5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第1课时）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦高一必修一“两角和与差的三角函数公式”，系统梳理公式推导（含两角差余弦公式）及化简、求值、恒等变换应用。通过衔接三角函数定义与诱导公式，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 亮点在于采用“基础-中档-拔高”分层训练，结合思维导图、教材改编例题及高考真题，融入大衍历、赵爽弦图等数学文化。通过问题链设计与结构化思维解题，培养学生数学推理与运算能力，教师可依托一体化教学资源提升课堂效率。

高一数学●2024人教A版必修一 第五章 三角函数 本节掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，理解两角差余弦公式的推导；能运用公式进行化简、求值与简单恒等变换，提升逻辑推理与运算能力 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第1课时） 1.两角差的余弦公式 2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括120张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识丨知识详解 知识点1 两角和与差的余弦公式 1 公式 （ , 为任意角,可以是一个角,也可以是角的 组合），简记作 ，称为和角的余弦公式. ,简记作 ,称为差角的余弦公式. 4 2 公式的结构特征 特别提醒 两角和与差的余弦公式可以记 忆为“余余正正，符号相反”. ①“余余正正”表示展开后的两项分别为两 例1 ［教材改编P220 T2］已知,,则 的值为_ ___. 【解析】,, , , . 角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； ②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反. 5 例2 ［教材改编P220 T3］ _ ___. 【解析】 （此时括号里变为 的形式，再逆用两角和的余弦公式即可）. 6 知识点2 两角和与差的正弦公式 1 公式 （ 可利用诱导公式 推导）,简记为 ,称为和角的正 弦公式. （ 可利用诱导公式 或用 代替中的 推导）, 简记为 ,称为差角的正弦公式. 7 2 公式的结构特征 特别提醒 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同. 8 例3 ［教材改编P220 T1］求下列各式的值： （1） ; （2） . 【解析】 . 【解析】 （先用诱导公式将大角变为小角，再用两角差的正弦公式转化为常用角计算）. 9 知识点3 两角和与差的正切公式 1 公式 ，简记为，称为和角的正切公式.（ 可利用 推导） ，简记为，称为差角的正切公式.（ 可利用 或用 代替中的 推导） 10 2 公式的结构特征 特别提醒 1.在两角和与差的正切公式中，角 , , , 均不等于 ,这是 由正切函数的定义域决定的. 2.（1）公式的右侧为分式形式，其中分子为 与 的和或差，分母为 1与 的差或和. （2）符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 11 3 正切公式的常用变形 ; ; ; ; ; . 12 4 和角公式与差角公式 公式，，给出了任意角 ， 的三角函数值与其和角 的三 角函数值之间的关系.为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式.类似地， ，， 都叫做差角公式. 归纳总结 图5.5.1-1-1 和（差）角公式之间的关系 ，，,，， 之 间的联系如图5.5.1-1-1所示. 13 例4 求下列各式的值： （1） ； 【解析】 （分母有根式，需利用平方差公式进行分母有理化）. （2） . 【解析】 . 14 例5 ［教材改编P219例4］化简下列各式: （1） ; 【解析】原式 . （2） . 【解析】原式 . （逆用 ） 15 例6 ［教材改编P229 T13］设 , 是方程 的两个根，则 的值为( ) A A. B. C.1 D.3 【解析】由根与系数的关系得, ，所以 . 16 知识点4 三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式 （收缩代换） 1 角的代换 代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题 时，角的代换作用尤为突出. 常用的角的代换形式: ; ; ; ; ; . 17 2 常值代换 用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换 称为常值代换，其中要特别注意的是“1”的代换，如 , , , 等.再如,,,, 等均可视为某个特殊角的 三角函数值，从而将常数换为三角函数值使用. 18 3 辅助角公式（收缩代换） 形如,都不为零的式子引入辅助角可变形为 的形式. . 令, , 则原式 . 其中 的值由确定， 的终边所在的象限由点 来确定.#1.4 19 也可作如下化简： （令 ）, 或（令 ）, 或（令 ）. 这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三 角函数，这种恒等变换称为收缩代换，上述公式也称为辅助角公式.#1.6 20 例7 ［教材改编P229 T2］已知 , 为锐角，且, ,则 的值为___. 【解析】, , .（先确定角的范围） 由 , 得 . 21 又, . （【抓关键】角的拆分） . 22 例8 ［教材改编P227例9］函数 的最小正周期为( ) C A. B. C. D. 【解析】 ， （【小技巧】后续熟悉后，此步可省略） 故函数的最小正周期为 . 周期相同的正弦函数、余弦函数相加后所得函数的周期不变. 23 方法帮丨解题突破 题型1 利用和（差）角公式求值 类型1 给角求值 例9 求下列各式的值： （1） ； 【解析】原式 . 24 （2） ； 【解析】原式 （两角和正切 公式的变形） . 25 （3） ; 【解析】原式 . 26 （4） . 【解析】 ,又 ,所以 ,所以 . 同理可得 . 所以原式 . 27 28 子题1 你能求 的值吗？ 【解析】由上面的结论可知， ，故 . 29 子题2 你能求 的 值吗？ 【解析】 ，则 ，变形得 ， 即 ，同理， ，故原式 . 30 本例第（4）小题所得结论可以推广到一般情形：若 ,则 ； 若,则, . 31 解题通法 解给角求值问题的基本思路 给角求值问题，所给角往往都不是特殊角，解决这类问题的基本思路有： （1）逆用公式或运用公式变形，化为特殊角的三角函数值； （2）化为正、负相消的项，消去求值； （3）分子、分母出现公约数时进行约分求值． 32 解决三角函数求值的四个切入点 （1）观察角的特点．充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待 求角． （2）观察函数特点．向同名函数转化，弦切互化，通常是切化弦． （3）利用辅助角公式：，其中 ． （4）观察结构特点，从整体出发，利用公式变形，并能正用、逆用、交替使用这些 公式． 33 练变式1 化简下列各式： （1） ; 【答案】 , 原式 . 34 （2） . 【答案】原式 . 35 类型2 给值求值（条件求值） 例10（1）已知,,则 的值为__. 【解析】 （当条件中已知两角时，一般把所求角表示为已知两角的和或差）. 36 （2）若,,，，则 ( ) C A. B. C. D. 37 【解析】注意到，则 ， 所以 . 又，所以 ， 所以 ，（先求角的范围，避免多解或漏解） 所以 . 从而 . 38 条件保持不变，你能求 的值吗？ ,则 . 将条件“”变为“ ”,其余不变. 由 知，即角 的终边可以在第一、二、三象限， 这样就难以确定的符号了，此时要想办法缩小角 的范围.由于 （充分利用题目条件），所以角 的终边不可能在第二、三 象限，即,由此即得 . 39 将条件“”变为“ ”,其余不变. 由 知,即角 的终边可以在第四、一象限，同 样难以确定的符号，怎么办？还是要想办法缩小角 的范围，此时由 已无法缩小角 的范围了，因为当角的终边在第四、一象限 时，其余弦值都是大于0的，这时就要利用其值的大小来缩小角的范围，即当 时，，又条件中 , （将角的范围分两部分，先假设在第四象限，得到 的范围与题干矛 盾） 所以，由此即得 的值. 40 （3）在中，已知，,则 的值为___. 【解析】因为,所以 ，且 . 因为,所以, . 若 ,，因为 ,,则 ,,与 矛盾，所以 ，故， 【明易错】此处如果没有进一步挖掘题目的隐含条件， 得到,只是简单认为,就会得到错误答案：或 则 , 所以 . 41 给什 么得 什么 对于条件求值，题设中正常会给出角的范围与某些三角函数值，如题（2） 中，已知,,及与 的值，由此即可得 ,的范围，由同角基本关系式可求与 的值. 42 求什 么想 什么 求其他角的三角函数值，如题（1）中，求 的正切值，题（2）中求 的余弦值,题（3）中求角 的余弦值，那么，目标角与条件式中的角有 怎样的关系呢？ 不难发现：（1）中 ）;（2）中 ）; （3）中 . 续表 43 求什 么想 什么 因此利用和差角公式即可将目标式化归为条件式中的三角函数，如题 [ ，其中 与的值是已知的，只需求出与 的值即 可. 续表 44 差什 么找 什么 利用和差角公式将目标式展开后，总有一些三角函数值是未知的，如题 （2）中的与 的值是未知的，求出其值即可完成条件求 值，那么怎样求与 的值呢？自然想到同角三角函数基本 关系式的平方关系，但在开方时其符号取决于角的范围. 小结 条件求值的关键：把握角之关系（即能否用条件式中的角表示目标式中的 角）与角之范围（其目的是确定开方后的符号选取）. 续表 45 例11（1）已知，则 ____. 【解析】因为 , 所以 . （利用诱导公式，将所求角转化为已知角） 46 （2）已知，则 ___. 2 【解析】方法1：由，易知，（确保 有意义） 所以 . 方法2：因为 , 所以,且 . 因此 . 47 解题通法 解决条件求值问题的解题思路及常用技巧 所谓条件求值，本质上是寻求差异，包括角的差异和函数名的差异，因而三角变换 求值本质上是差异分析，不妨称之为差异分析法，即在探求过程中不断寻求角的差 异、名的差异，并运用角的变换和名的变换使得差异趋同进而解决问题. 1.根据已知角与未知角之间的联系，运用拆角和拼角技巧、诱导公式、同角三角函 数的基本关系式、两角和与差的三角函数公式进行变形，化未知为已知，从而达到 求解的目的.#7.3 48 2.当角之间符合以下规律: , 时，要配合使用诱导公式. 3.对于给值求值问题，即根据给出的某些角的三角函数值求另外一些角的三角函数 值的问题，解题的关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”. 4.在给值求值的问题中要注意隐含条件，尤其是角的取值范围.#7.6 49 练变式2 已知 ， 均为锐角，， ，则 ( ) C A. B. C. D.或 【解析】 ， 为锐角，，， ， ， ， ． 又， , ． 50 练变式3 已知，则 ____. 【解析】因为 , 所以 ， 故 . 51 类型3 给值求角 例12 (2026·四川省南充市月考) （1）已知,,且 和 均为钝角，则 的值为( ) D A. B. C.或 D. 52 【解析】 和 均为钝角, , . （【巧选“名”】若选，则无法确定 是第三象限角还是第四 象限角） . 由 和 均为钝角,得 , . 53 （2）已知,,且 ,,则 的值为_____. 【解析】（第一次变角： ） , 而, . ，, , . 而， ， （第二次变角） ， 54 又（选择求或 都可,而条件都是角的正切值，因 此选择求较易） , . 55 56 解题通法 给值求角的一般步骤 第一步：确定待求角的范围（当角的范围过大时，还需要利用三角函数值的符号或 值的大小缩小角的范围）. 第二步：依据角的范围选择恰当的三角函数并求值（所谓恰当的三角函数即该三角 函数在第一步所确定的角的范围内的取值是一对一的）. 第三步：由待求角的三角函数值及角的范围求角. 57 选择三角函数求值的原则 ①当角的范围在某一个象限内时，可选择任一三角函数求值. 当角的范围在两个象限内时，如,则选择求 , ,而不选择求 ; ,则选择求 , ,而不选择求 等. ②当三角函数有多种选择时，以易求三角函数值为原则. 58 练变式4 (2026·广东省揭阳华侨高级中学开学考试)若， ， 且，，则 的值是( ) B A. B. C.或 D.或 59 【解析】，， ，， ， 又, （注意结合三角函数值，合理缩小角的范围），即 ， ， ， ， （由同角三角函数基本关系可得） . 又， ， . 60 . 又, , , , . 61 题型2 利用和（差）角公式化简三角函数式 例13 化简： . 【解析】原式 . 62 解题通法 三角函数式化简的要求、方法、技巧 （1）化简三角函数式的要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数式的种数、项 数及角的种类尽可能少； ③使三角函数式的次数尽可能低；④使分母中尽量不含三角函数式和根式. （2）化简三角函数式的常用方法：①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高 次降低次． （3）化简三角函数式的常用技巧：①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化； ②对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进 行约分； ③注意利用角与角之间的隐含关系;④注意利用“1”的恒等变形． 63 题型3 利用和（差）角公式证明三角恒等式 类型1 三角恒等式的证明 例14 已知不是直角三角形，求证： . 64 65 【解析】在中， ,（注意隐含条件） 又 不是直角三角形， 故 , , 即 . , 故 . 66 解题通法 证明三角恒等式的常用方法 （1）由繁到简，即从较复杂的一边入手，逐步变形，化简并得出另一边； （2）左右归一，当恒等式的两边都较繁时，可分别化简，比较结果完成证明； （3）作差为零，通过作差实现证明（或作商，,右边 ）. 67 类型2 条件恒等式的证明 例15 已知 ,, ,求证： . 68 【解析】由条件得 （将所给条件中的角朝所求 的角 , 变形）， 即 , 整理得 , 由,知，, ,所以 . 69 解题通法 条件恒等式证明的基本途径 途径1：依一般恒等式的证明方法，在证明的过程中不失时机地将条件式代入完成证明. 途径2：由条件式直接推证目标式. 练变式5 已知,求证： . 70 【答案】方法1: , . , 即 ， , , ,, . . 71 方法2：令 , , 则 ， ， 两式相加，得 , 即 ． ，即 ． ， ． ， . . 72 题型4 和（差）角公式与三角函数图象、性质的综合应用 例16 ［多选题］(2026·湖南省永州市开学考试)已知函数 ，则( ) AC A.函数 为偶函数 B.曲线的对称轴方程为 ， C.在区间， 上单调递增 D.的最小值为 73 【解析】 ， 即 .（先化简） 对于A，，又 为偶函数，所以 为偶函数，所以A正确； 对于B，曲线的对称轴方程为 ， ，即 ， ，故B错误； 74 对于C，当，，即，时， 单调递减，则 单调递增，故C正确； 对于D，，且 ， 所以，，故D错误．故选 ． 例17 ［多选题］设，其中，， .若 对一切 恒成立，则下列结论正确的是( ) AC A. B. C. 既不是奇函数也不是偶函数 D.的单调递增区间是 【解析】由题得 ， 因为对一切，恒成立（即时， 取得最大值或最小值）, 76 所以,即， ， 故或 . 故 ， 或 . 对于A，当 时， ， 当 时， ，所以 ，故A正确； 对于B， ， ， 所以 ，故B错误； 对于C，由，或知, 既 不是奇函数也不是偶函数，故C正确； 对于D，当时，）是 的单调 递减区间，故D错误. 练变式6 (2026·福建省厦门双十中学开学考试)已知函数 ，若在区间，上有且仅有3个零点且 的图象在区间，上有2条对称轴，则 的取值范围是( ) D A., B., C., D., 79 图D 5.5.1-1-1 【解析】函数 由于函数在区间，上有且仅有3个零点且的图象在区间， 上有2 条对称轴， 结合函数的图象（如图D 5.5.1-1-1），可知 ，整理得 ， ． ， 因为，所以 ， 新考法 数学文化 例18 [新情境·大衍历]我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建 立了晷影长与太阳天顶距 的对应数表，这是世界数学史上较早的一 张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距 正切值的 乘积，即 ．若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3 倍所成角记,，则 ____. 【解析】由题可得,， ， . 81 例19 [新情境·赵爽弦图]赵爽弦图（如图5.5.1-1-2（1））中的大正方形是由4个全等 的直角三角形和中间的小正方形拼接而成的，若直角三角形的两条直角边长为, ,斜 边长为 ,由大正方形面积等于4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和可得 勾股定理 .仿照赵爽弦图构造如图5.5.1-1-2（2）所示的菱形，它是由两 对全等的直角三角形和中间的矩形拼接而成的，设直角三角形的斜边都为1，其中一 对直角三角形含有锐角 ，另一对直角三角形含有锐角 （位置如图5.5.1-1-2（2） 所示）．借鉴勾股定理的推导思路可以得到结论( ) 82 图5.5.1-1-2 A. B. C. D. √ 83 图5.5.1-1-3 【解析】如图5.5.1-1-3，由题意得， ， ， ， ， ， ， 过点作于点，则 ， ， ． . 84 高考帮丨考向追踪 考向1 和（差）角公式的综合应用 例20（1）(2024· 新课标Ⅰ卷)已知,,则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】由得 ①.由 得 ②， 由①②得所以 . 85 （2）(2025·上海春季)已知，则 ___． 0 【解析】方法1：已知，即 ，则 ． 方法2：由，得 ,，则 , ，则 ． 86 例 21 (2023·新课标Ⅰ卷改编)已知在中，， ， 则 _ ____. 【解析】方法1：在中， , 因为，所以,所以 . 因为 ， 所以 （消元）， 展开并整理得，得 ，又 ，且 ， 所以 . 87 方法2：在中， , 因为，所以,所以 . 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 又,,若,则，与矛盾，故 所以，又 ， 所以 . 例22 (2022·新高考全国Ⅱ卷)若 ，则 ( ) C A. B. C. D. 89 90 【解析】方法1：由题意得 ， 整理得 ， 即 ， 所以 ． 方法2: （将 看作一个整体，使用辅助角公式）， 则 . , 91 所以,则 （【扣选项】联系选 项,转化为正切间关系）,所以 , . 则 ,,所以 . 考向2 以和（差）角公式为工具研究三角函数的性质 例23 (2025·北京)设函数，若 恒成立， 且在上存在零点，则 的最小值为( ) C A.8 B.6 C.4 D.3 【解析】函数 ， 设函数的最小正周期为，由可得 ， 所以，即 . 又函数在上存在零点，且当时， ， 所以 ，即 . 综上， 的最小值为4. 93 例 24 (2024·全国甲卷)函数在， 上的最大值是___. 2 【解析】由题意知，当 时， ，所以,，于是,，故在， 上的最大值为2. 94 例25 (2025· 全国二卷)已知， ． （1）求 的值； 【解析】由已知得，结合 ， 所以 . 95 （2）设函数，求 的值域和单调区间． 【解析】由（1）知, ， 所以 ， 所以 ， 显然的值域为， . 因为在上单调递增，在上单调递减， ， 96 所以令 ，，解得 的单调递增区间为 ， ; 令 ，，解得的单调递减区间为 ， ， ． 练习帮丨分层巩固 A 基础练丨知识测评 建议时间：25分钟 1.［教材改编P219 例4］ ( ) C A. B. C. D. 【解析】因为 ，所以 . 98 2.［教材改编P217 T4］ 若, 是第三象限角，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】因为, 是第三象限角，所以 ，由两角和的正弦公式 可得 . 99 图5.5.1-1-1 3.［新情境·数学文化］ 古希腊的数学家特埃特图斯通过如图 5.5.1-1-1所示的图形来构造无理数，，， ．记 ， ，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】由题可得, , ,,故 ，故选B． 100 4.［教材改编P229 T3］ 已知，且，则 等于 ( ) D A. B. C. D. 【解析】，，，又，， ． 101 5.(全国乙卷)函数 的最小正周期和最大值分别是( ) C A. 和 B. 和2 C. 和 D. 和2 【解析】因为函数 ，（【巧转化】逆用和角公式进行化简） 所以函数的最小正周期 ，最大值为 . 102 6.［多选题］已知函数， 的图象与直线 的两个相邻交点的距离等于 ，则 图象的对称轴方程可以是( ) AD A. B. C. D. 【解析】 , 的图象与直线的两个相邻交点的距离等于 ， 函数的最小正周期为 ，即 ，解得 , . 令 ,,解得, , 当时，,当时， , 即函数图象的对称轴方程可以为, . 103 7.(2026·陕西省西安中学期末)已知 ,，， ， 则 __． 【解析】由 ，得 ， 即 ， 又 , 所以 , 所以 , 所以 , 又 ,，所以 ，所以 . 104 8.(2026·江苏省南京市期末)已知在锐角三角形中，, . （1）求证： ； 【答案】 ①, ②. ①+②并化简得 , ①-②并化简得 . ,,即 . 105 （2）求 的值. 【答案】 , , （ 是锐角三角形）. 又,,解得 或 （舍去）, . 106 B 综合练丨高考模拟 建议时间：35分钟 9.［新情境·数字黑洞］黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强， 任何物体到了它那里都别想再出来,数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串， 长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这 三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数 字，我们称它为“数字黑洞”.如果把这个数字设为,则 ( ) A A. B. C. D. 107 【解析】由题意，任取数字串9876，经过第一步变为224，经过第二步变为303，第 三步变为123，第四步变为 反复出现，所以“数字黑洞”为123，即 ，则 ． 108 10.在中，,,则 的大小为( ) A A. B. C.或 D.或 【解析】由已知可得 ,即 ,所以 . 所以在中，，所以或 . 又,所以 .（当所得结果有两个时，注意寻找题目中 的隐藏条件，看是否能排除其中一个结果） 又,所以,所以 , 所以不符合题意,所以 . 109 11.［多选题］ (2026·贵州省遵义航天高级中学月考)已知函数 ，则下列说法正确的是( ) BC A.的图象关于点（ ,0）中心对称 B.在区间, 上单调递减 C.在（0, ）上有且仅有1个最小值点 D.的值域为 110 【解析】对于A选项，因为，，所以 ，所以 的图象不关于点（ ,0）中心对称，A选项错误. 对于B选项，当,时， ，因为 ，所以函数在区间, 上单调递减，B选项正确. 对于C选项，因为 ，所以 为函数的周期. 当, 时， 111 ，，所以在区间, 上单调 递增，，，由B选项可知，函数 在区 间,上单调递减，当,时，， ， 所以函数在（0, ）上有且只有1个最小值点，C选项正确. 对于D选项，由C选项可知，函数的值域为,，D选项错误.故选 . 12.(2024· 新课标Ⅱ卷)已知 为第一象限角， 为第三象限角， , ，则 _ _____. 【解析】方法1：由题知 ,即 , 由，可得 . 由,,, ,得 ,.又 ,所 以 是第四象限角，故.（使用方法1不要忽视题目中 是第 一象限角， 是第三象限角，否则会造成多解） 113 方法2：因为 为第一象限角， 为第三象限角， 则，， ， ， 则 . 13.(2026·河南省郑州中学月考) _ ___． 【解析】原式 ， ， . 同理， ， . 原式 . 115 14.［新考法·结构不良］已知函数 ． （1）当时，求 的值； 【答案】时， , 故 . （2）当函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是 时，____． 从①②③中任选一个，补充到上面空格处并作答． ①求在区间, 上的最小值； ②求 的单调递增区间； ③若，求 的取值范围． 116 【答案】 . 由函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是，得 ， ，故 . 选①.由得 , 所以 , 所以在区间，上的最小值为 . 选②.令，,得， , 故函数的单调递增区间为， . 117 选③.若，则 ， , 解得， , 故的取值范围为， ． C 培优练丨能力提升 15.在中，若,则 的取值范围为______________. , 【解析】记,由条件知或 . 当时，，其中 ,此时 . 当时，，其中 ,此时 ,其中 . 119 注意到,（ ）设,, ,则易 知函 数在上单调递增，在 , 上单调递减，又 ,,故, . 综上所述，的取值范围是, . 120 $