2.3.1乘方 同步讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“乘方”核心知识点，构建从定义（n个相同因数积的运算）、符号法则（正、负数幂的符号规律）、易混淆书写规范（如(-a)ⁿ与-aⁿ的区别）到基础运算规则（先符号后绝对值）的递进学习支架。 资料通过8类题型（含概念理解、乘方应用等）设计，以“算24点”“程序流程图计算”等实例培养抽象能力与运算能力，结合细胞分裂等应用问题发展模型意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过典例变式查漏补缺。

2.3.1乘方 目录 知识点1 乘方的定义 2 知识点2 乘方的符号法则（核心） 2 知识点3 易混淆书写规范 2 知识点4 乘方基础运算规则 2 题型1 有理数幂的概念理解 2 题型2 有理数的乘方运算 4 题型3 有理数乘方逆运算 5 题型4 乘方运算的符号规律 6 题型5 乘方的应用 8 题型6 程序流程图与有理数计算 9 题型7 算 “24” 点 11 题型8 含乘方的有理数混合运算 13 1. 理解乘方、底数、指数、幂的概念，掌握乘方的读写方法。 2. 掌握有理数乘方的符号法则，能熟练进行乘方运算。 3. 区分乘方、底数与指数的意义，辨析易混淆题型，能解决乘方基础计算与规律问题。 知识点1 乘方的定义 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。记作：。 其中：a是底数（相乘的因数），n是指数（因数的个数）；读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 特殊规定：一个数可以看作本身的一次方，即，指数1通常省略不写。 知识点2 乘方的符号法则（核心） 1. 正数的任何次幂都是正数。 2. 负数的奇次幂为负，偶次幂为正。 3. 0的任何正整数次幂都是0。 4. 1的任何次幂都是1；-1的奇次幂为-1，偶次幂为1。 知识点3 易混淆书写规范 1. ：底数是-a，表示n个(-a)相乘。 2. ：底数是a，表示a的n次方的相反数，和意义完全不同。 3. 分数乘方必须加括号：，分子分母分别乘方。 知识点4 乘方基础运算规则 乘方本质是特殊的乘法运算，计算时先判断符号，再计算绝对值的乘方；混合运算中，乘方优先级高于乘除、加减。 题型1 有理数幂的概念理解 解题思路：①识别底数和指数，重点看括号，括号内整体才是底数；②区分aⁿ是n个a相乘，不要错误理解为a×n；③对比(-a)ⁿ与-aⁿ的意义和结果；④分数底数书写务必带括号。 【典例1】．计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据有理数幂的意义得：． 【变式1】．的4次幂应记为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘方的表示方法，熟练掌握乘方的书写是解题的关键，根据乘方中底数与指数的对应关系即可得到答案． 【详解】解：∵求的4次幂，是将作为底数，4作为指数， ∴应记为， 故选：C． 【变式2】．的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 【答案】 3 的3次幂 3个相乘 2 4 【分析】本题考查幂的底数和指数的概念，需注意负号的位置，区分整体底数与运算符号． 根据乘方的相关概念作答即可． 【详解】对于，底数是，指数是3，读作“的3次幂，”，含义是个相乘； 对于，负号是运算符号，底数是2，指数是4，表示2的4次幂的相反数，计算结果为． 故答案为：， 3，的3次幂，3个相乘； 2， 4，． 【变式3】．乘积的算式用幂的形式可表示为___________． 【答案】 【分析】本题考查有理数幂的概念，四个相同的数相乘，可以写成该数的4次幂的形式，进行作答即可． 【详解】解：算式表示四个相乘，根据幂的定义，可表示为底数为，指数为4的幂，即． 故答案为：． 题型2 有理数的乘方运算 解题思路：①分两步：先定符号，再计算绝对值；②正数直接运算；负数依靠指数奇偶判断符号；分数乘方分子分母分别乘方；③直接套用0，1，-1的特殊乘方结果快速计算。 【典例2】．在、、、中，负数的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：，是负数， ，不是负数， ，是负数， ，是负数， 综上，负数的个数是3个． 【变式1】．关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【答案】D 【分析】根据乘方的定义逐一判断选项即可. 【详解】解：A.中，指数是，不是，故A错误； B.，结果不是，故B错误； C.个相加表示为，不是，故C错误； D.符合乘方定义，表示个相乘，故D正确. 【变式2】．_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是利用积的乘方公式进行简便运算．先将转化为，再写成以为底的幂，最后利用幂的运算性质化简． 【详解】解： ． 【变式3】．计算的结果是_______ ． 【答案】 【分析】根据乘方的定义进行计算即可． 【详解】解：． 题型3 有理数乘方逆运算 解题思路：①已知幂和指数求底数：偶次幂结果为正数，此时底数有正负两个解；偶次幂结果为负数，无解；奇次幂底数符号和幂的符号保持一致。②已知底数、幂求指数，尝试代入正整数验证。 【典例3】．已知为正整数，化简：（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逆用同指数幂的除法法则即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 【变式1】．计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方的意义，通过拆分指数将原式转化为可利用乘方意义进行计算的形式，进而简便计算． 【详解】解：∵， ∴原式 ， 故选：A． 【变式2】．若，，则______． 【答案】 【详解】解：，则， ，则， ． 【变式3】．若，则______． 【答案】 【分析】先根据已知乘方等式求出的值，再将代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 将代入得． 题型4 乘方运算的符号规律 解题思路：①不用完整计算数值，只看底数正负与指数奇偶；②多个乘方式子混合，逐个判断每一项符号，再综合确定最终符号；③选择题、填空题可以直接利用符号规律排除错误选项。 【典例4】．下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题需依据乘方运算的符号规则与运算顺序，分别计算每个选项中两个式子的结果，再对比是否相等． 【详解】解：∵，，， ∴A选项数值不相等，不符合题意； ∵，，， ∴B选项数值相等，符合题意； ∵，， ∴C选项数值不相等，不符合题意； ∵，， ∴D选项数值不相等，不符合题意， 故选：B 【变式1】．下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，难点在于分n是偶数和奇数讨论.比较表达式和在不同奇偶性指数下的结果，判断各选项的正确性. 【详解】解：A、当n为偶数时，，而为的相反数，故A不符合题意； B、当n为奇数时，，此时与相等，而非互为相反数，故B不符合题意； C、当n为奇数时，，故C符合题意； D、当n为奇数时，与相等，故D不符合题意. 故选：C. 【变式2】．在，，，中，结果是负数的有_________个． 【答案】1 【分析】分别计算四个数的结果，判断正负性，统计负数的个数． 【详解】解：逐个计算各数并判断正负： ，结果为正数，不是负数； ，结果为负数，是符合要求的数； ，结果为正数，不是负数； ，结果为正数，不是负数； 统计可得，结果是负数的共有个． 【变式3】．______． 【答案】 【分析】本题考查了指数幂的运算，解决本题的关键是正确计算正负号． 根据指数运算法则和有理数乘法法则，分别计算各部分的符号和指数，再合并相乘． 【详解】解：． 故答案为：． 题型5 乘方的应用 解题思路：①审题找到变化次数n，识别倍增模型；②细胞分裂、折纸厚度问题套用模型；③读懂题意，分清谁是底数，谁是指数，最后列式计算作答。 【典例5】．把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】C 【分析】根据题意明确第n次对折后的厚度为，根据，求出n的最小整数值即可． 【详解】解：设对折次后整叠纸总厚度为． 由题意得， ． ，，， ， 至少要对折8次． 【变式1】．2025年我国新能源汽车年产量约为辆，比2024年年产量增长约，若按照这个速度增长，则2026年新能源汽车年产量为（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【答案】C 【分析】根据2026年新能源汽车年产量2025年新能源汽车年产量增长率，列式计算即可得出答案． 【详解】解：（辆）． 【变式2】．我们常用的数是十进制数，如十进制中的数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，而在电子计算机中用的二进制的数只用两个数码：0和1，如果二进制中的等于十进制的11，二进制中的数等于十进制的13，那么二进制中的数转换为十进制的数是_____． 【答案】5 【分析】根据题目给出的二进制转十进制的规则，将二进制数按位展开后计算乘方与加法，即可得到结果． 【详解】解：根据二进制转十进制的规则展开， 得， 即二进制中的数转换为十进制的数是． 【变式3】．阅读材料完成问题：在中学生涯中，我们常常会遇到等比数列，即，，等，每两个数之间都是2倍数关系，若要求和时，我们可以假设这个求和的结果为： 我们将每一项都乘以2，就可以得到，我们将两个数相减就可以得到．现在有一点M从坐标原点开始运动，第一次向右2个单位，第二次向左4个单位，第三次向右8个单位，第四次向左16个单位，如此循环往复，第n次它距离原点______． 【答案】 个单位 【分析】先根据运动方向表示出点第次运动后的位置表达式，再利用题干给出的错位相减法求和，最后取绝对值得到点到原点的距离. 【详解】解：规定向右运动为正方向，向左运动为负方向，则第次运动后点的位置坐标为： 将①两边同时乘以得： ①+②得：，整理得：， ∵点到原点的距离为位置坐标的绝对值， 故第n次它距离原点. 题型6 程序流程图与有理数计算 解题思路：①按照流程图箭头顺序，一步一步代入数值；②遇到乘方优先算乘方；③循环结构要记录循环次数，每一轮运算结果作为下一轮输入值；不要跳步，防止符号出错。 【典例6】．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是多少？（     ） A． B．11 C． D． 【答案】A 【分析】明确运算规则为，判断条件为结果小于，若否则循环计算． 【详解】解：当输入时，， ∵， ∴需将重新代入计算， ∴当时，， ∵， ∴最后输出的结果为． 【变式1】．根据如图所示的程序，当输入的值为1时，输出的值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先输入1，得到结果，再输入，得到结果，即可． 【详解】解：输入1，， 输入，， 所以输出的值为4． 【变式2】．按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值是___________． 【答案】7 【详解】解：由题意得， ∴输出的值是7． 【变式3】．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第1次计算输出的结果是1，第2次计算输出的结果是,…，这样计算下去，第7次计算输出的结果是_____． 【答案】1 【分析】分别计算出前几次输出的结果，再根据规律可得答案． 【详解】解：当输入时，第1次输出的结果是； 第2次输出的结果是； 第3次输出的结果是； 第4次输出的结果是； 第5次输出的结果是； 第6次输出的结果是； 第7次输出的结果是． 题型7 算 “24” 点 解题思路：①利用给出数字，搭配加减乘除、乘方构造结果等于24；②合理使用乘方改变数字大小，多尝试不同组合。 【典例7】．下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【答案】A 【分析】本题考查有理数的四则运算，通过尝试不同的四则运算组合，判断每组数字是否能得到24． 【详解】解：A、无法通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； B、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； C、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； D、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24． 故选：A 【变式1】．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 【变式2】．你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：依题意可得（答案不唯一）． 【变式3】．如图，现有5张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算，从中选取4张卡片（每张卡片上的数只能用一次），使这4张卡片上的数运算结果为24，写出一个符合要求的等式为___________． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，理解题意是解决本题的关键． 任意取出4张卡片，进行计算得出结果即可． 【详解】解：由题意得，可以用、、、这四个数来构造等式： 则 ； 或者用、、、构造： 则 ， 故答案为：或． 题型8 含乘方的有理数混合运算 解题思路：①严格遵守运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减；②有括号优先计算括号；③每一步先处理符号，再算数值；不要跳步，分步书写，减少符号失误。 【典例8】．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式1】．计算：． 【答案】 【分析】先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可得解． 【详解】解：原式 ． 【变式2】．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算有理数乘方，绝对值，再算有理数的乘法，再从左往右依次计算即可； （2）先算括号里的有理数乘方，将除法变为乘法，按照先乘除后加减的顺序计算，最后计算乘法即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【变式3】．． 【答案】 【详解】解：原式 ． 1．计算的结果等于（   ） A． B．6 C． D．9 【答案】D 【详解】解：表示个相乘， ． 2．可以记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：表示有个相乘，故记作． 3．在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用有理数的乘方运算性质化简即可求解． 【详解】解：根据新运算规则， 可得 ． 4．某种细菌每分钟由个分裂成个，那么个这样的细菌经过分钟可以分裂成（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先推导得到个细菌经过分钟后的分裂数量，再乘以初始细菌个数即可得到结果． 【详解】解：∵个细菌每分钟由个分裂成个， ∴个细菌经过分钟分裂为个，经过分钟分裂为个， 依此类推，可得个细菌经过分钟分裂为个， 本题中，初始细菌个数为， ∴最终总个数为． 5．在有理数中负数有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘方、相反数、绝对值的基础化简知识．先分别化简题目给出的四个有理数，再根据负数的定义统计负数的个数． 【详解】解：依次化简各数： ∵ ，1>0，是正数， ，，是正数， ，，是负数， ，，是负数， ∴ 负数一共有2个． 6．下面各对数中相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】分别计算每个选项中两个数的结果，再比较是否相等. 【详解】解：依次计算各选项的两个数进行比较： 选项A：， ，A不符合要求. 选项B： ， ，B不符合要求. 选项C： ， ，C不符合要求. 选项D： ， ，D符合要求. 7．在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先对各数进行化简，再根据负数的定义统计负数的个数即可． 【详解】解：依次判断各数： ∵ ，是负数， ，是正数， ，是负数， ，是负数， ，是负数， ，是正数， 既不是正数也不是负数， ∴负数共有个． 8．下列说法中正确的是（   ） A．绝对值等于本身的数是0 B．相反数等于本身的数是1 C．平方等于本身的数是0和1 D．立方等于本身的数是0和1 【答案】C 【详解】解：A、绝对值等于本身的数是非负数，原说法错误； B、相反数等于本身的数是0，原说法错误； C、平方等于本身的数是0和1，正确； D、立方等于本身的数是0和，原说法错误. 9．对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方定义即可判断； 【详解】解：∵根据乘方定义，个相同因数相乘，记作，其中为底数，为指数， 本题中共有个相同因数相乘， ∴底数为，指数为，正确记法为． 10．“三进制”逻辑的芯片与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二进制数的组成数字为0，1，二进制数转化为十进制数：．三进制数的组成数字为0，1，2，三进制数转化为十进制数：．将二进制数化为三进制数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不同进制之间的转换，解题思路为先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数通过除3取余法转换为三进制数，即可得到结果 【详解】解：∵二进制数的各位权值从右到左依次为 ∴将转换为十进制数得： 即对应的十进制数为14， 接下来将十进制数14转换为三进制，使用除3取余法： ，余数为2； ，余数为1； ，余数为1； 将所得余数倒序排列，得到三进制数为 11．的底数是________，读作________． 【答案】 负的的次方 【详解】解：根据乘方的定义，在中，叫做乘方的底数，叫做乘方的指数． 对于，该式表示的相反数，负号不属于底数部分，因此底数是，该式读作负的的次方． 12．若，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列方程求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：由题意得：，， 解得：，， 所以，． 故答案为：． 13．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，则第次输出的结果是__________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了代数式求值及数字变化规律，找到数字变化的规律是解题的关键．依次计算前几次的输出结果，从而发现输出结果的循环规律，利用周期性即可得到答案． 【详解】解：第一次：输入，为偶数，输出； 第二次：输入，为奇数，输出； 第三次：输入，为偶数，输出； 第四次：输入，为偶数，输出； 第五次：输入，为偶数，输出； 第六次：输入，为偶数，输出； 第七次：输入，为偶数，输出； 第八次：输入，为奇数，输出； 第九次：输入，为偶数，输出； 故从第四次开始，呈现周期性规律，以为一个周期，循环周期为， ， 故第次输出的结果是． 故答案为：． 14．有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数字，可以写出一个结果为24的算式，注意本题答案不唯一． 【详解】解： 15．设、都表示有理数，规定一种新运算“△”：当时，；时，．则______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 16．计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 17．如果，那么为的“劳格数”，记为．例如：，，，，，． (1)根据定义，填空：________，________． (2)“劳格数”有如下运算性质： 若m，n为正数，则，． ①根据运算性质，填空：________； ②若，分别计算，． 【答案】(1)4； (2)①；②， 【分析】（1）根据定义，找到10的多少次方等于对应数，这个指数就是劳格数； （2）①利用除法性质，拆分计算； ②把4、8拆成2相乘的形式，用乘法性质展开计算． 【详解】（1）解：， ； ， ． （2）解：①； ②， ， ． 18．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得第5个等式：； （2）解： ． 19．游戏“ 点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为 ，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式． 【答案】（答案不唯一）. 【详解】解：由题意得： （答案不唯一）． 20．【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（ ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C． D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： 【答案】(1)1， (2)D (3)12 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，，故正确； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，，故正确； C．，，且，则，故正确； D．，或1，故错误；故选D； （3） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.1乘方 目录 知识点1 乘方的定义 2 知识点2 乘方的符号法则（核心） 2 知识点3 易混淆书写规范 2 知识点4 乘方基础运算规则 2 题型1 有理数幂的概念理解 2 题型2 有理数的乘方运算 3 题型3 有理数乘方逆运算 3 题型4 乘方运算的符号规律 4 题型5 乘方的应用 4 题型6 程序流程图与有理数计算 5 题型7 算 “24” 点 6 题型8 含乘方的有理数混合运算 6 1. 理解乘方、底数、指数、幂的概念，掌握乘方的读写方法。 2. 掌握有理数乘方的符号法则，能熟练进行乘方运算。 3. 区分乘方、底数与指数的意义，辨析易混淆题型，能解决乘方基础计算与规律问题。 知识点1 乘方的定义 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。记作：。 其中：a是底数（相乘的因数），n是指数（因数的个数）；读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 特殊规定：一个数可以看作本身的一次方，即，指数1通常省略不写。 知识点2 乘方的符号法则（核心） 1. 正数的任何次幂都是正数。 2. 负数的奇次幂为负，偶次幂为正。 3. 0的任何正整数次幂都是0。 4. 1的任何次幂都是1；-1的奇次幂为-1，偶次幂为1。 知识点3 易混淆书写规范 1. ：底数是-a，表示n个(-a)相乘。 2. ：底数是a，表示a的n次方的相反数，和意义完全不同。 3. 分数乘方必须加括号：，分子分母分别乘方。 知识点4 乘方基础运算规则 乘方本质是特殊的乘法运算，计算时先判断符号，再计算绝对值的乘方；混合运算中，乘方优先级高于乘除、加减。 题型1 有理数幂的概念理解 解题思路：①识别底数和指数，重点看括号，括号内整体才是底数；②区分aⁿ是n个a相乘，不要错误理解为a×n；③对比(-a)ⁿ与-aⁿ的意义和结果；④分数底数书写务必带括号。 【典例1】．计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．的4次幂应记为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 【变式3】．乘积的算式用幂的形式可表示为___________． 题型2 有理数的乘方运算 解题思路：①分两步：先定符号，再计算绝对值；②正数直接运算；负数依靠指数奇偶判断符号；分数乘方分子分母分别乘方；③直接套用0，1，-1的特殊乘方结果快速计算。 【典例2】．在、、、中，负数的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】．关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【变式2】．_______． 【变式3】．计算的结果是_______ ． 【答案】 【分析】根据乘方的定义进行计算即可． 【详解】解：． 题型3 有理数乘方逆运算 解题思路：①已知幂和指数求底数：偶次幂结果为正数，此时底数有正负两个解；偶次幂结果为负数，无解；奇次幂底数符号和幂的符号保持一致。②已知底数、幂求指数，尝试代入正整数验证。 【典例3】．已知为正整数，化简：（     ） A． B． C． D． 【变式1】．计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 【变式2】．若，，则______． 【变式3】．若，则______． 题型4 乘方运算的符号规律 解题思路：①不用完整计算数值，只看底数正负与指数奇偶；②多个乘方式子混合，逐个判断每一项符号，再综合确定最终符号；③选择题、填空题可以直接利用符号规律排除错误选项。 【典例4】．下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1】．下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【变式2】．在，，，中，结果是负数的有_________个． 【变式3】．______． 题型5 乘方的应用 解题思路：①审题找到变化次数n，识别倍增模型；②细胞分裂、折纸厚度问题套用模型；③读懂题意，分清谁是底数，谁是指数，最后列式计算作答。 【典例5】．把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 【变式1】．2025年我国新能源汽车年产量约为辆，比2024年年产量增长约，若按照这个速度增长，则2026年新能源汽车年产量为（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【变式2】．我们常用的数是十进制数，如十进制中的数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，而在电子计算机中用的二进制的数只用两个数码：0和1，如果二进制中的等于十进制的11，二进制中的数等于十进制的13，那么二进制中的数转换为十进制的数是_____． 【变式3】．阅读材料完成问题：在中学生涯中，我们常常会遇到等比数列，即，，等，每两个数之间都是2倍数关系，若要求和时，我们可以假设这个求和的结果为： 我们将每一项都乘以2，就可以得到，我们将两个数相减就可以得到．现在有一点M从坐标原点开始运动，第一次向右2个单位，第二次向左4个单位，第三次向右8个单位，第四次向左16个单位，如此循环往复，第n次它距离原点______． 题型6 程序流程图与有理数计算 解题思路：①按照流程图箭头顺序，一步一步代入数值；②遇到乘方优先算乘方；③循环结构要记录循环次数，每一轮运算结果作为下一轮输入值；不要跳步，防止符号出错。 【典例6】．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是多少？（     ） A． B．11 C． D． 【变式1】．根据如图所示的程序，当输入的值为1时，输出的值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【变式2】．按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值是___________． 【变式3】．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第1次计算输出的结果是1，第2次计算输出的结果是,…，这样计算下去，第7次计算输出的结果是_____． 题型7 算 “24” 点 解题思路：①利用给出数字，搭配加减乘除、乘方构造结果等于24；②合理使用乘方改变数字大小，多尝试不同组合。 【典例7】．下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【变式1】．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【变式2】．你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 【变式3】．如图，现有5张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算，从中选取4张卡片（每张卡片上的数只能用一次），使这4张卡片上的数运算结果为24，写出一个符合要求的等式为___________． 题型8 含乘方的有理数混合运算 解题思路：①严格遵守运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减；②有括号优先计算括号；③每一步先处理符号，再算数值；不要跳步，分步书写，减少符号失误。 【典例8】．计算：． 【变式1】．计算：． 【变式2】．计算： (1)． (2)． 【变式3】．． 1．计算的结果等于（   ） A． B．6 C． D．9 2．可以记作（    ） A． B． C． D． 3．在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．某种细菌每分钟由个分裂成个，那么个这样的细菌经过分钟可以分裂成（  ） A． B． C． D． 5．在有理数中负数有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 6．下面各对数中相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 7．在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．下列说法中正确的是（   ） A．绝对值等于本身的数是0 B．相反数等于本身的数是1 C．平方等于本身的数是0和1 D．立方等于本身的数是0和1 9．对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 10．“三进制”逻辑的芯片与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二进制数的组成数字为0，1，二进制数转化为十进制数：．三进制数的组成数字为0，1，2，三进制数转化为十进制数：．将二进制数化为三进制数为（   ） A． B． C． D． 11．的底数是________，读作________． 12．若，则的值为_______． 13．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，则第次输出的结果是__________． 14．有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 15．设、都表示有理数，规定一种新运算“△”：当时，；时，．则______． 16．计算： (1)． (2) 17．如果，那么为的“劳格数”，记为．例如：，，，，，． (1)根据定义，填空：________，________． (2)“劳格数”有如下运算性质： 若m，n为正数，则，． ①根据运算性质，填空：________； ②若，分别计算，． 18．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 19．游戏“ 点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为 ，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式． 20．【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（ ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C． D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $