精品解析：福建泉州市泉港区第二中学2026-2027学年高三上学期开学学情调研测试数学试题

2027届泉港二中高三学情调研测试 数学 一、单选题 1. 已知一组数据12，10，8，15，6，8，这组数据的中位数是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】将这组数据从小到大排列为6，8，8，10，12，15，中间的两个数为8和10， 则中位数为. 2. 设，是平面内的一组基底，平面向量，．若存在实数，使得，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】因为向量，， 则， 因为，是平面内一组基底，所以，解得. 3. 已知函数，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，代入则得到斜率，再得到点斜式方程即可求解 【详解】由可得， 所以，， 故曲线在处的切线方程为即， 故选：A 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出集合，然后按照集合交集的运算求解. 【详解】, ，因为， 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，. 根据正弦函数的周期性，当时，函数值重复出现， 所以，所以. 5. 若直线交抛物线于两点，则（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】已知抛物线方程，则焦点，准线为， 设， 联立直线方程与抛物线方程得， 则， 因为直线过焦点， 所以由抛物线焦点弦的性质可得． 6. 若函数的最大值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求导，再分类讨论，根据导数和函数最值的关系即可求出. 【详解】的定义域为， 当时，单调递增，无最大值，不合题意； 当时，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 所以，即， 又在上单调递增，， 所以． 故选：A. 7. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆柱侧面积的最大值问题，转化为关于圆柱底面半径的二次函数的最值问题. 【详解】由的底面半径，母线长， 所以圆锥的高. 由题可设圆柱的底面半径为()，高为. 由得，即，截得. 所以圆柱的侧面积 所以当时，侧面积取得最大值为. 8. 设为空间中点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量X如下：对中的每个点，令，则X的数学期望值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求得，求得随机变量X的取值，利用古典概型概率公式求得对应的概率，进而利用期望公式求得期望. 【详解】由题意得，随机变量X的取值为. 则，，， ，，， 所以. 二、多选题 9. 给出下列命题，其中正确命题为（ ） A. 随机变量，若，则 B. 随机变量X服从正态分布，，则 C. 一组数据的线性回归方程为，若，则 D. 对于独立性检验，随机变量的观测值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 【答案】AD 【解析】 【分析】A项，由二项分布的期望与方差公式解方程可得；B项，由正态曲线的对称性可得；C项，先求出，由样本中心点在回归直线上，代入，可得，进而求得；D项，根据对独立性检验思想的理解可得. 【详解】A项，随机变量， 若，则， 解得，故A项正确； B项，由于随机变量X服从正态分布，， ，，故B项错误； C项，一组数据的线性回归方程为， 因为，则， 由样本中心点在回归直线方程上得， ；即，故C项错误； D项，对于独立性检验，随机变量的观测值值越小， 判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故D项正确． 故选：AD. 10. 若函数 的部分图象如右图所示，且，则（ ） A. B. 是 的一个对称中心 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题得得即可判断A，再由定义域得，进而判断B，由结合诱导公式即可求得进而判断D，计算结合诱导公式即可判断C. 【详解】由题意得：，故A正确； 由，所以，又， 当时，， 所以，所以， 所以 是 的一个对称中心，故B正确； 又， 所以，故D正确； 所以， 所以， 又， 所以，故C错误. 11. 数学家傅里叶证明了所有的器乐和声乐的声音都可用简单正弦函数的和来描述，其中频率最低的称为基音，其余的称为泛音，而泛音的频率都是基音频率的整数倍，所以我们听到声音的函数是，设声音函数，函数则（ ） A. 关于中心对称 B. 的最大值是 C. 是的一个周期 D. 若恰有一个零点时，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数的对称性，只需求得，则可判断A；对求导，求出函数的单调区间，结合图象即可求出最大值，则B可判断；求出，化简后看结果是否与相等即可判断C；对进行多次求导分析，结合隐零点问题的常见解题思维（设而不求）即可判断D. 【详解】对于A，， 关于中心对称，A选项正确； 对于B，， 所以是的一个周期， ， 令，即， 解得或， 所以或或， 当时，，即函数单调递增； 当时，，即函数单调递减； 当时，，即函数单调递增； 又当时，； 当时，； 所以，B选项正确； 对于C，； 不是的一个周期，C选项错误；    对于D，由题意得， 注意到， ，， 令，则，， 令，， 其中， 则当时，取最小值，最小值为， 若，即时，恒成立， 从而在R上单调递增， 又，则时，，时，， 即时，递减， 时，递增， 从而有最小值， 所以在R上递增，又， 所以只一个零点， 当时,存在，使得当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 当时，， 又， 所以在上有零点，且，不满足恰有一个零点， 所以若恰有一个零点时，a的取值范围为，选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 椭圆的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【详解】椭圆标准方程为， 表示焦点在轴的椭圆，且，，所以， 所以椭圆的离心率为. 13. 已知∈（0，），且满足，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】运用降幂公式、两角和的余弦公式进行化简，结合角的范围可得，进而可求，利用二倍角公式和齐次化即可求的值. 【详解】因为，，所以， 由得， 即，所以， 所以，得， 所以． 故答案为： 14. 设正实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续项，，，是公差为的等差数列，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目意思，将连续三项作为一个组块，然后根据分析某连续项的起点项，来进行分类讨论列出方程组求解. 【详解】由题知，令为数列的前项和，记， 当时，，当时，， 则，令连续三项作为一个组块， 设这连续项为，若这项正好为连续的三个组块， 则，可得，矛盾，无解； 若这项中只有两个完整的组块，当这项下标为， 则，相减可得， 当这项下标为，则， 两式相减得，所以， 所以当时，最小，且为. 四、解答题 15. 如图，在中，为边上一点，且. （1）求； （2）若，求. 【答案】（1）6； （2）3. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理列式解方程即得. （2）由（1）的信息，利用正弦定理、余弦定理求解即得. 【小问1详解】 设，则， 由余弦定理可得， 即，得， 所以. 【小问2详解】 由，得，则. 由正弦定可得，解得. 由余弦定理得， 即，而，所以. 16. 有动物类和植物类两个谜语题库，甲猜对动物类、植物类题库中每道谜语的概率分别为0.8，0.5．现有两种答题方案：方案一，甲先从动物类题库中选一道谜语作答，猜对得奖金15元，且只有猜对该道谜语，才有资格从植物类题库中再选一道谜语作答，猜对第二道得奖金25元；方案二，甲从动物类题库中选两道谜语作答，每猜对一道得奖金15元. （1）若甲选择方案一的奖金金额为X元，求X的分布列与期望. （2）以甲获得奖金金额的期望值为决策依据，他应该选择哪个方案?并说明理由. 【答案】（1）X的分布列为 X 0 15 40 P 0.2 0.4 0.4 期望为22元 （2）甲应选择方案二，理由如下：设方案二的奖金金额为Y，设猜中动物类谜语的数量为，则， 由题意， 则，所以（元）， 因为， 所以甲应选择方案二. 【解析】 【分析】（1）由题意可得X的可能取值，分别求出各个取值对应的概率，列出分布列，代入公式，可得期望. （2）设方案二的奖金金额为Y，设猜中动物类谜语的数量为，可得，根据二项分布期望公式，求出，比较即可得答案. 【小问1详解】 若甲选择方案一，则奖金金额为X可取0,15,40， 设“猜对动物类谜语”为事件A，则， 猜对“植物类谜语”为事件B，则，且A，B相互独立， 则， ， ， 所以X的分布列为 X 0 15 40 P 0.2 0.4 0.4 期望（元）. 【小问2详解】 略 17. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）若，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明： 如图，连接，设，连接． 因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，所以为的中点． 因为为的中点，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为，， 又，平面，平面， 所以平面，又平面，所以． 因为，所以，，两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，， 设平面的法向量为，则即， 令，则，于是． 所以点到平面的距离． 18. 已知双曲线C：的左焦点为，离心率为2． （1）求C的方程： （2）设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P，Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R． （ⅰ）若的面积是的面积的6倍，求l的方程； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）根据焦点及离心率的定义即可求解； （2）（ⅰ）通过联立直线与双曲线的方程，利用根与系数的关系以及三角形面积公式即可求解；（ⅱ）由于是直线与的夹角，列出的表达式即可求解. 【小问1详解】 已知双曲线C：的左焦点为，离心率． 则，，解得，，因此双曲线的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）如图所示，设直线l的方程为，其中斜率， 设点，点，且，根据双曲线的中心对称性可知，点， 联立直线与双曲线方程，得，化简得， 其中. 由根与系数的关系，可得，， 因为Q点在第三象限，所以，所以． 因为R是P关于原点O的对称点，所以O是线段PR的中点， 因此，所以， 由于，所以， ，， 所以，由于，，所以简化为， 代入韦达定理，得，则， 化简得，由于，解得， 所以直线l的方程为，即. （ⅱ）由题意，即为直线QP与直线QR的夹角， 直线QP即直线l，方程为， 点，点，点，直线QP的斜率， 直线QR的斜率， 由于P，Q在直线上，有，， 则，代入， 则， 设直线QP的倾斜角为，直线QR的倾斜角为，则， 因此， 即， 又因为单调递减，所以的取值范围． 19. 已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． （1）若，判断是否是中的元素，请说明理由； （2）若，求a的取值范围； （3）若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【答案】（1）不是，理由为： ，，则不是中的元素. （2）； （3） 证明：对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 【解析】 【分析】（1）直接代入计算和即可； （2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案； （3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届泉港二中高三学情调研测试 数学 一、单选题 1. 已知一组数据12，10，8，15，6，8，这组数据的中位数是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 2. 设，是平面内的一组基底，平面向量，．若存在实数，使得，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知函数，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若直线交抛物线于两点，则（ ） A. B. 4 C. D. 8 6. 若函数的最大值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 7. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 设为空间中点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量X如下：对中的每个点，令，则X的数学期望值为（ ） A. B. C. 0 D. 二、多选题 9. 给出下列命题，其中正确命题为（ ） A. 随机变量，若，则 B. 随机变量X服从正态分布，，则 C. 一组数据的线性回归方程为，若，则 D. 对于独立性检验，随机变量的观测值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 10. 若函数 的部分图象如右图所示，且，则（ ） A. B. 是 的一个对称中心 C. D. 11. 数学家傅里叶证明了所有的器乐和声乐的声音都可用简单正弦函数的和来描述，其中频率最低的称为基音，其余的称为泛音，而泛音的频率都是基音频率的整数倍，所以我们听到声音的函数是，设声音函数，函数则（ ） A. 关于中心对称 B. 的最大值是 C. 是的一个周期 D. 若恰有一个零点时，则的取值范围为 三、填空题 12. 椭圆的离心率为________． 13. 已知∈（0，），且满足，，则______. 14. 设正实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续项，，，是公差为的等差数列，则的最小值为______． 四、解答题 15. 如图，在中，为边上一点，且. （1）求； （2）若，求. 16. 有动物类和植物类两个谜语题库，甲猜对动物类、植物类题库中每道谜语的概率分别为0.8，0.5．现有两种答题方案：方案一，甲先从动物类题库中选一道谜语作答，猜对得奖金15元，且只有猜对该道谜语，才有资格从植物类题库中再选一道谜语作答，猜对第二道得奖金25元；方案二，甲从动物类题库中选两道谜语作答，每猜对一道得奖金15元. （1）若甲选择方案一的奖金金额为X元，求X的分布列与期望. （2）以甲获得奖金金额的期望值为决策依据，他应该选择哪个方案?并说明理由. 17. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）若，求点到平面的距离． 18. 已知双曲线C：的左焦点为，离心率为2． （1）求C的方程： （2）设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P，Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R． （ⅰ）若的面积是的面积的6倍，求l的方程； （ⅱ）求的取值范围． 19. 已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． （1）若，判断是否是中的元素，请说明理由； （2）若，求a的取值范围； （3）若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $