题的关键． （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； 根据为正整数，即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， 解得，； 为正整数， 当时，，则； 当时，，则； 的值为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02分式的运算 目录 A题型建模·专项突破 题型一、分式乘除混合运算.… .1 题型二、分式的乘方运算… .4 题型三、含乘方的分式乘除混合运算. .5 题型四、最简公分母… 题型五、已知分式恒等式，确定分子或分母。 .7 8 题型六、分式加减混合运算 .11 题型七、分式加减乘除混合运算. ..16 题型八、分式混合运算错解复原问题.17 题型九、分式混合运算中的化简求值… …20 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、分式乘除混合运算 1.(2425八年级上全国假期作业)计算： 2x-6 12-4x1 x2-4x+4x2+x-6x+3 2.(2425八年级上全国课堂例题)计算： 3ab2 8xy）.3x 1)y 9a2b-4bi a总2 2-x x2-1x+11-x 3)-2+1x-11+x 3.(2425八年级上山东聊城阶段练习)计算： 1 x+y 1)2-y2x-2yx x2-4y2.x-2y (2)+2y+y x+y x2-12x2-2 BF+2x+产4r+8r中4(x- a+2a2-4a+4.a2-4 4a-2a+1a+1a2-司 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二、分式的乘方运算 4.(2025八年级上全国专题练习)计算： 5.(2025八年级下河南驻马店学业考试)计算： 6(21八年缓全国课后作)-261时，6(( 题型三、含乘方的分式乘除混合运算 7.(2425八年级上山东潍坊阶段练习)计算： 8.(2425八年级上山东聊城阶段练习)计算： 、3ab24c2d 1)2cd3a26: x3-2x2+4x,x2-2x+4 (3)x2-4x+4 x-2 9.(23-24八年级下·全国课后作业)计算： awo-(品() a * 题型四、最简公分母 1 10.(24-25八年级上：贵州遵义：期末)分式2产与3x的最简公分母是() A.6x3 B.5x5 C.6x D.6x6 219 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.(2024八年级上·全国专题练习)下列说法中，正确的是() 2.1 A.3ab与2a的最简公分母是5ab B.a+b与a2+b的最简公分母是(a+b) a+1 b+1 C.(a-b)(a+b与(b-a)b+a的最简公分母是(a-b)(a+b) 1 D.x2-2x+1与x2-的最简公分母是(x2-2x+少(x2-) 2c 2a 5b 12.(24-25八年级下黑龙江哈尔滨开学考试)分式3b,4bc,2ac的最简公分母是 题型五、已知分式恒等式，确定分子或分母 5x-7 A B 1B.(24-25八年级上河北石家庄阶段练习)若g二4r-5x+1x-5(其中A'B为常数)，则A=- ,B= 1 A Bx+C 14.(2024八年级上：黑龙江专题练习)已知0+2x)+x)1+2x1+r,求A'B'C的值. 15.(24-25八年级上云南昆明阶段练习)阅读下列材料： 1-3x A B 若产二x中+x-一，试求从B的值 解：等式右边通分，得 A(x-1)+B(x+1)（A+B)x+(-A+B) (x+1)(x-1) x2-1 「A+B=-3 A=-2 根据题意，得{-A+B=1,解之得B=-1 仿照以上解法，解答下题. x+6 M N ()已知(x+1)(2x-3)x+12x-3(其中MN为常数)求MN的值： 1 (2)若(2n-)(2n+可2n-12n+1对任意自然数n都成立，则a= 111 1 3计算：1x3+3x5+5×7++ 2019×2021 319 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型六、分式加减混合运算 16.(23-24八年级上全国课后作业)计算： 2x22 (1) x+1x+1 a-3b a+b (2) a-b b-ai 24.3 3)2-164-x a-2-a-2 (4 17.(23-24八年级上全国单元测试)计算： 123 1)2xy34y29 312x (2)x+2+2-x4-7 a2-1 a2+2a+1 18.(23-24八年级上全国课堂例题)计算： -1y-1; 2+2 1 (2)-1+x+1x-1 16x-1 3)x-3x2-96-2x 4)a-b-(a+b)2 a+b· 题型七、分式加减乘除混合运算 x-1 19.(24-25八年级上云南楚雄期末)计算： +1x+1 x2+2x+1 ①2024七年级上上海专题练习列化简：，4,2-2 4/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a2-41）.1 21.(24-25八年级上河北石家庄期末)化简： a2-4a+42-aa2-2a 题型八、分式混合运算错解复原问题 x+21）.3 22.(24-25八年级下全国期末)下面是小赣同学化简一x中x-的过程，请认真阅读，并完成 相应的任务 x+21）x-1 解：原式= x2-1x+13第一步 x+2 1 x-1 (x-(x+)）(x-1(x+1)】 3第二步 x+1x-1 (x-1)(x+1)3第三步 行第四步 (1)①以上化简步骤中，变形的依据是分式的基本性质和_： ②从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是： (2)请直接写出该式子化简后的正确结果，请你从-2，-1,1中选择一个合适的数代入求值。 23.(24-25八年级下·河南南阳阶段练习)下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题： 3m 解： m+1-1÷ m-2 m2-4m+4 m+1m-2】 3m m-2m-2 (m-2第一步 m+1-(m-2).3m m-2 (m-2)}第二步 =m+1-m-2 3m m-2 (m-2)第三步 3m m-2(m-2了第四步 =-1.(m-2)2 第五步 m-23m =2-m 3m第六步 519 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)①以上化简步骤中，第步是进行分式的通分，通分的依据是_： ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是_； ③请写出正确的化简结果：-· m-1-3） m+2. 2)先化简再求值：m2-1气 -m+1小已知m2-3m-4=0 题型九、分式混合运算中的化简求值 x-1 14) 24.(24-25八年级上青海果洛期末)先化简，再求值：2+6x+9x+3: 其中x=-21 25.(24-25八年级上·浙江台州阶段练习)先化简，再求值： m+2+、5）.2m-4 2-m3-m，其中m=-1 2 26.(24-25八年级上全国假期作业)先化简，再求值x+2x 2十x+4,其中x与13构成 △ABC的三边长，且x为整数 81-x2,9-x1 24-25八年级上山东聊城期中)1)化简求但：x+6r+92x+6r+9其中x Γ21 x-1x-2,2x2-x (2)先化简，再求值： x-x+i产x2+2x+1,其中x满足x2-x-1=0 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 2 a 1.(2425八年级下福建泉州阶段练习)计算 的结果是() 2 A.b a2 B. C. 6 D.db 2.(2425八年级上贵州贵阳阶段练习)下列计算中正确的是() b a I m n mn A.2a‘F=2ab B.2÷ xXX 3xy D.5 18x2y2 -÷6xy= 5a 3.(2425八年级上山东临沂·期末)下列关于分式的说法正确的是() 619 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x-1 1 A. 约分的结果是无 B.分式x一与x一的最简公分母是x-1 x2 1 C.=x+y x-y D.化简-1-文的结果是】 1-1）*=(2} 4.(2025河北唐山一模)试卷上一个正确的式子a+6a-b* *= la+b) 被小明同学不小心滴上墨汁. 被墨汁遮住部分*处的代数式为() -b b-a -C4 A.a-b B.b c. D. 5.(2425八年级上渐江台州期末)规定，运算为：y=(x≠)，例如： x-V (-2)*3=-2+15 -2-3-5 -山，则当a*6+b*a=1且a≠b时，4+6的值为（） A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题 1 1 6.(2425八年级上山东淄博：期末)分式x一9与2-6x+9的最简公分母是 72425年级下全国课后作2若2+二2恒吸立，划226的值是 8《2025七年级下全国专题练习)有下列各式：①=x:@o 3a 4b2 =6a2b,③ 2x3）2 y32x4 2x=y《 (20时)-子关中计始煤F的足 (填序号)， 92425八年级上全国期末)当。2”6-3时.a((台 x3 xs x7 10.(2025八年级下全国专题练习)给定一列分式：少，2少，4,8，.（其中x≠0'y≠0 ),那么第n个分式是 一，这列分式中第n个分式除以第(n-)个分式的商是一· 三、解答题 11.(23-24八年级上西藏拉萨·期末)计算： 2(c+2- +2 719 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.(24-25八年级下·福建泉州阶段练习)计算： 1-a2 (1 +a-2: a+2 2x-÷-2x+11 。↓ x+2x2-4x-1 2a 13.(2024广东佛山一模)先化简，再求值：a2+6a+9 2a1 a-9a-3其中a=2-3 2x+1+x-1÷ x+2 14.(23-24九年级上四川南充开学考试)先化简，再求值： x+1 +2x+1,在22,1， -1中选一个你最喜欢的数带入求值. x-1 15.(2025八年级下全国专题练习)已知A （x+yx2-y2xy-y: (1)化简A; (2)当2=4，求A的值. 16.(2025江西九江模拟预测)计算： x）x2-4 、x-2x+2x2一·下面是甲同学的部分计算过程： xx2-4xx2-4 解：原式= Γx-2x2x+2x2 (1)甲同学解法的依据是 .(填序号) ①等式的基本性质；②分式的基本性质：③乘法分配律；④乘法交换律. (2)请写出完整的解答过程，并从0,1,2中选择一个合适的数作为x的值代入求值. 17.(2425七年级下·全国课后作业)定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的 形式，则称这个分式为“和谐分式”. 山始下到分大@中，@装，@行：@ y少·其中属于“和谐分式”的是一（填序 号)： (2将“和谐分式” a2-2a+3 a-】一化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式： 3x+6x-1,x2-1 3化简x+1-x产+2x· 若该式的值为整数，求x的整数值. 18.(24-25八年级上河南三门峡期末)定义：若分式A和分式B满足A-B=n(n为正整数)，则称A 是B的“n差分式”. 819 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3x3 3x 3 例如： x-1x-1 3,我们称是x一的“3差分式”， 解答下列问题： 1 四分式亡x是分式一x的“差分式”· 2式4=，二是分式日的“2差分式” ①C=_(含x的代数式表示)； ②若A的值为正整数，x为正整数，求A值. 919