第一章 勾股定理 单元卷 2026—2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦勾股定理核心知识，通过数学文化（如《九章算术》古题、赵爽弦图）、生活应用（货轮航行、梯子问题）和空间建模（圆柱表面最短路径），实现基础巩固与能力提升，适配初中数学勾股定理单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股数、直角三角形判定、折叠问题|结合图形面积（如正方形面积计算）考查定理应用，培养几何直观| |填空题|6/18|古算问题、赵爽弦图、实际测量（芦苇问题）|融入数学文化与生活情境，发展抽象能力| |解答题|8/72|方向角计算、零件直角验证、最短路径证明|综合运用定理解决实际问题（如小区通道宽度计算），提升推理能力与应用意识|

第一章 勾股定理（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列各组数是勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 7，8，9 C. 6，8，10 D. ，， 【答案】C 【详解】解：A、不勾股数，因为0.3，0.4，0.5不是正整数，此选项不符合题意； B、不是勾股数，因为72+82≠92，此选项不符合题意； C、是勾股数，因为62+82=102，此选项符合题意； D、不是勾股数，因为，，不是正整数，此选项不符合题意； 2、三角形的三边长a，b，c满足，则此三角形是（   ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【详解】解：， ∴ 即， 所以此三角形是直角三角形， 3、下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据勾股定理可知，以两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 4、已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则这个三角形的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【详解】∵（a-6）2≥0，≥0，|c-10|≥0， ∴a-6=0，b-8=0，c-10=0， 解得：a=6，b=8，c=10， ∵62+82=36+64=100=102， ∴这个三角形是直角三角形． 5、下列给出的条件中，不能使得三角形为直角三角形的是（ ） A. 三个内角度数之比是1：2：3 B. 三个外角度数比为2：3：4 C. 三边长之比为5：12：13 D. 三边长的平方之比是1：3：4 【答案】B 【详解】解：当三个内角度数之比是1：2：3时，最大的角的度数是：180°×＝90°，故A选项不符合题意； 当三个外角度数比为2：3：4时，最小的外角是：360°×＝80°，最大的内角的度数是：180°−80°＝100°＞90°，故B选项符合题意； 当三边长之比为5：12：13时，，故该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意； 当三边长的平方比为1：3：4时，因为1+3=4，故该三角形是直角三角形，故D选项不符合题意； 6、如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边延长线上的点E处，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，，，， ，则， ． 由折叠的性质得， ． 7、已知直角三角形两边长分别是3和4，则斜边长为(　　　) A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 5或7 【答案】C 【详解】解：当4为直角三角形的直角边时，斜边=； 当4为直角三角形的斜边时，则斜边=4． 8、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使AB落在斜边AC上，折痕为AD，则BD的长为(　) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【详解】解：∵△ABC为直角三角形，AB=6，BC=8， ∴根据勾股定理得：， 设BD=x，由折叠可知：ED=BD=x，AE=AB=6， 可得：CE=AC-AE=10-6=4，CD=BC-BD=8-x， 在Rt△CDB'中， 根据勾股定理得：（8-x）2=42+x2， 解得：x=3， 则BD=3． 故答案为3． 9、下列命题中，正确的是（   ） A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B．在△ABC中，的对边分别是，若，则 C．在△ABC中，的对边分别是，若，则∠B=90° D．如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【详解】解：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，A错误； 在△ABC中，的对边分别是，若，则错误； 在△ABC中，的对边分别是，若，则错误； 如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，D正确， 10、如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（    ）（取3） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面圆的直径为， ∴圆柱的底面周长为， ∴． ∵，． ∴， 在中，， 即， ∴蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图，用篱笆围一个直角三角形花田，若，米，米，则边需要的篱笆长为 ． 【答案】3米 【详解】解：在中，， 米，米， ∴= ∴AC=3 边需要的篱笆长为3米． 故答案为：3米 12、如图，在四边形中，对角线，与相交于点O，若，则 ． 【答案】34 【详解】解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 同理：，，， ∴， 故答案为：34． 13、《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：“令有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺（1尺）．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？”设绳索长为x尺，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【详解】设绳索长为尺， 可列方程为：， 故答案为：． 14、有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为 尺． 【答案】 【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为（）尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度=（尺）， 答：芦苇长尺． 故答案为： 15、如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为60，小正方形的面积为10，则（a+b）2的值为______． 【答案】110 【详解】解：由图可知，（b﹣a）2＝10，4ab＝60﹣10＝50， ∴2ab＝50， ∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝10+2×50＝110． 故答案为：110 16、如图，在△ABC中，，，垂足为．如果，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴AB=4 ∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为： 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题9分, 22-24，每题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的南偏西方向，且与货轮相距．同时，在它的南偏东方向又发现客轮，且与货轮相距，求此时灯塔与客轮的距离．（：海里） 【答案】此时灯塔与客轮的距离为． 【详解】解：连接AB, 由题意，得． 在中，AM= ,BM= 答：此时灯塔与客轮的距离为． 18、一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中和都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸（单位：）如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 【答案】这个零件不符合要求，理由见详解 【详解】解：这个零件不符合要求，理由如下： 由图可知：，，，，， ，， 不是直角三角形、是直角三角形， ，， 故这个零件不符合要求． 19、如图，在△ABC中，D为上的一点，若，，，，求△ABC的周长和面积． 【答案】△ABC的周长为48，面积为84 【详解】解：，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； ； ∴△ABC的周长为48，面积为84． 20、如图是某小区两面直立的墙壁之间的安全通道的示意图，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，梯子顶端到地面的距离为米．如果保持梯子底端位置（点）不动，将梯子斜靠在右墙，梯子顶端到地面的距离为米．求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽． 【答案】 【详解】解：由题得，， 在中，，， ， 在中，，， ， ． 21、如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC=90°，CD=6m，AD=8m，BC=24m，AB=26m，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？ 【答案】19200 【详解】解：连接AC， 在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2=62+82=102， 在△ABC中，AB2=262，BC2=242， 而102+242=262， 即AC2+BC2=AB2， ∴∠ACB=90°， S四边形ABCD=S△ACB-S△ACD=•AC•BC-AD•CD， =×10×24-×8×6=96． 所以需费用96×200=19200（元）． 22、如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB 上一点，BD＝9，CD＝12 （1）求证：CD⊥AB； （2）求AC长． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【小问1详解】 ∵BC＝15，BD＝9，CD＝12， ∴， ∴， ∴CD⊥AB． 【小问2详解】 ∵AB＝AC， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 23、如图，一条南北走向的高速公路经过县城C，村庄A位于高速公路西侧，村庄A和县城C之间有一大型水库无法直达，A村村民需要乘车经公路和高速路段才能到达县城C．为方便A村村民出行，县政府计划新修一条公路．测得，，，． （1）请通过计算说明新公路是村庄A到高速公路的最短路线； （2）求村庄A到县城C的距离的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【小问1详解】 解：∵，， ∴． ∴是直角三角形，且． ∴． 根据“垂线段最短”可知新公路是村庄A到高速公路的最短路线． 【小问2详解】 解：设，则． 由（1）知，即． 在中，， ∴， 解得． 答：村庄A到县城C的距离是． 24、阅读与思考 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考；不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，从而得数学等式：___________（用含字母、、式子表示），化简证得勾股定理：． 【初步运用】 （1）如图1，若，则小正方形面积:大正方形面积___________． （2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，，此时空白部分的面积为___________． （3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积． 【答案】【探索新知】 【初步运用】（1）；（2）12；（3）24 【详解】解：【探索新知】由题意，大正方形面积为，小正方形面积为， 四个直角三角形的面积为， ∴； 故答案为：； 【初步运用】（1）大正方形面积为， 小正方形面积为， 则， 故答案为：； （2），一个直角三角形的面积为， 则空白部分面积为：； 故答案为：12； （3）设，则， 由题意得， ∴， 即； 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故风车状图案的面积为． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 勾股定理（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列各组数是勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 7，8，9 C. 6，8，10 D. ，， 2、三角形的三边长a，b，c满足，则此三角形是（   ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 3、下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（   ） A． B． C． D． 4、已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则这个三角形的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 直角三角形 5、下列给出的条件中，不能使得三角形为直角三角形的是（ ） A. 三个内角度数之比是1：2：3 B. 三个外角度数比为2：3：4 C. 三边长之比为5：12：13 D. 三边长的平方之比是1：3：4 6、如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边延长线上的点E处，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 7、已知直角三角形两边长分别是3和4，则斜边长为(　　　) A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 5或7 8、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使AB落在斜边AC上，折痕为AD，则BD的长为(　) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 9、下列命题中，正确的是（   ） A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B．在△ABC中，的对边分别是，若，则 C．在△ABC中，的对边分别是，若，则∠B=90° D．如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 10、如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（    ）（取3） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图，用篱笆围一个直角三角形花田，若，米，米，则边需要的篱笆长为 ． 12、如图，在四边形中，对角线，与相交于点O，若，则 ． 13、《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：“令有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺（1尺）．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？”设绳索长为x尺，则根据题意可列方程为 ． 14、有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为 尺． 15、如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为60，小正方形的面积为10，则（a+b）2的值为______． 16、如图，在△ABC中，，，垂足为．如果，，则的长为 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题9分, 22-24，每题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的南偏西方向，且与货轮相距．同时，在它的南偏东方向又发现客轮，且与货轮相距，求此时灯塔与客轮的距离．（：海里） 18、一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中和都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸（单位：）如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 19、如图，在△ABC中，D为上的一点，若，，，，求△ABC的周长和面积． 20、如图是某小区两面直立的墙壁之间的安全通道的示意图，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，梯子顶端到地面的距离为米．如果保持梯子底端位置（点）不动，将梯子斜靠在右墙，梯子顶端到地面的距离为米．求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽． 21、如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC=90°，CD=6m，AD=8m，BC=24m，AB=26m，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？ 22、如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB 上一点，BD＝9，CD＝12 （1）求证：CD⊥AB； （2）求AC长． 23、如图，一条南北走向的高速公路经过县城C，村庄A位于高速公路西侧，村庄A和县城C之间有一大型水库无法直达，A村村民需要乘车经公路和高速路段才能到达县城C．为方便A村村民出行，县政府计划新修一条公路．测得，，，． （1）请通过计算说明新公路是村庄A到高速公路的最短路线； （2）求村庄A到县城C的距离的长． 24、阅读与思考 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考；不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，从而得数学等式：___________（用含字母、、式子表示），化简证得勾股定理：． 【初步运用】 （1）如图1，若，则小正方形面积:大正方形面积___________． （2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，，此时空白部分的面积为______． （3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $