小升初奥数培优：工程问题（讲义）-2026-2027学年六年级下册数学人教版

六年级奥数培优讲义 · 工程问题 六年级奥数培优讲义 工 程 问 题 人教版 · 同步培优 【知识梳理 + 典型例题 + 分层练习 + 详细解析】 目 录 第一部分 知识思维导图 ................................... 3 第二部分 知识点梳理 ..................................... 4 第三部分 典型例题精讲 ................................... 6 一、基础合作问题 ..................................... 6 二、先做后合问题 ..................................... 8 三、轮流工作问题 .................................... 10 四、效率变化问题 .................................... 12 五、水管问题 ........................................ 14 第四部分 综合练习题 .................................... 16 第五部分 参考答案与解析 ................................ 20 第一部分 知识思维导图 图1 工程问题知识体系思维导图 第二部分 知识点梳理 一、工程问题的基本概念 工程问题是研究与工程建造有关的数学问题。在小学数学中，常见的有修路、建筑施工、工作完成等类型。 核心特点：题目中通常不给出工作总量的具体数值，只给出完成工作的时间或效率关系。 解题关键：把工作总量看作单位“1”，用分数表示工作效率。 二、基本数量关系 核心公式 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间 工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率 关键设定：如果甲单独做需要 a 天完成，则甲的工作效率为 （表示每天完成总量的 ）。 合作效率：多人合作时，合作效率 = 各人效率之和。 三、常用解题方法 1. 设单位“1”法：将总工程量设为“1”，是工程问题最常用的方法。 2. 最小公倍数法：当效率分母有公倍数时，设总工作量为最小公倍数，化分数为整数计算。 3. 方程法：设未知数，根据“工作量和 = 1”列方程求解。 4. 比例法：利用效率比、时间比的关系，快速求解。 5. 周期分析法：用于轮流工作问题，先算一个周期完成量，再计算剩余。 四、解题步骤总结 第一步：读题，圈出关键词（“单独做”“合作”“先做”“轮流”等） 第二步：确定题型（合作？轮流？部分完成？效率变化？） 第三步：设工作总量为“1”（或设最小公倍数） 第四步：计算各自的工作效率 第五步：根据题意分段计算或列方程 第六步：检验答案，规范作答 第三部分 典型例题精讲 一、基础合作问题 【题型特征】两人或多人同时工作，求合作完成的时间。 【解题思路】合作效率 = 甲效率 + 乙效率，合作时间 = 1 ÷ 合作效率 【例题1】一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。两人合作，需要多少天完成？ 解析： 解：设工作总量为1。 甲的工作效率 = （每天完成总量的 ） 乙的工作效率 = （每天完成总量的 ） 合作效率 = + = + = = 合作时间 = 1 ÷ = 6（天） 答：两人合作需要6天完成。 【例题2】修一条路，甲队单独修要20天，乙队单独修要30天。两队合修，多少天可以修完这条路？ 解析： 解：设工作总量为1。 甲队效率 = ，乙队效率 = 合作效率 = + = + = = 合作时间 = 1 ÷ = 12（天） 答：两队合修12天可以修完。 【例题3】加工一批零件，师傅单独做要8小时完成，徒弟单独做要24小时完成。师徒两人合作，几小时可以完成这批零件的 ？ 解析： 解：师傅效率 = ，徒弟效率 = 合作效率 = + = + = = 完成 需要的时间 = ÷ = × 6 = = 4.5（小时） 答：师徒合作4.5小时可以完成这批零件的 。 【练习题】 1. 一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要18天完成。两人合作需要多少天完成？ 2. 修一条水渠，甲队单独修要15天，乙队单独修要10天。两队合修，几天能修完？ 3. 打印一份稿件，小王单独打要6小时，小李单独打要12小时。两人合打3小时后，还剩下几分之几没打？ 二、先做后合问题 【题型特征】先由一人（或一队）单独做若干天，再合作完成剩余部分。 【解题思路】先计算单独完成的工作量，再求剩余工作量，最后用剩余工作量 ÷ 合作效率。 【例题4】一项工程，甲单独做需20天完成，乙单独做需30天完成。甲先单独做5天，剩下的由两人合作，还需多少天完成？ 解析： 解：甲效率 = ，乙效率 = 甲5天完成的工作量 = 5 × = = 剩余工作量 = 1 - = 合作效率 = + = + = = 合作所需时间 = ÷ = × 12 = 9（天） 答：还需要9天完成。 【例题5】一项工程，甲队单独做要15天完成，乙队单独做要10天完成。现在甲队先做3天，然后乙队加入一起合作，问从开始到完工一共用了多少天？ 解析： 解：甲效率 = ，乙效率 = 甲3天完成 = 3 × = = 剩余工作量 = 1 - = 合作效率 = + = + = = 合作时间 = ÷ = × 6 = = 4.8（天） 总时间 = 3 + 4.8 = 7.8（天） 答：从开始到完工一共用了7.8天。 【例题6】一件工作，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成。甲先做若干天后，由乙接着做完，两人共用16天。甲做了多少天？ 解析： 解：设甲做了 x 天，则乙做了 (16-x) 天。 甲效率 = ，乙效率 = 根据工作总量 = 1，列方程： + = 1 两边乘以36：3x + 2(16-x) = 36 3x + 32 - 2x = 36 x = 4 答：甲做了4天。 【练习题】 1. 一项工程，甲单独做需要24天，乙单独做需要36天。甲先做6天后，剩下的两人合作，还需多少天？ 2. 修一条路，甲队单独修要12天，乙队单独修要18天。甲队先修4天，剩下的两队合修，还需几天？ 3. 一项工作，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。现在两人合做若干天后，甲因事离开，乙又单独做了5天完成。两人合作了多少天？ 三、轮流工作问题 【题型特征】甲做1天，乙做1天，交替轮流工作。 【解题思路】找一个周期（如甲1天+乙1天=2天）的工作量，看总工作量包含几个完整周期，剩余部分再单独计算。 【例题7】一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要18天完成。两人按甲1天、乙1天的顺序轮流工作，从甲开始。多少天可以完成这项工程？ 解析： 解：甲效率 = ，乙效率 = 一个周期（2天）完成量 = + = + = 完整周期数 = 1 ÷ = = 7.2，即7个完整周期 7个周期完成量 = 7 × = 剩余工作量 = 1 - = 第15天由甲单独做，甲一天做 = > 所以甲一天可以完成剩余工作 总天数 = 7 × 2 + 1 = 15（天） 答：15天可以完成。 【例题8】一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成。按乙、甲、乙、甲……的顺序轮流工作，从乙开始。几天可以完成？ 解析： 解：甲效率 = ，乙效率 = 一个周期（2天）完成量 = + = + = = 完整周期数 = 1 ÷ = 6个完整周期 6个周期 = 12天，正好完成全部工作 答：12天可以完成。 【练习题】 1. 一项工程，甲单独做需15天，乙单独做需20天。按甲、乙、甲、乙……的顺序轮流，从甲开始，几天完成？ 2. 修一条路，甲队单独修8天完成，乙队单独修12天完成。两队按乙、甲、乙、甲……轮流修，几天修完？ 3. 一项工作，甲单独做18天完成，乙单独做24天完成。两人轮流做，甲先做1天，乙再做1天，如此交替，完成这项工作需要多少天？ 四、效率变化问题 【题型特征】中途工作效率发生变化（提高或降低）。 【解题思路】分段计算，先求原效率，再求变化后的新效率，分别计算各阶段工作量。 【例题9】一项工程，甲单独做需要24天完成。甲做了6天后，效率提高了25%，问照此速度，还需要多少天完成剩余工程？ 解析： 解：原效率 = 前6天完成 = 6 × = = 剩余工作量 = 1 - = 效率提高25%，新效率 = × (1 + 25%) = × = 剩余时间 = ÷ = × = = 14.4（天） 答：还需要14.4天完成。 【例题10】一项工程，原计划8人15天完成。实际开工时增加了2人，且每人效率提高了20%。实际多少天可以完成？ 解析： 解：设每人原效率为1，总工作量 = 8 × 15 × 1 = 120 实际人数 = 8 + 2 = 10人 实际每人效率 = 1 × (1 + 20%) = 1.2 实际每天工作量 = 10 × 1.2 = 12 实际天数 = 120 ÷ 12 = 10（天） 答：实际10天可以完成。 【练习题】 1. 一项工程，乙单独做30天完成。乙做了10天后，效率提高了50%，问还需多少天完成？ 2. 修一条路，计划10人12天完成。实际增加了5人，且每人效率提高了25%。实际几天完成？ 3. 一项工作，甲单独做要20天完成。甲做了5天后，因事效率降低了20%，完成这项工作一共用了多少天？ 五、水管问题 【题型特征】有进水管和出水管，同时或轮流工作。 【解题思路】进水效率为正，出水效率为负。净效率 = 进水效率 - 出水效率。 【例题11】一个水池，单开进水管4小时可以注满，单开出水管6小时可以放完。如果两管同时打开，多少小时可以注满空池？ 解析： 解：进水效率 = （每小时注入 ） 出水效率 = （每小时放出 ） 净效率 = - = - = 注满时间 = 1 ÷ = 12（小时） 答：12小时可以注满空池。 【例题12】蓄水池有甲、乙两个进水管。单开甲管10小时注满，单开乙管15小时注满。现两管同时开放，中途甲管关闭，从开始到注满共用9小时。甲管开放了多少小时？ 解析： 解：甲效率 = ，乙效率 = 乙全程工作9小时，注水 = 9 × = = 甲注水 = 1 - = 甲工作时间 = ÷ = × 10 = 4（小时） 答：甲管开放了4小时。 【练习题】 1. 一个水池，单开甲管5小时注满，单开乙管8小时放完。两管同时开，几小时注满？ 2. 单开进水管3小时注满，单开出水管5小时放完。池内有半池水，如果同时开进水和出水，几小时能注满？ 3. 一个水池有甲、乙两管。单开甲管6小时注满，单开乙管12小时放完。现在池内有 的水，两管同时开，几小时注满？ 第四部分 综合练习题 （综合运用所学知识，独立完成以下题目） 【基础巩固】 1.（2024秋 永登县期末真题）城区有48千米旧城道路需要改造，甲施工队独立做要60天完成，乙施工队独立做要40天完成。甲乙两队合做，需要多少天才能完成？ 2.（2025 香洲区真题）一项工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成。两队合作3天后，剩下的工程由甲队单独做，还需要多少天？ 3.（2025 东莞市真题）一项工程，甲队单独做12天完成，乙队单独做8天完成。两队合作4天，还剩这项工程的几分之几没有完成？ 4.（2024秋 顺义区期末真题）一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成。两队合作4天后，剩下的任务由乙单独完成，乙还需要多少天？ 5.（2025 海珠区真题）一个蓄水池，甲注水管4小时可以注满，乙注水管5小时可以注满。同时打开甲、乙两个注水管，需要几小时可以注满水池？ 6.（2024秋 宁海县期末真题）学校采购一批体育用品，这笔钱如果全部买篮球可以买20个，如果全部买足球可以买30个。如果一个篮球配一个足球为一套，这笔钱可以买多少套？ 【能力提升】 7.（2025 天心区真题）一项工程，甲、乙两人合做需30天完成，乙、丙两人合做需20天完成，甲、丙两人合做需20天完成。甲、乙、丙三人合做需要多少天完成？ 8.（2025 丰城市真题）一件工程，甲、乙两个工程队合作需要6天完成，甲队单独做需要15天完成。乙队单独做需要多少天完成？ 9.（2025 潮安区真题）一项工程，甲队单独完成需要20天，乙队单独完成需要15天。甲队先单独做了6天，剩下的由两队合作完成。甲、乙两队合作了多少天？ 10.（2025 同江市真题）修一条路，甲队单独修要20天，乙队单独修要30天。现在两队合修5天后，甲队调走，剩下的由乙队单独完成，乙队还需要多少天？ 11.（2024秋 凉山州期末真题）修一条跑道，甲队独修要30小时，乙队独修要20小时。现在两队合修，中途甲队休息了5小时，乙队没有休息。修完这条跑道共要多少小时？ 12.（2025 文成县真题）甲、乙两队合修一条铁路，甲队单独修需要4天完成，乙队单独修需要5天完成。现在甲队先修3天，剩下的由乙队来修，一共需要多少天才能修完？ 【拓展挑战】 13.（2024秋 曲靖市期末真题）一项工作，甲单独做9小时完成，乙单独做6小时完成，丙单独做12小时完成。甲先单独做2小时后，余下的工作由乙和丙合作完成。完成这项工作还需要几小时？ 14.（2025 井冈山市真题）甲、乙合做一项工程，24天完成任务。如果甲队做6天，乙队做4天，只能完成工程的 。甲队单独完成任务需要多少天？ 15.（2025 邹城市真题）学校科技节布置展台，小蓝独自组装所有机器人模型需要6小时，小橙独自完成需要9小时。两人合作组装2小时后，完成了全部任务的几分之几？剩下的由小蓝单独做，还需要多少小时完成？ 16.（2025 重庆名校冲刺真题）有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮流做。原计划按甲、乙、丙的次序轮流做，恰好整数天完成；如果按乙、丙、甲的次序轮做，比原计划多用半天；如果按丙、甲、乙的次序轮做，比原计划多用天。已知甲单独做这项工程需要13天完成，且三个工程队的工作效率各不相同。这项工程由甲、乙、丙三队合作，需要多少天完工？ 17.（2025 黄州区真题）一项工作，甲单独做需要4天完成，乙单独做需要5天完成。甲、乙工作效率的最简整数比是多少？两人合作多少天后还剩下这项工作的 ？ 18.（2024 重庆沙坪坝小升初真题）蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管。要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时；要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时。现在池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序轮流打开，每次开1小时，那么多少小时后水开始溢出水池？ 第五部分 参考答案与解析 【第三部分练习题答案】 基础合作问题练习题： 1. 合作效率 = + = ，合作时间 = 1 ÷ = 7.2天 2. 合作效率 = + = ，合作时间 = 1 ÷ = 6天 3. 合作效率 = + = ，3天完成 ，剩余 先做后合问题练习题： 1. 甲6天完成 = ，剩余 ，合作效率 = + = ，时间 = ÷ = 10.8天 2. 甲4天完成 = ，剩余 ，合作效率 = + = ，时间 = ÷ = 4.8天 3. 设合作x天，则 x( + ) + = 1，解得 x = 6天 轮流工作问题练习题： 1. 周期完成量 = + = ，8个周期后剩余 ，第17天甲做，共17天 2. 周期完成量 = + = ，4个周期后剩余 ，第9天乙做，共9天 3. 周期完成量 = + = ，10个周期后剩余 ，第21天甲做，共21天 效率变化问题练习题： 1. 前10天完成 = ，剩余 ，新效率 = × 1.5 = ，时间 = ÷ = 13.3天 2. 总工作量 = 10 × 12 = 120，实际每天 = 15 × 1.25 = 18.75，天数 = 120 ÷ 18.75 = 6.4天 3. 前5天完成 = ，剩余 ，新效率 = × 0.8 = ，时间 = ÷ = 18.75天，总共 23.75天 水管问题练习题： 1. 净效率 = - = ，时间 = 1 ÷ = 13.3小时 2. 净效率 = - = ，需注 ，时间 = ÷ = 3.75小时 3. 净效率 = - = ，需注 ，时间 = ÷ = 8小时 【第四部分综合练习题答案】 基础巩固： 1. 解：甲效率 = ，乙效率 = 合作效率 = + = + = = 合作时间 = 1 ÷ = 24（天） 答：甲乙两队合做需要24天完成。 2. 解：甲效率 = ，乙效率 = 合作效率 = + = + = 3天合作完成 = 3 × = 剩余 = 1 - = 甲单独做还需 = ÷ = 5（天） 答：甲队还需要5天。 3. 解：甲效率 = ，乙效率 = 合作效率 = + = + = 4天完成 = 4 × = = 剩余 = 1 - = 答：还剩这项工程的 没有完成。 4. 解：甲效率 = ，乙效率 = 合作效率 = + = + = 合作4天完成 = 4 × = 剩余 = 1 - = 乙还需时间 = ÷ = 2（天） 答：乙还需要2天。 5. 解：甲效率 = ，乙效率 = 合作效率 = + = + = 注满时间 = 1 ÷ = = 2又（小时） 答：需要 小时（约2.22小时）注满水池。 6. 解：把总钱数看作单位“1”。 每个篮球占总钱数的 ，每个足球占总钱数的 一套（一个篮球+一个足球）占 + = + = = 可买套数 = 1 ÷ = 12（套） 答：这笔钱可以买12套。 能力提升： 7. 解：设甲、乙、丙效率分别为a、b、c。 a+b = ① b+c = ② a+c = ③ ①+②+③得：2(a+b+c) = + + = + + = = 所以 a+b+c = 三人合作时间 = 1 ÷ = 15（天） 答：三人合做需要15天完成。 8. 解：合作效率 = ，甲效率 = 乙效率 = - = - = = 乙单独做时间 = 1 ÷ = 10（天） 答：乙队单独做需要10天完成。 9. 解：甲效率 = ，乙效率 = 甲6天完成 = 6 × = 剩余 = 1 - = 合作效率 = + = + = 合作时间 = ÷ = × = 6（天） 答：甲、乙两队合作了6天。 10. 解：甲效率 = ，乙效率 = 合作效率 = + = + = 5天合作完成 = 5 × = 剩余 = 1 - = 乙还需时间 = ÷ = × 30 = 17.5（天） 答：乙队还需要17.5天。 11. 解：甲效率 = ，乙效率 = 设共用x小时，甲休息5小时，实际做了(x-5)小时，乙做了x小时。 列方程： + = 1 两边乘60：2(x-5) + 3x = 60 2x - 10 + 3x = 60，5x = 70，x = 14 答：修完这条跑道共要14小时。 12. 解：甲效率 = ，乙效率 = 甲3天完成 = 3 × = 剩余 = 1 - = 乙还需时间 = ÷ = = 1.25（天） 总时间 = 3 + 1.25 = 4.25（天） 答：一共需要4.25天修完。 拓展挑战： 13. 解：设这项工作的总工作量为1。 甲的效率 = ，乙的效率 = ，丙的效率 = 甲先单独做2小时，完成 = 2 × = 剩余工作量 = 1 - = 乙、丙合作效率 = + = + = = 还需时间 = ÷ = × 4 = = 3又（小时） 答：完成这项工作还需要 小时（即3又小时，约3小时7分钟）。 14. 解：设甲效率为a，乙效率为b。 a + b = ① 6a + 4b = ② 由①×4得：4a + 4b = ③ ②-③得：2a = - = - = a = 甲单独完成时间 = 1 ÷ = 60（天） 答：甲队单独完成需要60天。 15. 解：小蓝效率 = ，小橙效率 = 合作效率 = + = + = 2小时完成 = 2 × = 剩余 = 1 - = 小蓝还需时间 = ÷ = × 6 = = 2又（小时） 答：合作2小时完成了 ，小蓝还需 小时完成。 16. 解：设甲、乙、丙的工作效率分别为a、b、c，甲的效率 a = 。 原计划按甲、乙、丙的顺序轮流，恰好整数天完成。一个完整周期（甲、乙、丙各做1天）完成 a+b+c。 换顺序后所需时间不同，说明完成时不是整数个周期，剩余工作由周期开头的人完成。 若整数个周期刚好完成，则三种顺序所用天数相同，与题意矛盾； 若余下工作由甲单独1天完成，则乙、丙顺序也应各用整数天完成，不会多出半天或天，同样矛盾。 所以原计划是在整数个周期后，再由甲、乙各做1天完成，即：n(a+b+c) + a + b = 1。 按乙、丙、甲顺序：n(a+b+c) + b + c + = 1，对比得 a + b = b + c + ，所以 c = = 。 按丙、甲、乙顺序：n(a+b+c) + c + a + = 1，对比得 a + b = c + a + ，所以 = c，b = 3c = 。 检验：a = ，b = ，c = ，三者各不相同，符合题意。 三人合作效率 = a + b + c = = = 合作时间 = 1 ÷ = = 4又（天） 答：甲、乙、丙三队合作需要 天（即4又天）完工。 17. 解：甲效率 = ，乙效率 = 效率比 = : = 5 : 4（最简整数比） 合作效率 = + = + = 需完成 = 1 - = 合作时间 = ÷ = × = 2（天） 答：甲、乙效率比为5:4，合作2天后还剩 。 18. 解：把蓄水池的容量看作单位1。甲、丙为进水管，乙、丁为排水管。 甲每小时进水 ，乙每小时排水 ，丙每小时进水 ，丁每小时排水 。 按甲、乙、丙、丁的顺序轮流各开1小时，4小时为一个周期， 一个周期净进水 = - + - = - + - = 。 池内原有 池水。乙、丁是排水管，水只会在甲或丙进水时溢出。 先算5个完整周期（20小时）后，池内有水： + 5 × = + = = 。 （检验：4个完整周期后池内只有 + 4 × = ，此后甲、丙各进水1小时都不到1，不会溢出。） 此时轮到甲管进水，甲管每小时进 = ，只需再注入 1 - = = 就溢出。 甲管还需注水时间 = ÷ = × 3 = （小时）。 总时间 = 5 × 4 + = 20又（小时）。 答：20又小时后水开始溢出水池。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $