5.6 函数y=Asin(ωx+φ) 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数y=Asin(ωx+φ)的参数意义、图象变换及应用，通过筒车盛水筒匀速圆周运动实例，抽象出H=rsin(ωt+φ)+h模型，衔接三角函数基础，搭建从具体到抽象的学习支架。 以筒车建模培养数学抽象素养，分步探究φ、ω、A对图象的影响发展直观想象与逻辑推理，结合五点法作图和变换例题巩固知识。助力学生提升建模与运算能力，为教师提供清晰教学流程与评价设计，提升课堂效率。

5.6 函数y=Asin(ωx+φ) 高一 人教A版 必修第一册 教学设计-2026-2027学年 数学 一、章节名称 章节名称 5.6 函数y=Asin(ωx+φ) 课标要求 结合具体实例，了解y=Asin(ωx+φ)的实际背景及其参数含义，掌握参数A、ω、φ对图象的影响及图象变换过程。 章节名称 第五章 三角函数 课标要求 能用三角函数模型y=Asin(ωx+φ)刻画匀速圆周运动，体会数学建模思想。 章节名称 5.6 函数y=Asin(ωx+φ) 课标要求 掌握用五点法画y=Asin(ωx+φ)简图，能由图象条件确定解析式。 章节名称 5.6 函数y=Asin(ωx+φ) 课标要求 经历从y=sin x到y=Asin(ωx+φ)的图象变换探究过程，理解变换的先后次序。 章节名称 5.6 函数y=Asin(ωx+φ) 课标要求 理解参数A、ω、φ分别对应振幅、角频率与初相的实际意义。 章节名称 5.6 函数y=Asin(ωx+φ) 课标要求 能由实际匀速圆周运动抽象出H=rsin(ωt+φ)+h的函数模型。 章节名称 5.6 函数y=Asin(ωx+φ) 课标要求 通过图象变换体会从简单到复杂的数学方法，提升直观想象素养。 章节名称 5.6 函数y=Asin(ωx+φ) 课标要求 能借助参数变换分析周期、极值等性质并解决简单实际问题。 章节名称 5.6 函数y=Asin(ωx+φ) 课标要求 在探究过程中培养逻辑推理与数学抽象能力。 二、课标要求 结合匀速圆周运动等具体实例，了解函数y=Asin(ωx+φ)的实际背景；理解参数A、ω、φ的物理意义；掌握由y=sin x图象经平移、伸缩变换得到y=Asin(ωx+φ)图象的方法；能用五点法画出函数简图并依据图象条件确定解析式。 三、重点 参数A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响规律；由y=sin x经图象变换得到y=Asin(ωx+φ)图象的完整过程；用三角函数模型刻画匀速圆周运动。 四、难点 对ω引起横向伸缩（横坐标变为原来的倍）的理解；变换顺序（先平移后伸缩）对平移量的影响；由实际运动抽象出H=rsin(ωt+φ)+h模型的建模过程。 五、学习目标 1. 能以筒车盛水筒运动为实例，说明函数y=Asin(ωx+φ)中参数A、ω、φ的物理意义，建立H=rsin(ωt+φ)+h模型，提升数学抽象素养。 2. 能阐述φ、ω、A分别对正弦曲线产生平移、横向伸缩、纵向伸缩的影响，并按先平移再伸缩的顺序完成由y=sin x到y=Asin(ωx+φ)的图象变换，发展直观想象与逻辑推理素养。 3. 能用五点法画出y=Asin(ωx+φ)的简图，并能由图象特征确定参数A、ω、φ的值，写出解析式，增强数学运算能力。 六、评价设计 1. 课堂提问与追问：针对筒车建模与参数意义设问，依据学生回答的准确度与表述完整性评价数学抽象水平。 2. 例题与练习表现：通过五点法作图和图象变换的书写规范程度，评价直观想象与逻辑推理达成度。 3. 课后作业完成质量：以解析式求解和图象变换题为载体，评价数学运算与模型应用能力。 七、教学过程 教学过程 新课导入 提出问题 设计意图： 以筒车实例引出匀速圆周运动的周期性，激发兴趣并建立直观认知。 作业：课本习题5.6第1、2题。 教学过程 新知探究 参数影响 设计意图： 分步探究φ、ω、A对图象的影响，突破横向伸缩难点。 作业：课本习题5.6第3、4题。 教学过程 巩固练习 小结作业 设计意图： 通过五点法与变换题巩固知识，小结梳理脉络。 作业：课本习题5.6第5题及补充题。 1. 新课导入 教师呈现筒车盛水筒匀速圆周运动的实例，提问：盛水筒M距水面的高度H随时间t变化，这个运动具有怎样的特征？ 预设学生回答：盛水筒随筒车做圆周运动，高度反复升降，具有周期性。 教师追问：设转轮中心O到水面距离为h，半径为r，角速度为ω，初相为φ，如何用三角函数刻画高度H与时间t的关系？ 预设学生回答：以O为原点，盛水筒M相对于O的高度为rsin(ωt+φ)，再加上h，得到H=rsin(ωt+φ)+h。 设计意图：从真实情境抽象出H=rsin(ωt+φ)+h模型，让学生体会三角函数是刻画周期运动的自然工具，引出函数y=Asin(ωx+φ)。 2. 新知探究——参数φ对图象的影响 教师提问：对比y=sin x与y=sin(x+)的图象，后者可由前者怎样变换得到？ 预设学生回答：y=sin(x+)的图象可看作将y=sin x的图象向左平移个单位长度。 教师总结：把正弦曲线y=sin x向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|个单位长度，得到y=sin(x+φ)的图象。 设计意图：从φ的符号入手，引导学生理解平移方向与平移量的关系。 3. 新知探究——参数ω对图象的影响 教师提问：在y=sin(x+)基础上，对比y=sin(2x+)的图象，横坐标发生了怎样的变化？ 预设学生回答：周期变为2π÷2=π，图象横向压缩为原来的一半。 教师追问：若改为y=sin(x+)，周期和图象又会怎样变化？ 预设学生回答：周期变为2π÷=4π，图象横向伸长为原来的2倍。 教师总结：把y=sin(x+φ)图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到y=sin(ωx+φ)的图象。ω>1时缩短，0<ω<1时伸长。难点突破：横坐标变为原来的倍，即每个x值除以ω，图象沿水平方向压缩或拉伸。 设计意图：通过ω取2与的对比，帮助学生理解横向伸缩与周期变化的关系。 4. 新知探究——参数A对图象的影响 教师提问：对比y=sin(2x+)与y=3sin(2x+)的图象，后者可由前者怎样变换得到？ 预设学生回答：纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变，值域变为[−3, 3]。 教师总结：把y=sin(ωx+φ)图象上各点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），得到y=Asin(ωx+φ)的图象，值域为[−A, A]。 设计意图：纵向伸缩相对直观，引导学生关注A与振幅、值域的直接联系。 5. 新知探究——图象变换全过程 教师提问：综合以上三步，如何由y=sin x的图象得到y=3sin(2x+)的图象？ 预设学生回答：先向左平移个单位长度，得y=sin(x+)；再将横坐标变为原来的倍，得y=sin(2x+)；最后将纵坐标变为原来的3倍，得y=3sin(2x+)。 教师总结：先平移（φ）→再伸缩横坐标（ω）→最后伸缩纵坐标（A），可用步骤框图表示。一般地，函数y=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0）的图象可用此方法得到。 设计意图：将分步探究整合为完整变换链，强化先平移后伸缩的顺序意识。 6. 例题与巩固练习 例题：用五点法画出函数y=2sin(x+)在一个周期内的简图，并指出它由y=sin x经过怎样的变换得到。 解题过程：令x+依次取0、、π、、2π，解得x依次为−、、、、。对应y值依次为0、2、0、−2、0。描点连线即得一个周期的简图。变换过程：将y=sin x向左平移个单位长度，得y=sin(x+)；横坐标变为原来的2倍，得y=sin(x+)；纵坐标变为原来的2倍，得y=2sin(x+)。答案：简图如上，变换为先左移、横坐标伸长2倍、纵坐标伸长2倍。 课堂练习1：将y=sin x的图象经过怎样的变换，可以得到y=3sin(2x−)的图象？答案：先向右平移个单位长度，得y=sin(x−)；再将横坐标变为原来的倍，得y=sin(2x−)；最后将纵坐标变为原来的3倍，得y=3sin(2x−)。 课堂练习2：已知函数y=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0，|φ|<π）的部分图象，最大值为2，周期为π，且x=0时y=1，求解析式。答案：A=2；T=π⇒ω=2；由2sin(φ)=1且|φ|<π，得φ=，解析式为y=2sin(2x+)。 设计意图：通过五点法作图与由图象求解析式两类题型，巩固参数意义与变换方法。 7. 课堂小结 教师提问：本节课我们学习了哪些主要内容？ 预设学生回答：以筒车为实例建立了y=Asin(ωx+φ)模型；分别探究了φ引起平移、ω引起横向伸缩、A引起纵向伸缩；掌握了先平移后伸缩的变换顺序和五点法作图。答案：参数意义、三步变换、五点法作图、由图象求解析式。 设计意图：引导学生回顾梳理知识脉络，形成结构化认知。 8. 作业 作业1：课本习题5.6第1题，说明函数y=4sin(x−)中A、ω、φ的值及其物理意义。答案：A=4，ω=，φ=−；A为振幅，ω与周期T=6π相关，φ为初相。 作业2：课本习题5.6第3题，用五点法画出y=3sin(2x+)在一个周期内的简图。答案：五点依次为x=−、、、、，对应y值为0、3、0、−3、0。 作业3：补充题——将y=sin x的图象变换为y=2sin(3x+)，写出变换步骤。答案：先向左平移个单位长度，得y=sin(x+)；再将横坐标变为原来的倍，得y=sin(3x+)；最后将纵坐标变为原来的2倍，得y=2sin(3x+)。 八、板书设计 1. 模型建立：筒车运动→H=rsin(ωt+φ)+h，引出y=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0）。 2. 参数影响：φ→平移；ω→横坐标变为倍；A→纵坐标变为A倍，值域[−A, A]。 3. 变换过程：y=sin x →平移→ y=sin(x+φ) →横伸缩→ y=sin(ωx+φ) →纵伸缩→ y=Asin(ωx+φ)；五点法作图步骤。 学科网（北京）股份有限公司 $