5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第3课时）（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过复习两角和公式，引导学生令β=α自主推导二倍角公式，搭建从已知到未知的学习支架，衔接三角恒等变换的知识脉络。 其亮点在于以互动探究推动公式推导，体现转化与化归的数学思维，通过给值求值、函数化简等多样例题培养运算能力与数学眼光，小结系统梳理公式逻辑及变形，助力学生构建知识体系，教师可直接用于课堂教学提升效率。

第五章 三角函数 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 （课时3） 5.5三角恒等变换 【新教材】人教A版·高一必修第一册 二倍角的正弦、余弦、正切公式 学 习 目 标 1 2 （1）能够由两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式； （2）熟记二倍角公式，掌握余弦二倍角的三种等价形式，理解升幂、降幂公式的由来； （3）熟练运用二倍角公式进行三角函数化简、求值、简单恒等证明。 教学重点：二倍角正弦、余弦、正切公式及应用 教学难点：余弦二倍角三种形式灵活选用；求值中角范围分析；公式逆用、变形使用（升降幂） 复习导入 前面我们学习了两角和的正弦、余弦、正切公式，请同学们回顾： 思考问题 如果令β=α，也就是两个角相等，α+β=2α，上面公式会变成什么形式？ 当两角相等时，就出现了角的二倍关系，这就是我们本节课要研究的二倍角公式。二倍角公式本质上就是两角和公式的特殊情况，今天我们一起来推导、学习并运用这套公式。 目标一：二倍角公式 推导二倍角正弦公式 想一想 sin2α=? sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ → sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα 推导二倍角余弦公式 想一想 cos2α=? cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ → cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα 推导二倍角正切公式 想一想   二倍角汇总 二倍角公式变形 由于： 对于 能否有其它表示形式？  sin 2α = 2 sin α cos α (S2α) cos 2α = cos² α - sin² α (C2α) = 1 - 2 sin² α = 2 cos² α - 1 (T2α) α ≠ kπ + 且 α ≠ + , k ∈ Z . 二倍角更新 ① 二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题． ② 二倍角公式不仅限于 2α 是 α 的二倍的形式，其它如 4α 是 2α 的两倍， 是 的两倍，3α 是 的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式．因此, 要理解 “二倍角” 的含义, 即当 α=2β 时, α 就是 β 的二倍角.凡是符合二倍角关系的就可以应用二 倍角公式. ③ 二倍角公式是从两角和的三角函数公式中, 取两角相 等时推导出来, 记忆时可联想相应的两角和公式.  二倍角公式的注意事项 简单应用 1、已知 sinα=，α∈(,π) . 求 sin2α、cos2α、tan2α 的值. 解: 即: 二倍角公式依赖单角三角函数值，先做一下铺垫，再代入公式求值。 牛刀小试 简单应用 2、已知：，求 、、 的值． 解： 又 即： 表面是求单角三角函数值，但相对于半角，单角是半角的倍角。二倍角公式依赖单角三角函数值，先做一下铺垫，再代入公式求值。 牛刀小试 简单应用 3、已知，求 的值. 由，得又，所以 ，又，所以   四倍角是二倍角的倍角。二倍角公式依赖单角三角函数值，先做一下铺垫，再代入公式求值。 牛刀小试 综合应用 4、在中，，，求的值. 在中, 由，得 所以  三角形内角范围，两角和的正切公式，二倍角正切公式，同角基本关系，都 牛刀小试 综合应用 4、在中，，，求的值. 又，所以 于是 三角形内角范围，两角和的正切公式，二倍角正切公式，同角基本关系，都 牛刀小试 综合应用 4、在中，，，求的值. (解法2) 在中, 由, , 得所以又, 所以   三角形内角范围，两角和的正切公式，二倍角正切公式，同角基本关系，都 牛刀小试 目标二：降幂与升幂公式 升幂公式与降幂公式 升幂公式 降幂公式 升降幂应用 化简 . 解析 可以从“幂”入手，利用降幂公式化简． 牛刀小试 升降幂应用 已知函数 的最小正周期为 . 求 的值； 求函数 在区间 上的取值范围. 因为函数 f(x) 的最小正周期为 π，且 ω>0. 所以 ，解得 ω=1. 牛刀小试 升降幂应用 已知函数 的最小正周期为 . 求 的值； 求函数 在区间 上的取值范围. 解: (2) 由 (1) 得 即 的取值范围为 . 牛刀小试 升降幂应用 设函数 ， 且 图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 . 求 的值； 求 在区间 上的最大值和最小值． 解：(1)   = . = cos 2ωx - sin 2𝛚x = sin(2ωx - )因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 , 又 . 所以 . 因此 . 牛刀小试 升降幂应用 设函数 ， 且 图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 . 求 的值； 求 在区间 上的最大值和最小值． 解: (2)由 (1) 知 当 时, 所以 .因此 故在区间 上的最大值最小值分别为 . 牛刀小试 目标三：针对训练 举一反三 1.若，则 A. B. C. D.  2.若，则 A. B. C. D.  举一反三 3.已知是角 终边上一点, 则 A. B. C. D. 解析: 因为是角 终边上一点, 所以，则 ，故选A. 举一反三 4.() A. B. C. D. 解析: 原式.故选D. 5.已知角 的终边过点，则 D A. B. C. D. 由题意知，，，所以 .故选D. 举一反三 6.已知，则 A. B. C. D.   因为，所以， ，所以. 故选 C.   目标四：小结 学海拾贝 1. 公式推导逻辑 两角和公式 二倍角公式，体现一般到特殊。 2. 核心公式 3. 重要变形（升降幂公式） 学海拾贝 4. 关键要点 ① “二倍角”是相对概念：4α是2α的二倍，α是的二倍，不止局限于2α与α； ② tan2α有使用限制条件，注意定义域； ③ 已知单角三角函数求值，优先根据角范围判断符号；根据已知条件灵活选择余弦二倍角的三种形式； ④ 题型方向：化简、给值求值、简单恒等式证明，重视公式正用、逆用、变形用。 学海拾贝 5. 数学思想 转化与化归思想、一般与特殊思想；倍角、半角之间的相互转化。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $