1.2.2 直线的两点式方程 课时练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学“直线的两点式方程”同步练，采用A/B/C三级分层（题量8/5/2），梯度从基础概念到综合应用再到素养创新，覆盖斜率、截距等核心知识点，适配新授课分层巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|两点式方程、斜率、截距基本计算|直接应用公式，如第1题由两点式求斜率，第5题分类讨论截距为0与不为0的情况，夯实运算能力| |B级|斜率范围、最值问题、综合应用|结合几何直观与代数推理，如第9题通过截距范围求斜率范围，第11题用基本不等式求2a+b最小值，发展推理能力| |C级|曲线方程几何意义、实际情境应用|体现数学眼光与模型观念，如第14题分析方程表示的菱形，第15题在正整数条件下确定直线条数，培养创新意识|

1.2.2　直线的两点式方程 A级　必备知识基础练 1.已知直线l的两点式方程为=，则l的斜率为(　　) A．－　　 B．　　 C．－　　 D． 2.过点A(－2，2)和点B(4，－1)的直线在y轴上的截距为(　　) A．1　　 B．2　　 C．－1　　 D．－2 3.已知直线l：ax＋y－2=0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是(　　) A．1　　 B．－1　　 C．－2或－1　　 D．－2或1 4.(2025宿迁高二月考)若直线l的横截距与纵截距都是负数，则(　　) A．l的倾斜角为锐角且不过第二象限 B．l的倾斜角为钝角且不过第一象限 C．l的倾斜角为锐角且不过第四象限 D．l的倾斜角为钝角且不过第三象限 5.过点P(1，2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为　　　　　　　　． 6.已知直线l经过(－2，－2)，(2，4)两点，点(1 348，m)在直线l上，则m的值为　　　　． 7.(2025徐州高二月考)已知直线l过点P(2，－1)，在x轴和y轴上的截距分别为a，b，且满足a=3b，则直线l的方程为　　　　． 8.求经过点(－2，2)且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程． B级　关键能力提升练 9.若直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是(　　) A．(－1，) B．(－∞，)⋃(1，＋∞) C．(－∞，1)⋃(，＋∞) D．(－∞，－1)⋃(，＋∞) 10.(多选题)(2025无锡高二质检)已知A(3，0)，B(0，4)，P(m，n)是直线AB上一动点，则mn的值可以为(　　) A．2　　 B．3　　 C．4　　 D．6 11.若直线＋=1(a＞0，b＞0)过点(2，3)，则2a＋b的最小值为　　　　． 12.已知直线l经过点P(t，t)，Q(t－1，2t)，t≠0，则直线l能否同时经过点A(－1，15)和点B(2，－2)？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 13.已知直线l的倾斜角为锐角，且与坐标轴围成的三角形的面积为6，周长为12，求直线l的方程． C级　学科素养创新练 14.在平面直角坐标系中，方程＋=1所表示的曲线是(　　) A．两条平行线　　 B．一个矩形 C．一个菱形　　 D．两条相交直线 15.过点作直线l，若直线l经过点，，且a∈N*，b∈N*，则直线l的条数为　　　　． 答案： 1.A　解析　由题意知，直线l经过点(－5，0)，(3，－3)，所以l的斜率为=－．故选A． 2.A　解析　过点A(－2，2)和点B(4，－1)的直线方程为=，即y=－x＋1，故直线在y轴上的截距为1，故选A． 3.A　解析　显然a≠0.把直线l：ax＋y－2=0化为＋=1. ∵直线l：ax＋y－2=0在x轴和y轴上的截距相等，∴=2，解得a=1. 4.B　解析　依题意知，直线l的截距式方程为＋=1(a＞0，b＞0)，显然直线l只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B． 5.2x－y=0或x－y＋1=0　解析　当直线过原点时，得直线方程为2x－y=0； 当在坐标轴上的截距不为零时，可设直线方程为－=1，将点P(1，2)代入方程可得a=－1，得直线方程为x－y＋1=0. ∴直线方程为2x－y=0或x－y＋1=0． 6.2 023　解析　由题意知l不与x，y轴平行，故由直线l的两点式方程可得=，解得m=2 023. 7.x＋2y=0或x＋3y＋1=0　解析　若a=3b=0，则直线过原点(0，0)，此时直线斜率k=－，直线方程为x＋2y=0. 若a=3b≠0，则设直线方程为＋=1，即＋=1，由于点P(2，－1)在直线上，所以b=－，从而直线方程为－x－3y=1，即x＋3y＋1=0. 综上所述，所求直线方程为x＋2y=0或x＋3y＋1=0. 8.解　由题意知，直线l在两坐标轴上的截距存在且不为零，故可设所求直线l的方程为＋=1(ab≠0)，由已知可得解得或 所以直线l的方程为＋=1或＋=1. 9.D　解析　设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B时，直线l在x轴上的截距为3，此时k=－1；过定点A的直线经过点C时，直线l在x轴上的截距为－3，此时k=，满足条件的直线l的斜率的取值范围是(－∞，－1)⋃(，＋∞)． 10.AB　解析　易求得直线AB的方程为＋=1，∵P(m，n)在直线AB上，∴m=3－n，∴mn=3n－n2=(－n2＋4n)=[－(n－2)2＋4]≤3，故选AB． 11.7＋4　解析　∵直线＋=1(a＞0，b＞0)过点(2，3)，∴＋=1. ∴2a＋b=(2a＋b)(＋)=7＋＋≥7＋4=7＋4，当且仅当b=a，即a=2＋，b=2＋3时取等号．∴2a＋b的最小值为7＋4． 12.解　由题意，可得直线l的两点式方程为=，整理得tx＋y－t2－t=0.若直线l经过点A(－1，15)，则有－t＋15－t2－t=0，即t2＋2t－15=0，解得t=3或t=－5.若直线l经过点B(2，－2)，则有2t－2－t2－t=0，即t2－t＋2=0，方程无实数根．综上可知，直线l能经过点A，此时t=3或t=－5，直线l不能经过点B，所以直线l不能同时经过点A和点B． 13.解　设直线l在x，y轴的截距分别为a，b， 由题意可得 解得或 又因为直线l的倾斜角为锐角，则直线l的斜率k=－＞0，即ab＜0， 可得或或或 所以直线l的方程为－=1或－＋=1或－=1或－＋=1. 14.C　解析　当x≥0，y≥0时，方程为＋=1；当x≥0，y≤0时，方程为－=1；当x≤0，y≤0时，方程为＋=－1；当x≤0，y≥0时，方程为－＋=1.因此，原方程所表示的曲线是一个以(3，0)，(0，2)，(－3，0)，(0，－2)为顶点的菱形．故选C． 15.4　解析　因为直线l 过点(a，0) 和(0，b)，a∈N*，b∈N*，所以可设直线l的方程为＋=1．因为直线l过点(1，6)，所以＋=1，即6a=(a－1)b．因为a∈N*，b∈N*，所以当a=1时，直线和x轴垂直，和y轴无交点，直线不过点(0，b)，故a=1时不满足条件． 当a≥2 时，b==6＋．　① 当a=2 时，b=12；当a=3 时，b=9；当a=4 时，b=8；当a=7 时，b=7； 当a＞7时，由①知，满足条件的正整数b不存在． 综上，满足条件的直线有4条． 学科网（北京）股份有限公司 $