学易金卷：九年级数学上学期9月学情自测卷（江西专用，范围：新教材人教版九上第二十五～二十六章）

**基本信息** 以“哭哭马”销售、卫星导航距离计算等时代情境为载体，通过基础巩固（如解方程）、能力提升（如新定义“邻根方程”）、创新应用（如对称抛物线探究）的梯度设计，考查二次函数与一元二次方程核心知识，体现数学思维与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|二次函数定义、方程根与系数关系|结合函数图象辨析考查几何直观| |填空题|6/18|配方法、函数图象上点的坐标特征|设置平移后直角三角形顶点问题，提升空间观念| |解答题|11/84|方程应用、函数性质、新定义探究|第19题果园规划体现模型意识，第23题对称抛物线定义考查创新思维，契合中考命题趋势|

2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第二十五~二十六章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的识别，需根据二次函数的定义：形如（为常数且）的函数，逐一分析各选项判断． 【详解】解：A．当时，，是常数函数，不是二次函数； B．满足，符合二次函数的定义，是二次函数； C．中的次数为1，是一次函数，不是二次函数； D．是反比例函数，不是二次函数； 故选：B． 2．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般式为（），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，先将原方程整理为一般式，再确定对应系数即可. 【详解】解：∵方程化成一般式为， ∴一次项系数为，常数项为. 3．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A． B．11 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，，，， ∴，， ∴． 4．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】由二次函数定义得，结合图象与轴有交点的条件列不等式求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， ∵ 函数图象与轴有交点， ∴ ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，解题的关键在于熟练掌握图象性质中系数大小与图象的关系． 根据一次函数的和二次函数的即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过轴正半轴，从而排除和，分情况探讨的情况，即可求出答案． 【详解】解：∵二次函数为 ． ∴二次函数的开口方向向上， ∴排除C选项． ∵一次函数， ， ∵一次函数经过轴正半轴， ∴排除A选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、四象限， 二次函数经过轴正半轴， ∴排除B选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、三象限， 二次函数经过轴负半轴， ∴D选项符合题意． 故选：D． 6．为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点是一个固定观测点，运动点从处出发，沿笔直公路向目的地处运动．设为（单位：）（），为（单位：）．如图2，关于的函数图象与轴交于点，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（） A． B． C．点的纵坐标为250 D．点在该函数图象上 【答案】C 【分析】作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断A；当时，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐标，判断C，求出时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可． 【详解】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：（负值舍去），故选项A不正确； ∴，， 当时，点运动到点，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项B不正确； ∴当，即点在点时， ∴； ∴点的纵坐标为；故选项C正确； 当时，点运动到点，则：， ∴， ∴， ∴点不在该函数图象上，故选项D不正确． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据配方法，在方程两边加上一次项系数一半的平方，对左边配方后即可求出的值． 【详解】解：原方程为，一次项系数为，其一半的平方为， 方程两边同时加，可得， 由完全平方公式整理左边，得， 要求方程化为的形式， ． 8．若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是__________．（按从小到大表示） 【答案】 【分析】先根据二次函数解析式判断开口方向，求出对称轴，再根据开口向上的二次函数的性质，即点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，计算三个点到对称轴的距离，即可比较的大小. 【详解】解：， 抛物线开口向上；对称轴为直线. 分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离： 点： 点： 点： 开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，且， . 9．已知关于的一元二次方程（其中）的一个根是，则________． 【答案】 【分析】将代入方程，结合可得，化简即可得出答案． 【详解】∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，则的面积为___________． 【答案】28 【分析】先求出抛物线与轴、轴的交点坐标，得到的长度和点到轴的距离，再代入三角形面积公式计算． 【详解】解：当时，， 整理得， 解得，， ∵点在点左侧， ∴，， ∴， 当时，， ∴，即点到轴的距离， ∴． 11．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_________． 【答案】 且 【分析】根据一元二次方程定义得到二次项系数不为零，再根据方程有两个不相等的实数根得到根的判别式大于零， 解不等式即可得到结果. 【详解】解：关于的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ，且， 整理得，解得； 综上，的取值范围是且. 12．抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为_______． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，勾股定理等．由抛物线的对称性求出点B的坐标，由抛物线的平移表示出点C的坐标，再根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：抛物线L的解析式为， 抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线L过两点， ， ， ，， 抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M， 设抛物线M的顶点， ，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得， 解得，， 点C的坐标为或 故答案为：或． 三、解答题：本题共11小题，共84分。其中：13-17每题6分，18-20题每题8分，21-22题每题9分，23题12分。 13．（1）解方程：． （2）已知抛物线与轴只有一个交点，求的值． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查解一元二次方程，抛物线与一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，抛物线与一元二次方程的关系，是解题的关键： （1）分解因式后得到，推出方程，，求出方程的解即可． （2）根据题意，得到方程一元二次方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：， 分解因式得：， ，， 解方程得：，， 方程的解是，． （2）解：抛物线与轴只有一个交点， 一元二次方程有两个相等的实数根， 解得，． 14．已知二次函数的表达式为：． (1)将该二次函数配方成顶点式； (2)写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2) 图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为 【分析】（1）利用配方法进行求解即可； （2）根据顶点式直接写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标即可. 【详解】（1）解：． （2）略 15．在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线如图所示．请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作菱形，且菱形的四个顶点均在抛物线上； (2)在图2中作矩形，且矩形的四个顶点均在抛物线上． 【答案】(1) 菱形即为所作： (2) 矩形即为所作： 【分析】本题考查了二次函数的轴对称变换，菱形的性质和矩形的性质． （1）由抛物线与抛物线知，两函数图象关于轴对称，即和都关于原点对称，顺次连接，菱形即为所作； （2）延长交抛物线于点，延长交抛物线于点，顺次连接，矩形即为所作． 【详解】（1）解：如图， 抛物线与抛物线的对称轴都是y轴， 时，， ， 时，， 解得， ， 两函数图象关于轴对称，即和都关于原点对称， 互相垂直平分且， 四边形是菱形， （2）解：如图，由（1）可知，两函数图象关于轴对称，四边形是菱形， 延长交抛物线于点，延长交抛物线于点， 关于轴对称，关于轴对称， 关于y轴对称，关于y轴对称， ，且与轴垂直， 四边形是矩形， 16．关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式的意义得到，解不等式即可得到k的取值范围； （2）根据根与系数的关系得，，利用完全平方公式，由得到，然后解方程后通过k的范围确定k的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴，， ∴， 解得，． ∵方程有两个实数根， ∴，解得， ∴． 17．如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，、两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为． (1)几秒后四边形的面积是？ (2)若用表示四边形的面积，求经过多长时间取得最小值，并求出的最小值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）在中，由勾股定理可得，根据可得，令，解方程即可求出的值； （2）由（1）可得，先将其化成顶点式，然后求二次函数的最值即可． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理可得： ， ， 令， 解得：或（不符合题意，故舍去）， 答：秒后四边形的面积是； （2）解：由（1）可得： ， ， 抛物线开口向上， 当时，取得最小值，其最小值为． 【点睛】本题主要考查了实际问题与二次函数（图形运动问题），一元二次方程的应用（动态几何问题），勾股定理，三角形的面积公式，因式分解法解一元二次方程，把化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出函数解析式是解题的关键． 18．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴与x轴相交于点M． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)求的面积． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)4 (3)存在， 【分析】（1）根据已知条件设抛物线的解析式为，再将点代入求出的值，即可得抛物线的解析式，然后抛物线的解析式写成顶点式即可得对称轴； （2）先由已知得，进而可得、的值，再根据计算即可； （3）先求出点关于对称轴的对称点的坐标为，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小，由待定系数法求出直线的解析式，再根据点的横坐标为3，可求其纵坐标． 【详解】（1）解：根据已知条件可设抛物线的解析式为， 把点代入上式，得， ， ∴抛物线的对称轴是直线； （2）解：∵抛物线的对称轴与x轴相交于点M， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：点的坐标为．理由如下： ∵点，抛物线的对称轴是直线， ∴点关于对称轴的对称点的坐标为， 如图，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小， 设直线的解析式为． 把代入， 得， 解得， ， ∵点的横坐标为3， ， ． 19．五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．    问题解决： (1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 【答案】(1)路面设置的宽度符合要求 (2)从购买草莓客户的角度应该降价元 (3)该合作社不能实现每月60万元的预期目标 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照的取值范围，即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润=销售利润−承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． （3）假设该专业合作社能实现每月总利润60万元的预期目标，根据（2）的总利润方程式得到，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 整理得， 解得， 当时，（不符合题意，舍去）， 故 ， 路面设置的宽度符合要求； （2）解：设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得， 整理得， 解得，， 又 要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． （3）解：根据题意得， 整理得 则 ∴方程在实数范围内无解 该合作社不能实现每月60万元的预期目标． 20．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根为、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系，结合完全平方公式即可得到，，的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③． （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，， ∴， ∴， ∴． 21．喷泉是城市中一道美丽的风景．如图1，水花从垂直地面的水管的顶端处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以水管与地面的交点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水管的高度是米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线（如图2所示），水花在与水管的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，其中一条抛物线与水平直线相交于点，请求出的顶点坐标和的表达式； (3)若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线中的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由题意可知，，顶点坐标为，再利用待定系数法求解； （2）利用配方法求出的顶点坐标，再设直线的表达式，利用待定系数法求解； （3）先求出点、的坐标，再将抛物线顶点坐标代入直线，得出，则，再列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：, 的顶点坐标为， 设直线的表达式为， ，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，且，的顶点坐标分别为，， ，解得：， 的表达式为； （3）解：令，则， 解得：（舍），， ， 令，则， 解得：（舍），， ， ， 抛物线顶点坐标为 由（2）可知，顶点所在的直线的表达式为， ， ， 解得：或， 当时，抛物线开口向下，顶点在，不符合题意， ， ， ， ， 解得：， 即当喷泉的观赏效果最佳时，抛物线中的取值范围为． 22．2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 【答案】(1)； (2)①每件应降价10元；②当降价1元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 【分析】（1）设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，根据每件利润乘以日销售量等于日总利润建立方程求解； ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件，列出关于的二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为； （2）解：①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 根据题意得：， 整理得： 解得：， 又∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件应降价10元． ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件 则 ， ， ∴当时，w有最大值，最大值为3310， ∴当售价为34元/件，即降价元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 23．【定义与性质】 如图1，记二次函数和的图象分别为抛物线和，且与轴都有两个交点． 定义：若抛物线的顶点为抛物线的顶点关于抛物线与轴交点的对称点，则称是关于点的对称抛物线，简称是的对称抛物线． 性质：①一条抛物线有2条对称抛物线； ②若是的对称抛物线，则也是的对称抛物线， 【理解与运用】 (1)试说明二次函数的其中1条对称抛物线为； 【思考与探究】 (2)设抛物线的函数表达式为．若该抛物线与轴交于，两点（且点在点的右侧）． ①若抛物线关于点的对称抛物线与轴的另一个交点为，其中，求的取值范围； ②如图2，抛物线关于点的对称抛物线的顶点为，试问当，满足什么关系时，为等边三角形． 【答案】(1) 证明：令， 解得：，， 二次函数与轴的交点为和， 又的顶点为， 点关于点的对称点为， 由题意得，是的对称抛物线， 二次函数的其中1条对称抛物线为． (2)①；②当时，为等边三角形 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、等边三角形的性质与判定、特殊角的三角函数值，理解新定义并掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）先求出二次函数的顶点为，与轴的交点为和，得出点关于点的对称点为，再根据新定义得出是的对称抛物线，即可解答； （2）①根据对称抛物线的定义可知，点是抛物线与轴的交点，得出，再根据对称抛物线的性质可知，对称抛物线上的点关于点的对称点在抛物线上，得出，结合即可求出的取值范围；②过点作轴于点，连接、、，根据对称抛物线的性质可得点、分别是、的中点，推出是等边三角形，再利用等边三角形的性质、二次函数的性质和锐角三角函数的知识即可求出，的关系式． 【详解】（1）略 （2）解：①由对称抛物线的定义可知，点是抛物线与轴的交点， 代入得，， ， ， 由对称抛物线的性质可得，对称抛物线上的点关于点的对称点在抛物线上， 点关于点的对称点为， 代入点到得，， 整理得：， ， ， ； ②如图，过点作轴于点，连接、、， 是等边三角形， ， 抛物线关于点的对称抛物线的顶点为，且点是抛物线的顶点， 点是的中点， 同理，点是的中点， 是的中位线，且， ，， 是等边三角形， 又轴， ，， 设，， 令，则， ，，且， ， 又， ， ， 二次函数， 抛物线的顶点， ， 在中，， ， ， 解得：或（舍去）， 当时，为等边三角形． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[][][/] 一、 单项选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 3.[A][B][CI[D] 5.[A][B][C][D] 2.A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10. 11. 12 三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 13.(6分) 14.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(6分) 16.(6分) 17. (6分) 18.(8分) C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 19.(8分) AxL KxD M D 种植园区 N G x BxI 图1 20. (8分) 21.(9分) 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(9分) 23.（12分) VA B 图1 VA 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B D D D C 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7． 8． 9． 10．28 11．且 12．或 三、解答题：本题共11小题，共84分。其中：13-17每题6分，18-20题每题8分，21-22题每题9分，23题12分。 13． 【详解】（1）解：， 分解因式得：， ，， 解方程得：，， 方程的解是，．.............3分 （2）解：抛物线与轴只有一个交点， 一元二次方程有两个相等的实数根， 解得，．.............6分 14． 【详解】（1）解：．.............3分 (2)图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为............6分 15．(1) 菱形即为所作： .............3分 (2) 矩形即为所作： .............6分 16． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得．.............2分 （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴，， ∴， 解得，． ∵方程有两个实数根， ∴，解得， ∴．.............6分 17． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理可得： ， ， 令， 解得：或（不符合题意，故舍去）， 答：秒后四边形的面积是；.............3分 （2）解：由（1）可得： ， ， 抛物线开口向上， 当时，取得最小值，其最小值为．.............6分 18． 【详解】（1）解：根据已知条件可设抛物线的解析式为， 把点代入上式，得， ， ∴抛物线的对称轴是直线；.............2分 （2）解：∵抛物线的对称轴与x轴相交于点M， ∴， ∵， ∴， ∴；.............5分 （3）解：点的坐标为．理由如下： ∵点，抛物线的对称轴是直线， ∴点关于对称轴的对称点的坐标为， 如图，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小， 设直线的解析式为． 把代入， 得， 解得， ， ∵点的横坐标为3， ， ．.............8分 19． 【详解】（1）解：根据题意得， 整理得， 解得， 当时，（不符合题意，舍去）， 故 ， 路面设置的宽度符合要求；.............2分 （2）解：设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得， 整理得， 解得，， 又 要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元．.............5分 （3）解：根据题意得， 整理得 则 ∴方程在实数范围内无解 该合作社不能实现每月60万元的预期目标．.............8分 20． 【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③．.............2分 （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或．.............5分 （3）解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，， ∴， ∴， ∴．.............8分 21． 【详解】（1）解：由题意可知，，顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：， 抛物线的函数表达式为；.............3分 （2）解：, 的顶点坐标为， 设直线的表达式为， ，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，且，的顶点坐标分别为，， ，解得：， 的表达式为；.............6分 （3）解：令，则， 解得：（舍），， ， 令，则， 解得：（舍），， ， ， 抛物线顶点坐标为 由（2）可知，顶点所在的直线的表达式为， ， ， 解得：或， 当时，抛物线开口向下，顶点在，不符合题意， ， ， ， ， 解得：， 即当喷泉的观赏效果最佳时，抛物线中的取值范围为．.............9分 22． 【详解】（1）解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为；.............3分 （2）解：①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 根据题意得：， 整理得： 解得：， 又∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件应降价10元．.............6分 ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件 则 ， ， ∴当时，w有最大值，最大值为3310， ∴当售价为34元/件，即降价元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元．.............9分 23． 【详解】(1) 证明：令， 解得：，， 二次函数与轴的交点为和， 又的顶点为， 点关于点的对称点为， 由题意得，是的对称抛物线， 二次函数的其中1条对称抛物线为．.............4分 （2）解：①由对称抛物线的定义可知，点是抛物线与轴的交点， 代入得，， ， ， 由对称抛物线的性质可得，对称抛物线上的点关于点的对称点在抛物线上， 点关于点的对称点为， 代入点到得，， 整理得：， ， ， ；.............8分 ②如图，过点作轴于点，连接、、， 是等边三角形， ， 抛物线关于点的对称抛物线的顶点为，且点是抛物线的顶点， 点是的中点， 同理，点是的中点， 是的中位线，且， ，， 是等边三角形， 又轴， ，， 设，， 令，则， ，，且， ， 又， ， ， 二次函数， 抛物线的顶点， ， 在中，， ， ， 解得：或（舍去）， 当时，为等边三角形．.............12分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7._________________________ 8._________________________ 9._________________________ 10._________________________ 11._________________________ 12._________________________ 三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 13.（6分） 14.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（6分） 16．（6分） 17． （6分） 18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.（8分） 20．（8分） 21．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（9分） 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第二十五~二十六章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 3．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A． B．11 C．1 D． 4．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点是一个固定观测点，运动点从处出发，沿笔直公路向目的地处运动．设为（单位：）（），为（单位：）．如图2，关于的函数图象与轴交于点，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（） A． B． C．点的纵坐标为250 D．点在该函数图象上 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 8．若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是__________．（按从小到大表示） 9．已知关于的一元二次方程（其中）的一个根是，则________． 10．已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，则的面积为___________． 11．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_________． 12．抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为_______． 三、解答题：本题共11小题，共84分。其中：13-17每题6分，18-20题每题8分，21-22题每题9分，23题12分。 13．（1）解方程：． （2）已知抛物线与轴只有一个交点，求的值． 14．已知二次函数的表达式为：． (1)将该二次函数配方成顶点式； (2)写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 15．在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线如图所示．请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作菱形，且菱形的四个顶点均在抛物线上； (2)在图2中作矩形，且矩形的四个顶点均在抛物线上． 16．关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 17．如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，、两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为． (1)几秒后四边形的面积是？ (2)若用表示四边形的面积，求经过多长时间取得最小值，并求出的最小值． 18．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴与x轴相交于点M． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)求的面积． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 19．五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．    问题解决： (1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 20．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 21．喷泉是城市中一道美丽的风景．如图1，水花从垂直地面的水管的顶端处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以水管与地面的交点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水管的高度是米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线（如图2所示），水花在与水管的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，其中一条抛物线与水平直线相交于点，请求出的顶点坐标和的表达式； (3)若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线中的取值范围． 22．2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 23．【定义与性质】 如图1，记二次函数和的图象分别为抛物线和，且与轴都有两个交点． 定义：若抛物线的顶点为抛物线的顶点关于抛物线与轴交点的对称点，则称是关于点的对称抛物线，简称是的对称抛物线． 性质：①一条抛物线有2条对称抛物线； ②若是的对称抛物线，则也是的对称抛物线， 【理解与运用】 (1)试说明二次函数的其中1条对称抛物线为； 【思考与探究】 (2)设抛物线的函数表达式为．若该抛物线与轴交于，两点（且点在点的右侧）． ①若抛物线关于点的对称抛物线与轴的另一个交点为，其中，求的取值范围； ②如图2，抛物线关于点的对称抛物线的顶点为，试问当，满足什么关系时，为等边三角形． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 (考试时间：120分钟，分值：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.测试范围：新教材人教版九年级上册第二十五~二十六章。 第I卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1.下列函数中，y一定是关于x的二次函数的是（) A.y=ax2-1 B.y=2x2+2 C.y=v2x D.y=! 2.将一元二次方程2x+3x=5化成一般式，则一次项系数和常数项分别是() A.3,5 B.3,-5 C.-3,5 D.3x,-5 3.若，是一元二次方程-5x+6=0的两个根，则+5-X5的值是《) A.-11 B.11 C.1 D.-1 4已知二次函数'=-7x-7 图象和轴有交点，则的取值范围是() A飞>-7 4 B.k-4且k≠0 c.2子 D.k≥子t0 5.在同一平面直角坐标系中，一次函数'=-mx+1 y=x2+m 与二次函数 的图象可能是() 117 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 米布 6.为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方.如图1，点P是一个固定 观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动.设AQ为x(单位：km)(0≤x≤n D(m,8 ),P№为'（单位：km).如图2，'关于x的函数图象与'轴交于点C,最低点 ,且经过 E(1,25)和Fa,25) 两点，下列选项正确的是() 225 P, D O1 m 图1 图2 A.m=12 B.n=24 C.点C的纵坐标为250 D.点(16,86)在该函数图象上 第IⅡ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7.用配方法将方程产+6x=5化成x+3=”的形式，则”的值为. 8若点1(-6），B(-2）,C2)在二次面数=2r-4+m的图象上，则，为，为的大小关系 是 (按从小到大表示) 217 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 9.已知关于x的一元二次方程axr+5x+c=0(其中ac≠0)的一个根是x=c,则aC= y=-x2-6x+7 10.已知抛物线 与轴交于点1，B(点4在点B的左侧)，与'轴交于点C,则△MBC 的 面积为 11.若关于x的一元二次方程2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 12,抛物线：y=a(x-3-1过1(-23)，B(m,3》两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线4，设抛 物线M的顶点为C.若△ABC是以AB为斜边的直角三角形，则点C的坐标为 三、解答题：本题共11小题，共84分。其中：13-17每题6分，18-20题每题8分，21-22题每题9分，23 题12分。 13.(1)解方程：x2+2x-8=0. (2)已知抛物 y=+(m+)x+3与轴只有一个交点，求m的值. y=-2x2+4x+5 14.已知二次函数的表达式为： (1)将该二次函数配方成顶点式： (2)写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5在半省直角坐标系中，能物线y女-2与能物线-一写+2如图所不。前汉月美度的直尺按费 求完成作图（保留作图痕迹）· 女 图1 图2 (1)在图1中作菱形ABCD,且菱形的四个顶点均在抛物线上： (2)在图2中作矩形EFGH,且矩形的四个顶点均在抛物线上. 16。关于x的一元二次方程+(2k+r+2+1=0 317 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围. (②若方程有两个实数根、且满足+=5 ,求k的值 17.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,AC=10cm,点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速 度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，P、Q两点同时出发，当一个点到达终点时 另一个点也随之停止运动，运动时间为s, (1)几秒后四边形APQC的面积是19cm2? (2)若用S表示四边形APQC的面积，求经过多长时间$取得最小值，并求出S的最小值. 18。如图，在直角坐标系中，抛物线经过点1(0,4)，B(1,0),C(50) 其对称轴与x轴相交于点M, BM C (1)求抛物线的解析式和对称轴： (2)求△ABM的面积。 (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在， 请说明理由， 19.五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宜城文旅，各地游客慕名前来游玩.宣城某乡镇果蔬专业合作 社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业.结合提供的素材，解决相 关问题 探索果园土地规划和销售利润问题 417 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 该专业合作社辖区内有一块长方形果园ABCD,图1是果园的平面 AxL Kx D E 素 图，其中AB=200米，BC=300米.准备在它的四周铺设道路，上下 种植园区 材 两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米， 1 中间部分种植水果.出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过 12米，且不小于5米. 图1 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观.若每平方米的 素 草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓.受天气 材 诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售. 2 若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓. 图2 果园每月的承包费为2万元 问题解决： 44800m (1)若中间种植的面积是 ,则路面设置的宽度是否符合要求。 (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 20.定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c均为常数，a≠0)有两个实数根，且其 中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”. ()下列方程中，按上述定义_（填序号）是“邻根方程”· ①x2+x=0;②x2-2x+1=0:③x2+3x+2=0 (②)若(x-2x+n)=0是“邻根方程”，求n的值. (3)若一元二次方程ax+bx+c=0(a,b,c均为常数，a≠0)为“邻根方程”，求出a,b,c应满足 的数量关系。 21.喷泉是城市中一道美丽的风景.如图1，水花从垂直地面的水管OA的顶端A处喷射出，其在空中的飞 行轨迹可近似看作一条抛物线.以水管与地面的交点0为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系。 经测量，水管的高度是3米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线y(如图2所示)，水花在与水管04 的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的B点. 517 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 图1 图2 图3 (①)求该抛物线” 的函数表达式： (②若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且片，片，“，”这些抛物线的顶点在 同一条直线上，其中一条鹅物线%=2+骨+号与水平直线号相交于点E,请求出购的顶点坐标和 1的表达式： 2 水花瀑布中所有抛物线均可表示为，=公+bx+<0)且与直线y=3相交于点。 . 当EF 3时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线y,中。的取值范围. 22.2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红， 成为春晚热销品。 (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件.求该电商平台 “哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率. (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式.线下市场调查发现，当售 价为35元/件时，日销量为80件.售价每降低1元，日销量可增加10件. ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销.为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少 元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件.当每件降价 多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润. 23.【定义与性质】 如图1，记二次函数'=a(x-b+c和'=-a(-p旷+ga≠0)的图象分别为抛物线C和C,且与x轴都有 两个交点. 617 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 图1 定义：若抛物线9的顶 点D(9）为抛物线C的顶点P6,c关于抛物线C与轴交点A的对称点，则称G 是C关于点的对称抛物线，简称C是C的对称抛物线. C 性质：①一条抛物线有2条对称抛物线： ②若C是 C 的对称抛物线，则也是的对称抛物线， 【理解与运用】 ①试说明二次函数'=- 的其中1条对称抛物线为 =-x2+4x-3 【思考与探究】 (②设抛物线C的函数表达式为'=+mr+n 若该抛物线与轴交于A,B两点（且点在点B的右侧）· ①若抛物线C关于点 A(1,0) 的对称抛物线C与轴的另一个交点 为D(d,0),其中2<d<3,求m的取值范 围； ②如图2，抛物线C关于点B的对称抛物线C的顶点为R,试问当m,n满足什么关系时，△PQR为等边 三角形 图2 717