广东省湛江市廉江市第四中学2026-2027学年九年级上学期数学开学模拟练习卷

**基本信息** 九年级开学数学模拟卷，以航天主题、防溺水安全、“刻漏”计时等真实情境为载体，融合统计、函数、几何知识，通过剪拼实验、数据建模等题设计，考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|箱线图、函数定义、菱形性质|结合航天主题考查正八边形内角和，体现文化传承| |填空题|5/15|一次函数平移、方差计算|通过函数图像解不等式，强化几何直观| |解答题|8/75|几何剪拼、勾股定理验证、实验数据建模|设计“等积剖分”剪拼实验（转化思想）、赵爽弦图“双求法”（推理能力）、刻漏数据拟合函数（模型意识），契合中考实际应用命题趋势|

广东省湛江市廉江市第四中学2026-2027学年九年级上学期数学开学模拟练习卷 时间：120 分钟 满分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（10 题，每题 3 分，共 30 分） 1．某组数据对应的箱线图如图所示，该组数据的下四分位数为（    ） A．124 B．132 C．134 D．144 2．下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 3．下列说法中，不正确的是（    ） A．菱形的对角线互相垂直 B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．平行四边形的对角相等 D．对角线相等的四边形是矩形 4．一组数据为2，3，5，2，4，则这组数据的众数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．下列各组数据中，能组成直角三角形的是（     ） A．5，12，13 B．4，4，5 C．5，7，11 D．，，2 6．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列每一组数据中不能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八边形徽章的内角和大小为（     ） A． B． C． D． 8．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 9．估计的值应在（     ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 10．下列根式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（5 题，每题 3 分，共 15 分） 11．如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是___________． 12．将直线向上平移3个单位长度，所得直线的解析式为______． 13．一组数据，， ，，的平均数是，那么这组数据的中位数是______，方差是_____． 14．要使分式有意义，则x的取值范围是________． 15．如图，，，于点，于点．若，，则的长是________． 三、解答题（8 题，第16题-22题，每题9分，第23题12分，共75 分） 16．几何的智慧，常常藏在“形变而量不变”的转化之中．任意两个面积相等的简单平面多边形，都可以通过有限次分割与无重叠拼接实现互相转化，这就是平面几何中经典的“等积剖分定理”． (1)如图1、图2所示，现有任意三角形，进行如下操作：①作中位线；②取线段上任意一点；③沿线段分割，得到、，分别拼接到、的位置．判断四边形的形状，并证明结论； (2)如图3所示，在四边形中，．剪一剪，拼成一个与其面积相等的平行四边形．尝试两种不同的剪拼方法，画出图示，并对结果进行证明． 17．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于点，，且与直线：相交于点． (1)求和的值； (2)求直线与与轴围成的三角形面积； (3)直接写出的解集． 18．新定义：为函数（a，b，c为实数）的“关联数”．若“关联数”为的函数为一次函数，试求m的值． 19．如图，在中，，． (1)请用尺规作图的方法作一个菱形，使点D在线段上；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 20．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的论证方法有多种．小颖受“赵爽弦图”的启发，给出了如图2的拼图：两个全等的直角三角板和，顶点在边上，顶点，重合，，，，，也利用“双求法”验证了勾股定理． 证明：连接，，则． 则 (1)请借助图2补全勾股定理的验证过程． (2)如图3，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为________ (3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 21．“防溺水安全”是校园安全教育工作的重点之一．某校为提高学生的安全意识，组织学生举行了一次以“远离溺水·珍爱生命”为主题的防溺水安全知识竞赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.76 9 1.06 八年级 8.76 8 1.38 (1)根据以上信息可以求出： ， ． (2)若该校七、八年级各有500人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ (3)根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级学生对防溺水安全知识掌握的较好，请说明理由． 22．已知一次函数的图象经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)用描点法画出该函数图象； (3)若点和都在该函数图象上，则_____．（填“>”、“<”或“=”） 23．综合实践小组模拟“刻漏”原理，用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了简易计时装置如图所示，现需要在甲容器外壁标记刻度，以便通过刻度直接读取时间． 为此，综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 记录时间 8:00 8:10 8:20 8:30 流水时间 0 10 20 30 水面高度（观察值） 30 29 28.1 27 其中“，”是初始状态下的准确数据，后续数据测量可能存在误差． (1)任务1：利用“，；，”这两组数据求水面高度与流水时间的函数解析式． (2)任务2：利用任务1所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ 试卷第2页（共6页） 试卷第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 《广东省湛江市廉江市第四中学2026-2027学年九年级上学期数学开学模拟练习卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D A A D C B D C 1．B 【分析】本题考查箱线图，直接从箱线图中获取信息，即可得出结果． 【详解】解：由箱线图可知，该组数据的下四分位数为132； 故选B． 2．C 【分析】根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，判断即可． 【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以能表示y是x的函数； B、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以能表示y是x的函数； C、对于自变量x的一个值，y有两个值与之对应，所以不能表示y是x的函数； D、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以能表示y是x的函数． 3．D 【分析】本题考查平行四边形、菱形、矩形的性质与判定，只需根据相关定义和性质逐一判断各选项，找出错误说法即可． 【详解】解：∵菱形的对角线互相垂直，是菱形的性质，∴A说法正确； ∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是菱形的定义，∴B说法正确； ∵平行四边形对角相等，是平行四边形的基本性质，∴C说法正确； ∵只有对角线相等的平行四边形才是矩形，对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线也相等，∴D说法不正确． 4．A 【分析】根据众数定义，一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数，统计各数据出现次数，找出出现次数最多的数据即可得到答案． 【详解】解：∵在数据，，，，中，共出现次，，，各出现次， ∴是这组数据中出现次数最多的数，即这组数据的众数为． 5．A 【分析】根据勾股定理逆定理，若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形，据此逐项计算验证即可． 【详解】解：A.∵，， ∴，能构成直角三角形； B.∵，， ∴，不能构成直角三角形； C.∵，， ∴，不能构成直角三角形； D.∵，， ∴，不能构成直角三角形． 6．D 【分析】根据勾股定理的逆定理，若三角形两短边的平方和等于最长边的平方，则可构成直角三角形，否则不能，逐一验证即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴能构成直角三角形，故A不符合题意； B、∵， ∴能构成直角三角形，故B不符合题意； C、∵， ∴能构成直角三角形，故C不符合题意； D、∵，，， ∴不能构成直角三角形，故D符合题意． 7．C 【详解】解：， 即正八边形徽章的内角和为． 8．B 【详解】选项A：与不是同类二次根式，不能直接合并相加，错误，不符合题意； 选项B：，正确，符合题意； 选项C：，错误，不符合题意； 选项D：，错误，不符合题意． 9．D 【分析】先估算出的取值范围，再根据不等式性质得到的范围，即可判断结果. 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ， ∴ ， 即 ∴ 的值在4到5之间. 10．C 【分析】本题根据最简二次根式的定义判定，最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵最简二次根式要求被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式， 对于选项A，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对于选项B，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对于选项C，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式； 对于选项D，，被开方数含分母，不是最简二次根式． 11． 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点， ∴由函数图象可知关于的不等式的解集是， ∴关于的不等式的解集是， 故答案为：． 12． 【分析】根据一次函数图象平移的规律，向上平移3个单位，b值增加3，k值不变. 本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：直线向上平移3个单位长度，平移后解析式为； 故答案为：. 13． 【分析】本题考查了平均数、中位数、方差，熟练掌握以上定义是解题的关键．根据这5个数的平均数是5求得，把这5个数按照从小到大的顺序排列，最中间的一个数即为中位数；然后根据方差的公式，把数据代入计算即可求出这组数据的方差． 【详解】解：数据，， ，，的平均数是5， ， 解得：， 把这组数据按照从小到大的顺序排列：，， ，，， 一共有个数，中间的一个数据是， 这组数据的中位数是； 这组数据的方差是： ． 故答案为： ；． 14．且 【分析】需同时满足二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，据此进行解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得且． 15．5 【分析】首先证明，得到，再利用，求解即可． 【详解】解：∵， ，， ∴，，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 16．(1)解：四边形是平行四边形，证明如下， ∵沿线段分割，得到、，分别拼接到、的位置， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． (2)解：①如图，取、的中点、，沿线段分割，得到四边形，分别拼接到四边形的位置，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②如图，过中点，沿平行于的直线分割，得到和五边形，拼接到的位置，则， ∵，， ∴四边形是平行四边形． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得出，，，进而证明，得出，即可得出四边形是平行四边形； （2）①取、的中点、，沿线段分割，得到四边形，分别拼接到四边形的位置，根据旋转的性质得出，，进而证明，即可证明四边形是平行四边形； ②过中点，沿平行于的直线分割，得到和五边形，拼接到的位置，根据，，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）略 （2）略 17．(1)， (2)6 (3) 【分析】（1）先把C点坐标代入中可求得a的值，然后把C点坐标代入中可求得k的值； （2）先得到B点坐标，然后利用三角形面积公式计算直线，与轴围成的三角形面积； （3）结合图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解∶把代入得，， 解得， 把代入得，， 解得； （2）解：∵， ∴直线：， ∴当时， 解得， ，即， 直线与与轴围成的三角形面积为； （3）解：由图象可得，当时，直线在直线上方， ∴的解集为． 18． 【分析】本题考查了新定义，一次函数的定义，根据“关联数”的定义得，再结合一次函数的定义，得出且，即可解得． 【详解】解：根据题意，得， ∵是一次函数， ∴且， ∴． 19．(1) 四边形为所求作的四边形； (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理、菱形的判定及性质、尺规作垂直平分线以及尺规作线段，熟练掌握菱形的判定及性质是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于点O，交于点D，在线段的垂直平分线上取，连接、、，则四边形为所求作的四边形； （2）由菱形的性质得，再根据勾股定理构造方程即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为菱形， ∴， 设， ∵，，， ∴在中，， ∴， ∴在中，， 即，解得， ∴， ∴． 20．(1) 证明：， ， ， ， ， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； 【详解】（1）略 （2）解： ， ， ； （3）解：是高， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 21．(1)9,10 (2)600人 (3)七年级更好，理由：七、八年级的平均分相同，七年级中位数大于八年级中位数，七年级方差小于八年级方差，说明七年级一半以上的人不低于9分，且波动较小，所以七年级的竞赛成绩更好（合理即可） 【分析】（1）根据中位数的定义可确定a的值；根据众数的定义可确定b的值； （2）分别将样本中七、八年级优秀所占比例乘以500即可作出估计． （3）根据表格中统计量关系以及各统计量的意义进行判定即可． 【详解】（1）解：∵七年级成绩由高到低排在第13位的是B等级9分， ∴， ∵八年级A等级人数最多， ∴； （2）解：（人）， 答:该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有600人； （3）略 22．(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数解析式及其图象性质，熟练掌握一次函数的图象性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）利用描点法画出一次函数图象； （3）利用一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：将点代入一次函数得： ， 解得：， 因此，这个一次函数的解析式为； （2）略； （3）解：由（2）中图象可知，随的增大而增大， ， ． 23．(1) (2)当甲容器中的水面高度为时是 【分析】（1）观察实验数据知，水面高度与流水时间的函数符合一次函数的特征，用待定系数法求出函数解析式即可； （2）由（1）所求函数解析式，计算当时的自变量值，即可求解． 【详解】（1）解：由表中数据可得：每过10分钟，水面高度h减少约，所以水面高度h是流水时间t的一次函数， 设，把，；，代入得：， 解得， ∴， 答：水面高度与流水时间的函数解析式为； （2）解：当时，， 解得， 而，，即10时30分， 答：当甲容器中的水面高度为时是． 答案第10页（共11页） 答案第11页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $