精品解析：湖南株洲市第十三中学2026届高三下学期高考适应性考试（一）数学试题

株洲市第十三中学2026届高考适应性考试（一） 数 学 满分150分， 考试时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足（其中i是虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数（且）是奇函数，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 4. 椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上一点且满足，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 5. 已知函数的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点，则（ ） A. B. 1 C. －1 D. 6. 已知数列满足，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 设，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 在长方体中， ， 点在棱 上， 且， 点在正方形内． 若直线 与 所成的角等于直线与所成的角， 则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆，直线，为直线上一动点，过点作圆的两条切线为切点，则（ ） A. 点到圆心的最小距离为 B. 线段长度的最小值为 C. 的最小值为 D. 存在点，使得的面积为 10. 设是一次随机试验中的两个事件，且则（ ） A. 相互独立 B. C. D. 11. 我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为，和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（ ） A. B. C. ，其中 D. 函数的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则等于___________. 13. 已知函数有两个零点，求的取值范围______. 14. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下:若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.8，乙每次投篮的命中率均为0.6 . 由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、 乙的概率各为0.5 . 则第次投篮的人是甲的概率是_____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 某公司计划对A产品进行定价，前期针对A产品的售价以及相应的市场份额进行调研，所得数据如下表（1）所示.根据前期的销售情况，公司征求了所有员工对产品定价的看法，所得数据如表（2）所示 表（一） A产品售价x（千元） 22 31 40 A产品所占市场份额y 0.5 0.3 0.08 表（2） 认为定价应该超过3000元 认为定价不能超过3000元 40岁以上员工（含40岁） 100 50 40岁以下员工 150 150 （1）根据表（1）数据建立A产品所占市场份额y与定价x之间的回归直线方程（回归直线方程的斜率和截距均保留两位有效数字）； （2）根据表（2）中的数据，依据的独立性检验，能否认为产品定价的高低与员工的年龄具有相关性？ （3）若按照年龄进行分层抽样，从表（2）中认为定价应该超过3000元的员工中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记40岁以下员工的人数为X，求X的分布列以及数学期望. 参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 在平行四边形中，，为的中点，将等边沿折起，连接，，且． （1）求证：平面； （2）点在线段上，且平面与平面所成角的余弦值为，求． 18. 已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，且，离心率为，为椭圆的右焦点，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）过且斜率为1的直线交椭圆于、两点，求的面积； （3）设是椭圆上不同于的一点，直线、与直线分别交于点、.证明：以线段为直径的圆过定点，并求出定点的坐标. 19. 已知函数． （1）当时，求函数在区间上的最小值； （2）讨论函数的极值点个数； （3）当函数无极值点时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市第十三中学2026届高考适应性考试（一） 数 学 满分150分， 考试时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解出集合，再根据交集含义即可. 【详解】或， ，则， 故选：C. 2. 若复数满足（其中i是虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算法则，计算出，可得，所以的虚部为. 【详解】，， ， 所以的虚部为. 故选：A. 3. 已知函数（且）是奇函数，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数定义，可得，进而利用奇函数定义验证求解即可. 【详解】因为函数是奇函数，定义域为， 所以， 即，即，又，故解得， 此时， 则， 所以函数是奇函数，满足题意， 所以. 故选：B. 4. 椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上一点且满足，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆定义和勾股定理求出的值，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】由题意可得，所以， 根据椭圆定义有：， 两边同时平方得：，① 因为，所以， 根据勾股定理可得，② 将②代入①中得，解得， 所以； 故选：C 5. 已知函数的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点，则（ ） A. B. 1 C. －1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过图象经过点列方程求出，进而可得的解析式，再代入计算即可. 【详解】由已知得， 所以， 又图象经过点， 则，即， 又为单调减区间上的点， 为单调增区间上的点，且在一个周期内， 所以， 两式相减得，所以，又， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 6. 已知数列满足，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得到，则数列的奇数项和偶数项是等比数列，然后利用等比数列前n项和公式求解. 【详解】因为数列满足， 当时，， 当,，又，两式相除可得， 所以数列的奇数项是以1为首项，以2为公比的等比数列， 数列的偶数项是以2为首项，以2为公比的等比数列， 所以， ， 故选：D 7. 设，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，再结合平面向量的性质与双曲线的定义可得，，再根据勾股定理列式求解决即可. 【详解】∵为圆上的点，， ，∴是的中点， 又是的中点，，且， 又，， 是圆的切线，， 又，， 故，离心率.      故选：D 8. 在长方体中， ， 点在棱 上， 且， 点在正方形内． 若直线 与 所成的角等于直线与所成的角， 则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用坐标法，利用条件可得点的轨迹方程，再利用圆的性质即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 设，则， ∴， ， ∴， ∴， 故点的轨迹是在平面上以为圆心，以为半径的圆在正方形内的部分圆， 由圆的性质可得. 故选：A. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆，直线，为直线上一动点，过点作圆的两条切线为切点，则（ ） A. 点到圆心的最小距离为 B. 线段长度的最小值为 C. 的最小值为 D. 存在点，使得的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系，可知当与直线垂直时，点到圆心的距离最小，根据点到直线的距离即可判断A是否正确；在直角三角形中，，在结合选项A，即可判断B是否正确；设，在直角三角形中，求出，根据二倍角公式可得，再根据数量积公式可得，结合对勾函数的性质，即可求出的最小值，进而判断C是否正确；根据题意可求当且仅当与直线垂直时弦长度的最小值，此时的面积最小，最小值为，由此即可判断D是否正确. 【详解】要使得点到圆心的最小距离，即与直线垂直时，即到直线的距离，即，故A正确； 由图可知，在直角三角形中，，要使得线段长度的最小，则取最小值， 由选项A可知，长度的最小值为，故B错误； 设， 又， 又在直角三角形中，， 所以， 所以 令 又，所以，又函数，在区间上单调递增， 所以，即的最小值为，故C正确； 圆的圆心，半径， 又点到直线的距离，即； 由切线长定理知，直线垂直平分线段，得， 当且仅当与直线垂直时取“”，即弦长度的最小值为， 此时，设的中点为， 则，所以， 所以的面积的最小值为：， 又，所以存在点P，使得的面积为，故D正确. 故选：ACD. 10. 设是一次随机试验中的两个事件，且则（ ） A. 相互独立 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据相互独立事件、和事件、条件概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，，所以， ， ， 所以，即， 所以相互独立，A选项正确. 则相互独立，相互独立，相互独立， 所以 ，所以B选项正确. ，所以C选项错误. ， ， 所以D选项错误. 故选：AB 11. 我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为，和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（ ） A. B. C. ，其中 D. 函数的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】选项A根据零点存在性定理可得；选项B由指对化对数可得；选项C将代入可判断错误；选项D由根据导数判断，且，在上单调递增，进而可判断错误. 【详解】选项A：由得，设， 因单调递增，则为的唯一零点， 因为，故，A正确； 选项B：由题意，所以，故，即，故B正确； 选项C：若，其中，则， 故， 由选项B可知，因，显然不成立，故C错误； 选项D：由，得， 设，则， 故在上单调递增，因，即，故， 故，且使得在上有，此时， 在上单调递增，故不是的最小值，故D错误， 故选：AB 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则等于___________. 【答案】 【解析】 【分析】要求，即求展开式中项的系数，进而根据二项式定理求解即可； 【详解】解:因为， 对于，其展开式通项为. 所以，中含的项为， 所以展开式中含的项系数为. 故答案为：. 13. 已知函数有两个零点，求的取值范围______. 【答案】 【解析】 【分析】由函数求导后，对导函数中的参数进行分类讨论，在时，通过判断函数的单调性求得其最小值，依题需使推得；接着分段说明函数在区间和上各有一个零点即得. 【详解】由求导可得： 当时，，在上单调递增，所以至多有一个零点． 当时，由可得：，由可得：，故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，取得最小值， ． 令，，则，所以，在上单调递减． 又，所以要使，即，则． 又因为， 所以在上有一个零点． 又 令，，则，所以在上单调递增， 因为，所以，所以，所以． 所以在上也有一个零点． 综上所述，a的取值范围是． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解； （4）分类讨论法：通过对函数求导，根据参数分类讨论函数的单调性和最值，结合函数简图进行推理求解. 14. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下:若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.8，乙每次投篮的命中率均为0.6 . 由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、 乙的概率各为0.5 . 则第次投篮的人是甲的概率是_____. 【答案】 【解析】 【分析】记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，设，利用全概率公式求得，再构造等比数列即可得答案. 【详解】记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 设，则， 则， 于是，， 由，得，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 则，即， 所以第次投篮的人是甲的概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：把投篮是甲的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用全概率公式列式是求解问题的关键. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）由已知利用余弦定理可求，结合范围，即可得解的值． （2）由已知利用三角形面积公式可得，由余弦定理可得，即可得解三角形的周长． 【小问1详解】 ． ， ，． 【小问2详解】 ，，由三角形面积公式可得：，解得， 由余弦定理可得：，即， 解得：， 三角形的周长为． 16. 某公司计划对A产品进行定价，前期针对A产品的售价以及相应的市场份额进行调研，所得数据如下表（1）所示.根据前期的销售情况，公司征求了所有员工对产品定价的看法，所得数据如表（2）所示 表（一） A产品售价x（千元） 22 31 40 A产品所占市场份额y 0.5 0.3 0.08 表（2） 认为定价应该超过3000元 认为定价不能超过3000元 40岁以上员工（含40岁） 100 50 40岁以下员工 150 150 （1）根据表（1）数据建立A产品所占市场份额y与定价x之间的回归直线方程（回归直线方程的斜率和截距均保留两位有效数字）； （2）根据表（2）中的数据，依据的独立性检验，能否认为产品定价的高低与员工的年龄具有相关性？ （3）若按照年龄进行分层抽样，从表（2）中认为定价应该超过3000元的员工中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记40岁以下员工的人数为X，求X的分布列以及数学期望. 参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）; （2）有99%的把握认为产品定价与员工年龄有关; （3）分布列见解析，数学期望为 【解析】 【分析】（1）直接进行数据分析，套公式求出回归方程；（2）套公式计算，对着参数下结论；（3）利用古典概型的概率公式直接计算. 【小问1详解】 由题意可得：，. 所以， . 所以. 即回归直线方程为. 【小问2详解】 由题意进行数据分析可得： . 所以有99%的把握认为产品定价与员工年龄有关； 【小问3详解】 依题意，按分层抽样随机抽取10人，40岁以上员工（含40岁）有4人，40岁以下员工有6人，故的可能取值为， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 故. 17. 在平行四边形中，，为的中点，将等边沿折起，连接，，且． （1）求证：平面； （2）点在线段上，且平面与平面所成角的余弦值为，求． 【答案】（1） 依题意，，，在中，， 在中，，， 则， 又，平面， 所以平面. （2）2 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定推理得证. （2）取的中点，作，以为原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量法列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，则， 由（1）知平面， 而平面，则， 又平面， 于是平面， 过作，则平面， 直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设， 则， 设平面的法向量为， 则， 取，得， 而平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为， 则， 而，解得，则， 所以. 18. 已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，且，离心率为，为椭圆的右焦点，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）过且斜率为1的直线交椭圆于、两点，求的面积； （3）设是椭圆上不同于的一点，直线、与直线分别交于点、.证明：以线段为直径的圆过定点，并求出定点的坐标. 【答案】（1） （2） （3）证明:由（1）得， 设，则，即； 直线，直线， 点纵坐标点纵坐标， 即， 以为直径的圆的方程为:， 由对称性可知:以为直径的圆所过定点位于轴上， 设 ，， ，解得或， 以为直径的圆过点. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质可求得的值，继而求得椭圆方程； （2）联立直线和椭圆方程，继而求得弦的长，利用点的直线的距离公式，求得三角形的高，利用面积公式计算即可； （3）设点，求得直线的方程，令，求得，的坐标，表示出圆的方程即可证明. 【小问1详解】 由题意知，，则， 又离心率，所以， 则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题知，, 则过且斜率为1的直线方程为，即， 联立，消去得， 设， 则， 则 ， 又点到直线的距离 ， 所以的面积. 【小问3详解】 略 19. 已知函数． （1）当时，求函数在区间上的最小值； （2）讨论函数的极值点个数； （3）当函数无极值点时，求证：． 【答案】（1） （2） 当时，有一个极值点；当时，有两个极值点；当时，没有极值点． （3） 先证明当时，． 设，则， 记， 则在上单调递减， 当时，，则在上单调递减，， 即当时，不等式成立． 由（2）知，当函数无极值点时，，则， 在不等式中，取，则有， 即不等式成立． 【解析】 【分析】（1）对求导，构造函数后再求导，由二次导数得到在上单调递减，再由零点存在定理确定的最小值. （2）求导后令得，再利用换元法设，得到，构造函数，利用导数分析其单调性和极值，画出图像，再由方程根的个数讨论函数零点的个数. （3）先证明当时，，构造函数，求导后分析单调性得到最小值可证明之；再由（2）知，当函数无极值点时，，则，取最小值取，则有，即可证明. 【小问1详解】 当时，， 则， 令，则， 因为，所以．则在上单调递减， 又因为， 所以使得在上单调递增，在上单调递减． 因此，在上的最小值是与两者中的最小者． 因为， 所以函数在上的最小值为． 【小问2详解】 ， 由，解得， 易知函数在上单调递增，且值域为， 令，由，解得， 设，则， 因为当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减． 根据时，， 得的大致图像如图所示． 因此有： （ⅰ）当时，方程无解，即无零点，没有极值点； （ⅱ）当时，， 设，则，令， 则在上时单调递增函数，即， 得，此时没有极值点； （ⅲ）当时，方程有两个解，即有两个零点，有两个极值点； （ⅳ）当时，方程有一个解，即有一个零点，有一个极值点． 综上，当时，有一个极值点；当时，有两个极值点；当时，没有极值点． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛： （1）求函数在给定区间上的最值时，通常求导，利用导数的单调性分析最值，若在给定区间上不是单调的，常用零点存在定理分析其单调性，再比较区间的端点值找到最值. （2）讨论函数的极值点个数值，通常转化为分离参数，转化为两函数图像交点的个数或两函数相等时方程根的个数问题.用导数分析其单调性，求最值，再数形结合分析交点个数或方程根个数. （3）证明不等式成立问题时可采用构造函数，找到不等式一边的最小值大于另一边，或最大值小于另一边，即函数不等式恒成立问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $