14.2.5 三角形全等的判定（HL）（导学练） 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“三角形全等的判定（HL）”核心知识点，通过回顾SSS、SAS等已有判定方法，以“直角三角形是否有更简便全等判定方法”为问题驱动，搭建从旧知到新知的学习支架。 此资料亮点在于采用“平移叠合法”引导学生动手操作，结合“垂线唯一性”等基本事实验证HL定理，培养几何直观与推理意识。分层练习题涵盖基础推理、能力提升及期末真题，助力学生用数学语言规范表达，既帮助学生深化理解，也为教师提供清晰教学路径。

14.2.5 三角形全等的判定（HL） 【学习重、难点】 1.探索并掌握“斜边、直角边”（HL）定理． 2.“斜边、直角边”定理的探索过程,选用适当的方法判定直角三角形全等． 【自主预习】阅读教材P41-P43，完成以下问题： 1.判定直角三角形全等的方法 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等.(简写成“斜边、直角边”或“HL”). 几何语言 在和中， ∴≌(). 【课堂探究】阅读教材P11-P13，完成以下问题： 引导语：前面学习的三角形全等的判定方法（如SSS、SAS、ASA、AAS），对满足条件的三角形都是适用的，同样也适用于直角三角形，因为两个直角三角形的直角相等，所以对于两个直角三角形，满足一直角边和它相对(或相邻)的锐角分别相等，或斜边和一锐角分别相等，或两直角边分别相等，这两个直角三角形就全等了.那么，判定两个直角三角形全等，会不会有更简便的方法呢？ 问题：对于两个直角三角形，除直角相等的条件外，还需要满足几个条件，这两个直角三角形才能全等？ 因为直角已占一个条件，只需要再找两个条件即可. 可以是：一条边和一个锐角分别相等 → ASA或AAS 两条直角边分别相等 → SAS 那如果只知道斜边和一条直角边分别相等，能判定全等吗？这就是我们今天要探究的问题. 追问1：斜边和一条直角边确定了，直角三角形就能唯一确定吗？ 能，让我们用图形运动来看一看. 平移叠合法： 任务：任意画一个Rt△ABC，使∠C = 90°，再画一个直角，使∠ = 90°，再截取= ， =（即斜边和一条直角边分别相等）.然后把画好的Rt△ABC剪下来放到Rt△. 叠合演示： 平移Rt△ABC，使直角顶点C'与C重合，并使A'C'与AC落在同一条直线上； 因为AC = ，所以点A与重合； ∠C = ∠= 90°，所以BC⊥AC，⊥； 根据“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”（基本事实），BC和是同一条直线； 又因为AB = ，点B和 到点A的距离相等，且在同一侧，所以B与 重合. 追问2：通过叠合演示，你发现了什么？ 结论： 三个顶点都重合 → 两个三角形全等. 猜想：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 验证说明： 上述叠合演示用平移运动的方式，从“垂线的唯一性”和“两点确定一条直线”出发，说明了满足条件的两个三角形能够完全重合.因此，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等成立. 直角三角形全等的判定定理： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 定理 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”) 图示 符号语言 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中 ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL) 想一想：为什么HL中的两个条件用大括号列举时，要先写斜边再写直角边？” 目的：引导学生关注书写规范背后的逻辑——斜边是HL的核心特征，先写斜边体现方法辨识度 注意：（1）在“HL”中，“H”代表斜边，“L”代表直角边，用大括号列举条件时顺序不要混淆，先写斜边再写直角边． （2）用“HL”证明两个直角三角形全等，在书写时，两个三角形符号“△”前要加上“Rt”． （3）不难发现，“HL”是“SSA”的一种特殊情况，对于一般三角形，“SSA”是不能判定全等的，但直角三角形可以，所以“HL”是判定直角三角形全等的特有方法． 除此之外，“SSS”(一般不出现)“SAS”“ASA”“AAS”也适用于判定直角三角形全等． 【基础规范推理】 如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC. 求证：△ABC ≌ △DEF. 证明：∵BF=EC， ∴BF+ FC =EC+ CF （等式的性质）， 即 BC = EF . ∵∠A=∠D=90°， ∴△ABC和△DEF都是直角三角形. 在Rt△ABC和Rt△DEF 中， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF( HL ). 【A基础过关】 1.下列命题中，正确的有(C) ①两直角边对应相等的两个直角三角形全等； ②两锐角对应相等的两个直角三角形全等； ③斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等； ④一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图，已知AB＝CD，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE＝CF，则图中的全等三角形有_3对______ 3.如图，AD是△ABC的BC边上的高，补充下列一个条件后，能判定△ADB≌△ADC的有__①②③④_________ 4.如图，已知，，，与交于点. (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 证明（1）：∵， ∴，即． 在和中， ∴≌()． （2）∵，， ∴． 由（1）知≌， ∴． ∴． ∴． 5.如图，在△ABC中，CB=AB,∠ABC=90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在边 BC 上，且AE=CF. (1)求证：Rt△ABE≌Rt△ CBF (2)若∠CAE=30°，求∠ACF 的度数. 解： （1）证明： ∵ ∠ABC=90°， ∴ ∠ABE=∠CBF=90°． 在 Rt△ABE 和 Rt△CBF 中， ∴ Rt△ABE ≌ Rt△CBF（HL）． （2）解： ∵ CB=AB，∠ABC=90°， ∴ △ABC 是等腰直角三角形， ∴ ∠BAC＝∠BCA＝45°． ∵ ∠CAE＝30°， ∴ ∠BAE＝∠BAC－∠CAE＝45°－30°＝15°。 由（1）知 Rt△ABE ≌ Rt△CBF， ∴ ∠BCF＝∠BAE＝15°． ∴ ∠ACF＝∠BCA＋∠BCF＝45°＋15°＝60°． 6.（作图题）人教版八年级上册教材P42“探究5”中，我们学习了用尺规作图作出一个直角三角形，使斜边和一条直角边分别等于已知线段．请回顾作图步骤，回答下列问题： （1）已知：线段a，b（a>b），求作：Rt△ABC，使斜边AB=a，直角边AC=b ． （2）在作图中，画弧的依据是什么？用到了哪个判定定理？ （1）作图步骤： ① 作直线l，在l上取点C； ② 过点C作l的垂线m； ③ 在l上截取CA=b； ④ 以A为圆心、a为半径画弧，交m于点B； ⑤ 连接AB，则Rt△ABC即为所求． （2）画弧的依据是“到定点距离等于定长的点在一个圆上”，实际用到的判定定理是HL——任意两个按此作法作出的直角三角形，斜边均为a、直角边均为b，根据HL定理它们全等，说明该直角三角形唯一确定． 【链接期末真题】 11.（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，，垂足为，，点在上，，，依据上述条件可以判定．这种判定三角形全等的依据是（ D   ） A． B． C． D． 12.（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，已知，，即可证明，全等的依据是___HL_____．（用字母表示） 【课后反思】 我的收获？ 我的疑问？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.2.5 三角形全等的判定（HL） 【学习重、难点】 1.探索并掌握“斜边、直角边”（HL）定理． 2.“斜边、直角边”定理的探索过程,选用适当的方法判定直角三角形全等． 【自主预习】阅读教材P41-P43，完成以下问题： 1.判定直角三角形全等的方法 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等.(简写成“斜边、直角边”或“HL”). 几何语言 在和中， ∴≌(). 【课堂探究】阅读教材P11-P13，完成以下问题： 引导语：前面学习的三角形全等的判定方法（如SSS、SAS、ASA、AAS），对满足条件的三角形都是适用的，同样也适用于直角三角形，因为两个直角三角形的直角相等，所以对于两个直角三角形，满足一直角边和它相对(或相邻)的锐角分别相等，或斜边和一锐角分别相等，或两直角边分别相等，这两个直角三角形就全等了.那么，判定两个直角三角形全等，会不会有更简便的方法呢？ 问题：对于两个直角三角形，除直角相等的条件外，还需要满足几个条件，这两个直角三角形才能全等？ 因为直角已占一个条件，只需要再找两个条件即可. 可以是：一条边和一个锐角分别相等 → ASA或AAS 两条直角边分别相等 → SAS 那如果只知道斜边和一条直角边分别相等，能判定全等吗？这就是我们今天要探究的问题. 追问1：斜边和一条直角边确定了，直角三角形就能唯一确定吗？ 能，让我们用图形运动来看一看. 平移叠合法： 任务：任意画一个Rt△ABC，使∠C = 90°，再画一个直角，使∠ = 90°，再截取= ， =（即斜边和一条直角边分别相等）.然后把画好的Rt△ABC剪下来放到Rt△. 叠合演示： 平移Rt△ABC，使直角顶点C'与C重合，并使A'C'与AC落在同一条直线上； 因为AC = ，所以点A与重合； ∠C = ∠= 90°，所以BC⊥AC，⊥； 根据“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”（基本事实），BC和是同一条直线； 又因为AB = ，点B和 到点A的距离相等，且在同一侧，所以B与 重合. 追问2：通过叠合演示，你发现了什么？ 结论： 三个顶点都重合 → 两个三角形全等. 猜想：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 验证说明： 上述叠合演示用平移运动的方式，从“垂线的唯一性”和“两点确定一条直线”出发，说明了满足条件的两个三角形能够完全重合.因此，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等成立. 直角三角形全等的判定定理： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 定理 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”) 图示 符号语言 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中 ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL) 想一想：为什么HL中的两个条件用大括号列举时，要先写斜边再写直角边？” 目的：引导学生关注书写规范背后的逻辑——斜边是HL的核心特征，先写斜边体现方法辨识度 注意：（1）在“HL”中，“H”代表斜边，“L”代表直角边，用大括号列举条件时顺序不要混淆，先写斜边再写直角边． （2）用“HL”证明两个直角三角形全等，在书写时，两个三角形符号“△”前要加上“Rt”． （3）不难发现，“HL”是“SSA”的一种特殊情况，对于一般三角形，“SSA”是不能判定全等的，但直角三角形可以，所以“HL”是判定直角三角形全等的特有方法． 除此之外，“SSS”(一般不出现)“SAS”“ASA”“AAS”也适用于判定直角三角形全等． 【基础规范推理】 如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC. 求证：△ABC ≌ △DEF. 证明：∵BF=EC， ∴BF+ FC =EC+ CF （等式的性质）， 即 BC = EF . ∵∠A=∠D=90°， ∴△ABC和△DEF都是直角三角形. 在Rt△ABC和Rt△DEF 中， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF( HL ). 【A基础过关】 1.下列命题中，正确的有(C) ①两直角边对应相等的两个直角三角形全等； ②两锐角对应相等的两个直角三角形全等； ③斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等； ④一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图，已知AB＝CD，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE＝CF，则图中的全等三角形有_3对______ 3.如图，AD是△ABC的BC边上的高，补充下列一个条件后，能判定△ADB≌△ADC的有__①②③④_________ 4.如图，已知，，，与交于点. (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 证明（1）：∵， ∴，即． 在和中， ∴≌()． （2）∵，， ∴． 由（1）知≌， ∴． ∴． ∴． 5.如图，在△ABC中，CB=AB,∠ABC=90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在边 BC 上，且AE=CF. (1)求证：Rt△ABE≌Rt△ CBF (2)若∠CAE=30°，求∠ACF 的度数. 解： （1）证明： ∵ ∠ABC=90°， ∴ ∠ABE=∠CBF=90°． 在 Rt△ABE 和 Rt△CBF 中， ∴ Rt△ABE ≌ Rt△CBF（HL）． （2）解： ∵ CB=AB，∠ABC=90°， ∴ △ABC 是等腰直角三角形， ∴ ∠BAC＝∠BCA＝45°． ∵ ∠CAE＝30°， ∴ ∠BAE＝∠BAC－∠CAE＝45°－30°＝15°。 由（1）知 Rt△ABE ≌ Rt△CBF， ∴ ∠BCF＝∠BAE＝15°． ∴ ∠ACF＝∠BCA＋∠BCF＝45°＋15°＝60°． 6.（作图题）人教版八年级上册教材P42“探究5”中，我们学习了用尺规作图作出一个直角三角形，使斜边和一条直角边分别等于已知线段．请回顾作图步骤，回答下列问题： （1）已知：线段a，b（a>b），求作：Rt△ABC，使斜边AB=a，直角边AC=b ． （2）在作图中，画弧的依据是什么？用到了哪个判定定理？ （1）作图步骤： ① 作直线l，在l上取点C； ② 过点C作l的垂线m； ③ 在l上截取CA=b； ④ 以A为圆心、a为半径画弧，交m于点B； ⑤ 连接AB，则Rt△ABC即为所求． （2）画弧的依据是“到定点距离等于定长的点在一个圆上”，实际用到的判定定理是HL——任意两个按此作法作出的直角三角形，斜边均为a、直角边均为b，根据HL定理它们全等，说明该直角三角形唯一确定． 【B能力提升】 7.如图，, ,,.那么平分吗?证明你的结论． 证明：结论：平分，理由如下 ∵,， ∴. ∵,,， ∴. 在和中， ∴≌()，∴. 在和中， ∴≌()，∴. 8.如图，在中，，，为上一点，且于点，，，求的周长 解∵，， ∴， 在和中，， ∴≌()， ∴， ∵， ∴， ∴的周长 ． ∵ ∴的周长是 9.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°,连接BD，CE⊥BD于点E，AB=CE，BD=CD.若 AD=5，CD=7，则BE= 2 ． 10.如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点C、B出发，小明沿CD行走，小芳沿BA行走，并同时到达点D、A。若AC⊥BC，DB⊥BC，则AC与DB相等吗？为什么？ 解： AC＝DB．理由如下： ∵ 小明和小芳速度相同，同时出发，同时到达， ∴ 两人行走的路程相同，即 CD＝BA． ∵ AC⊥BC，DB⊥BC， ∴ ∠ACB＝∠DBC＝90°。 在 Rt△ACB 和 Rt△DBC 中， ​ ∴ Rt△ACB ≌ Rt△DBC（HL）， ∴ AC＝DB． 【链接期末真题】 11.（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，，垂足为，，点在上，，，依据上述条件可以判定．这种判定三角形全等的依据是（ D   ） A． B． C． D． 12.（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，已知，，即可证明，全等的依据是___HL_____．（用字母表示） 【课后反思】 我的收获？ 我的疑问？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $14.2.5三角形全等的判定（HL) 【学习重、难点】 1.探索并掌握“斜边、直角边”(L)定理. 2.“斜边、直角边”定理的探索过程，选用适当的方法判定直 角三角形全等。 【自主预习】阅读教材P41-P43,完成以下问题： 1.判定直角三角形全等的方法 和 边分别相等的两个直角三角形全等.（简 写成“斜边、直角边”或“HL”) 几何语言 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， （AB=AB() (BC= (直角边) .Rt△ABC≌Rt△AB'C'( 【课堂探究】阅读教材P11-P13,完成以下问题： 引导语：前面学习的三角形全等的判定方法（如SSS、 SAS、ASA、AAS),对满足条件的三角形都是适用的， 同样也适用于直角三角形，因为两个直角三角形的直角相 等，所以对于两个直角三角形，满足一直角边和它相对（或 相邻)的锐角分别相等，或斜边和一锐角分别相等，或两直 角边分别相等，这两个直角三角形就全等了.那么，判定两 个直角三角形全等，会不会有更简便的方法呢？ 问题：对于两个直角三角形，除直角相等的条件外，还需 要满足几个条件，这两个直角三角形才能全等？ 因为直角己占一个条件，只需要再找个条件即可. 可以是：一条边和 分别相等→ASA或AAS 两条」 分别相等SAS 那如果只知道斜边和一条直角边分别相等，能判定全等吗？ 这就是我们今天要探究的问题， 追问1：斜边和一条直角边确定了，直角三角形就能唯一确 定吗？ 能，让我们用图形运动来看一看： 平移叠合法： 任务：任意画一个Rt△ABC,使∠C=90°，再画一个直角， 使∠C'=90°，再截取B'C'=BC,AB'=AB(即斜边和一 条直角边分别相等).然后把画好的Rt△ABC剪下来放到Rt △A'B'C. 叠合演示： 平移Rt△ABC,使直角顶点C与C重合，并使A'C与AC 落在同一条直线上； 因为AC=A'C',所以点A与A'重合： ∠C=∠C=90°，所以BC⊥AC,B'C⊥A'C': 根据“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”（基本事 实)，BC和BC是同一条直线： 又因为AB=AB',点B和B到点A的距离相等，且在同 一侧，所以B与B重合 追问2：通过叠合演示，你发现了什么？ 结论：三个顶点都一→两个三角形 猜想：斜边和一条直角边对应 的两个直角三角形全等。 验证说明：上述叠合演示用平移运动的方式，从“垂线 的唯一性”和“两点确定一条直线”出发，说明了满足条 件的两个三角形能够完全重合因此，斜边和一条直角边对 应相等的两个直角三角形全等成立 直角三角形全等的判定定理： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 定理 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全 等（可以简写成“斜边、直角边”或“亚”） 图示 符号 如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中AC=DF LAB=DE 语言 ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL) 想一想：为什么亚中的两个条件用大括号列举时，要先 写斜边再写直角边？” 目的：引导学生关注书写规范背后的逻辑一一斜边是亚 的核心特征，先写斜边体现方法辨识度 注意：(1)在“L”中，“H”代表斜边，“L”代表直角 边，用大括号列举条件时顺序不要混淆，先写斜边再写直角 边 (2)用“HL”证明两个直角三角形全等，在书写时，两个 三角形符号“△”前要加上“Rt”· (3)不难发现，“HL”是“SSA”的一种特殊情况，对于 一般三角形，“SSA”是不能判定全等的，但直角三角形可 以，所以“L”是判定直角三角形全等的特有方法. 除此之外，“SSS”(一般不出现)“SAS”“ASA”“AAS” 也适用于判定直角三角形全等. 【基础规范推理】 如图，∠A=∠D=90°，AB=DE,BF=EC. 求证：△ABC≌△DEF 证明：，BF=EC, .'BF+ =EC+ (等式的性质)， 即 ,∠A=∠D=90° ∴△ABC和△DEF都是直角三角形. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，{AB=DE ∫BC=EF ..Rt△ABC≌Rt△DEF() 【A基础过关】 1.下列命题中，正确的有() ①两直角边对应相等的两个直角三角形全等； ②两锐角对应相等的两个直角三角形全等： ③斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等： ④一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等. A.1个B.2个C.3个D.4个 2.如图，已知AB=CD,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F, AE=CF,则图中的全等三角形有对， 3.如图，AD是△ABC的BC边上的高，补充下列一个条件 后，能判定△ADB≌△ADC的有 4.如图，己知∠C=∠F=90°，AC=DF,AE=DB,BC与EF 交于点0 C (1)求证：Rt△ABC≌Rt△DEF; (2)若LA=51°，求LB0F的度数. (2) 5.如图，在△ABC中，CB=AB,∠ABC=90°，F为AB延 长线上一点，点E在边BC上，且AE=CF (I)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF (2)若∠CAE=30°，求∠ACP的度数. 6.(作图题)人教版八年级上册教材P42“探究5”中，我 们学习了用尺规作图作出一个直角三角形，使斜边和一条 直角边分别等于己知线段.请回顾作图步骤，回答下列问 题：(1)已知：线段a,b(a>b),求作：Rt△ABC,使 斜边AB=a,直角边AC-b· (2)在作图中，画弧的依据是什么？用到了哪个判定定 理？ 【B能力提升】 7.如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.那么BD 平分EF吗？证明你的结论， 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC,D为BC上一 点，且DE⊥AB于点E,DE=CD,AB-8Cm,求△DEB的 周长 9.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，连接BD,CE⊥BD于 点E,AB=CE,BD=CD.若AD=5,CD=7,则BE= 10.如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点C、B出 发，小明沿CD行走，小芳沿BA行走，并同时到达点 D、A。若AC⊥BC,DB⊥BC,则AC与DB相等吗？为 什么？ 【链接期末真题】 11.（25-26七年级下山东淄博·期末)如图，AB⊥CF, 垂足为B,AB∥DE,点E在CF上，CE=FB, AC=DF,依据上述条件可以判定△ABC≌△DEF,这种 判定三角形全等的依据是() A.AAS B.ASA C.SSS D.HL E B 12.(25-26七年级下·福建福州·期末)如图，已知 ∠ACB=∠BDA=90°，AC=BD,即可证明 △ACB≌△BDA,全等的依据是 ·(用字母表 示) 【课后反思】 我的收获？我的疑问？14.2.5三角形全等的判定（HL) 【学习重、难点】 1探索并掌握“斜边、直角边”(HL)定理. 2.“斜边、直角边”定理的探索过程，选用适当的方法判定直 角三角形全等. 【自主预习】阅读教材P41-P43,完成以下问题： 1.判定直角三角形全等的方法 斜边和一直鱼边分别相等的两个直角三角形全等.（简写成 “斜边、直角边”或“HL”): 几何语言 在Rt△ABC和Rt△A'B'C中， (AB=A'B(斜边) (BC=B'C'(直角边) .Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL). 【课堂探究】阅读教材P11P13,完成以下问题： 引导语：前面学习的三角形全等的判定方法（如SS、 SAS、ASA、AAS),对满足条件的三角形都是适用的， 同样也适用于直角三角形，因为两个直角三角形的直角相 等，所以对于两个直角三角形，满足一直角边和它相对（或 相邻)的锐角分别相等，或斜边和一锐角分别相等，或两直 角边分别相等，这两个直角三角形就全等了.那么，判定两 个直角三角形全等，会不会有更简便的方法呢？ 问题：对于两个直角三角形，除直角相等的条件外，还需 要满足几个条件，这两个直角三角形才能全等？ 因为直角已占一个条件，只需要再找两个条件即可. 可以是：一条边和一个锐角分别相等→ASA或AAS 两条直角边分别相等→SAS 那如果只知道斜边和一条直角边分别相等，能判定全等吗？ 这就是我们今天要探究的问题， 追问1：斜边和一条直角边确定了，直角三角形就能唯一确 定吗？ 能，让我们用图形运动来看一看 平移叠合法： 任务：任意画一个Rt△ABC,使∠C=90°，再画一个直角， 使∠C'=90°，再截取B'C'=BC,A'B=AB(即斜边和一 条直角边分别相等).然后把画好的Rt△ABC剪下来放到Rt △A'B'C 叠合演示： 平移Rt△ABC,使直角顶点C与C重合，并使A'C与AC 落在同一条直线上； 因为AC=A'C',所以点A与A'重合： ∠C=∠C=90°，所以BC⊥AC,B'C⊥A'C': 根据“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”（基本事 实)，BC和BC是同一条直线： 又因为AB=AB',点B和B'到点A的距离相等，且在同 一侧，所以B与B重合 追问2：通过叠合演示，你发现了什么？ 结论：三个顶点都重合→两个三角形全等. 猜想：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 验证说明：上述叠合演示用平移运动的方式，从“垂线 的唯一性”和“两点确定一条直线”出发，说明了满足条 件的两个三角形能够完全重合因此，斜边和一条直角边对 应相等的两个直角三角形全等成立 直角三角形全等的判定定理： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 定理 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全 等（可以简写成“斜边、直角边”或“亚”） 图示 如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中AC=DF (AB=DE 符号 ∴.Rt△ABC≌Rt△DEFL) 语言 想一想：为什么L中的两个条件用大括号列举时，要先 写斜边再写直角边？” 目的：引导学生关注书写规范背后的逻辑一一斜边是L 的核心特征，先写斜边体现方法辨识度 注意：(1)在“L”中，“H”代表斜边，“L”代表直角 边，用大括号列举条件时顺序不要混淆，先写斜边再写直角 边 (2)用“HL”证明两个直角三角形全等，在书写时，两个 三角形符号“△”前要加上“Rt”. (3)不难发现，“L”是“SSA”的一种特殊情况，对于 一般三角形，“SSA”是不能判定全等的，但直角三角形可 以，所以“L”是判定直角三角形全等的特有方法 除此之外，“SSS”(一般不出现)“SAS”“ASA”“AAS” 也适用于判定直角三角形全等. 【基础规范推理】 如图，∠A=∠D=90°，AB=DE,BF=EC 求证：△ABC≌△DEF 证明：BF=EC, BF+FC=EC+CF(等式的性质)， 即_BC_=EF ,∠A=∠D=90°， .△ABC和△DEF都是直角三角形. BC=EF 在Rt△ABC和Rt△DEF中， (AB DE .Rt△ABC≌Rt△DEF(Π). 【A基础过关】 1.下列命题中，正确的有(C) ①两直角边对应相等的两个直角三角形全等： ②两锐角对应相等的两个直角三角形全等； ③斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等： ④一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等. A.1个B.2个C.3个D.4个 2.如图，已知AB=CD,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F, AE=CF,则图中的全等三角形有_3对 3.如图，AD是△ABC的BC边上的高，补充下列一个条件 后，能判定△ADB2△ADC的有①②③④】 4.如图，己知LC=∠F=90°，AC=DF,AE=DB,BC与EF 交于点0 (1)求证：Rt△ABC≌Rt△DEF; (2)若LA=51°，求LB0F的度数. 证明(1)：，AE=DB, ∴，AE十EB=DB+EB,即AB=DE. 在Rt△ABC和Rt△DEF中， (AC=DF LAB=DE ∴.Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). (2),2C=90°，∠A=51°， ∴.∠ABC=∠C-∠A=90°-51°=39°. 由(1)知Rt△ABC≌Rt△DEF, ,∴.∠ABC=∠DEF ∴.∠DEF=39 ∴.∠B0F=∠ABC+∠BEF=39°+39°=78°. 5.如图，在△ABC中，CB=AB,∠ABC-90°，F为AB延 长线上一点，点E在边BC上，且AE=CF (I)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF (2)若∠CAE=30°，求∠ACF的度数. 解：(1)证明：，∠ABC=90°， ∴.∠ABE=∠CBF=90° AE=CF 在Rt△ABE和Rt△CBF中， AB=CB ∴.Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)· (2)解：CB=AB,∠ABC=90°， ∴.△ABC是等腰直角三角形， ∴.∠BAC=∠BCA=45°. ,∠CAE=30°， ∴.∠BAE=∠BAC-∠CAE=45°-30°=15°。 由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF, ∴.∠BCF=∠BAE=15°. ∴.∠ACF=∠BCA+∠BCF=45°+15°=60°. 6.(作图题)人教版八年级上册教材P42“探究5”中，我 们学习了用尺规作图作出一个直角三角形，使斜边和一条 直角边分别等于已知线段.请回顾作图步骤，回答下列问 题： (I)已知：线段a,b(a>b),求作：Rt△ABC,使斜边 AB=a,直角边ACb. (2)在作图中，画弧的依据是什么？用到了哪个判定定 理？ (1)作图步骤： ①作直线1，在1上取点C: ②过点C作1的垂线m: ③在1上截取CA式； ④以A为圆心、a为半径画弧，交m于点B; ⑤连接AB,则Rt△ABC即为所求. (2)画弧的依据是“到定点距离等于定长的点在一个圆 上”，实际用到的判定定理是L一一任意两个按此作法 作出的直角三角形，斜边均为a、直角边均为b,根据HL 定理它们全等，说明该直角三角形唯一确定. 【B能力提升】 7.如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.那么BD 平分EF吗？证明你的结论. 证明：结论：BD平分EF, 理由如下 ,BF1AC,DE⊥AC, ∴.∠AFB=LDEC=LBFG=LDEG=90° .AF=AE-EF,CE=CF-EF,AE=CF, .AF CE. 在Rt△AFB和Rt△CED中， (AB=CD LAF=CE .Rt△AFB≌Rt△CED(HL),.BF=DE LBFG=LDEG 在△BGF和△DGE中， ∠BGF=∠DGE BF=DE .△BGF≌△DGE(AAS),∴.FG=EG 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC,D为BC上一 点，且DE⊥AB于点E,DE=CD,AB=8cm,求△DEB的 周长 解，DE L AB,∠C=90°， ∴.LC=∠DEA=90°， 在Rt△ACD和Rt△AED中， (CD=DE LAD =AD' ∴.Rt△ACD≌Rt△AED(HL), .'.AC=AE, .AC=BC, ∴.AE=BC, ∴.△BDE的周长=BE+DE+BD=BE+CD+BD =BE+BC=BE+AE=AB. .AB=8cm ∴.△BDE的周长是8cm 9.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，连接BD,CE⊥BD于 点E,AB=CE,BD=CD.若AD=5,CD=7,则BE=2· 10.如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点C、B出 发，小明沿CD行走，小芳沿BA行走，并同时到达点 D、A。若AC⊥BC,DB⊥BC,则AC与DB相等吗？为 什么？ 解：AC=DB.理由如下： ,小明和小芳速度相同，同时出发，同时到达， .两人行走的路程相同，即CD=BA. ,AC⊥BC,DB⊥BC, ∴.∠ACB=∠DBC=90°。 在Rt△ACB和Rt△DBC中， ∫AB=DC BC CB .'.Rt△ACB≌Rt△DBC(I), ..AC=DB 【链接期末真题】 11.（25-26七年级下山东淄博·期末)如图，AB⊥CF, 垂足为B,AB∥DE,点E在CF上，CE=FB, AC=DF,依据上述条件可以判定△ABC≌△DEF,这种 判定三角形全等的依据是(D) A.AAS B.ASA C.SSS D.HL 12.（25-26七年级下·福建福州期末)如图，已知 ∠ACB=∠BDA=90°，AC=BD,即可证明 △ACB≌△BDA,全等的依据是L (用字母 表示) 【课后反思】 我的收获？我的疑问？ 14.2.5 三角形全等的判定（HL） 【学习重、难点】 1.探索并掌握“斜边、直角边”（HL）定理． 2.“斜边、直角边”定理的探索过程,选用适当的方法判定直角三角形全等． 【自主预习】阅读教材P41-P43，完成以下问题： 1.判定直角三角形全等的方法 和 边分别相等的两个直角三角形全等.(简写成“斜边、直角边”或“HL”). 几何语言 在和中， ∴ ≌. 【课堂探究】阅读教材P11-P13，完成以下问题： 引导语：前面学习的三角形全等的判定方法（如SSS、SAS、ASA、AAS），对满足条件的三角形都是适用的，同样也适用于直角三角形，因为两个直角三角形的直角相等，所以对于两个直角三角形，满足一直角边和它相对(或相邻)的锐角分别相等，或斜边和一锐角分别相等，或两直角边分别相等，这两个直角三角形就全等了.那么，判定两个直角三角形全等，会不会有更简便的方法呢？ 问题：对于两个直角三角形，除直角相等的条件外，还需要满足几个条件，这两个直角三角形才能全等？ 因为直角已占一个条件，只需要再找 个条件即可. 可以是：一条边和 分别相等 → ASA或AAS 两条 分别相等 → SAS 那如果只知道斜边和一条直角边分别相等，能判定全等吗？这就是我们今天要探究的问题. 追问1：斜边和一条直角边确定了，直角三角形就能唯一确定吗？ 能，让我们用图形运动来看一看. 平移叠合法： 任务：任意画一个Rt△ABC，使∠C = 90°，再画一个直角，使∠ = 90°，再截取= ， =（即斜边和一条直角边分别相等）.然后把画好的Rt△ABC剪下来放到Rt△. 叠合演示： 平移Rt△ABC，使直角顶点C'与C重合，并使A'C'与AC落在同一条直线上； 因为AC = ，所以点A与重合； ∠C = ∠= 90°，所以BC⊥AC，⊥； 根据“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”（基本事实），BC和是同一条直线； 又因为AB = ，点B和 到点A的距离相等，且在同一侧，所以B与 重合. 追问2：通过叠合演示，你发现了什么？ 结论： 三个顶点都 → 两个三角形 . 猜想：斜边和一条直角边对应 的两个直角三角形全等. 验证说明： 上述叠合演示用平移运动的方式，从“垂线的唯一性”和“两点确定一条直线”出发，说明了满足条件的两个三角形能够完全重合.因此，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等成立. 直角三角形全等的判定定理： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 定理 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”) 图示 符号语言 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中 ∴Rt△ABC ≌ Rt△DEF (HL) 想一想：为什么HL中的两个条件用大括号列举时，要先写斜边再写直角边？” 目的：引导学生关注书写规范背后的逻辑——斜边是HL的核心特征，先写斜边体现方法辨识度 注意：（1）在“HL”中，“H”代表斜边，“L”代表直角边，用大括号列举条件时顺序不要混淆，先写斜边再写直角边． （2）用“HL”证明两个直角三角形全等，在书写时，两个三角形符号“△”前要加上“Rt”． （3）不难发现，“HL”是“SSA”的一种特殊情况，对于一般三角形，“SSA”是不能判定全等的，但直角三角形可以，所以“HL”是判定直角三角形全等的特有方法． 除此之外，“SSS”(一般不出现)“SAS”“ASA”“AAS”也适用于判定直角三角形全等． 【基础规范推理】 如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC. 求证：△ABC ≌ △DEF. 证明：∵BF=EC， ∴BF+ =EC+ （等式的性质）， 即 = . ∵∠A=∠D=90°， ∴△ABC和△DEF都是直角三角形. 在Rt△ABC和Rt△DEF 中， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF( ). 【A基础过关】 1.下列命题中，正确的有( ) ①两直角边对应相等的两个直角三角形全等； ②两锐角对应相等的两个直角三角形全等； ③斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等； ④一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图，已知AB＝CD，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE＝CF，则图中的全等三角形有_____对． 3.如图，AD是△ABC的BC边上的高，补充下列一个条件后，能判定△ADB≌△ADC的有___________． 4.如图，已知，，，与交于点. (1)求证：≌； (2)若，求的度数． (2) 5.如图，在△ABC中，CB=AB,∠ABC=90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在边 BC 上，且AE=CF. (1)求证：Rt△ABE≌Rt△ CBF (2)若∠CAE=30°，求∠ACF 的度数. 6.（作图题）人教版八年级上册教材P42“探究5”中，我们学习了用尺规作图作出一个直角三角形，使斜边和一条直角边分别等于已知线段．请回顾作图步骤，回答下列问题：（1）已知：线段a，b（a>b），求作：Rt△ABC，使斜边AB=a，直角边AC=b ． （2）在作图中，画弧的依据是什么？用到了哪个判定定理？ 【链接期末真题】 11.（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，，垂足为，，点在上，，，依据上述条件可以判定．这种判定三角形全等的依据是（     ） A． B． C． D． 12.（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 【课后反思】 我的收获？ 我的疑问？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.2.5 三角形全等的判定（HL） 【学习重、难点】 1.探索并掌握“斜边、直角边”（HL）定理． 2.“斜边、直角边”定理的探索过程,选用适当的方法判定直角三角形全等． 【自主预习】阅读教材P41-P43，完成以下问题： 1.判定直角三角形全等的方法 和 边分别相等的两个直角三角形全等.(简写成“斜边、直角边”或“HL”). 几何语言 在和中， ∴ ≌. 【课堂探究】阅读教材P11-P13，完成以下问题： 引导语：前面学习的三角形全等的判定方法（如SSS、SAS、ASA、AAS），对满足条件的三角形都是适用的，同样也适用于直角三角形，因为两个直角三角形的直角相等，所以对于两个直角三角形，满足一直角边和它相对(或相邻)的锐角分别相等，或斜边和一锐角分别相等，或两直角边分别相等，这两个直角三角形就全等了.那么，判定两个直角三角形全等，会不会有更简便的方法呢？ 问题：对于两个直角三角形，除直角相等的条件外，还需要满足几个条件，这两个直角三角形才能全等？ 因为直角已占一个条件，只需要再找 个条件即可. 可以是：一条边和 分别相等 → ASA或AAS 两条 分别相等 → SAS 那如果只知道斜边和一条直角边分别相等，能判定全等吗？这就是我们今天要探究的问题. 追问1：斜边和一条直角边确定了，直角三角形就能唯一确定吗？ 能，让我们用图形运动来看一看. 平移叠合法： 任务：任意画一个Rt△ABC，使∠C = 90°，再画一个直角，使∠ = 90°，再截取= ， =（即斜边和一条直角边分别相等）.然后把画好的Rt△ABC剪下来放到Rt△. 叠合演示： 平移Rt△ABC，使直角顶点C'与C重合，并使A'C'与AC落在同一条直线上； 因为AC = ，所以点A与重合； ∠C = ∠= 90°，所以BC⊥AC，⊥； 根据“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”（基本事实），BC和是同一条直线； 又因为AB = ，点B和 到点A的距离相等，且在同一侧，所以B与 重合. 追问2：通过叠合演示，你发现了什么？ 结论： 三个顶点都 → 两个三角形 . 猜想：斜边和一条直角边对应 的两个直角三角形全等. 验证说明： 上述叠合演示用平移运动的方式，从“垂线的唯一性”和“两点确定一条直线”出发，说明了满足条件的两个三角形能够完全重合.因此，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等成立. 直角三角形全等的判定定理： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 定理 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”) 图示 符号语言 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中 ∴Rt△ABC ≌ Rt△DEF (HL) 想一想：为什么HL中的两个条件用大括号列举时，要先写斜边再写直角边？” 目的：引导学生关注书写规范背后的逻辑——斜边是HL的核心特征，先写斜边体现方法辨识度 注意：（1）在“HL”中，“H”代表斜边，“L”代表直角边，用大括号列举条件时顺序不要混淆，先写斜边再写直角边． （2）用“HL”证明两个直角三角形全等，在书写时，两个三角形符号“△”前要加上“Rt”． （3）不难发现，“HL”是“SSA”的一种特殊情况，对于一般三角形，“SSA”是不能判定全等的，但直角三角形可以，所以“HL”是判定直角三角形全等的特有方法． 除此之外，“SSS”(一般不出现)“SAS”“ASA”“AAS”也适用于判定直角三角形全等． 【基础规范推理】 如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC. 求证：△ABC ≌ △DEF. 证明：∵BF=EC， ∴BF+ =EC+ （等式的性质）， 即 = . ∵∠A=∠D=90°， ∴△ABC和△DEF都是直角三角形. 在Rt△ABC和Rt△DEF 中， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF( ). 【A基础过关】 1.下列命题中，正确的有( ) ①两直角边对应相等的两个直角三角形全等； ②两锐角对应相等的两个直角三角形全等； ③斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等； ④一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图，已知AB＝CD，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE＝CF，则图中的全等三角形有_____对． 3.如图，AD是△ABC的BC边上的高，补充下列一个条件后，能判定△ADB≌△ADC的有___________． 4.如图，已知，，，与交于点. (1)求证：≌； (2)若，求的度数． (2) 5.如图，在△ABC中，CB=AB,∠ABC=90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在边 BC 上，且AE=CF. (1)求证：Rt△ABE≌Rt△ CBF (2)若∠CAE=30°，求∠ACF 的度数. 6.（作图题）人教版八年级上册教材P42“探究5”中，我们学习了用尺规作图作出一个直角三角形，使斜边和一条直角边分别等于已知线段．请回顾作图步骤，回答下列问题：（1）已知：线段a，b（a>b），求作：Rt△ABC，使斜边AB=a，直角边AC=b ． （2）在作图中，画弧的依据是什么？用到了哪个判定定理？ 【B能力提升】 7.如图，, ,,.那么平分吗?证明你的结论． 8.如图，在中，，，为上一点，且于点，，，求的周长 9.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°,连接BD，CE⊥BD于点E，AB=CE，BD=CD.若 AD=5，CD=7，则BE= ． 10.如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点C、B出发，小明沿CD行走，小芳沿BA行走，并同时到达点D、A。若AC⊥BC，DB⊥BC，则AC与DB相等吗？为什么？ 【链接期末真题】 11.（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，，垂足为，，点在上，，，依据上述条件可以判定．这种判定三角形全等的依据是（     ） A． B． C． D． 12.（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 【课后反思】 我的收获？ 我的疑问？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $