第一章 空间向量与立体几何 强化训练(二) 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 聚焦空间向量与立体几何单元，精选2025年多地高二阶段练习及模拟题，强化空间向量工具性与立体几何综合应用，适配单元复习巩固，培养空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|6/30|法向量垂直（题1）、点到面距离（题2）、正方体线线关系（题3）|基础巩固，覆盖空间向量基本运算与位置关系判断| |多选|2/12|翻折问题（题7）、正方体线面角（题8）|能力提升，考查空间想象与多结论推理| |填空|4/20|方向向量与线面角（题9）、体对角线与棱上动点最值（题11）|综合应用，融合空间向量计算与动态问题| |解答题|3/38|面面垂直证明与二面角（题13）、存在性探究（题15）|创新拓展，对接高考真题趋势，培养模型观念与逻辑表达|

第一章 空间向量与立体几何 强化训练(二) (时间：45分钟　分值：100分) 一、 单项选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1. (2025·北京高二阶段练习)已知m＝(－2，t，5)，n＝(3，－2，t)分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，则t的值为(　B　) A. 1 B. 2 C. －1 D. －2 【解析】 ∵α⊥β，∴m⊥n，∴m·n＝－2×3－2t＋5t＝0，解得t＝2. 2. (2025·广东佛山高二阶段练习)已知点Q(1，2，3)位于平面α内，m＝(2，－1，2)是平面α的一个法向量，则点A(－1，0，1)到平面α的距离是(　C　) A. B. C. 2 D. 3 【解析】 由题设＝(2，2，2)，则点A到平面α的距离d＝＝2. 3. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则直线A1M与DN的位置关系是(　C　) A. 平行 B. 垂直 C. 异面垂直 D. 异面不垂直 【解析】 以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz， 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2， 则A1(2，0，2)，M(0，1，0)，D(0，0，0)，N(0，2，1)，∴＝(－2，1，－2)，＝(0，2，1)，∴·＝0，∴A1M⊥DN，又DN⊂平面DCC1D1，A1M⊄平面DCC1D1，M∈平面DCC1D1，且M∉DN，∴直线A1M与DN异面垂直. 4. (2025·湖北高二阶段练习)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝AA1＝2，E为A1C1的中点，则BA1与AE所成角的余弦值是(　B　) A. B. C. D. 【解析】 以C1为原点，以为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示： BC＝AC＝AA1＝2，则A(2，0，2)，E(1，0，0)，B(0，2，2)，A1(2，0，0)，∴＝(－1，0，－2)，＝(2，－2，－2)， ∴cos<>＝ ＝， 故BA1与AE所成角的余弦值为. 5. (2025·广东东莞高二期中)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且＝λ，若B1F∥平面A1BE，则λ为(　C　) A. B. C. D. 【解析】 如图所示，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则B(1，0，0)，E，D1(0，1，1)，C1(1，1，1)，A1(0，0，1)，可得＝(－1，0，1)，，设n＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则令z＝2，则x＝2，y＝1，即n＝(2，1，2)，由＝(1，0，0)，且＝λ，可得F(λ，1，1)(0≤λ≤1)，又B1(1，0，1)，则＝(λ－1，1，0)，由B1F∥平面A1BE，可得n·＝2(λ－1)＋1×1＋0×2＝0，解得λ＝. 6. (2025·上海高二期中)在正三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC且PA，PB，PC两两垂直，M是AB的中点，过直线BC作平面α，则直线PM与平面α所成角的最大值是(　C　) A. B. C. D. 【解析】 以PA，PB，PC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PA＝PB＝PC＝1，则B(0，1，0)，C(0，0，1)，再设平面α还通过棱PA上一点N(a，0，0)，可得＝(0，－1，1)，＝(－a，0，1)，令平面α的一个法向量为n＝(x，y，z)，则取y＝1，得x＝，z＝1， ∴n＝. 又，设直线PM与平面α所成角为θ，则sin θ＝··.令1＝t，即＝t－1，则sin θ＝···≤·，当且仅当，即a＝时，等号成立，∴θ≤. 二、 多项选择题(本大题共2小题，每小题6分，共12分) 7. (2025·山东潍坊高二期中)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，下列说法中，正确的是(　ABD　) A. AC⊥BD B. AB＝AC C. AB与平面BCD所成的角为60° D. AB与CD所成的角为60° 【解析】 令正方形ABCD对角线BD的中点为O，则OA⊥BD，OC⊥BD，由二面角A－BD－C为直二面角，得OA⊥OC，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 令BD＝2，则A(0，0，1)，B(0，－1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，＝(0，－1，－1)，＝(0，2，0)，＝(1，0，－1)，＝(－1，1，0)，对于A，·＝0，即⊥，则AC⊥BD，A正确；对于B，||＝＝||，B正确；对于C，平面BCD的一个法向量n＝(0，0，1)，|cos<，n>|＝，∴AB与平面BCD所成的角为45°，C错误；对于D，|cos<>|＝，∴AB与CD所成的角为60°，D正确. 8. (2025·重庆江北高二期中)如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则下列说法中，正确的是(　ABD　) A. BC1⊥CA1 B. BC1∥平面ACD1 C. 直线CA1与平面ABCD所成的角为45° D. 点D与平面ACD1的距离为 【解析】 对于A，在正方体ABCD－A1B1C1D1，AD⊥DC，AD⊥DD1，DC⊥DD1，∴以D为坐标原点，AD为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， ∴A(2，0，0)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2)，∴＝(－2，0，2)，＝(2，－2，2)，∴·＝－4＋0＋4＝0，∴BC1⊥CA1，A正确；对于B，＝(－2，2，0)，＝(0，－2，2)，设平面ACD1的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则令y1＝1，解得∴n1＝(1，1，1)，∵·n1＝－2＋2＝0，∴BC1∥平面ACD1，B正确；对于C，平面ABCD的法向量n2＝(0，0，1)，设直线CA1与平面ABCD所成的角为θ，∴cos θ＝，C错误；对于D，＝(0，2，0)，点D与平面ACD1的距离d＝，D正确. 三、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 9. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，1，t)，B(2，2，4)，P(0，0，5)，若平面ABC的一个法向量为m＝(3，1，－1)，则直线AB的一个方向向量为　(1，1，4)　，直线AP与平面ABC所成角的正弦值为 　.  【解析】 ∵A(1，1，t)，B(2，2，4)，∴＝(1，1，4－t)，又平面ABC的一个法向量为m＝(3，1，－1)，∴·m＝3＋1－4＋t＝0，解得t＝0，∴直线AB的一个方向向量为＝(1，1，4).∵A(1，1，0)，P(0，0，5)，∴＝(－1，－1，5)，又平面ABC的一个法向量为m＝(3，1，－1)，∴直线AP与平面ABC所成角的正弦值为|cos<m，>|＝. 10. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中点，则OP与BD1的位置关系是　平行　.  【解析】 如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1， 则O，P，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，＝(－1，－1，1)，于是，即∥，而点P∉直线BD1，∴OP∥BD1. 11. 如图所示，在棱长为2的正方体中，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上，若P，Q均为动点，则线段PQ长度的最小值是 　.   【解析】 以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设P(λ，λ，2－λ)，Q(0，2，μ)(0≤λ≤2，且0≤μ≤2)，可得PQ＝，∵2(λ－1)2≥0，(2－λ－μ)2≥0，∴2(λ－1)2＋(2－λ－μ)2＋2≥2，当且仅当λ－1＝2－λ－μ＝0时，等号成立，此时λ＝μ＝1，即当P，Q分别为AB，CD的中点时，PQ取得最小值. 12. (2025·山西高二期中)如图所示，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝2AC＝2，沿AC将△ACD折起到△PAC的位置，使得点P到点B的距离为，则二面角P－AC－B的大小为 　.  【解析】 依题意，PC⊥AC，AC⊥AB，则··＝0，||＝1，||＝||＝2，设P－AC－B的大小为θ，则θ与<>互补，而，则2·2·2·，||＝，于是13＝4＋1＋4＋2×2×2cos<>，解得cos<>＝，∴cos θ＝－cos<>＝，又θ∈，∴θ＝. 四、 解答题(本大题共3小题，共38分) 13. (10分)(2025·四川宜宾模拟)如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，AB＝1，AA1＝2. (1)证明：平面B1MC⊥平面AMC； 证明： 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，M(0，0，1)，C(0，1，0)，B1(1，1，2)， ∴＝(0，1，－1)，＝(－1，1，0)，＝(1，0，2)， 设平面B1MC的法向量为n＝(x，y，z)， 则取n＝(2，－1，－1)， 设平面AMC的法向量为m＝(a，b，c)， 则取m＝(1，1，1)， ∵n·m＝1×2＋(－1)×1＋(－1)×1＝0，即n⊥m， ∴平面B1MC⊥平面AMC. (2)求平面MAC与平面B1AC的夹角的余弦值. 解： 设平面B1AC的法向量为u＝(x0，y0，z0)，则取u＝(2，2，－1)， 设平面MAC与平面B1AC的夹角为θ，则cos θ＝， ∴平面MAC与平面B1AC的夹角的余弦值为. 14. (13分)(2025·广东广州高二期中)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，BB1的中点. (1)证明：CF∥平面A1BE； 证明： 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(2，2，0)，F(2，0，1)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，E(0，2，1)，则＝(0，－2，1)，＝(2，0，－2)，＝(－2，2，1)， 设平面A1BE的法向量为m＝(x，y，z)， 则取x＝2，则m＝(2，1，2)， 由于m·＝0＋(－2)＋2＝0，故m⊥， 又CF⊄平面A1BE，故CF∥平面A1BE. (2)求平面EA1B与平面A1BA所成角的正弦值； 解： 由(1)知平面A1BE的法向量m＝(2，1，2)，平面A1BA的一个法向量n＝(0，1，0)， 设平面A1BE与平面A1BA所成角为θ，则cos θ＝|cos<m，n>|＝，由于θ∈，故sin θ＝. (3)求点A到平面A1BE的距离. 解： 由于＝(0，0，2)，平面A1BE的法向量m＝(2，1，2)，点A到平面A1BE的距离d＝. 15. (15分)(2025·湖北高二阶段检测)如图1所示，在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝AD＝DC＝1，将△ABD沿BD翻折，使平面ABD⊥平面BCD.如图2所示，BD的中点为O. 图1　 图2 (1)证明：AO⊥平面BCD； 证明： ∵AB＝AD，BD的中点为O，∴AO⊥BD， 又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，根据面面垂直的性质可得AO⊥平面BCD. (2)若AD的中点为G，则线段AC上是否存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为？若存在，求出点H的位置；若不存在，请说明理由. 解： 取DC的中点为M，连接MO，则MO∥BC， 由图1直角梯形可知，ABMD为正方形，BM＝CM＝1，BD＝BC＝，DC＝2，∴BD⊥BC，BD⊥OM. 由(1)AO⊥平面BCD，可知OD，OM，OA两两互相垂直，分别以OD，OM，OA为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则O(0，0，0)，G，B，C，A， 设＝λ(0≤λ≤1)， ∴H ， 设平面GHB的法向量为n＝(x，y，z)， 取x＝λ，则n＝(λ，1－λ，－3λ)，即平面GHB的法向量为n＝(λ，1－λ，－3λ)， 由AO⊥平面BCD，取平面BCD的法向量m＝(0，0，1)， 设平面GHB与平面BCD的夹角为θ，则 cos θ＝|cos<m，n>|＝，解得λ＝，或λ＝－1(舍)，∴线段AC上存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为，此时点H位于线段AC上靠近点A的三等分点处. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何 强化训练(二) (时间：45分钟　分值：100分) 一、 单项选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1. (2025·北京高二阶段练习)已知m＝(－2，t，5)，n＝(3，－2，t)分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，则t的值为( 　) A. 1 B. 2 C. －1 D. －2 2. (2025·广东佛山高二阶段练习)已知点Q(1，2，3)位于平面α内，m＝(2，－1，2)是平面α的一个法向量，则点A(－1，0，1)到平面α的距离是( 　) A. B. C. 2 D. 3 3. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则直线A1M与DN的位置关系是( 　) A. 平行 B. 垂直 C. 异面垂直 D. 异面不垂直 4. (2025·湖北高二阶段练习)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝AA1＝2，E为A1C1的中点，则BA1与AE所成角的余弦值是( 　) A. B. C. D. 5. (2025·广东东莞高二期中)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且＝λ，若B1F∥平面A1BE，则λ为( 　) A. B. C. D. 6. (2025·上海高二期中)在正三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC且PA，PB，PC两两垂直，M是AB的中点，过直线BC作平面α，则直线PM与平面α所成角的最大值是( 　) A. B. C. D. 二、 多项选择题(本大题共2小题，每小题6分，共12分) 7. (2025·山东潍坊高二期中)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，下列说法中，正确的是( 　) A. AC⊥BD B. AB＝AC C. AB与平面BCD所成的角为60° D. AB与CD所成的角为60° 8. (2025·重庆江北高二期中)如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则下列说法中，正确的是( 　) A. BC1⊥CA1 B. BC1∥平面ACD1 C. 直线CA1与平面ABCD所成的角为45° D. 点D与平面ACD1的距离为 三、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 9. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，1，t)，B(2，2，4)，P(0，0，5)，若平面ABC的一个法向量为m＝(3，1，－1)，则直线AB的一个方向向量为 ，直线AP与平面ABC所成角的正弦值为 .  10. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中点，则OP与BD1的位置关系是 .  11. 如图所示，在棱长为2的正方体中，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上，若P，Q均为动点，则线段PQ长度的最小值是 .   12. (2025·山西高二期中)如图所示，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝2AC＝2，沿AC将△ACD折起到△PAC的位置，使得点P到点B的距离为，则二面角P－AC－B的大小为 .  四、 解答题(本大题共3小题，共38分) 13. (10分)(2025·四川宜宾模拟)如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，AB＝1，AA1＝2. (1)证明：平面B1MC⊥平面AMC； (2)求平面MAC与平面B1AC的夹角的余弦值. 14. (13分)(2025·广东广州高二期中)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，BB1的中点. (1)证明：CF∥平面A1BE； (2)求平面EA1B与平面A1BA所成角的正弦值； (3)求点A到平面A1BE的距离. 15. (15分)(2025·湖北高二阶段检测)如图1所示，在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝AD＝DC＝1，将△ABD沿BD翻折，使平面ABD⊥平面BCD.如图2所示，BD的中点为O. 图1　 图2 (1)证明：AO⊥平面BCD； (2)若AD的中点为G，则线段AC上是否存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为？若存在，求出点H的位置；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $