专题01 二次根式的性质之七大题型（专项训练）数学新教材人教版五四制八年级上册

**基本信息** 以“定义-性质-应用”为逻辑主线，通过7类题型系统构建二次根式性质的解题方法体系，融合阅读理解题培养数学思维与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式的识别|4题|紧扣定义判断被开方数非负性|从概念辨析切入，夯实基础认知| |定义求字母值|4题|因数分解法确定最小/最大值|深化定义应用，培养数感| |有意义条件|4题|列不等式组求解参数范围|衔接性质应用，强化逻辑推理| |有意义求值|4题|利用非负性构造方程求解|综合性质与方程思想，提升运算能力| |参数范围化简|4题（含阅读题）|结合隐含条件去绝对值|性质应用进阶，发展数学眼光| |隐含条件化简|4题|根号内外因式移转法则|深化符号意识，培养批判性思维| |复合根式化简|4题（含阅读材料）|构造完全平方式分解法|拓展应用，建立数学模型意识|

专题01 二次根式的性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次根式的识别 1 题型二、根据二次根式的定义求字母的值 3 题型三、根据二次根式有意义条件求范围 4 题型四、根据二次根式有意义求值 5 题型五、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 7 题型六、含隐含条件的参数范围化简二次根式 9 题型七、复杂的复合二次根式化简 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次根式的识别 1．（25-26九年级上·山西临汾·期中）下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式要求被开方数必须是非负数，即可判断． 【详解】解：A、，被开方数，符合定义； B、，被开方数，符合定义； C、，由于字母a的取值范围不确定，不能保证被开方数，故该式子不一定是二次根式，不符合定义； D、，被开方数，符合定义； 故选：C． 2．（25-26七年级上·黑龙江大庆·月考）下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的定义，属于基础概念题，难度不大．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式． 结合二次根式的定义即可求解． 【详解】解：A：在中，，不合题意，故错误； B：在中，，符合题意，故正确； C：在中，的正负性不可确定，不合题意，故错误； D：在中，根指数是3，不合题意，故错误； 故答案是：B． 3．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可． 【详解】解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个； 故选B． 4．（25-26九年级上·四川遂宁·期中）下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，需判断被开方数是否恒大于等于：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项的被开方数不恒非负，进而确定其不一定是二次根式． 【详解】解：二次根式定义要求被开方数， ：，被开方数，总是二次根式； ：中，故总是二次根式； ：，当时，，无意义，不一定是二次根式； ：中，故总是二次根式． 故选：． 题型二、根据二次根式的定义求字母的值 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知是整数，则正整数m的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数，以及二次根式的性质，把18分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键． 根据二次根式的性质进行整理分析，即可解题． 【详解】解：因为， 所以． 因为是整数， 所以正整数m的最小值是2． 故选：B． 6．（24-25八年级下·江西赣州·月考）已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键． 由题意可得，要使是正整数，即可得出当n最大取2024时，是正整数． 【详解】解： 要使是正整数， 即当时，． 故整数的最大值为2024． 故选：B． 7．（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．把每个选项中的m的值代入二次根式化简即可． 【详解】解：A、当时，，不是一个正整数，故此选项不符合题意； B、当时，，是一个正整数，故此选项符合题意； C、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； D、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； 故选：B． 8．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 题型三、根据二次根式有意义条件求范围 9．（25-26九年级上·吉林长春·期末）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数必须大于或等于零．根据二次根式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， ∴的取值范围是． 故选：B． 10．（25-26八年级上·重庆·期中）若代数式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式成立的条件及二次根式有意义的条件，注意分母不能为，被开方数不能为负数． 根据分式和二次根式有意义的条件确定的取值范围即可． 【详解】解：由题意可知：， 解得：； 故选：A． 11．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，从而列出不等式求解． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得，解得． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·四川达州·月考）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件，掌握好相关的性质是关键． 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组求解． 【详解】∵ 代数式 在实数范围内有意义， ∴ ， 解得，且． 故答案为：且． 题型四、根据二次根式有意义求值 13．（25-26八年级上·湖南常德·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查二次根式的非负性，根据非负数的性质，若两个非负数的和为零，则每个非负数均为零． 【详解】解：因为 且 ，且 ， 所以 且 ， 解得 ，， 因此 ， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·湖南永州·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，零指数幂，有理数乘方，代数式求值，由题意，得且，解得，再代入求出的值，最后计算代数式的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意，得且， 解得， 当时，， 所以， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·四川成都·期中）若，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，平方根定义，根据二次根式的被开方数非负的性质，确定x的取值范围，进而求出x和y的值，然后计算的值，最后求其平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 将代入原式得：， ∴， 16的平方根为． 故答案为：． 16．（25-26七年级上·山东东营·月考）已知，则的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求一个数的算术平方根．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，从而求出的值，再代入原式求出的值，进而计算并求其算术平方根． 【详解】解：由二次根式的定义，得且， 解得， ， ， 8的算术平方根是， 故答案为： ． 题型五、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 17.当时，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式性质化简、化简绝对值等知识，由得到，从而将化简即可得到答案，熟记二次根式性质、绝对值的代数意义是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 18.已知的三边分别为，化简 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及二次根式的化简，正确理解二次根式的性质是关键． 首先根据三角形的三边的关系求得的范围，然后根据二次根式的性质进行化简． 【详解】解：、、5是三角形的三边， ， ，， 原式． 故答案为：4． 19.已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示： 化简： ． 【答案】 【分析】此题考查了实数的运算，以及实数与数轴，熟练掌握二次根式性质及绝对值的代数意义是解本题的关键．先根据数轴判断a、b、c的取值范围，利用二次根式、立方根性质化简，判断绝对值里面的数的正负号，去掉绝对值，最后再合并同类项． 【详解】解：由图可知：，且， ， 故答案为：． 20．（25-26八年级上·湖南永州·期中）【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（本题10分） 化简：． 解：隐含条件，解得． 所以． 所以原式． 【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】（1）  (2) 【分析】本题主要考查了化简二次根式，数轴，绝对值化简等知识，熟练掌握二次根式有意义的条件和绝对值的化简，是解题的关键． （1）根据二次根式被开方数有意义的条件得出不等式从而解出的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答． （2）由数轴得出、、的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴原式， ， ， ． （2）∵实数在数轴上的位置如图所示， ∴，， ∴原式， ， ． 题型六、含隐含条件的参数范围化简二次根式 21．（25-26八年级上·上海·月考）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及二次根式的性质与化简，解决问题的关键是利用二次根式的基本性质进行化简． 由题意可得，将变形为，再利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由题意可得，，即， ∴． 故答案为：． 22．（25-26八年级上·上海·月考）化简二次根式 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简及有意义的条件，解题的关键是先根据二次根式的被开方数非负确定的范围，再将根号外的因式移到根号内化简． 先由得，从而确定的符号；再将变形为负的形式，移到根号内进行化简． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得， ，即， ． 原式． 故答案为：． 23．（25-26八年级上·上海·月考）化简：当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了根据二次根式的性质化简．由条件且平方根内表达式非负，推出且，再将平方根内的表达式分解为平方因子和非平方因子进行化简，即可求解． 【详解】解：∵，且为实数， ∴， ∵和， ∴，即， ∵， ∴且． ∴． 故答案为：． 24．（25-26八年级上·上海·期中）把根号外面的因式移到根号里面，化成最简二次根式，正确的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，由根号下的表达式 可知，，因此移动因式时需考虑符号，利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由得， ∴， ∴设，则 ，原式为 ∴， 代入 ，得原式． 故答案为：． 题型七、复杂的复合二次根式化简 25.阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． （1）仿照例题，根据，即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． （2）根据材料提供计算步骤，对进行化简，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ； ， ； （2）解： ． 26.有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简、运算， （1）结合题干思路方法作答即可； （2）结合题干思路方法作答即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 27.观察、思考、解答： 反之 (1)仿上例，化简：______，______． (2)若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由； 【答案】(1)， (2)；理由见解析 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用； （1）仿照例子，根据完全平方公式的特点化简即可； （2）由题意知，，用完全平方公式，再进行比较即可确定m、n与a、b的关系． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：，； （2）∵， ∴ 即， ∴ 28.像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）∵ ∴， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴k的值为：或． 一、单选题 1．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式．根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．的被开方数为，不是二次根式，故本选项不符合题意； B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意； C．若，无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意； D．是二次根式，故本选项符合题意． 故选：D． 2．使得二次根式有意义的x的取值范围是（　　） A．且 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握“二次根式的被开方数为非负数”是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，分析被开方数的取值范围，进而确定x的范围． 【详解】解：∵ 二次根式有意义的条件是被开方数非负， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 3．若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形三条边的数量关系以及根式的化简，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 由三角形三边关系可以确定的取值范围为，再利用绝对值的性质化简表达式． 【详解】∵ 3，4，为三角形的三边长， ∴ ,即， ∴ ，， ∴ 原式， 故选：A． 4．已知，化简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，解答此题的关键是判定字母的符号，注意题目中的隐含条件． 首先确定出的取值范围，再根据二次根式性质化简即可. 【详解】解：， ， 故选：D ． 5．已知，则的平方根为（   ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的被开方数要大于等于0，代数式求值，正确求出x、y的值是解题的关键． 根据二次根式的被开方数非负，求出 x 的值，进而得到 y 的值，然后计算 并求其平方根． 【详解】∵ 使 和 有意义，需 且 ， ∴ 且 ， ∴ ． 当 时，． ∴ ． ∴ 的平方根为 ． 故选D． 6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ， 故选：B． 二、填空题 7．要使代数式有意义，则x取值范围为 【答案】且 【分析】本题考查代数式有意义的条件，需同时考虑二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，再进一步求解即可． 【详解】解：∵代数式 有意义， ∴且， 即 且； 故答案为：且． 8．已知是整数，则满足条件的最小正整数的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查二次根式的运算．根据题意可得是完全平方数，即可求解． 【详解】解：∵是整数， ∴是完全平方数， ∴满足条件的最小正整数的值为1，此时，满足条件． 故答案为：1 9．已知，则的算术平方根为 ． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式有意义的条件及算术平方根的计算，解题的关键是根据二次根式的被开方数非负求出的值． 先根据二次根式有意义的条件（被开方数）列出关于的不等式组，求出的值，再代入求出的值，进而计算的算术平方根． 【详解】解：要使二次根式和有意义，需满足： 解得：， 将代入，得：， ， 4的算术平方根是， 的算术平方根为2． 故答案为：2． 10．已知，化简二次根式的正确结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：由中被开方数总要大于等于0可知， ∵分母， ∴分子，则， 又，则， ∴， 故答案为：． 11．已知，是两个连续的正奇数，，令，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了二次根式的性质和奇数的定义．根据奇数的定义得到，则，所以，，根据二次根式的性质化简，然后去绝对值后合并即可． 【详解】解：，是两个连续的正奇数，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 三、解答题 13．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值．熟练掌握二次根式有意义的条件，是解题的关键． 先根据被开方数为非负数求出x的值，进而求出y的值，然后代入代数式计算解题． 【详解】解：由已知可得， 解得． 则． ∴． 则． 14．已知x，y，z满足． (1)求x，y，z的值； (2)以x，y，z为边能否构成直角三角形？若能构成直角三角形，请求出三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查了非负数的性质、二次根式的化简和勾股定理的逆定理，熟练掌握上述基本知识是解题的关键； （1）根据非负数的性质结合二次根式的性质求解即可； （2）根据勾股定理的逆定理计算判断即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得； （2）解：不能构成直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴以x，y，z为边不能构成直角三角形． 15．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为正整数）， 则有，．这样小明找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ； (2)利用所探索的结论，找一组正整数、、、填空： ； (3)化简 【答案】(1)， (2)13，4，1，2 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，分析所给的材料进行解答是解题的关键． （1）根据上面的例子，将，按完全平方展开，可得出答案； （2）由（1）可写出一组答案，不唯一； （3）将展开得出，由题意得，，再由a、m、n均为正整数，可得到，根据二次根式的性质可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； 故答案为：，． （2）由（1）可得，，，； 故答案为：13，4，1，2． （3）∵， ∴， ∴，， ∵m、n均为正整数， ∴，； ∴ ∴． 16．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：， 解：隐含条件，解得：． ， 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：________． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知a，b，c为的三边长．化简：． 【答案】（1）；（2）1；（3）． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质以及绝对值的化简，三角形的三边关系的应用，解题的关键在于根据二次根式的有意义的条件，利用绝对值化简二次根式． （1）根据二次根式被开方数非负的性质回答即可； （2）根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，根据二次根式的性质进行化简计算； （3）根据三角形三边关系确定和的正负性，再对二次根式进行化简计算． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：； （2）由（1）可知：， ， ， ； （3），b，c为的三边长， ，， ，， ． 17．材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　  =    (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，解题关键是掌握二次根式的运算法则，读懂题意，根据材料中的方法化简双重二次根式． （1）根据材料中的方法，得到且；且，即可将配方成，配方成，进而得出答案； （2）将化成，再根据，，可将配方成，即可得出答案； （3）将化成，再根据材料中的方法，化简得，，然后再代入计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：因为且， ， ， 故答案为：； 因为且， ， ， 故答案为：． （2）解： 因为且， ， ， ． （3）解：， 因为且， ， ， 因为且， ， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01二次根式的性质 目录 A题型建模·专项突破 题型一、二次根式的识别… …1 题型二、根据二次根式的定义求字母的值 .3 题型三、根据二次根式有意义条件求范围 .4 题型四、根据二次根式有意义求值… .5 题型五、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 .7 题型六、含隐含条件的参数范围化简二次根式9 题型七、复杂的复合二次根式化简… 10 B综合攻坚·能力跃升 题型建模·专项突破 题型一、二次根式的识别 1.(25-26九年级上山西临汾期中)下列式子中，不属于二次根式的是() 5 A.5 B.2N2 C.a D.6 2.(25-26七年级上黑龙江大庆·月考)下列各式中，是二次根式的是() A.√6 B.Vx2+2x+3 C.a D.阿 3.(2025八年级上江苏苏州专题练习)下列各式V(x-1,√3,7，√+1中是二次根式的个数有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(25-26九年级上四川遂宁·期中)下列式子中，不一定是二次根式的是( A.√12 B.Vx2-2xy+y2 C.x-1 D.V-2)x(-3) 题型二、根据二次根式的定义求字母的值 5.(25-26八年级上·全国单元测试)已知V18m是整数，则正整数m的最小值是() A.1 B.2 C.3 D.4 1/7 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(24-25八年级下江西赣州月考)已知√2025-a是正整数，则整数a的最大值为() A.2025 B.2024 C.2 D.1 7.(2425八年级下甘肃甘南月考)如果V3+2m是一个正整数，则整数m的值可以是() A.0 B.3 C.-6 D.-2 8.(25-26八年级上贵州铜仁期中)已知a是正整数，且V31-a的值是整数，则正整数a所有可能的值 的和为() A.136 B.131 C.100 D.94 题型三、根据二次根式有意义条件求范围 9.(25-26九年级上·吉林长春期末)若√x-3在实数范围内有意义，则x的取值范围是() A.x2-3 B.x≥3 C.x*-3 D.x≠3 2 10.(25-26八年级上~重庆期中)若代数式x+3有意义，则x的取值范围是（） A.x>-3 B.x=-3 C.x*-3 D.x≥-3 11.(2425八年级上·贵州铜仁期末)若二次根式√6-2x在实数范围内有意义，则x的取值范围是 12.(25-26八年级上四川达州月考)若代数式Vx+2+3 「x+1在实数范围内有意义，则的取值范围是 题型四、根据二次根式有意义求值 13.(25-26八年级上湖南常德期中)若V-1+V2-y=0,则x-y的值为 14.(25-26八年级上湖南永州期中)若y=-1+-x,则x2025+2025”=一。 15.(25-26八年级上·四川成都期中)若y=2√x-2+V2-x+8,则y的平方根为 16.(25-26七年级上山东东营·月考)已知y=√2-x+5Vx-2+3，,则x的算术平方根是 题型五、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 17.当2<a<3时，化简：la-2-Va-3)2=一. 18.已知△ABC的三边分别为2，x,5,化简V2-6x+9+x-7=_ 217 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示： 上 a b o 化简：-v匠-b+c= 20.(25-26八年级上湖南永州期中)【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答 下面的问题.（本题10分） 化简：(N-3x)2-1-. 解：险合条件1-3x≥0·解得x 3 所以1-x>0」 所以原式=(1-3x)-(1-x)=1-3x-1+x=-2x 【启发应用】(1)按照上面的解法，试化简：√2-8x+16-(3-x)2. 【类比迁移】(2)实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简VB+V(a-b-b-d。 b 0 a 题型六、含隐含条件的参数范围化简二次根式 21.(25-26八年级上上海月考)化简：-a1 22.(25-26八年级上·上海月考)化简二次根式(a-a一 23.(25-26八年级上：上海月考)化简：当ab<0时，V24a2b3= 24.(25-26八年级上·上海期中)把(a-b)1 。一b根号外面的因式移到根号里面，化成最简二次根式， 正确的结果是 题型七、复杂的复合二次根式化简 25.阅读材料 把根式√x±2√少进行化简，若能找到两个数m、n,是m2+n2=x且mn=,则把x±2下变成 m2+n2±2mm=(m±n)开方，从而使得Vx±2√y化简， 3/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如：3+2w2=+2w2+2=+2x1x2+2=+2=1+2=1+2 解答问题： (1)填空：V5+26=一，V7-45= 2)V3-22+V5-2√6+V7-212+V9-2√20 26.有这样一类题目：将√a±2v万化简，如果你能找到两个数m、n,使m2+n2=a且mn=V万，则将 a±2Vb将变成m2+n2±2mn,即变成(m±n)开方，从而使得Va±2Wb化简. 例如，5+26=3+2+26=(5+W2+232=(3+2), 5+26=3+2}-3+2 请仿照上例解下列问题： (1)V8-215; (2V8-√48. 27观察、思考、解答： (2-1-(2-2x1×V2+12=2-22+1=3-22 反之3-22=2-22+1=(2- .3-22=2-1月 V3-2W2=√2-1 (1)仿上例，化简：V6-2W5=一，√7-√48=」 (2)若Va+2万=√m+Vn,则m、n与ab的关系是什么？并说明理由： 28.像V4-2√5，√W48-√45，这样的根式叫做复合二次根式.有一些复合二次根式可以借助构造完全平方 式进行化简： 如：4-25-5-23+1=W5-2x5x1+P-5-1=5-1, 再如：5+26=5+26+2-+25x2+2=W5+2-5+2, 请用上述方法探索并解决下列问题： 417 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)化简：V9+214=_ (2)化简：V8-4V5= 3)若2m-n=k-6W2,且k,m,n为正整数，求k的值. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.下列各式中，一定是二次根式的是() A.2 B.3 C.a+1 D.5 2,使得二次根式有意义的x的取值范围是( A.x>-1且x≠0B.x<-1 C.x2-1 D.x≠-1 3.若3,4，n为三角形的三边长，则化简V1-n)+(7-n'的结果为() A.6 B.-6 C.2n-8 D.8-2n 4.已知a>b,化简二次根式√-ab3的正确结果是() A.bab B.√-ab C.-bab D.-bab 5,已知y=Vx-8+V8-x+5,则x+y的平方根为() A.±5 B.8 C.13 D.±V13 6.实数a,b在数轴上的位置如图所示，则V仍-a}+(b-al化简的结果是() a b -1 0 1 A.0 B.2b c.-2a D.2b-2a 二、填空题 7.要使代数式 一3有意义，则x取值范围为 8.已知V17-n是整数，则满足条件的最小正整数n的值为 5/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.已知b=Va-12+V12-a+8,则a-b的算术平方根为 I-b 10.已知b>0'化简二次根式a。的正确结果是 ll.己知m,n是两个连续的正奇数，m<n,令a=mn,则Va+2n-√a-2m的值为一. 12.观察下列各式： 5+26=(2+3)+2V2x3=(W2)2+(W5)}+22×5=(W2+V5)2, 8+2√7=1+7)+2×7=12+（√7）2+2×1×√7=1+V7)2,….请运用以上的方法化简V7+210= 三、解答题 13.已知y=V2x-6+V6-2x+4,求x-y)225的值. 14.已知x,y,z满足x-12+Vy-5+(2-27=0 (1)求x,y,z的值： (②)以x,y,z为边能否构成直角三角形？若能构成直角三角形，请求出三角形的面积；若不能，请说明理 由. 15.阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3+22=1+√2)2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b2=(m+nW2)2其中a、b、m、n均为正整数)， 则有a+bW2=m2+2n2+2mm√2.：a=m2+2n2,b=2mn.这样小明找到了一种把部分a+b√2的式子化为 平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： ()当a、b、m、n均为正整数时，若a+bW3=(m+3),用含m、n的式子分别表示a、b,得：a=-, b二： (②)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：一+_V5=(_十_V5): (3)化简V14+6√5 16.阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：（V-2x-1-x, 解：隐含条件1-2x≥0：解得： 21 .1-x>0, 617 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 原式=(1-2x)-(1-x)=1-2x-1+x=-x 【启发应用】 (1)按照上面的解法，、 x-22-(1-x)隐含的条件是：x (2)按照上面的解法，试化简V(x-2)2-(1-x)2」 【类比迁移】 (3)已知a,b,c为△ABC的三边长.化简：V(a-b-c2+Vb+a-c). 17.材料：如何将双重二次根式√a±2Vb(a>0,b>0,a±2√b>0)化简呢？如能找到两个数m,n (m>0,n>0),使得(Nm)+(N万)2=a,即m+n=a,且使mn=万，即mn=b,那么 a士2=Wm)+Wm}士2mn=(m士n},Va士2万=Vm±风，双重二次根式得以化简. 例如化简：√3±2√2， 因为3=1+2且2=1×2， .3±2V2=()2+(W2)2±2×√2. V3±2W2=|1±V2=v2±1 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成Va±2Wb的形式，且能找到m,n(m>0,n>0),使得 m+n=a,且mn=b,那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式. 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：√5±2√6=√12±2√35= (2)化简：V9±6√2： 3)计算：V3-V5+V2-万 717