2027届高三数学一轮复习测试卷（七）—三角函数与平面向量

**基本信息** 高三数学一轮复习模拟卷，涵盖函数、几何、向量等核心知识，通过分层设问与跨模块综合题，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力，适配高考真题命题趋势。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|函数零点、解三角形、立体几何二面角|结合图像与空间想象，如圆柱展开与正弦曲线关联| |多选题|3|向量“奔驰定理”、三角形动态问题|多选项辨析，考查数学思维严谨性| |填空题|3|三角形面积、函数零点、平面向量最值|强调知识交汇，如向量模长与不等式结合| |解答题|6|三角函数图像性质、创新定义“可消点”|分层设问，如三角函数平移与零点个数综合，新定义问题考查数学语言表达|

高三数学初步模拟测试（七） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．2026·浙江专项复习设函数，若在区间内恰有4个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．2026·浙江专项复习在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若成等差数列，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．2026·浙江专项复习在锐角中，角的对边分别为，若，，则边上的中线长度的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．2026·浙江专项复习在三棱锥中，是正三角形，，记二面角，的平面角分别为，，，，则（ ） A． B． C． D． 5．2026·浙江专项复习如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（ ） A． B．1 C．3 D．2 6．2026·浙江专项复习已知，，是非零向量，与的夹角为，，，则，的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．2026·浙江专项复习在边长为2的正方体中，取3条棱的中点构成平面，平面截正方体的截面面积为，从剩余9条棱的中点在平面的投影为，记，当最大时，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8.2026·浙江专项复习在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:y2=2px()的焦点为F，直线x=3与抛物线C交于A，B两点，｜AF|=4，圆E为的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．2026·浙江专项复习“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 10．2026·浙江专项复习在中，，点P是等边（点O与C在的两侧）边上的一动点，若，则有（ ） A．当时，点必在线段的中点处 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最大值为 11．2026·浙江专项复习已知，，是互不相等的非零向量，其中，是互相垂直的单位向量，，记，，，则下列说法正确的是（ ） A．若，则O，A，B，C四点在同一个圆上 B．若，则的最大值为2 C．若，则的最大值为 D．若，则的最小值为 三、填空题 12．2026·浙江专项复习已知分别为锐角三个内角的对边，的面积，则的取值范围是 . 13．2026·浙江专项复习已知函数区间内没有零点，则的取值范围是 . 14.2026·浙江专项复习已知平面向量，，，满足，，，若平面向量（且），则的最小值是______. 四、解答题 15.2026·浙江专项复习点为平面上一点，有如下三个结论： ①若，则点为的______； ②若，则点为的______； ③若，则点为的______. 回答以下两个小问： （1）请你从以下四个选项中分别选出一项，填在相应的横线上. A．重心 B．外心 C． 内心 D．垂心 （2）请你证明结论②. 16.2026·浙江专项复习已知函数，． (1)若，求的对称轴方程； (2)若在上恰取得一次最大值和一次最小值，求的取值范围； (3)若在轴右侧的第一个零点为，令，且在内恰有6个零点，求实数． 17．2026·浙江专项复习已知函数 (1)求的最大值； (2)若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到 的图象，求的单调递增区间； (3)当时，的值域为，求的值． 18．2026·浙江专项复习已知函数的最小正周期为，图象的一个对称中心为，将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象. (1)求函数与的解析式； (2)当时，求方程解的个数； (3)求实数与正整数，使得在区间内恰有2025个零点. 19．2026·浙江专项复习若对于实数，关于的方程在函数的定义域上有实数解，则称为函数的“可消点”，若存在实数，对任意实数均为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对”． (1)若是“可消函数”，求函数的“可消数对”； (2)若为函数的“可消数对”，求的值； (3)若函数的定义域为，存在实数同时为的“可消点”与“可消点”，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $《高中数学错题综合卷（七）》参考答案 题号 y 2 3 4 5 6 7 10 11 答案 A D D B B D B ABC BC AD 题号 12 13 14 「25 答案 11V185 4 4V2 4 3 3'6 15.【详解】()对O,因为PA+PB+PC=0,故PA+PB=CP,取AB中点为D, 则PA+PB=2PD=CP,故P在AB边的中线CD上.同理P在AC,BC边的中线上，故P为 △ABC的重心 对②，同解析(2). 对®，先证明点P为△4BC平面上一点，则满足xPA+yPB+zPC=0,x,八，2不全为0的点P是 唯一的 证明：假设还有一点满足xQ1+0B+zQC=0,则有xQP+0P+0P=0,即 (x+y+z)0P=0故QP=0,此时2，P重合 所以点P是唯一的， 再证若P为△ABC外心时，sin2APA+sin2B.PB+sin2C.PC=0 证明：因为2sin2Asin2B·cos2C+2sin2B·sin2C.cos2A+2sin2Csin2Acos2B sin 24.sin(2B+2C)+sin 2B.sin(24+2C)+sin 2C.sin(24+2B) =-sin224-sin22B-sin22C 所以设△ABC的外接圆半径为r则 (sin 2A4-P4+sin 2B.PB+sin 2C.PC= r2(sin224+sin22B+sin22C) +r2(2sin 2A.sin 2B.cos 2C+2sin 2B.sin 2C.cos24+2sin 2C.sin 24.cos 2B) =r2(sin224+sin22B+sin22C)-r2(sin224+sin22B+sin22C)=0 即sin2A·PA+sin2B.PB+sin2C.PC-0 综上所述，P为△ABC外心 (2)对sin A.PA+-sinB.PB+-sinC.PC=0,由正弦定理有a-PA+b.PB+c.PC=0 aPA=-b-(PA+AB)-c-(PA+AC).(a+b+c).PA=-b.AB-c.AC AB AC AB AC (a+b+c).PA=-bc h AB AC AB AC 即 PA= -bc AB AC a+b+c 故 丽 ,故P在∠A的角平分线上，同理可证P点在∠B,∠C的角平 分线上.故P为△ABC的内心 +coswx 16【解析】(1)易知 1 sinwx+-coswx+ -sinwx- 2 2 coswx+coswx=3sinwx+coswx 因为w=1,所以例=2(+周引 -+kmkeZ 62 ,即可得 3 ； x=5+km,k∈Z 所以(x)的对称轴方程为3 (2)因为x∈[0,2列，w>0,所以6 sux+2s2πw+ 6 6: 又因函数y=∫（女在x[0,2风上恰有1个最大值和1个最小值： 3弧≤2πw+ 所以有 62: 2 7 、≤W< 解得3 6, 所以ω的取值范围为 5π +=km 212k (3)由题知12 6 k∈Z.所以 55 5元，Tπ 口因122w,所以(05 所以w=2: 又因 刘-f+w时（后-2ao2r+2ammr=-2-2mix+mr+刊 即-2sin2x+msix+1=0在(0,4)内有6个根： 令t=sinr,则有-2t2+mt+1=0, 显然△>0，所以-22+t+1=0有两不等实根，不妨设为5，么， +6=受.46=2，显然，6另号 1 则有 不妨设1s4<0,0<52≤1 1 0考4=-小，易知52，m=-1, 1 结合图象易知。s如x=-1在04切)上有2个根，s血x=2在04如上有4个根， 所以m=-1符合题目要求： ②若l<4<0,结合图象易知，sinr=i在(0,4)上有4个根， 故需sir=在(0,4)上有2个根，易知此时5=1： 1 代入方程得=2，m=1, 综上所述，m∈{l, 1 1 17.【解析】(1)由题意可得： (r)sin2xcos+cos2xsin=sm(2) 因为x∈R,所以fx)的最大值为2. (2)由平移变换知 侧-m(2+骨+p 2 g(x)=sin 2x 又因为 2 ，则3 +p=2k,k∈Z =-+2knkeZ ，解得 3 ,可w-9=号，u四(2-到 又因为受，可符 +2as2x骨经2eZ.解得asrs径+aeZ 令2 ，解得12 12 所以f()的单调递增区间为12 +a晋+如e [ 「111 此时f0的值域为4'2] 因为 e号.用w 且2 w8o(号o仔 +p≥π 6 6 4可知 /π+ps7π 6,解得3 psπ 6 2×5+0=7 = 6,或2 ,解得 3,或6， π 所以P的值为3或6. 兀，∴.w 18【解析】(1)函数f()=sin(ar+o)w>0,0<p<)的周期为元 2-2 T 又曲线y=∫x)的一个对称中心为 得可a可放用×导小-0，将 2, 所以/(x=cos2x 将函数∫()图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=©osx的图 象，再将y=cosx的图象向右平移2个单位长度后得到函 gx=osx-2)的图象 ..g(x)=sinx (2)当x∈(0,2m)时，所求为方程sinco2x=sinx+2cos2x在区间(0,2m)内解的个数 代入cos2x=1-2sin2x,并记t=sinr, 问题化为1-2r)=1+21-2r）, 即2-4+2=2-0-1-刂=0 sine=1=1,1+5 1-5 解得 2或2， 在x∈(0,2)内分别有1个，0个，2个解，即所求解的个数为3个 (3)依题意，F()=asin+cos2x 令F(x)=asinx+cos2x=0 当sinx=0,即x=(keZ)时，cos2x=1, 从而x=(k∈Z)不是方程F()=0的解， :方程F(x)=0等价于方程 .q=-COs2x sinr,x≠ka(keZ) )=-cos2x=-1-2sin'x =2sinr-1 sinx sinx sing≠a(kez) y=simx的图象在区间0，内关于直线一2对称，则h()的图象在区间(0，可内关于直线 ts 2对称， 4月-，则a时.商我=与准付在区向Q可阳有锅数个交 3π X= y=simx的图象在区间（元，2元内关于直线2对称，则h(x)的图象在区间（元，2元内关于 3π x= 直线2对称， ,则a≠-1时，直线y=a与曲线y=h(在区间（元，2m列内总有偶数个交点 由函数h()的周期性，可知当a≠±1时，直线y=a与曲线'=h(x)在区间何(0，m)内总有偶 数个交点， 从而不存在正整数n,使得直线y=a与曲线y=h()在区间(0，m)内恰有2025个零点： 由单调区间h(,当a=1或a=-l时，直线y=a与曲线y=h(在(0，U(x,2m内有3 个交点（在两个区间内为1+2或2+1个）， 由周期性，2025=3×675，n=675×2=1350 综上，当a=±，n=1350时，函数F()=/()+g()在区间0，m内拾有2025个零点 19.【解析】(1)由题意，任意xeR,(x+m+2)+(x-m+2)=n(x+2). 整理得2x+4=n(x+2列解得n=2,m可取任意实数。 因此f()的“可消数对”为m,2,m为任意实数。 (2)因为(m,l)为函数f()=sinrcosx的“可消数对”， 所以(m,1)为函数 儿2n2的“可消数对”， I sin2x 所以，对xeR，都有2n2r+m+n2(x-m= 1 sin2x 2 ，整理得 sin2x=0 1 os2m= m=±匹+km(keZ) 所以 2,所 6 (3)因为存 x∈0,4 使科月时为数=$mx的2内可消点”子 可消点”， 2cos sin 1 1 化简可得 sin'xo 医g +店4col_4-sm广+1_4sn-8sn+5.5.8 -+4 则 sin'xo sin"xo sinxo sin'xosin'xo, 所以+店=5m-8,+4≥8 故八+的最小值为8