第二十六章 二次函数重难点检测卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 二次函数单元重难点检测卷，覆盖全章知识，通过射水鱼、音响设计等真实情境与梯度化问题，提升复习效果，适配九年级单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、图象性质、最值|结合中考真题（如陕西中考水流问题），基础概念与性质应用结合| |填空题|6/18|图象平移、交点坐标、面积计算|射水鱼水柱建模（第15题）体现应用意识| |解答题|9/72|解析式求解、利润问题、新定义|音响截面抛物线建模（第22题）、矩形菜园面积最值（第23题），融合几何直观与模型意识，关联中考综合题型|

第二十六章 二次函数重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次函数全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（26-27九年级上·北京·阶段练习）下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将各选项函数化为最简形式，再依据二次函数的定义判断是否符合条件． 【详解】解：A、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意； B、含分式，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意． 2．（26-27九年级上·全国·专项训练）已知二次函数，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】将二次函数按的降幂排列，得， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 3．（25-26八年级下·浙江金华·期末）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 【答案】C 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 4．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 5．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）设是抛物线上的三点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向下的抛物线的性质，点离对称轴越远，对应的函数值越小，比较三点到对称轴的距离即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线中，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线． ∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 又∵开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越大，函数值越小， 且， ∴． 6．（26-27九年级上·全国·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线与轴两交点关于对称轴对称的性质求解，无需计算的值． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，其中一个交点为， ∴另一交点的横坐标为， 即坐标为． 7．（25-26九年级上·陕西安康·期中）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据抛物线与x轴的交点可判断①；由对称轴可判断②；根据及时的函数值可判断③和④． 【详解】解：由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点， 即方程有两个不相等的实数根， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故②错误； 由图象知当时，， 即，故③错误； 由图象知当时，， 即，故④正确． 故正确的有①④． 8．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 9．（25-26八年级下·山东济南·期末）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．当时，函数有最大值 B．当时，随的增大而增大 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．图象与轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：解方程，可得：，， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 该函数没有最大值， 故A选项错误； 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 故B选项错误； ， 故C选项正确； 当时，， 由翻折可知，图象与轴的交点坐标为， 故D选项错误． 10．（2026·四川南充·中考真题）已知抛物线与，过原点O的直线l与抛物线，的另一个交点分别为，，如果，则m的值为（     ） A．或 B．或1 C．或 D．或1 【答案】A 【分析】设过原点的直线方程，联立两个抛物线得到交点坐标，利用两点间距离公式列方程求解m即可． 【详解】解：设过原点的直线为，， 联立直线与抛物线，消去y得：，解得：， ∴的横坐标为，代入得：， ∴， 同理联立直线与抛物线得：的坐标为， ∴根据两点间距离公式可得： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴约去公因式得，整理得， 解得：，， 经检验：，都是方程的解， ∴的值为或． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级下·辽宁大连·期末）二次函数的图象与轴交点坐标是________． 【答案】 【分析】二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为，代入函数解析式即可求出纵坐标得到交点坐标． 【详解】解：∵ 二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为， ∴ 令，代入二次函数解析式， 得， ∴ 二次函数的图象与轴交点坐标是． 12．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为． 13．（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，则的面积为___________． 【答案】28 【分析】先求出抛物线与轴、轴的交点坐标，得到的长度和点到轴的距离，再代入三角形面积公式计算． 【详解】解：当时，， 整理得， 解得，， ∵点在点左侧， ∴，， ∴， 当时，， ∴，即点到轴的距离， ∴． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的部分图象如图所示，顶点坐标为，由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是，______． 【答案】 【分析】由二次函数图象的顶点坐标为，可得对称轴为，所以， 然后把代入即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴对称轴为， ∴， 又∵， ∴． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点O建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为，y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为．一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动________的距离才能击中昆虫． 【答案】或 【分析】首先确定原始抛物线的解析式为，设需要水平向右游动的距离才能击中昆虫，得到平移后的抛物线解析式为，把代入解析式求解即可． 【详解】解：根据题意，得y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为， 故抛物线的解析式为， 由抛物线经过原点， ， 解得， 故抛物线的解析式为． 当时，， 故点不在抛物线上， 设需要水平向右游动的距离才能击中昆虫， 故平移后的抛物线解析式为， 把代入解析式，得， 整理，得， 或， 解得或， 故需要水平向右游动或的距离才能击中昆虫． 16．（25-26九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点和点（点在点的左侧），交轴于点，抛物线的顶点为．在轴下方的抛物线上取一点，若点关于直线的对称点恰好落在直线上，则点的横坐标是______． 【答案】 【分析】确定，，，，进一步确定直线的解析式为，直线的解析式为，如图，过点作于点，设点关于的对称点为点，连接交于点，设，，根据轴对称的性质及等腰三角形的性质得，点为的中点，点是的中点，继而得，，确定直线的解析式为，直线的解析式为，联立，得，确定，最后根据在直线：上，得，解方程即可． 【详解】解：∵抛物线交轴于点和点（点在点的左侧），交轴于点，抛物线的顶点为， 当时，得：或；当时，得：， ∴，，， ∴抛物线的对称轴为，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作于点，设点关于的对称点为点，连接交于点，设，， ∴垂直平分， ∴，点为的中点， ∵，，，， ∴，是边上的中线即点是的中点， ∴点的坐标为，即， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， ∵点为的中点，，， ∴， 解得：， ∴， ∵点关于直线的对称点恰好落在直线：上，即点在直线：上， ∴， 解得：， ∴点的横坐标是． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（26-27九年级·浙江·暑假作业）已知二次函数 (1)当时，y的值是多少？ (2)当x为何值时，y的值为0？ 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时， ， 解得． 故当或时，y的值为0． 18．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，一个二次函数的图象经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且．求： (1)点的坐标； (2)这个二次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的坐标可以求出的距离，从而求出点的坐标； （2）已知二次函数过三个点，即可设二次函数的一般式，用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：点，， ． ， ． 点在轴的正半轴上， ∴点的坐标是． （2）解：设二次函数的解析式为， 二次函数经过三个点，，， ， 解得， 这个二次函数的解析式为． 19．（2026·河南周口·一模）已知二次函数： (1)求证：该二次函数的图象与轴总有两个不同的交点； (2)若该二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且的面积为，求的值． 【答案】(1) 证明：一元二次方程中，，， ， 该二次函数图象与轴总有两个不同交点； (2) 【分析】（1）先判断一元二次方程根的情况，再结合二次函数与一元二次方程的关系即可得证； （2）令，求出、两点的横坐标及；令，得与轴交点的纵坐标，即高，根据的面积为推得，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：令，解方程， ， 解得，， ， 令，得与轴交点的纵坐标为， 即高为， 三角形面积， ①时，； ②时，（无实数解）． 故． 20．（2026·黑龙江大庆·中考真题）某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； (2)求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 【答案】(1)函数关系式为，的取值范围是． (2)函数关系式为，当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润，最大利润为元． 【分析】（1）根据图像，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间是一次函数关系，设函数解析式代入已知点求解即可，售价需满足不低于进价元，且不高于物价部门规定的元； （2）根据平均每天的销售利润（元）=每箱苹果的利润×平均每天的销售量（箱），将有关代数式代入公式中，可以得到平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式为开口向下的二次函数，结合的取值范围和二次函数的对称轴即可确定的最大值． 【详解】（1）解：由图像可知，与是一次函数关系， 设函数解析式为， 已知图像上两点和， 代入解析式中可得 ， 解得， 函数关系式为． 根据题目条件，售价需不低于每箱进价元，且不高于物价部门规定的元， 的取值范围是． （2）根据利润的计算公式：平均每天的销售利润（元）=每箱苹果的利润×平均每天的销售量（箱），即． 将（1）中得到的代入利润公式，整理得， ， 这是一个开口向下的二次函数，其对称轴为． 的取值范围是， 该区间在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，取得最大值，， 当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润元． 21．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的顶点式（），其顶点坐标为即可求解； （2）根据抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律求解； （3）由题得抛物线的对称轴为直线，可得时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，再得到最值即可求解． 【详解】（1）解：对于二次函数的顶点式（），其顶点坐标为． 在二次函数中，，， 所以抛物线的顶点坐标为． （2）解：抛物线先向左平移个单位长度，即将变为， 得到， 再向上平移个单位长度，即在整体上加， 得到抛物线的函数解析式为； （3）解：， ∴，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y有最小值1． 当时，； 当时，； ， ∴当时，． 22．（2026·山东临沂·二模）【问题背景】生活中常见的抛物线形音响，截面轮廓为抛物线的一部分．这类音响能让声音传播更远、音质更清晰，其声学效果与抛物线的形状密切相关．某学习小组计划研究这类音响的几何特征． 【初步探究】学习小组将这些不同抛物线形音响竖直置于桌面，抽象成如图1所示图形，点是音响的最低点，即抛物线的顶点；扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）． 为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标为，利用抛物线表达式（其中，，为常数，）对值进行了探究与求解． (1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，求的值； (2)【建立模型】第二小组经过观察探究发现：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系，请你帮小组求出和的数量关系； (3)【应用模型】第三小组重新建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标，再代入抛物线的解析式求解即可； （2）先得出点的坐标，再代入抛物线的解析式求解即可； （3）先求出点的坐标，则可得抛物线的解析式，再分两种情况：①和②，利用抛物线的增减性求出最小值，列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：，，即， ∴抛物线的表达式为， 将点代入得：， 解得． （2）解：∵点的坐标， ∴由题意得：点的坐标为， 将点代入得：， 解得． （3）解：∵扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称， ∴轴， ∵点的坐标为，顶点到线段的距离为，扩音口宽度为， ∴，， ∴抛物线的表达式为， 由（2）已得：， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时， 在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴在内，当时，取得最小值，最小值为， 又∵当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2， ∴， 解得， ∴； ②当时， 在内，随的增大而减小， ∴在内，当时，取得最小值，最小值为， 又∵当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2， ∴， 解得， ∴； 综上，此时的值为或． 23．（第五章二次函数☆问题解决活动：怎样围面积最大）某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地设计一片矩形菜园，为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，此次活动记录如下： 活动主题 为学校设计矩形菜园 活动准备 1．准备皮尺等测量工具；2．调研学校需求 采集数据 图1是学校围墙一角的平面图，信息图如图所示： 1．两道墙之间的夹角为直角； 2．两道墙可用于建菜园的长度都不超过； 3．可用的篱笆总长度为． 设计方案 把篱笆按如图2所示的方式扎下后和两道墙构成矩形．通过改变的长度，使得菜园的面积最大． 确定思路 小组成员经过讨论，确定设的长为，菜园的面积为，列出S关于x的函数关系，根据x的取值范围确定函数值的范围，从而获得菜园面积的最大值． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求菜园面积S（单位：）关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)当菜园面积最大时，求此时矩形菜园的长和宽； (3)判断该方案围成面积最大时是否符合墙长要求？ 【答案】(1) (2)长和宽分别为和 (3)符合 【分析】（1）根据题意列不等式求出x的取值范围，再根据矩形的面积公式即可求出函数解析式； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）根据x的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ； （2）解：由（1）知，， 当时，有最大值， ∴当菜园面积最大时，矩形菜园的长和宽分别为和； （3）解：∵当菜园面积最大时，矩形菜园的长和宽分别为和． 由（1）知， 该方案围成面积最大时符合墙长要求． 24．（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与抛物线交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点．过点P作垂直于x轴于点D，交线段于点E，使． ①求点P的坐标； ②在直线上是否存在点M，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①点P的坐标为；②存在，点M的坐标为或 【分析】（1）根据题意，分别求出点C的坐标，利用求出点A的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）①设点P的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，用含a的式子表示出点E的坐标，用含a的式子表示出和的长度，由，得到关于a的方程，求得a的值，即可得到点P的坐标； ②设点M的坐标为，分别求得、、的长度，根据是以为直角边的直角三角形，所以可分为两种情况：一是为斜边，二是为斜边，利用勾股定理列出关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线与抛物线交于点， ∴点坐标为， 把点、坐标代入解析式 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：①∵是直线上方的抛物线上一点 ∴设点的坐标为 设直线解析式： 将点、坐标代入解析式，得 解得： ∴ ∵轴于，交于点，如图， ∴点坐标为 ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去）， 当时， ∴点坐标是 ②∵点M在直线上， ∴设点M的坐标为 ∵点，点， ∴， ∵为以为直角边的直角三角形， Ⅰ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， Ⅱ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴ ∴点M的坐标为 综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 25．（24-25九年级下·辽宁大连·期中）定义：点是轴上一点，将函数的图象位于直线右侧部分，以轴为对称轴翻折，得到新的函数的图象，我们称函数是函数的相关函数，函数的图象记作，函数的图象未翻折部分记作，图象和合起来记作图象． 例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ． (1)如图，函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ； (2)函数的解析式为（）． ①已知点、的坐标分别为、，当，且图象与线段只有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围； ②若，点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，求的取值范围（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)或或；或 【分析】（1）根据相关函数的定义即可求解； （2）根据题意先求出图象的函数解析式，再分类讨论：当图象的顶点在线段下方，图象与线段只有一个公共点时；当图象的顶点在线段上时，图象与线段无交点时；当图象在其对称轴左侧的部分与线段只有一个公共点时；结合图象即可求解； 根据题意先求出解析式，根据点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：由相关函数的定义可知，当时，的相关函数的解析式为； （2）解：函数的解析式为，， 图象的函数解析式为， 把代入，得； 把代入，得，即图象与轴的交点坐标为； 把代入，得． 图象的顶点坐标为． 当图象的顶点在线段下方，图象与线段只有一个公共点时，如图1： 由题意，得， 解得． 当图象的顶点在线段上时，图象与线段无交点时，如图2： ∵图象的顶点坐标为， ∴，此时，图象与轴的交点坐标为，即图象在线段上方，符合题意； 当图象在其对称轴左侧的部分与线段只有一个公共点时，如图3： 由题意，得， 解得． 综上所述，的取值范围是或或； ， ， 令，则， 解得，， 与轴交于，， ， 的顶点坐标为， 点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变， 当的最大值始终为时，， 解得； 当的最大值为时，， 解得， 的取值范围是或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次函数全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（26-27九年级上·北京·阶段练习）下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·专项训练）已知二次函数，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（25-26八年级下·浙江金华·期末）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 4．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）设是抛物线上的三点，则（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·全国·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·陕西安康·期中）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 8．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 9．（25-26八年级下·山东济南·期末）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．当时，函数有最大值 B．当时，随的增大而增大 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．图象与轴的交点坐标为 10．（2026·四川南充·中考真题）已知抛物线与，过原点O的直线l与抛物线，的另一个交点分别为，，如果，则m的值为（     ） A．或 B．或1 C．或 D．或1 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级下·辽宁大连·期末）二次函数的图象与轴交点坐标是________． 12．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为______． 13．（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，则的面积为___________． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的部分图象如图所示，顶点坐标为，由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是，______． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点O建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为，y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为．一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动________的距离才能击中昆虫． 16．（25-26九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点和点（点在点的左侧），交轴于点，抛物线的顶点为．在轴下方的抛物线上取一点，若点关于直线的对称点恰好落在直线上，则点的横坐标是______． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（26-27九年级·浙江·暑假作业）已知二次函数 (1)当时，y的值是多少？ (2)当x为何值时，y的值为0？ 18．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，一个二次函数的图象经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且．求： (1)点的坐标； (2)这个二次函数的解析式． 19．（2026·河南周口·一模）已知二次函数： (1)求证：该二次函数的图象与轴总有两个不同的交点； (2)若该二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且的面积为，求的值． 20．（2026·黑龙江大庆·中考真题）某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； (2)求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 21．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 22．（2026·山东临沂·二模）【问题背景】生活中常见的抛物线形音响，截面轮廓为抛物线的一部分．这类音响能让声音传播更远、音质更清晰，其声学效果与抛物线的形状密切相关．某学习小组计划研究这类音响的几何特征． 【初步探究】学习小组将这些不同抛物线形音响竖直置于桌面，抽象成如图1所示图形，点是音响的最低点，即抛物线的顶点；扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）． 为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标为，利用抛物线表达式（其中，，为常数，）对值进行了探究与求解． (1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，求的值； (2)【建立模型】第二小组经过观察探究发现：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系，请你帮小组求出和的数量关系； (3)【应用模型】第三小组重新建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 23．（第五章二次函数☆问题解决活动：怎样围面积最大）某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地设计一片矩形菜园，为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，此次活动记录如下： 活动主题 为学校设计矩形菜园 活动准备 1．准备皮尺等测量工具；2．调研学校需求 采集数据 图1是学校围墙一角的平面图，信息图如图所示： 1．两道墙之间的夹角为直角； 2．两道墙可用于建菜园的长度都不超过； 3．可用的篱笆总长度为． 设计方案 把篱笆按如图2所示的方式扎下后和两道墙构成矩形．通过改变的长度，使得菜园的面积最大． 确定思路 小组成员经过讨论，确定设的长为，菜园的面积为，列出S关于x的函数关系，根据x的取值范围确定函数值的范围，从而获得菜园面积的最大值． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求菜园面积S（单位：）关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)当菜园面积最大时，求此时矩形菜园的长和宽； (3)判断该方案围成面积最大时是否符合墙长要求？ 24．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与抛物线交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点．过点P作垂直于x轴于点D，交线段于点E，使． ①求点P的坐标； ②在直线上是否存在点M，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 25．（24-25九年级下·辽宁大连·期中）定义：点是轴上一点，将函数的图象位于直线右侧部分，以轴为对称轴翻折，得到新的函数的图象，我们称函数是函数的相关函数，函数的图象记作，函数的图象未翻折部分记作，图象和合起来记作图象． 例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ． (1)如图，函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ； (2)函数的解析式为（）． ①已知点、的坐标分别为、，当，且图象与线段只有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围； ②若，点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，求的取值范围（直接写出结果）． 学科网（北京）股份有限公司 $