2.4.1圆上标准方程（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆的标准方程，通过“月亮坐标方程”情境导入，结合直线方程学习脉络，以“几何要素→坐标化→方程”为支架，引导学生从定义出发推导方程，衔接点与圆位置关系及最值问题。 其特色在于以数学思维为主线，通过类比推理构建知识体系，如用待定系数法与几何法求圆方程，培养运算能力与几何直观。课堂小结系统梳理方程特征与位置关系判断，助力学生用数学语言表达，提升问题解决能力，也为教师提供结构化教学流程。

第二章 直线和圆的方程 2.4.1 圆的标准方程 前情回顾 思考 圆的定义是什么? 确定圆的要素有什么？ 平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫圆. 注：多边形和圆是平面几何中的两类基本图形. 建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些 “直线形”图形，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的 交点以及点到线段所在直线的距离等问题. 类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题， 我们首先需要建立圆的方程. 确定圆的因素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. 学 习 目 标 1 2 3 理解圆的定义并掌握圆的标准方程及其特点. 能结合圆的标准方程准确判断点与圆的位置关系. 能灵活应用公式解决与圆有关的最值问题. 我们一起来探究“圆的标准方程”吧！ 读教材 阅读课本P82-P84，5分钟后完成下列问题： 1.圆的标准方程是什么？提供了圆的哪些几何要素？ 2.点与圆的位置关系有哪些？怎么判断？ 新课引入 如果把天空看作一个平面，在上面建立一个平面直角坐标系， 那么月亮的坐标方程如何表示？ 月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写、吟咏月亮.有诗道：“明月四时有，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头；放出白豪千丈，散作太虚一色。万象入吾眸，星斗避光彩，风露助清幽。” 学习过程 01 03 02 目录 1 圆的标准方程 2 点与圆的位置关系 3 题型训练 新知探究1 思考1：在直线方程的学习中，我们都研究了哪些问题？ 直线 平面直角坐标系 直线方程 代数运算 利用直线方程，研究 位置关系、距离等问题 思考2：直线的方程是如何建立的呢？ 直线的几何要素 （点，方向） 几何关系 坐标化 直线方程的点斜式 思考3：类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？ 圆 平面直角坐标系 圆的方程 代数运算 利用圆的方程，研究与圆有关的位置、距离等问题 圆的方程是如何建立的呢？ 新知探究1 思考 类似于直线方程的建立过程，为建立圆的方程，我们首先考虑如何 确定一个圆的几何要素？ 定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹) 圆心 半径 动点 因此，确定一个圆的几何要素是圆心和半径。 位置 大小 在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了。 由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得到圆的方程。 新知探究1 探究1 类似于直线方程的建立过程，为建立圆的方程，已经确定一个圆的几何要素。 在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？ 定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹) 圆心 半径 圆上的动 思考：根据圆的定义，在平面直角坐标系中，圆的方程是什么？ 圆A的方程就是圆上动点的坐标满足的条件:集合. 概念 圆的标准方程 圆的标准方程： 我们把方程称为圆心为，半径为的圆的标准方程. 特别的，圆心为坐标原点，半径长为的圆的方程是. 注：圆的标准方程的特征： 1.是关于、的二元二次方程; 2. 明确给出了圆心坐标和半径. 新知辨析 圆的标准方程的理解： 思考：方程一定是圆的方程吗？ 若方程表示圆，满足什么条件？此时圆的圆心和半径分别是什么？ 当时，方程． 当时，方程表示点． 当时，方程表示圆，此时圆的圆心为，半径为. 注：若点上，点的坐标就满足方程； 若点的坐标满足方程，就说明点与圆心的距离为，点就在上. 练习巩固 练习1 写出下列圆的标准方程: (1) 圆心为(－3, 4)， 半径是 ； (2) 圆心为(－8, 3)，且经过点(－5, －1). 解：(1)； (2)，代入点(－5, －1)得 所以圆的标准方程为25. 称为圆心为，半径为的圆 练习巩固 练习2 (多选)下列关于圆的标准方程的叙述正确的是( ) A. 圆心坐标为，半径 B. 圆心坐标为，半径 C. 圆上任意一点与圆心的距离满足 D. 圆上任意一点与圆心的距离满足 解：由为圆心为，半径为的圆的标准方程， 得 称为圆心为，半径为的圆 练习巩固 练习3 已知的三个顶点分别是点(4, 0)， (0, 0)，(0, 3)， 求的外接圆的标准方程？ 解：(方法1)设圆C的方程为由已知条件可得： 解得 所以，的外接圆的标准方程是 待定系数法 练习巩固 练习3 已知的三个顶点分别是点(4, 0)， (0, 0)，(0, 3)， 求的外接圆的标准方程？ 解：(方法2)由是直角三角形可得： 的外接圆的直径为斜边 所以，的外接圆的标准方程是 几何性质法 x y O(0,0) A(4,0) • • • B(0,3) • 练习巩固 练习4 求以 为顶点的三角形的外接圆的标准方程？ 解：设所求圆的标准方程为 ，则有 解得 则 的外接圆的标准方程为 若点上，点的坐标就满足方程 方法总结 (1)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程 中三个参数，从而确定圆的标准方程．一般步骤是： ①设——设所求圆的方程为； ②列——由已知条件，建立关于，的方程组； ③解——解方程组，求出，； ④代——将代入所设方程，得所求圆的方程． (2)几何法： 圆的标准方程的两种求法： 学习过程 01 03 02 目录 1 圆的标准方程 2 点与圆的位置关系 3 题型训练 新知探究2 探究2 点与圆有哪几种位置关系？如何确定点与圆的位置关系？ 点在圆A上 点在圆A内 点在圆A外 概念 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： 位置关系 图形 利用距离判断 利用方程判断 点在圆上 点在圆外 点在圆内 ＝ ＝ > > < < 练习巩固 练习1 (1)点与圆 的位置关系是( @15@ ) A. 点在圆外 B. 点在圆内 C. 点在圆上 D. 不确定 解：易知点圆圆心(0,0)的距离为 ， 圆的半径为，因为所以点在圆内. B 练习1 (2)点 与圆 的位置关系是( @17@ ) A. 点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D. 不能确定 C 解：因为，所以点在圆外，故选C. 练习巩固 练习2 已知(4, 9)，(6, 3)两点,，求以线段为直径的圆的标准方程， 并判断点(6, 9)，(3, 3)，(5, 3)在圆上、圆内、还是在圆外？ 解：设为的中点，∴圆心为(5,6)， 半径=||=， ∴圆的标准方程为， ∵(6－5)²+(9－6)²=10， ∴在圆上. ∵(3－5)²+(3－6)²>10， ∴在圆外； ∵(5－5)²+(3－6)²<10， ∴在圆内. 学习过程 01 03 02 目录 1 圆的标准方程 2 点与圆的位置关系 3 题型训练 求圆的标准方程 题型1 题型探究 例1 求圆心在直线上，且与轴交于点，的 圆的标准方程？ 解：圆与轴交于点，所以圆心在直线－3上. 因为圆心在直线上，所以圆心的坐标为， 所以圆的半径 ＝ ， 故圆的标准方程为. 求圆的标准方程 题型1 题型探究 例2 求经过点和坐标原点，并且圆心在直线0 上的圆的标准方程？ 解：(方法1待定系数法)设圆的标准方程为， 则有 解得 即圆的标准方程是 (方法2几何法)由题意：是圆的弦，其垂直平分线为. ∵弦的垂直平分线过圆心，∴ 得 即圆心坐标为(4，－3)，半径为 . 即圆的标准方程是 点与圆的位置关系求参 题型2 题型探究 例3 已知点在圆外，求实数的取值范围？ 解：圆 的圆心为(0,)，半径 因为点在圆外， 所以点到圆心(0,)的距离大于半径， 即 ，解得 点与圆的位置关系求参 题型2 题型探究 例4 若点与有一点在 内，另一点在圆外，求实数的取值范围？ 解：由题意知，圆心.∵＝ ＝ ， ＝3，∴， 故在圆外，点在圆内， ∴的取值范围是3 ，即 . 与圆有关的最值问题 题型3 题型探究 例5 点在圆 上运动，则 的 最大值为，最小值为？ 解： 表示圆上的点与点 之间距离的平方， 圆的圆心为 ，半径为=3，则圆心与点间的距离为： ， 圆上的点与点 之间距离的最大值为5=8，最小值为5=2. 故 的最大值为64，最小值为4. 与圆有关的最值问题 题型3 题型探究 例6 设点是圆上的动点，定点，， 则 的最大值为_____？ 解：由题意知 所以 由于点点是圆上的动点， 故其坐标满足方程故 所以. 由圆的方程，易知 ， 所以当 时，取得最大值为 . 课堂小结 圆的标准方程： 我们把方程称为圆心为，半径为的圆的标准方程. 特别的，圆心为坐标原点，半径长为的圆的方程是. 注：圆的标准方程的特征： 1.是关于、的二元二次方程; 2. 明确给出了圆心坐标和半径. 课堂小结 点与圆的位置关系： 位置关系 图形 利用距离判断 利用方程判断 点在圆上 点在圆外 点在圆内 ＝ ＝ > > < < 感谢聆听! $