福建泉州市泉港区第二中学2026-2027学年高三上学期开学学情调研测试数学试题

2027届泉港二中高三学情调研测试 数学 一、单选题 1. 已知一组数据12，10，8，15，6，8，这组数据的中位数是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 2. 设，是平面内的一组基底，平面向量，．若存在实数，使得，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知函数，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若直线交抛物线于两点，则（ ） A. B. 4 C. D. 8 6. 若函数的最大值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 7. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 设为空间中点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量X如下：对中的每个点，令，则X的数学期望值为（ ） A. B. C. 0 D. 二、多选题 9. 给出下列命题，其中正确命题为（ ） A. 随机变量，若，则 B. 随机变量X服从正态分布，，则 C. 一组数据的线性回归方程为，若，则 D. 对于独立性检验，随机变量的观测值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 10. 若函数 的部分图象如右图所示，且，则（ ） A. B. 是 的一个对称中心 C. D. 11. 数学家傅里叶证明了所有的器乐和声乐的声音都可用简单正弦函数的和来描述，其中频率最低的称为基音，其余的称为泛音，而泛音的频率都是基音频率的整数倍，所以我们听到声音的函数是，设声音函数，函数则（ ） A. 关于中心对称 B. 的最大值是 C. 是的一个周期 D. 若恰有一个零点时，则的取值范围为 三、填空题 12. 椭圆的离心率为________． 13. 已知∈（0，），且满足，，则______. 14. 设正实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续项，，，是公差为的等差数列，则的最小值为______． 四、解答题 15. 如图，在中，为边上一点，且. （1）求； （2）若，求. 16. 有动物类和植物类两个谜语题库，甲猜对动物类、植物类题库中每道谜语的概率分别为0.8，0.5．现有两种答题方案：方案一，甲先从动物类题库中选一道谜语作答，猜对得奖金15元，且只有猜对该道谜语，才有资格从植物类题库中再选一道谜语作答，猜对第二道得奖金25元；方案二，甲从动物类题库中选两道谜语作答，每猜对一道得奖金15元. （1）若甲选择方案一的奖金金额为X元，求X的分布列与期望. （2）以甲获得奖金金额的期望值为决策依据，他应该选择哪个方案?并说明理由. 17. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）若，求点到平面的距离． 18. 已知双曲线C：的左焦点为，离心率为2． （1）求C的方程： （2）设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P，Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R． （ⅰ）若的面积是的面积的6倍，求l的方程； （ⅱ）求的取值范围． 19. 已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． （1）若，判断是否是中的元素，请说明理由； （2）若，求a的取值范围； （3）若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 2027届泉港二中高三学情调研测试 数学 一、单选题 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、多选题 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1）6； （2）3. 【16题答案】 【答案】（1）X的分布列为 X 0 15 40 P 0.2 0.4 0.4 期望为22元 （2）甲应选择方案二，理由如下：设方案二的奖金金额为Y，设猜中动物类谜语的数量为，则， 由题意， 则，所以（元）， 因为， 所以甲应选择方案二. 【17题答案】 【答案】（1）证明： 如图，连接，设，连接． 因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，所以为的中点． 因为为的中点，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【19题答案】 【答案】（1）不是，理由为： ，，则不是中的元素. （2）； （3） 证明：对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $