福建福州市2026-2027学年高三年级上学期适应性练习数学试题

2026―2027学年福州市高三年级适应性练习 数　学 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．样本数据80，85，87，88，90，92，95的第50百分位数为 A．87 B．88 C．89 D．92 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．已知向量，不共线，且，则 A． B． C． D． 4．已知双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为 A． B． C． D． 5．如图，某广场摆放了石凳供大家休息，每张石凳是由一个正方体截去八个一样的四面体得到的几何体，数学上称之为阿基米德多面体．设被截正方体的棱长是，则每张石凳的表面积为 A． B． C． D． 6．已知等差数列的首项为1，公差为2．将各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表： 则这个三角形数表第10行所有数的和为 A．729 B．980 C．1000 D．1331 7．已知的图象关于原点对称，且在区间上单调递减，则 A． B． C． D． 8．已知函数的最小值为1，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则 A． B． C． D． 10．在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，且平面平面，则 A． B．棱上存在点，使得平面 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．二面角的大小为 11．已知被，轴截得的弦长分别为，，则下列说法正确的是 A．可以取任意实数 B．满足的有无数个 C．若圆心在上，则的最大值为 D．若圆心在直线上，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．曲线在点处的切线方程为________． 13．已知抛物线与的公共点为，．若两条抛物线的焦点到直线的距离相等，且两焦点之间的距离为，则________，________． 14．已知数列的通项公式为．若中存在三项构成公比为的等比数列，则正整数的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，在直三棱柱中，是中点． （1）求证：平面； （2）若，且，求直线到平面的距离． 16．（15分） 已知椭圆的左、右顶点分别为，，两焦点分别为，，，且． （1）求的值； （2）已知，点在上，若是以为底边的等腰三角形，求点的坐标． 17．（15分） 记的内角，，的对边分别为，，．已知，． （1）求； （2）若的面积为，求． 18．（17分） 足球点球大战的规则如下：裁判员通过抽签决定先罚点球的球队，之后双方交替罚球．前五轮中，每队各派5名队员依次罚点球；若领先方的进球数与落后方的进球数的差值，超过落后方剩余罚点球的次数，则领先方提前获胜；否则，完成五轮时，进球数多的球队获胜． 若完成五轮时双方进球数相同，则从第六轮开始进入“Sudden Death”阶段，即双方继续各派新队员罚点球，直到某一轮中一方罚进而另一方罚失时决出胜负． 某次高中足球联赛的淘汰赛中，甲、乙两队在常规时间和加时赛后以战平，比赛进入点球大战．假设每名队员是否罚进相互独立．已知甲队前五轮5名队员罚进点球的概率依次为，，，，；乙队前五轮每名队员罚进点球的概率均为．甲队先罚． （1）求乙队在前两轮中恰好罚进一个点球的概率； （2）前三轮罚点球后，比分达到． （ⅰ）求第五轮时甲队罚进点球就提前获胜的概率； （ⅱ）已知两队未进入第六轮“Sudden Death”阶段，且甲队获胜．用表示比赛中甲队罚进点球的个数，求的分布列和数学期望． 19．（17分） 已知函数的定义域为，为非零实数，若对任意都有，则称为拓展函数． （1）已知狄利克雷函数．若函数，，判断是否为拓展函数； （2）已知为拓展函数（，且），设，当时，． （ⅰ）当时，证明：，； （ⅱ）若，，，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年第一学期福州市高三年级第一次适应性练习 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.B 2.B 3.B 4.C 5.A 6.C7.C 8.D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。 9.ABD 10.AC 11.BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.y=1 13.8,8√2 14.12 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15.【考查意图】本小题主要考查直线与平面平行、垂直等位置关系、空间距离，以及空 间向量等基础知识，考查直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与 转化、函数与方程思想等，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础 性、综合性.满分13分. 【解法一】(1)如图所示，连接AC交AC于F点，连接EF, 由三棱柱的特征可知侧面ACCA是平行四边形， 则F是AC的中点。…2分 又E是BC中点，则EF∥AB.…3分 因为EFC平面AEC1,ABa平面AEC1, 所以AB/平面AEC.…5分 (2)由(1)知AB1∥平面AEC, 所以直线AB到平面AEC的距离就是B到平面AEC的距离，设为h.…6分 第1页共11页 因为AC LAB,AB=AC=1,所以AE=V2 ……7分 又因为AC=√2， 所以AE2+EC2=AC2, 所以AE⊥EC.… …9分 又因为AA⊥AB,AC∩AA=A,所以AB⊥平面ACCA.…10分 因为CC⊥平面ABC, 庙V。Ac=V-s,得Sa匹×hSa4exCC …11分 所以x5xh=x 34 x4x1,解得h=因 34 即直线AB到平面AEC,的距离为y5 …13分 【解法二】(1)同解法一： (2)由(1)知AB/∥平面AEC, 所以直线AB到平面AEC的距离就是A到平面AEC,的距离，设为h.…6分 因为AC LAB,AB=AC=1,所以AE=2 …7分 又因为AC=V2, 所以AE2+EC2=AC2, 所以AE⊥EC.… …9分 又因为AA⊥AB,AC∩AA=A,所以AB⊥平面ACCA. 因为点E为BC中点，所以点E到平面ACCA的距离为。AB,…10分 2 由Vg-4AG=VA-CAE,…1l分 1 1 2 第2页共11页 1 1 2 所以5x×号x5xh,解得h=5 32234 3 即直线AB到平面AEC,的距离为 …13分 3 【解法三】(1)同解法一： (2)以A为坐标原点，AB,AC,AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示 的空间直角坐标系 …6分 设平面AEC的法向量为n=(x,y,z),则 i-AE=x+=0 AC=y+=0 取y=-1,则x=1,z=1,即n=(1,-1,1).…9分 B 又AA=(0,0,1), 则点A到平面AEC的距离d …12分 17 3 3 B距 由(1)知AB∥平面AEC, 所以直线AB到平面AEC,的距离就是A到平面AEC的距离， 所以直线AB到平面AEC,的距离为5 …13分 16.【考查意图】本小题主要考查椭圆的标准方程和简单几何性质、平面向量数量积、平 面几何性质等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、 化归与转化思想、数形结合思想等，考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等 核心素养，体现基础性、综合性.满分15分 【解法一】(1)由己知得，A(-1,0), 故AE=(1,-c）,AF=(1,c）,且c2=a2-1.…3分 所以A耳4写=1-c2=2-d2- 3,解得a2=4 因为a>1,所以a=25 …6分 3 第3页共11页 (2)设P(x,y),因为A(1,0),所以AP中点为N x+1 2,2 …7分 因为M(名0，所以颁=（ 3x+4 6’2 A,P=(x-1,%) 因为△MA,P是以A,P为底边的等腰三角形， 所以MNLA,P,所以MN.AP=0,…9分 所以(6-+受%=0， 整理得，(3x+4)(x-1)+3y=0, 即3x+x。-4+3y%=0① …12分 由(1)知r:3y+=1, 因为P(x,)在椭圆上，所以4x+3=4②…13分 联立①、②，消去y。,化简得七（-1)=0. 显然1，解得飞=0，代入②得=±25 所以点P的坐标为 23) 或 03 2V3 …15分 【解法二】(1)同解法一： (2)因为△MP是以AP为底边的等腰三角形，且L0,M石0， 所以MP=MA,=1 6 6 8分 所以点P在以M为圆心， 为半径的圆上（异于点A), 6 1)2 所以+君+- 36(x≠1)， …9分 可5++-= 整理得，3x+3+x=4(化≠1)①… …11分 由a)知r3y+2=1, 4 因为P(x,%)在椭圆上，所以4x+3y=4,②…12分 第4页共11页 联立①、②，消去yo,化简得x(x-1)=0(x≠1).…13分 解得。=0，代入②得%=士25 3 所以点P的坐标为 2W3 或 0 2W3 0 …15分 【解法三】(1)同解法一； (2)设点P(x,),由题意P不与A2(1,0)重合，故%≠0， 则直线AP的方程可设为右=mo+1(m≠0). 由q)知r.3y+=1, 4 因为P(x,%)在椭圆上，所以4x+3y好=4.①…7分 将=m%+1(m≠0)代入①，得4(mo+1)2+3哈=4. 展开整理，得(4m2+3)+8m%=0. 因%≠0，得(4m2+3)o=-8m, -8m 所以%= -4m2+3 4m2+3’6= 4m2+3 所以P -4m2+3-8m）】 …9分 4m2+3’4m2+3 因为△MA,P是以A,P为底边的等腰三角形，A(L,0), 所以MP=MA,=1 …11分 6 6 整理得，3x+3y+x=4(≠0). ②…12分 -4m2+3 -8m 将P 代入②， 4m2+3’4m2+3 2 得3 -4m2+32 -8m -4m2+3 3 =4. 4m2+3 4m2+3 4m2+3 展开整理，得3m2=4m4..…13分 第5页共11页 因为m≠0，所以m=±5 所以=4m2+3 -8m =t3 4m2+3 =0,y0=1 4m2+ 所以点P的坐标为 0, 2W3 3 或 0,- 3 …15分 【解法四】(1)同解法一； (2)由(1)知T: 3y2 +x2=1, 2 由P在椭圆上，可设Pcos0, …8分 因为△MP是以LP为底边的等腰三角形，且在0，M(石 且c0s0≠1.…10分 所以 49 36 展开，得cos20+二cos6+ 3 +4-cos29)=9 1 36 6 整理，得cos8(cosθ-1)=0. …13分 因为cos0≠1，所以cos0=0,所以sin0=±1， 所以点P的坐标为 0 25 或 0 25 3 …15分 17.【命题意图】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、三角形面积等基础 知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查直观想象、逻 辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性.满分15分 【解法一】(1)在△ABC中，由sinB= a及正弦定理得sinB= 3sinA …1分 4c 4sinC 因为A= 3 3 故sinBsinC= P …2分 又B+C= 2π 3, 1 所以cos(B+C)=cosBcosC-sinBsinC= 2 …4分 1 所以cosBcosC= …5分 8 第6页共11页 所以tanBtanC= sin BsinC =-3 …6分 cosBcosC 6 (2)由(1)知，sinBsinC 8,且A= 3 设△ABC的外接圆半径为R,因为△ABC的面积为3N5 所以5 besin A-2 RsinR)(2(RsmCs小nA=2 sin BsinCsinA-- 3v5 2 2 bcx5_35 所以 22 …9分 [bc=6 解得 R=2· …10分 所以a=2 RsinA=2x2xsin=2√3. …11分 3 由余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA, …12分 得（同-公+e2-2cas写所以12=b+e-欢， 所以(b+c)2=12+3×6=30, …14分 解得b+C=√30.… …15分 【解法二】(1)略，同解法一. (2)因为△ABC的面积为3N5 2 且A=元 3 所以5ac=besin A=35,所以besin-3N5 2,解得bC=6.…9分 2 2 2 32 由正弦定理得a b b π√3b ,所以sinB=B.sinA=b.si …10分 sinA sin B a 32a 又sinB= a,所以5a.6 ,所以a2=2bc=2×6=12, 4c 4c 2a 所以a=2√3. …11分 由余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA, …12分 得(5=b+-2冰cs号所以12=o+e- 所以(b+c）=12+3×6=30,…14分 第7页共11页 解得b+C=√30.…15分 【解法三】(1)略，同解法一 (2)因为△ABC的面积为3 3,且A= 3 所以5ac= ?,所以csin”.35 ,解得bC=6,…9分 32 1 12 又因为S△ABc=。bcsin A=。X 2 -2后bsin4esmA)-万(asin)asinC)) 93 sin B sin C=- a23_35 …………10分 382 所以a2=12,所以a=25 …11分 由余弦定理a2=b2+c2-2bcc0sA… …12分 得(2可-+d-2ceo号所以12=b+a-c 所以(b+C）=12+3×6=30,…14分 解得b+C=√30.…15分 18.【考查意图】本小题主要考查随机变量及其分布列、数字特征、全概率公式、条件概率 等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、概率思想等， 考查逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养，体现基础性、综合性、应用性.满分17 分 【解析】设事件A,B(i=1,2,3,4,5)分别为甲队、乙队第i名队员罚进点球，则 PA)=P)-P(A)=P(A)-号，PA),PB)-号 2 …2分 (1)设事件M=“乙队在前两轮中恰好罚进一个点球”， 则P(M)=Cgx号×39 2、14 …5分 (2)()由题意可知，在3：3后甲队在第五轮时罚进点球就提前获胜，即第4轮甲队 罚进乙队罚失，第5轮甲队罚进. …7分 记所求事件为N,因为A4,B4,A相互独立， 商以P=a瓦4刻=P)P回P)=号号方 …10分 (ii)X的可能取值为4,5.…11分 设W=“已知两队未进入第六轮Sudden Death'阶段，且甲队获胜”，F4=“比赛中甲 第8页共11页 队罚进点球的个数为4”，F=“比赛中甲队罚进点球的个数为5”，则 W=FWUFW,FW,FW互斥，且A,A,B,B4,A,A,B,B,相互独立， 因为P(F4W)=P(AB4AB)+P(AB4AB） =P(A.)P(B.)P(As)P(B)+P(A.)P(B.)P(As)P(B5) 2111,1111-3_1 332333235418 由①知，Pw=g P(FsW)=P(A,BAs Bs)+P(N)=P(A.)P(Ba)P(A)P(Bs)+P(N) =2×2x1x1+1=10-5 332395427 所以P(W)=P(FW)+P(FW)= 1513 …14分 182754 P(FW)3 3,P(Ew)= P(FW）10 因此P(F4W)= 131 …16分 P(W) P(W) 则X的分布列为 X 4 5 P 3 10 3 13 故E(X)=4x3 .1062 …17分 19.【考查意图】本小题主要考查函数单调性与奇偶性、函数与方程、导数与不等式等基 础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力和创新能力等，考查函数与方程思想、化归与 转化思想等，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性和创 新性.满分17分. 【解法一】(1)依题意得，当x为有理数时，则2x也为有理数，故D(x)=1,D(2x)=1, 所以D(2x)=D(x): 当x为无理数时，则2x也为无理数，故D(x)=0,D(2x)=0, 所以D(2x)=D(x);…3分 故x∈R,f(2x)=2x.D(2x)=2xD(x)=2f(x), 所以∫(x)是2-拓展函数。… …4分 (2)(①证明：reR,3neN,使得e(l山 第9页共11页 因为f(x)为2-拓展函数，所以f(2x)=2f(x), 则2r)f)-2() 则r国=2f=2f) 所以)w2r)r)到 …6分 所以g(女8 因为当xe(L0时，8(>0，且产∈(-山， 所以g ≥0，所以xeR,g(20. …8分 (i)证明：因为f(0)=0,所以当x=0时，f(x)=x.…9分 当0<a<1时，xeR,3neN,使得d"x∈(l), 因为f(a)=(),所以f()=fa,f(a)=df(ax), 所以f(-dfa)fa刘=-fa, 所以g四=f'(国=f'a)d=f(a到-8a. 所以g'(x)=a”g'(a”x).因为当x∈(-1,1)时，g'(x)≥0，且ax∈(-l,1), 所以g(a”x)≥0，所以g'(x)≥0. 同理可证当a>1时，g'(x)≥0.… …11分 设()=国(x>0,则寸'国f四 设p(x)=f'(x)-f(x(x≥0)，则p'(d)=f'(,)+x[f(x]-f"(x)=g'(x)≥0， 则p(x)≥p(O)=-f(O)=0,所以H(x)≥0， 则x>0,5>0且x<为，h(x)<h(x).(*) …13分 因为f()=1,且f(x)为a-拓展函数， 所以a=f@-0-f0-1=h0,Ae)ia)@.f@ha a 则h(=h(a)=h(a2)=…=h(a)=1(neN), …14分 同理 …15分 不妨设a>l,x>0,3neN,使得x∈ 第10页共11页 故h(x)=1,f(x)=X.…16分 同理，x<0时，f(x)=x. 综上，f(x)=x.… …17分 【解法二】证明：因为f(0)=0,所以当x=0时，f(x)=x.…9分 当0<a<1时，x∈R,neN,使得a"x∈(-l,1), 因为f(a)=(),所以f)-f(a,fa)-f(a刘，，f(a-&a, 所以f(-fa)寻fa2刻=…fa. 所以g()=f'()是f(a刘a=f"(a刘=g(a, 所以g'()=ag'(ax,因为当xe(-l,)时，g'(x)≥0，且ax∈(-l,1), 所以g'(a"x)≥0，所以g'(x)≥0. 同理可证，当a>1时，g'(x)≥0.… .…11分 设h(x)=f(x)-x(x∈R),h(x)=f'(x)-1=g(x)-1, 设p(x)=(x)(x∈R),则p'(x)=8'(x)≥0， 则x,x3∈R且x<x3,(x)≤'(2)(*)… …13分 h(ax)=f(ax)-ax=af (x)-ax=a(f(x)-x)=ah(x), 所以h(=ah(a),(a)=dA(a,ha-a. 则)=aa)Ae刘=…=-@:)(ncS), 则)到a-e到.同理=加月 .…15分 不妨设a>1,,∈(Q,+m)且x<x,3neN,使得点<x<ax, 由（四得s)-r合水(）a)(), 则x>0,h(x)是常数k,又因为h(O)=f(0)-0=0,则可设h(x)=kx(x≥0). 因为f()=1,所以h(=f()-1=0.而h()=k,故k=0 故h(x)=f(x)-x=0,所以f(x)=x. …16分 同理，x<0时，f(x)=x. 综上，f(x)=x.… …17分 第11页共11页