第一章 有理数 相反数与数轴 8大题型专项训练 2026--2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 以相反数定义为核心，通过8大题型构建“概念辨析-代数应用-数轴几何-综合创新”的递进式训练体系，提炼“关系转化”“分类讨论”等可迁移方法，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|----|----|----| |概念辨析与符号化简|题型1-2（含概念辨析、符号化简）|定义双重表征（符号不同/a+b=0）、多层符号从内向外化简|从定义本质到符号运算，夯实基础| |相反数的代数应用|题型3（求字母/代数式）|“互为相反数→和为0”关系转化，方程思想|代数表达承接定义，体现数学思维| |数轴几何应用|题型4-7（对称、翻折、距离、整点覆盖）|对称→相反数关系、翻折中点公式、距离分类讨论|数形结合，从静态到动态，发展空间观念| |综合创新|题型8（规律探究）|操作循环周期分析、运动规律归纳|整合知识，培养创新意识与推理能力|

七年级上册数学相反数与数轴8大题型分类 例题精讲｜变式训练｜附详细解题过程 题型目录 题型1 相反数的定义与概念辨析 1 题型2 求一个数的相反数与多重符号化简 3 题型3 利用相反数关系求字母或代数式 4 题型4 数轴上的相反数：关于原点对称 5 题型5 数轴的翻折 8 题型6 数轴上的两点距离 10 题型7 数轴整点覆盖 12 题型8 规律探究与综合创新 13 使用建议：先看“核心知识”，独立完成例题后再核对解答；变式训练建议先独立完成，最后统一核对参考答案。 题型1 相反数的定义与概念辨析 解题方法： • 只有符号不同的两个数互为相反数；更本质地说，若 a+b=0，则 a 与 b 互为相反数。 • 0 的相反数仍是 0。相反数描述的是两个数之间的关系，不等同于“负数”。 例题精讲 例1 下列说法中，正确的有（ ） ① -8 与 8 互为相反数； ② -0.6 的相反数是 -0.6； ③ 若 a+b=0，则 a 与 b 互为相反数； ④ 一个数的相反数一定是负数。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 解：①正确；②错误，-0.6 的相反数是 0.6；③正确；④错误。例如 -3 的相反数是 3，0 的相反数仍是0。因此正确的有2个，选 B。 方法点拨：判断相反数时优先检查“两个数的和是否为0”。 例2 已知 x-4 与 2x+1 互为相反数。求 x，并写出这两个数。 解：因为 (x-4)+(2x+1)=0， 所以 3x-3=0，解得 x=1。 当 x=1 时，x-4=-3，2x+1=3。 方法点拨：把“互为相反数”翻译成“和为0”，再按方程求解。 变式训练 1. 从 -3.5，3.5，-2，2，0 中找出互为相反数的数，并说明 0 的相反数是什么。 2. 该数轴的原点为 O，向右为正方向。若点 A、C 所表示的数互为相反数，则该数轴的原点 O 对应直尺上的刻度为______。 3. 如图，在单位长度为1的数轴上有三个点 A、B、C。 （1）若点 A 表示的数是 -4，直接写出点 B、C 表示的数； （2）若点 A、C 所表示的数互为相反数，求点 B 表示的数； （3）若点 B 与原点之间的距离为3，求点 C 表示的数。 题型2 求一个数的相反数与多重符号化简 例题精讲 例1 有下列各数：0.01，10，-6.67，-1/3，0，-90，-(-3)，-|-2|，-(-4²)，其中属于非负整数的共有______个。 解：先化简：-(-3)=3，-|-2|=-2，-(-4²)=16。 属于非负整数的有 10，0，3，16，共4个。 例2 化简：① -(-9)；② -(+4.6)；③ -[-(-3)]；④ -{-[-(-5)]}。 解：① 原式=-(-9)=9； ② 原式=-(+4.6)=-4.6； ③ 原式=-[-(-3)]=-[3]=-3； ④ 原式=-{-[-(-5)]}=-{-[5]}=-(-5)=5。 方法总结：多层符号应从最里面开始，一层一层化简； 变式训练 1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A. -(-4) 与 |-4| B. -3² 与 (-3)² C. -36/9 与 24/(-6) D. 3×7 与 (-3)×(-7) 2. 计算：-[-(-5)] = ______； +[-(2/3)]² = ______。 3. 已知下列有理数：-1.5，-(-2)，0，-|-3|，-2²，1/2。 （1）把上面各数填在相应的大括号内： 正有理数集合：{ }； 负整数集合：{ }。 （2）画出数轴，并在数轴上表示上面各数； （3）用符号“<”把上面各数按从小到大的顺序排列。 题型3 利用相反数关系求字母或代数式 例题精讲 例1 若 2x-5 与 3 互为相反数，求 x，并写出 2x-5 的值。 解：因为 (2x-5)+3=0， 所以 2x-2=0，解得 x=1。 所以 2x-5=-3。 方法点拨：关系语言 → 等式语言，是这类题的关键一步。 例2 已知 a-2 与 3a+6 互为相反数。 （1）求 a； （2）分别求这两个代数式的值。 解：（1）因为 (a-2)+(3a+6)=0， 所以 4a+4=0，解得 a=-1。 （2）a-2=-3，3a+6=3。 方法总结：把“两个代数式互为相反数”转化为等式，求出未知数并回代检验。。 变式训练 1. 若 x+4 与 -7 互为相反数，求 x。 2. 已知 A=2n-1，B=n+4，且 A、B 互为相反数。 （1）求 n； （2）求 A、B； （3）求 A-B。 题型4 数轴上的相反数：关于原点对称 核心能力：把数轴上的“关于原点对称”转化为相反数关系，并与字母、距离和位置条件结合。 • 数轴上表示互为相反数的两个点位于原点两侧，并且到原点的距离相等。 • 若点 P 表示 a，则与 P 关于原点对称的点表示 -a；反过来，关于原点对称的两个点所表示的数之和为0。 例题精讲 例1 数轴上点 A 表示 3x-2，点 B 与 A 关于原点对称，点 C 表示 x+4。已知 B 在 C 的左侧，且 BC=6。 （1）求 x； （2）写出 A、B、C 三点表示的数。 解：点 B 表示 -(3x-2)=2-3x。 因为 B 在 C 左侧且 BC=6， 所以 (x+4)-(2-3x)=6， 解得 x=1。 所以 A=1，B=-1，C=5。 例2 如图，A，B，C，D 分别是数轴上四个点，其中有一点是原点，且 AB=BC=CD=1，P，Q 两点分别在线段 AB，CD 上。点 P 对应的数为 a，点 Q 对应的数为 b，且 a+b=-3。 （1）该数轴的原点是点______； （2）若 a=3b，求线段 PQ 的长。 解：（1）若原点是 A、B 或 C，则点 P 与点 Q 表示的数之和都不可能等于 -3；只有当原点是 D 时，a+b 才可能等于 -3，所以原点是点 D。 （2）由 a=3b，a+b=-3，得 4b=-3，所以 b=，a=。 所以 PQ=|a-b|=|+|=。 变式训练 1. 点 A 表示 x+1，点 B 表示 2x-7，且 A、B 关于原点对称。 （1）求 x； （2）求 A、B 两点表示的数。 2. 数轴是研究有理数的重要工具，结合下图解决问题： （1）图1中，点 a 表示 -2，点 b 表示 1。请在数轴上标出表示 -a 与 a+b 的点，并借助数轴比较 a、a+b、b、-a 的大小，用“<”连接； （2）图2中，点 a、b、c 表示的数分别是 -3、-1、2，求 |a-b|-|b-c|+|c| 的值。 3. 如图，数轴上的点 A、B、C、D 分别表示有理数 -4、x、2、y，且 AB=BC=CD。 （1）在数轴上标出原点 O 和表示有理数 -y 的点 E； （2）求 x、y； （3）求代数式 2x-2y+3 的值。 题型5 数轴的翻折 核心能力： • 数轴沿表示 c 的点 M 翻折后，点 A(a) 与对应点 A′ 到 M 的距离相等，且位于 M 两侧。 • 若翻折后 A(a) 与 B(b) 重合，则折痕点表示的数是 (a+b)/2； 例题精讲 例1 如图，数轴沿点 M 翻折，点 M 表示 1，点 A 表示 -3。翻折后点 A 与点 A′ 重合。 （1）求 A′ 表示的数； （2）求 AA′ 的长。 解：因为 M 是 A、A′ 的中点，且 AM=1-(-3)=4， 所以 A′ 在 M 的右侧4个单位长度处，表示 1+4=5。 因此 AA′=4+4=8。 例2 一条数轴上有点 A、B、C，其中点 A、B 表示的数分别是 -14，10。现以点 C 为折点，将数轴向右对折，若点 A′ 落在射线 CB 上，并且 A′B=6，则点 C 表示的数是（ ） A. 1 B. -3 C. 1或-4 D. 1或-5 解：设点 C 表示的数为 x，则翻折后点 A 的对应点 A′ 表示的数为 2x-(-14)，即 2x+14。 由题意，点 B 表示的数是 10，且 A′B=6， 所以 |(2x+14)-10|=6， 即 |2x+4|=6。 所以 2x+4=6 或 2x+4=-6， 解得 x=1 或 x=-5。 当 x=1 时，A′=16；当 x=-5 时，A′=4。两种情况都满足 A′ 落在射线 CB 上。 故选 D。 变式训练 1. 点 A 表示 -4，点 B 表示 8。若把数轴沿点 M 翻折后 A、B 重合， （1）求 M 表示的数； （2）点 C 表示 1，求 C 的对应点 C′ 表示的数。 2. 如图，在数轴上，点 A、M、B 从左到右依次排列，其中点 A、B 表示的数分别为 -11，5。现将数轴沿点 M 翻折，点 A 的对应点为 A′。 （1）若点 A′ 与点 B 重合，求点 M 表示的数； （2）若点 A′ 在点 B 的右侧，且 A′B=4，求点 M 表示的数； （3）在（2）的条件下，点 P 表示的数为 t，翻折后对应点为 P′。若点 P′ 在原点右侧，且 PP′=10，求 t 和点 P′ 表示的数。 题型6 数轴上的两点距离 会求两点之间的距离，并能处理“距某点固定距离”产生的两个可能位置。 例题精讲 例1 数轴上点 A 表示 -4，点 B 表示 x，且 AB=6。求 x。 解：点 B 可能在 A 的右侧，也可能在 A 的左侧。 当点 B 在 A 的右侧时，x=-4+6=2； 当点 B 在 A 的左侧时，x=-4-6=-10。 所以 x=2 或 -10。 方法点拨：“距某点6个单位”表示存在两个方向，因此通常要分类讨论。 例2 如图，在数轴上从左到右有 A，B，C 三点，其中点 A 到点 B 的距离为 3，点 B 到点 C 的距离为 8。设点 A，B，C 表示的数的和是 m。 （1）若点 A 为原点，求点 B 表示的数； （2）若点 B 到原点的距离为 4，求 m 的值。 解：（1）若点 A 为原点，则点 B 在点 A 的右侧 3 个单位长度处， 所以点 B 表示的数为 3。 （2）由题意，点 A，B，C 从左到右排列，且 AB=3，BC=8。 当原点在点 B 的左侧时，点 B 表示 4，则点 A 表示 1，点 C 表示 12， 所以 m=1+4+12=17； 当原点在点 B 的右侧时，点 B 表示 -4，则点 A 表示 -7，点 C 表示 4， 所以 m=-7+(-4)+4=-7。 所以 m 的值为 -7 或 17。 例3 如图，数轴上点 A，B 表示的数分别为 -6，7，点 P 在 AB 之间。若图中有一条线段是另一条线段的 2 倍，则点 P 表示的数可以为______。 解：设点 P 表示的数为 x，则 AP=x-(-6)=x+6，BP=7-x，AB=7-(-6)=13。 若 BP=2AP，则 7-x=2(x+6)，解得 x=-5/3； 若 AB=2AP，则 13=2(x+6)，解得 x=1/2； 若 AB=2BP，则 13=2(7-x)，解得 x=1/2； 若 AP=2BP，则 x+6=2(7-x)，解得 x=8/3。 综上，点 P 表示的数可以为 -5/3，1/2，8/3。 变式训练 1. 点 A 表示 a，点 B 表示 -a，且 a>0，AB=12。点 C 与点 A 的距离为 3，则点 C 表示的数可能是（ ） A. 3 B. 9 C. 3 或 9 D. -3 或 9 2. A，B，C 三个点中，若其中一点到另外两点的距离相等，我们就称这三个点为“好友三点”。若数轴上三个不重合的点 A，B，C 中，点 A 表示的数是 -1，点 B 表示的数是 3，则“好友三点”A，B，C 中点 C 所对应的数为______。 3. 点 A，点 B，点 C 在数轴上的位置如图。现在这三点同时开始在数轴上运动：若点 A，点 B 分别以每秒 2 个单位长度和每秒 1 个单位长度的速度向左运动，点 C 以每秒 2 个单位长度的速度向右运动，点 A，点 B 之间的距离记作 AB，点 B 与点 C 之间的距离记作 BC，则运动 t 秒时，2AB-BC 的值为______。 4. 如图，有一个玩具积木放置在数轴上，若将该积木在数轴上水平平移，则点 A 移动到点 B 时，点 B 所对应的数为 18；当点 B 移动到点 A 时，点 A 所对应的数为 6（单位：单位长度）。 （1）玩具积木的长度为多少个单位长度？ （2）用上题的思考方法解决下面的问题： 一天，小明问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要 40 年才出生；你若是我现在这么大，我就是 110 岁了。”爷爷今年多少岁？ 题型7 数轴整点覆盖 例题精讲 例1 如图，小华在作业本上不慎将两滴墨水滴在数轴上。根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（ ） A. -5 B. -4 C. -3 D. -2 解：由图知，左侧墨迹盖住的范围大约是 -5.8 到 -1.2，右侧墨迹盖住的范围大约是 0.6 到 4.3。 因此被墨迹盖住的整数有 -5，-4，-3，-2，1，2，3，4。 它们的和为 (-5)+(-4)+(-3)+(-2)+1+2+3+4=-4。 故选 B。 例2 数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是 1 厘米。若在这条数轴上随意放上一根长为整数厘米的木条，这根木条恰好能盖住 4 个整点，则这根木条的长度为______厘米。 解：设木条的长度为 n 厘米（n 为正整数）。 若木条的端点与整点重合，则长度为 n 的木条可盖住 n+1 个整点； 若木条的端点不与整点重合，则长度为 n 的木条可盖住 n 个整点。 因为木条恰好能盖住 4 个整点， 所以可能是 n=3（端点与整点重合），也可能是 n=4（端点不与整点重合）。 所以木条的长度为 3 或 4 厘米。 方法点拨：覆盖整点个数不仅和线段长度有关，还和端点是否恰好落在整点上有关，解题时要注意分类讨论。 变式训练 1. 在数轴上有一条线段，长度为 a，且 4<a≤5。这条线段在数轴上移动时，若要求它不覆盖整数 0，则它覆盖的整数点最少为______个。 2. 数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是 1 厘米。若在这条数轴上任意画一条长为 2026 厘米的线段 AB，则线段 AB 覆盖的整点个数是（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2026 或 2027 D. 2025 或 2026 题型8 规律探究与综合创新 例题精讲 例1 如图，在数轴上，点 P 从原点 O 出发：第1次向右移动1个单位，第2次向左移动2个单位，第3次向右移动3个单位，第4次向左移动4个单位，……按此规律继续运动。 （1）写出前6次运动后点 P 表示的数； （2）第20次运动后点 P 表示的数； （3）第21次运动后点 P 表示的数。 解：（1）前6次运动后点 P 表示的数依次为 1，-1，2，-2，3，-3。 （2）观察规律可知：奇数次运动后得到正数，且第(2n-1)次得到 n；偶数次运动后得到负数，且第2n次得到 -n。 所以第20次运动后点 P 表示的数为 -10。 （3）第21次运动后点 P 表示的数为 11。 例2 在数轴上规定如下操作：每进行一次操作，都依次完成下面两个步骤： 步骤1：将点 P 关于原点 O 对称，得到点 P′； 步骤2：再把点 P′ 向右移动 1 个单位长度，移动后的点作为本次操作结束后的点 P。 下一次操作以上一次操作结束后的点 P 为起点，仍按上述两个步骤进行。已知点 P 开始时表示 2。 （1）连续操作4次，分别写出每次操作结束后点 P 表示的数； （2）第2026次操作结束后，点 P 表示什么数？ （3）第2027次操作结束后，点 P 表示什么数？ 解：第1次操作：点 P 由 2 关于原点对称到 -2，再向右移动 1 个单位，得到 -1； 第2次操作：点 P 由 -1 关于原点对称到 1，再向右移动 1 个单位，得到 2； 第3次操作后得到 -1；第4次操作后得到 2。 因此每2次操作为一个循环。 2026 是偶数，所以第2026次操作结束后点 P 表示 2； 2027 是奇数，所以第2027次操作结束后点 P 表示 -1。 方法点拨：连续操作问题要先算出前几步，再判断是否出现循环；一旦找到周期，就能快速解决大次数问题。 变式训练 1. 一个电子跳蚤在一条数轴上从原点开始，第一次向右跳 1 个单位长度，紧接着第二次向左跳 2 个单位长度，第三次向右跳 3 个单位长度，第四次向左跳 4 个单位长度，……以此规律跳下去。当它第 100 次落下时，落点处距离原点（ ）个单位长度。 A. 0 B. 100 C. 50 D. -50 2. 如图，一个动点从原点 O 开始向左运动，每秒运动 1 个单位长度，并且规定：每向左运动 3 秒就向右运动 2 秒，按此规律不断运动，则该动点运动到第 2026 秒时所对应的数是（ ） A. -406 B. -405 C. -1010 D. -1011 3. 如图，正方形的边长为 1，在正方形的 4 个顶点处标上字母 A，B，C，D。先让正方形上的顶点 A 与数轴上表示 -2 的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向向右滚动，那么数轴上的数 2019 将与正方形上的字母______重合。 参考答案与详细解析 题型1 变式训练第1题 解：互为相反数的两个数的和为0。 -3.5+3.5=0，-2+2=0，因此互为相反数的两组数是 -3.5 与 3.5、-2 与 2。 0+0=0，所以 0 的相反数仍是 0。 答案：-3.5 与 3.5；-2 与 2；0 的相反数是 0。 变式训练第2题 解：直尺上点 A、C 分别在刻度 2 和 10 处。若 A、C 所表示的数互为相反数，则原点 O 是 A、C 的中点。 原点对应的刻度=(2+10)÷2=6。 答案：6。 变式训练第3题 解：由图可知，AB=6 个单位长度，BC=2 个单位长度，所以 AC=8 个单位长度。 （1）A 表示 -4，B 在 A 右侧6个单位，所以 B=2；C 在 B 右侧2个单位，所以 C=4。 （2）A、C 互为相反数，又 AC=8，所以 A=-4，C=4；B 在 C 左侧2个单位，所以 B=2。 （3）B 与原点的距离为3，所以 B=3 或 B=-3。又 C=B+2，所以 C=5 或 C=-1。 答案：（1）B=2，C=4；（2）B=2；（3）C=5 或 -1。 题型2 变式训练第1题 解：A中 -(-4)=4，|-4|=4，两数相等，不互为相反数； B中 -3²=-9，(-3)²=9，二者和为0，互为相反数； C中 -36/9=-4，24/(-6)=-4，两数相等； D中 3×7=21，(-3)×(-7)=21，两数相等。 答案：B。 变式训练第2题 解：第一空：原式=-[-(-5)]=-[5]=-5。 第二空：原式=+[-(2/3)]²=(-2/3)²=4/9。 答案：-5；4/9。 题 变式训练第3题 解：先化简：-(-2)=2，-|-3|=-3，-2²=-4。 所以这些数为 -1.5，2，0，-3，-4，1/2。 （1）正有理数集合为 {2，1/2}；负整数集合为 {-3，-4}。 （2）在数轴上从左到右依次标出 -4，-3，-1.5，0，1/2，2。 （3）从小到大：-4<-3<-1.5<0<1/2<2。 答案：（1）{2，1/2}；{-3，-4}；（2）如上述位置；（3）-4<-3<-1.5<0<1/2<2。 题型3 变式训练第1题 解：因为 x+4 与 -7 互为相反数， 所以 (x+4)+(-7)=0， x-3=0，解得 x=3。 答案：x=3。 变式训练第2题 解：因为 A、B 互为相反数，所以 A+B=0。 (2n-1)+(n+4)=0，得 3n+3=0，所以 n=-1。 当 n=-1 时，A=2×(-1)-1=-3，B=-1+4=3。 A-B=-3-3=-6。 答案：（1）n=-1；（2）A=-3，B=3；（3）A-B=-6。 题型4 变式训练第1题 解：A、B 关于原点对称，所以它们表示的数互为相反数。 (x+1)+(2x-7)=0，得 3x-6=0，所以 x=2。 此时 A=x+1=3，B=2x-7=-3。 答案：（1）x=2；（2）A=3，B=-3。 变式训练第2题 解：（1）a=-2，b=1，所以 -a=2，a+b=-1。 因此 a<a+b<b<-a，即 -2<-1<1<2。 （2）a=-3，b=-1，c=2。 |a-b|-|b-c|+|c|=|-3-(-1)|-|-1-2|+|2|=2-3+2=1。 答案：（1）-2<-1<1<2；（2）1。 变式训练第3题 解：A、B、C、D 在数轴上等距，A=-4，C=2。A 到 C 跨2个相等间隔， 每个间隔长度为 [2-(-4)]÷2=3。 所以 B=-4+3=-1，D=2+3=5，即 x=-1，y=5。 原点 O 表示0，在 B(-1) 与 C(2) 之间；-y=-5，所以 E 表示 -5。 2x-2y+3=2×(-1)-2×5+3=-9。 答案：（1）O 在 B、C 之间，E 表示 -5；（2）x=-1，y=5；（3）-9。 题型5 变式训练第1题 解：（1）翻折后 A、B 重合，所以折点 M 是 A、B 的中点。 M=(-4+8)÷2=2。 （2）C 表示1，关于 M=2 翻折后，C′=2×2-1=3。 答案：（1）M=2；（2）C′=3。 变式训练第2题 解：设点 M 表示 m。点 A=-11，翻折后 A′=2m-(-11)=2m+11。 （1）A′ 与 B(5) 重合，所以 2m+11=5，解得 m=-3。 （2）A′ 在 B 右侧且 A′B=4，所以 A′=5+4=9。于是 2m+11=9，解得 m=-1。 （3）在（2）中 M=-1。若 P=t，则 P′=2×(-1)-t=-2-t。 又 PP′=10，所以 |(-2-t)-t|=10，即 |-2-2t|=10。 t=-6 或 t=4。检验 P′在原点右侧：t=-6 时 P′=4>0；t=4 时 P′=-6<0，舍去。 答案：（1）M=-3；（2）M=-1；（3）t=-6，P′=4。 变式训练第1题 解：A=a，B=-a，且 a>0，所以 AB=a-(-a)=2a。 由 AB=12，得 2a=12，所以 a=6，即 A 表示6。 C 与 A 的距离为3，所以 C=6-3=3 或 C=6+3=9。 答案：C（3 或 9）。 变式训练第2题 解：A=-1，B=3。根据“好友三点”的定义，分三种情况： ① C 到 A、B 距离相等，则 C 是 AB 的中点，C=(-1+3)÷2=1； ② A 到 B、C 距离相等，则 AB=4，所以 C 在 A 另一侧4个单位处，C=-5； ③ B 到 A、C 距离相等，则 BA=4，所以 C 在 B 另一侧4个单位处，C=7。 三个点要求互不重合，上述结果均符合。 答案：1，-5，7。 变式训练第3题 解：由图可知，开始时 A=-3，B=1，C=7。 t 秒后：A=-3-2t，B=1-t，C=7+2t。 AB=(1-t)-(-3-2t)=4+t，BC=(7+2t)-(1-t)=6+3t。 所以 2AB-BC=2(4+t)-(6+3t)=2-t。 答案：2-t。 变式训练第4题 解：（1）设积木初始时 A、B 表示的数分别为 a、b，积木长度为 L=b-a。 当 A 移动到 B 时，整体向右平移 L，原来的 B 移到18，所以 b+L=18，即 2b-a=18。 当 B 移动到 A 时，整体向左平移 L，原来的 A 移到6，所以 a-L=6，即 2a-b=6。 联立解得 a=10，b=14，所以 L=14-10=4。 （2）设小明今年 x 岁，爷爷今年 y 岁。 爷爷像小明现在这么大时，是 y-x 年前。那时小明的年龄为 x-(y-x)=2x-y。 根据“你还要40年才出生”，得 2x-y=-40，即 y=2x+40。 当小明长到爷爷现在的 y 岁时，经过 y-x 年，此时爷爷的年龄为 y+(y-x)=2y-x。 根据“我就是110岁了”，得 2y-x=110。 联立 y=2x+40，2y-x=110，解得 x=10，y=60。 答：（1）玩具积木的长度为4个单位长度；（2）爷爷今年60岁。 题型7 变式训练第1题 解：线段长度满足 4<a≤5。长度大于4的线段，无论怎样放置，都至少能覆盖4个整点。 例如取长度4.1的线段，放在 0.1 到4.2之间，它不覆盖整数0，只覆盖1、2、3、4这4个整点，说明“4个”可以达到。 答案：4。 变式训练第2题 解：线段长度为2026厘米，单位长度为1厘米。 若线段的一个端点落在整点上，则另一个端点也落在整点上，覆盖2026+1=2027个整点； 若两个端点都不落在整点上，则覆盖2026个整点。 所以可能覆盖2026个或2027个整点。 答案：C。 题型8 变式训练第1题 解：每两次跳跃合为一组。第1、2次的总位移为 1-2=-1；第3、4次的总位移为 3-4=-1；以后每两次的总位移都是 -1。 100次共有50组，所以第100次落下时的位置是 -50。 落点到原点的距离为 |-50|=50。 答案：C（50）。 变式训练第2题 解：每5秒为一个完整周期：先向左运动3秒，再向右运动2秒。 一个完整周期内，点向左3个单位、再向右2个单位，因此净向左移动1个单位。 2026=5×405+1。 经过405个完整周期后，点在数轴上表示 -405 的位置；接着进入下一周期的第1秒，点继续向左运动1个单位，到达 -406。 所以第2026秒时该动点所对应的数是 -406。 答案：A（-406）。 变式训练第3题 解：正方形边长为1，向右滚动时，每滚动一次，接触数轴的顶点按 A→B→C→D→A 的顺序循环，周期为4。 A 最初与数轴上的 -2 重合。数轴上的2019与 -2 相距 2019-(-2)=2021 个单位长度，即滚动2021次。 2021÷4=505……1，余1表示从 A 再向前一个顶点，所以与 B 重合。 答案：字母 B。 汪老师编写 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $