5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第2课时）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦高一数学人教A版必修一第五章三角函数中的二倍角正弦、余弦、正切公式，通过回顾和角公式推导二倍角公式，明晰知识脉络，搭建从和角到倍角的学习支架，帮助学生理解公式联系与来源。 其亮点在于包含思维导图梳理知识，例题讲解结合多种解题方法（如从角、名、幂、形不同角度化简），分层练习（基础、中档、拔高）对接高考，培养学生逻辑推理与数学运算素养。学生能提升三角运算能力，教师可借助一体化教学资源提高教学效率。

高一数学●2024人教A版必修一 第五章 三角函数 本节理解二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导，明晰二倍角与和角公式的联系；能熟练运用公式化简、求值、证明三角恒等式，提升三角运算与逻辑推理素养。 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第2课时） 3.二倍角的正弦、余弦、正切公式 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括81张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识丨知识详解 知识点1 倍角公式 1 倍角公式 函数 公式 简记符号 正弦 余弦 正切 4 特别提醒（1）这里的“倍角”专指二倍角，遇到“三倍角”等名词时，“三”不可省略. （2）二倍角是相对的，如 是 的二倍， 是 的二倍等，“倍”是描述两个数量 之间关系的，这里蕴含着换元思想. （3）对于和,,但是在使用时，要保证分母且 有 意义. （4）一般情况下， , , . 5 2 倍角公式的变形应用 （1）倍角公式的逆用 ,, . . , . （2）配方变形 . 6 （3）因式分解变形 . （4）升幂公式 ； . （5）降幂公式 ； ； ； . 7 例1 ［教材改编P221例5］若，则 __. 【解析】因为 ，所以由二倍角公式，得 . 8 例2 ［教材改编P221例5］已知， 是第三象限的角，则 的值为 ( ) A A. B. C. D. 【解析】, 是第三象限的角， ， ,则 . 9 例3 ［教材改编P223 T5］利用倍角公式求下列各式的值： （1） ; 【解析】 . （2） ; 【解析】 . （3） ; 【解析】 . （4） . 【解析】 . 10 方法帮丨解题突破 题型1 利用倍角公式化简、证明 类型1 无限制条件的三角函数式的化简问题 例4 化简： . 11 思路1 思路2 思路3 思路4 12 【解析】方法1：（从“角”入手，“倍角”变“单角”） 原式 . 13 方法2：（从“名”入手，“异名”化“同名”） 原式 . 14 方法3：（从“幂”入手，利用降幂公式先降次） 原式 . 15 方法4：（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方） 原式 . 16 类型2 有限制条件的三角函数式的化简问题 例5 化简： （1） ; 17 【解析】 , , ,, , 原式 .（在利用倍角公式去根号时，易忽略角的范围而导致错误. ） 18 （2）,其中 . 【解析】原式 . 当时（分类讨论去绝对值）,,, , 此时原式 . 当,时，, , 此时原式 . 19 两题均含有根式，因此化简的关键是将根号下内容转化为可以开方 的形式.（1）中观察式子结构特征，利用公式 即可化简；（2） 中根号下的“1”可巧妙转化为 （同角三角函数的关系式），再结合 ，利用完全平方公式化简. 20 解题通法 化简三角函数式的切入点 解决三角函数式的化简问题就是根据题目特点，利用相应的公式，对所给三角函数 式进行适当变形．可从“幂”的差异、“名”的差异、“角”的差异这三个方面，结合所给 “形”的特征入手解决．一般采用切化弦、异角化同角、异次化同次、异名化同名、 通分、使被开方数化为完全平方式等进行变形，同时注意公式的逆用以及“1”的恒等 代换，在化简时，要注意角的取值范围． 21 类型3 利用二倍角公式证明 例6 证明： . 【解析】方法1： 因为左边 22 右边, 所以原式成立. 方法2： 因为左边 右边， 所以原式成立. 题型2 利用倍角公式求值 类型1 给角求值 例7 求值： . 24 25 【解析】方法1：原式 （分子、分母再乘以 ,是为逐次逆用二倍角公式作准备）. 方法2：设原式, , 则 . 由于,故 . 26 方法1通过添加一个正弦值，即可逐次逆用二倍角公式求值.方法2 称为配对法，即通过给每一个余弦值配对，再逆用二倍角公式. 此类问题的一般化结论为： … . 27 解题通法 利用倍角公式解决给角求值问题的思路 对于这类问题，需观察题中角之间的关系，并能根据式子的特点构造出二倍角的形 式，正用、逆用、变形用二倍角公式求值，注意利用诱导公式和同角三角函数基本 关系对已知式进行转化. 28 练变式1 求值： . 【答案】方法1：原式 . 29 方法2：（利用配对法） 设原式 , , 则 , 因为,故 . 30 类型2 给值求值 例8 (2026·江苏省无锡市第一中学月考)已知, ,则 的值为_____. 31 【解析】方法1：（将角 视为整体，再利用倍角公式） ， 其中, .（先对目标式进行化 简变形，再利用辅助角公式即可得条件中的角） （注意该条件的限制,否则会出现多解的情况）, , , . 注意到 ，故可利用二倍角的余弦公式求解. 原式 . 32 方法2：（由分母中“”，联想到 ，而其中的角正是“ ”） . , , , , . 又 ， 原式 . 方法3：（对所求的式子先化切为弦，再利用 原式 ①. 由已知可得 ②， , , 故 . 由②可求出 ③. ④，将②③④代入①得， 原式 . 本题中前两种方法均涉及“”与“ ”的变换，这种变换方法还 有其他的形式： ； ； . 解题通法 利用倍角公式解决给值求值问题的思路 已知 （或）的某个三角函数值，求 （或 ）的三角函数值,常见解法是：先根 据角 （或）的取值范围，确定 （或 ）的取值范围;再根据已知的某个三角函 数值和二倍角公式，求得 （或 ）的三角函数值. 36 练变式2 (2026·四川省成都实验外国语学校月考)已知 ，且 ，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】因为 ， 化简得 ， 即（逆用正弦的两角和公式），又 ，所以 ， 所以 . 37 类型3 给值求角 例9 (2026·安徽省合肥市第一中学期末)已知,,且 , ,则 ( ) C A. B.或 C. D.或或 38 【解析】,且,, , , . ,且, , , （【明易错】若不由 ， 的正负性，进一步缩小 的范围，而仅由 ， ， ）得 ， ），就会得到错误答案：- 或或 ） 又， . 39 解题通法 解决给值求角问题的基本思路 给值求角问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角，其求解关键在于 “变角”，注意选择一个适当的三角函数，并且根据题设确定所求角的范围，最后再 求出角，其中确定角的范围是至关重要的一步. 40 题型3 与倍角公式相关的交汇问题 例10 已知的三个内角为，， ， . （1）若，求 的大小； 【解析】第一步：化简 . . 第二步：求值. ,,即 . ,.又 , . 41 （2）若恒成立，求实数 的取值范围． 【解析】第一步：转化不等式. 恒成立， 即 恒成立. （【抓关键】求出）的最小值，只需 小于这个最小值即可） 第二步：求三角函数的值域. , , , 第三步：求值. , . 42 若恒成立，则;若恒成立，则 . 43 例11 求函数 的最小值，并判 断其单调性. 44 45 【解析】 （为什么这样配凑？看到和想到 ，但两者系数不一致， 一定要进行拆分，又，为了用辅助角公式，需出现 ）. 因为，所以，所以，，当 ， 即时，取得最小值，最小值为 . 因为在，上是单调递增的，所以在， 上单调递减. 46 解题通法 与三角函数有关的综合问题的求解步骤 第一步：观察题设条件中角之间的函数名称的差异，寻求解题的切入点； 第二步：利用和、差、倍角公式化简三角函数式； 第三步：利用基本三角函数的图象与性质讨论其性质； 第四步：综合上述求解过程得出结论. 47 练变式3 已知函数，且满足 的图象 过点， ． （1）求函数 的解析式及最小正周期； 【答案】因为的图象过点， ， 所以，所以 ， 所以 ，最小正周期为 ． 48 （2）若关于的方程在区间上有两个不同解，求实数 的取值范围． 【答案】由，整理得 . 因为，所以 ， 由于在区间 上有两个不同解， 所以，，即， ． （注意区间左闭右开，此时的两个解分别为， ） 49 练变式4 设函数 的图象关于 直线 对称，其中 , 为常数，且 . （1）求函数 的最小正周期； 【答案】 . 由直线 是 图象的一条对称轴， 可得 所以,即 . 又,,所以,故 . 所以的最小正周期是 . 50 （2）若的图象经过点,，求函数 的值域. 【答案】由（1）知， ,由的图象过点, ，得 , 即 ， 故,函数的值域为 . 51 高考帮丨考向追踪 考向1 二倍角公式的简单应用 例12（1）(2025·全国二卷)已知 ,,则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 ， 因为 ，所以 ， 所以 . 52 （2）(2023·新课标Ⅱ卷)已知 为锐角，，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意， ， 得 ， 又 为锐角，所以，所以 . 53 （3）(2023·新课标Ⅰ卷)已知，，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】依题意，得 所以，（【突破口】需观察题干中所求的 ）的特征，利 用二倍角的余弦公式，即可转化为两角和的正弦公式） 所以 ，所以 . 54 考向2 以二倍角公式为工具研究三角函数的性质 例13 (2022·北京)已知函数 ，则( ) C A.在,上单调递减 B.在, 上单调递增 C.在,上单调递减 D.在, 上单调递增 55 【解析】依题意可知 ，对于A选项，因为 ，所以，函数在, 上单调递增，所 以A选项不正确； 对于B选项，因为，所以，函数在, 上 不单调，所以B选项不正确； 对于C选项，因为，所以，函数在, 上单调递 减，所以C选项正确； 对于D选项，因为，所以，函数在, 上不单 调，所以D选项不正确. 56 练习帮丨分层巩固 A 基础练丨知识测评 建议时间：30分钟 1.(2026·湖南省名校联合体段考)已知，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 . 57 2.［教材改编P223 T2］ 已知,则 的值为( ) D A. B. C. D. 【解析】因为 ,所以 . 58 图5.5.1-3-1 3.［新情境·引葭赴岸］ 《九章算术》是我国古代内容极为丰富 的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生 其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几 何？”其意思为今有水池1丈见方（即 尺），芦苇生长在 水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与 C A.3 B.4 C.5 D.6 水岸齐接（如图5.5.1-3-1所示）．试问水深、芦苇的长度各是多少？假设 ， 则 ( ) 59 【解析】设，则，， ， ， ，由 ， 解得 （负值已舍去）. . 60 4.［新情境·黄金分割比］ (2026·江苏省部分学校段考)被誉为“中国现代数学之父”的 著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的 应用．0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成 ， 则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 ， ． 61 5.(2026·湖南省长沙市长郡中学月考)若，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】因为 , 所以 , 整理为 , 则 , 所以 . 62 6.［多选题］(2026·福建省厦门第一中学周测)已知函数 的最小正周期为 ，则下列结论正确的是 ( ) BD A. B.的图象关于直线 对称 C.的图象关于点中心对称 D.在（0, ）上单调递减 63 【解析】化简得 .对于A， ，故A错误. 对于B，，令 ，解得 , 令，得，故的图象关于直线 对称，故B正确. 对于C，令，解得 , 令，得，即的图象关于点(, )中心对称，故C错误. 对于D， , 当,)时，，根据余弦函数的性质可知，在（0, ）上 单调递减，故D正确. 64 7.［教材改编P223 T5］ （1）(2026·河北省保定五校月考)计算： ____. 【解析】 . （2）(2026·福建省厦门双十中学期末)计算： ___. 1 【解析】 . 65 8.［教材改编P228 练习T1］ (2026·湖南省娄底市期末)已知函数 . （1）当取什么值时,函数 取得最大值？并求其最大值. 【答案】 . 当,即时,函数 取得最大值,最大值 为 . 66 （2）若 为锐角，且，求 的值. 【答案】,, . 为锐角，即 . 67 方法1： , . . 方法2：, , . . 方法3： , , ,即 ， 整理得 ， 即 . 解得 或 （不合题意,舍去）， . 68 B 综合练丨高考模拟 建议时间：35分钟 9.(全国甲卷)若,,则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】因为，所以，所以 ， 故 ，所以 ，所以 ，故 . 69 10.若，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意可得 , 解得 , 又 , , 所以 . 70 11.［多选题］(2026·山西省怀仁市第一中学月考)已知函数 , ,则( ) BCD A.在（0, ）上单调递增 B.是周期函数，且周期为 C. 的图象有对称轴 D.函数在( , )上有且仅有一个零点 71 【解析】当，即 ）时， ； 当，即 ）时， , 所以 , 72 图D 5.5.1-3-1 作出 的图象，如图D 5.5.1-3-1． 在（0, ）上单调递减，故选项A不正确； 是周期函数，且周期为 ，故选项B正确； 的图象有对称轴，为直线 ， 故选项C正确； 函数在, 上有且仅有一个零点，为（函数 的图象 可看作将函数 的图象向上平移1个单位长度得到的，该图象 在（ ， ）上仅与轴有一个交点） ， 故选项D正确．故选 . 73 12.已知 , 均为锐角，且,,则 ___. 【解析】为锐角，且,, , 则 . .由 , 为锐 角，可得.（,,, , ,又, ） 74 13.［新考法·结构不良］(2026·黑龙江省哈尔滨市期末)在① ，② ，③ 中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题. 已知，____， . （1）求 的值； （2）求 . 75 【答案】选条件①，因为，所以 ．由平方关系 ，解得或 因为，所以 （1） . （2）因为，所以由 ，解得 ． 76 因为，所以，所以 , 所以 , 由，所以 . 选条件②,因为 ，所以 . 因为，所以，所以 ． 由平方关系，解得 ． 因为，所以 ． 77 以下同①的解法． 选条件③,因为，所以 ． 由平方关系，得 ． 因为，所以 ． 以下同①的解法． 78 C 培优练丨能力提升 14.已知函数 ． （1）将的解析式化为 的形式； 【答案】函数 ． 79 （2）若函数在(，)上有4个零点，求 的取值范围． 【答案】,, ), , ． 而函数在(, )上有4个零点, 80 ．（【提示】二次函数需有两个不同的零点, , 则 , 都有2个解，才能使有4个零点， 令, 则在 上有2个不同的解，记 , 解得 , 即的取值范围为（ , 1）． 81 $