学易金卷：九年级数学上学期9月学情自测卷（江西专用，范围：北师大版九上第一～二章）

**基本信息** 覆盖一元二次方程与特殊四边形，以动态几何（矩形动点问题）、文旅热点应用（果园利润计算）、新定义“邻根方程”为亮点，渗透几何直观、模型意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|一元二次方程定义、直角三角形性质|结合三星堆铜眼形器抽象菱形模型| |填空题|6/18|赵爽弦图嵌入、3×3积幻方|融合传统文化与创新思维| |解答题|11/84|动态面积计算、利润问题建模、新定义探究|梯度设计，从基础运算到综合应用，体现数学思维与表达能力|

11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7._________________________ 8._________________________ 9._________________________ 10._________________________ 11._________________________ 12._________________________ 三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 13.（6分） 14.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（6分） 16．（6分） 17．（6分） 18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（8分） 20．（8分） 21．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（9分） 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第一~二章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．课堂实践活动中，一名学生用刻度尺（单位：）测量自制直角三角形手工纸片．如图所示，已知，D为斜边的中点，点A，B对应的刻度分别为2和8，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 4．如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形，测得边长，，则菱形的面积等于（     ） A． B． C． D． 5．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．15 6．如图，点E在正方形的对角线上，且，直角三角形的两直角边，分别交于点M，N．若正方形的边长为a，则重叠部分四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7．把方程化为一般形式是__________． 8．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为___________． 9．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______________． 10．在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将5个全等的小正方形嵌入长方形ABCD内部，其中点M，N，P，Q分别在长方形的边和上，若，，则小正方形的边长为______________________． 11．“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 12．在菱形中，，，点，分别是，的中点，点是菱形边上的动点，则当时，的长为________． 三、解答题：本题共11小题，共84分。其中：13-17每题6分，18-20题每题8分，21-22题每题9分，23题12分。 13．（1）解方程：； （2）如图，，分别是矩形的边，上的一点，且．求证：．    14．解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：． 15．如图，已知四边形为菱形，延长到点，使得，过点作，交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，用无刻度的直尺作直线直线不与重合）； (2)如图②，用无刻度的直尺作出一个矩形． 16．已知关于的方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，试求的值． 17．如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 18．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 19．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 20．五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．    问题解决： (1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 21．【问题背景】如图1，在正方形中，P是上一点，点E在的延长线上，且，与交于点F，连接． (1)【初步认识】猜想线段和的数量关系　　　　　． (2)【深入思考】请求出的度数． (3)【延伸迁移】如图2，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 22．综合与实践 问题情境：如图，四边形为正方形，点E为对角线上的一动点，连接，过点E作，交直线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)猜想证明：证明四边形是正方形． (2)解决问题：求的度数． (3)解决问题：已知，，请直接写出的长． 23．数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对十字模型做了如下探究： (1)①如图①，在正方形中，点，分别是，上的点，且，则与的数量关系是______； ②如图②，在正方形中，若垂直平分，垂足为点，且，连接，则______； (2)如图③，在矩形中，，点，分别在边，上，且，若，求的长； (3)如图④，在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点、交矩形的边于点，当点为线段的三等分点时，请直接写出的长． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第一~二章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．课堂实践活动中，一名学生用刻度尺（单位：）测量自制直角三角形手工纸片．如图所示，已知，D为斜边的中点，点A，B对应的刻度分别为2和8，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 4．如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形，测得边长，，则菱形的面积等于（     ） A． B． C． D． 5．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．15 6．如图，点E在正方形的对角线上，且，直角三角形的两直角边，分别交于点M，N．若正方形的边长为a，则重叠部分四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7．把方程化为一般形式是__________． 8．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为___________． 9．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______________． 10．在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将5个全等的小正方形嵌入长方形ABCD内部，其中点M，N，P，Q分别在长方形的边和上，若，，则小正方形的边长为______________________． 11．“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 12．在菱形中，，，点，分别是，的中点，点是菱形边上的动点，则当时，的长为________． 三、解答题：本题共11小题，共84分。其中：13-17每题6分，18-20题每题8分，21-22题每题9分，23题12分。 13．（1）解方程：； （2）如图，，分别是矩形的边，上的一点，且．求证：．    14．解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：． 15．如图，已知四边形为菱形，延长到点，使得，过点作，交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，用无刻度的直尺作直线直线不与重合）； (2)如图②，用无刻度的直尺作出一个矩形． 16．已知关于的方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，试求的值． 17．如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 18．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 19．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 20．五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．    问题解决： (1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 21．【问题背景】如图1，在正方形中，P是上一点，点E在的延长线上，且，与交于点F，连接． (1)【初步认识】猜想线段和的数量关系　　　　　． (2)【深入思考】请求出的度数． (3)【延伸迁移】如图2，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 22．综合与实践 问题情境：如图，四边形为正方形，点E为对角线上的一动点，连接，过点E作，交直线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)猜想证明：证明四边形是正方形． (2)解决问题：求的度数． (3)解决问题：已知，，请直接写出的长． 23．数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对十字模型做了如下探究： (1)①如图①，在正方形中，点，分别是，上的点，且，则与的数量关系是______； ②如图②，在正方形中，若垂直平分，垂足为点，且，连接，则______； (2)如图③，在矩形中，，点，分别在边，上，且，若，求的长； (3)如图④，在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点、交矩形的边于点，当点为线段的三等分点时，请直接写出的长． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第一~二章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 含有一个未知数，且未知数的次数最高是2的整式方程是一元二次方程，依据一元二次方程的定义判断各选项即可． 【详解】解：A、方程分母含有未知数，是分式方程，不符合一元二次方程定义，故选项不符合题意； B、对去括号、移项、合并同类项，得，符合一元二次方程定义，故选项符合题意； C、未说明，当时方程不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、对去括号、移项、合并同类项，得，是一元一次方程，故选项不符合题意． 2．课堂实践活动中，一名学生用刻度尺（单位：）测量自制直角三角形手工纸片．如图所示，已知，D为斜边的中点，点A，B对应的刻度分别为2和8，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵为的中点，， ． 3．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 【答案】A 【分析】计算根的判别式，配方后判断其取值范围，即可确定方程根的情况． 【详解】解：一元二次方程为， ，，， ． 为实数， ，即． 方程必有实根． 4．如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形，测得边长，，则菱形的面积等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作于点H，可求出，则可得到，，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴； ∴． 5．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．15 【答案】B 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴ ． 6．如图，点E在正方形的对角线上，且，直角三角形的两直角边，分别交于点M，N．若正方形的边长为a，则重叠部分四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作于点，于点，证明，利用四边形的面积等于正方形的面积求解． 【详解】解：过作于点，于点， ∵四边形是正方形，边长为a， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7．把方程化为一般形式是__________． 【答案】 【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解： ， 原方程化为一般形式为． 8．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为___________． 【答案】4 【分析】由菱形的面积求出对角线的长，再利用直角三角形斜边中线的性质求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，在菱形中， ∴． 9．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______________． 【答案】且/且 【分析】需满足两个条件，一是一元二次方程要求二次项系数不为0，二是方程有两个不相等实数根要求根的判别式大于0，据此列不等式求解． 【详解】解：∵该方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式计算得， ∴， 解得， 综上，m的取值范围是且． 10．在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将5个全等的小正方形嵌入长方形ABCD内部，其中点M，N，P，Q分别在长方形的边和上，若，，则小正方形的边长为______________________． 【答案】 【分析】将每个小正方形分成四个全等的直角三角形和一个正方形，设每个直角三角形的较大的直角边为x，较小的直角边为y，根据，，列出二元一次方程组，求出x和y，再求出边长即可． 【详解】解：如下图，将每个小正方形分成四个全等的直角三角形和一个正方形， 设每个直角三角形的较大的直角边为x，较小的直角边为y， ， ∴， 解得， ∴小正方形的边长为：． 11．“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 【答案】16 【分析】根据题意，得到，整理得，再根据解一元二次方程的方法解方程，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，可得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 解得，， ∵个小方格中的正整数互不相等， ∴，即的值是16． 12．在菱形中，，，点，分别是，的中点，点是菱形边上的动点，则当时，的长为________． 【答案】或或 【分析】连接，可证是等边三角形得，分点在菱形四条边上讨论，结合勾股定理和特殊角的性质计算得到符合条件的长度． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，，， 点，分别是，的中点， ， 是等边三角形， ，， 当点运动到点处时，如图①， ，， ，符合题意， ， ， ； 当点运动到边的中点时，如图②， 是的中点， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，符合题意， 此时； 当点运动到边的中点时，如图③， 是的中点， ， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，符合题意， ， ； 当点运动到点处时，如图④， ，， ，符合题意， 此时； 综上，的长为或或． 三、解答题：本题共11小题，共84分。其中：13-17每题6分，18-20题每题8分，21-22题每题9分，23题12分。 13．（1）解方程：； （2）如图，，分别是矩形的边，上的一点，且．求证：．    【答案】（1）； （2）证明：∵四边形是矩形， ∴∠， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】（2）用配方法求解即可； （2）由矩形的性质得，然后由证明，即可得出． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴； （2）略 【点睛】本题考查了解一元二次方程，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 14．解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：． 【答案】(1)错误；错误． (2)． 【分析】（1）由乘积为5的两个因数有无数种情况从而可判断嘉嘉错误，通过移项分析发现琪琪对的分析是错的； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵乘积为5的两个因数有无数种情况， ∴嘉嘉由得到或是错误的； 因化为一般式是， ∴，，， ∴琪琪同学的解法错误； （2）解： 移项得：， 提取公因式得：， ∴或， ． 15．如图，已知四边形为菱形，延长到点，使得，过点作，交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，用无刻度的直尺作直线直线不与重合）； (2)如图②，用无刻度的直尺作出一个矩形． 【答案】(1) 解：如图，直线即为所求． (2) 解：如图，矩形即为所求． 【分析】（1）连接，，分别交，于点，，连接，则线段所在的直线即为所求的直线； （2）连接，交于点，分别延长，，相交于点，连接，，相交于点，则四边形即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查作图，菱形的性质、矩形的判定，熟练掌握菱形的性质以及矩形的判定是解答本题的关键． 16．已知关于的方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程判别式与根的个数的关系，列出不等式，求解即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，，代入可得关于的一元二次方程，求解并结合，舍去不符合条件的根即可． 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴， 整理，得， 解得； （2）解：， 根据根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或， 由（1）可知，， ∴． 17．如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得，，再由三角形中位线定理得，得四边形是平行四边形，然后证明即可得出结论． （2）由三角形的中位线定理得，再由矩形的性质得，，，然后由勾股定理求出的长，即可得出的长，结合勾股定理进而求得． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ， 由（1）得：，四边形是矩形， ，，， 是的中点， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 四边形是矩形，， ， ，  ，  四边形是菱形， ． 18．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 19．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根为、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系，结合完全平方公式即可得到，，的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③． （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，， ∴， ∴， ∴． 20．五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．    问题解决： (1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 【答案】(1)路面设置的宽度符合要求 (2)从购买草莓客户的角度应该降价元 (3)该合作社不能实现每月60万元的预期目标 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照的取值范围，即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润=销售利润−承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． （3）假设该专业合作社能实现每月总利润60万元的预期目标，根据（2）的总利润方程式得到，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 整理得， 解得， 当时，（不符合题意，舍去）， 故 ， 路面设置的宽度符合要求； （2）解：设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得， 整理得， 解得，， 又 要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． （3）解：根据题意得， 整理得 则 ∴方程在实数范围内无解 该合作社不能实现每月60万元的预期目标． 21．【问题背景】如图1，在正方形中，P是上一点，点E在的延长线上，且，与交于点F，连接． (1)【初步认识】猜想线段和的数量关系　　　　　． (2)【深入思考】请求出的度数． (3)【延伸迁移】如图2，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由如下： 连接，如图， 在菱形中，， ，． 又∵， ， ，． ， ，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， 又∵， 是等边三角形， ∴， ∴． 【分析】（1）由正方形的性质证明，得到，等量代换即可得到； （2）由全等三角形的性质得到，推出，然后结合等边对等角推出，然后利用三角形内角和定理求解即可； （3）连接，证明，得到，，同（2）得到，证明是等边三角形，得到，即可推出． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）得，， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ． ， ， 又， ； （3）略 22．综合与实践 问题情境：如图，四边形为正方形，点E为对角线上的一动点，连接，过点E作，交直线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)猜想证明：证明四边形是正方形． (2)解决问题：求的度数． (3)解决问题：已知，，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：过作于点，于点， ∵正方形， ∴， ∴，，则， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， (2) (3)或 【分析】（1）过作于点，于点，由，得到，即可求解； （2）证明，得到， （3）由正方形，正方形，得到，由，得到，依次求出的长，最后由，得到，即可求解，注意分情况讨论． 【详解】（1）略 （2）解：∵矩形为正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， （3）解：过作于点，于点，由（1）得正方形，， ①当在线段上时， ∵正方形，正方形， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴； ②当在延长线上时，如图： ∵正方形，正方形， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴； 综上所述，或． 23．数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对十字模型做了如下探究： (1)①如图①，在正方形中，点，分别是，上的点，且，则与的数量关系是______； ②如图②，在正方形中，若垂直平分，垂足为点，且，连接，则______； (2)如图③，在矩形中，，点，分别在边，上，且，若，求的长； (3)如图④，在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点、交矩形的边于点，当点为线段的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①容易证明，因此； ②过点作的平行线，交于点，容易证明四边形是平行四边形，则，由①的结论可得，再使用直角三角形的性质求出即可； （2）分别取、的中点、，连接，由中位线的性质可得，，，，则，容易证明，则，因此； （3）以点为原点建立平面直角坐标系，作于点，交于点，则，，容易证明四边形是正方形，点的坐标为，结合（1）的结论可得，则．分两类讨论，当时，则，利用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，进而得到，，使用勾股定理计算出的长；当时，同样的方法可计算出，与题意矛盾，舍去． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②如图，过点作的平行线，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 同理①可得，， 在中，，即点为的中点， ∴； （2）解：如图，分别取、的中点、，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①当时，如图，以点为原点建立平面直角坐标系，作于点，交于点， ∵四边形是矩形，且，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形，点的坐标为， ∵， ∴，点的坐标为， 同理（1）可得，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴点的坐标为， ∴； ②当时，如图， ∴，点的坐标为， 同理（1）可得，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为，这与点在边上矛盾，舍去； 综上所述，． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[][][/] 一、 单项选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 3.[A][B][CI[D] 5.[A][B][C][D] 2.A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10. 11. 12 三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 13.(6分) 14.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(6分) >C E 16.(6分) 17. (6分) D E 0 G B 18.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) 20.(8分) 21.(9分) C E A B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(9分) G 备用图 23. (12分) 内 图③ 图④ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、 选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A A C B D 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7.6x2-5x-6=0 8.4 9.m< 4且m≠0/m≠0且m< 4 10.v5 11.16 12.'或5或2 三、解答题：本题共11小题，共84分。其中：13-17每题6分，18-20题每题8分，21-22题每题9分，23 题12分。 13 【详解】(1)解：x2+4x-2=0, x2+4x=2, x2+4x+4=2+4 (x+2)}=6 x+2=±√6 :=-2+65=-2-V6 3分 (2)证明：，四边形ABCD是矩形， .∠D=∠B=90°，AD=BC, 1/16 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 在△ADF和△CBE中， AD=BC ∠D=∠B DF=BE ∴.△ADF≌△CBE(SAS), .AF=CE.6分 14 【详解】(1)解：，乘积为5的两个因数有无数种情况， x(x-4)=5 ∴嘉嘉由 得到x=1或x-4=5是错误的： 因x2-4x=5化为一般式是x2-4x-5=0, ∴.a=1,b=-4,c=-5, ∴，琪琪同学的解法错误；2分 (2)解： 4x(2x+1)=3(2x+1 4x(2x+1)-3(2x+1)=0 移项得： 提取公因式得： (4x-3)(2x+1)=0 .4x-3=0或2x+1=0, 3 1 =4=2,6分 15.(1) 解：如图，直线即为所求. D C3分 M (2) 解：如图，矩形OBGC即为所求. 2/16 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D 6分 G -N 16. 【详解】(1)解：·方程有实数根， :4=(2k-4x1×(k2-2k+1≥0 整理，得8歇-4≥0， 解行分：3分 (2)解：x2+2kx+k2-2k+1=0, 根据根与系数的关系可得，方+3=-2水.×2=k2-2水+1 .(2+0(2x+1)=21 ,4xx2+2(x+x2)+1=21 :4(k-2k++2×(-26)+1=21 整理，得k2-3k-4=0, 解得k=-1或4， 1 由(1)可知，k Γ2 .k=4.6分 17. 【详解】(1)证明：~四边形ABCD是菱形， .BD⊥AC,OB=OD, E是AD的中点， .OE是△ABD的中位线， 3/16 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .OEl AB ∴OE∥FG. OG∥EF, 四边形OEFG是平行四边形， EF⊥AB, ∴.∠EFG=90° .四边形OEFG是矩形.3分 (2)解：四边形ABCD是菱形， ∴.AB=AD=10 由(1)得：OE=2B=5,四边形OEFG是矩形， .FG=OE=5.0G=EF=4.∠OGF=90° E是AD的中点， AE=三AD=5」 2 在Rt△AFE中，由勾股定理得： AF=VAE2-EF2=V52-42=3 .BG=10-5-3=2. ~四边形OEFG是矩形，EF⊥AB, .OG⊥AB」 .∠OGB=90° 0B=V0G2+BG=V42+2=25 :四边形ABCD是菱形， ∴BD=2OB=4V5 .6分 18. 【详解】(1)解：①设运动时间为x秒，则AP=xcm,BQ=2xcm, 又AB=6cm, 4/16 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .BP=(6-x)cm 根据题意，得(6-)2x=8, =2x2=4 解得 8cm2 ∴经过2秒或4秒后， APBO 的面积等于 ;2分 ②设运动时间为x秒，△PB0的面积等于10cm2, 根锅避意，得6-列2x=10, 整理得x2-6x+10=0, :△=(6}-4x10=4<0 方程无解， .△PB0的面积不能等于10cm2;4分 (2)解：设运动的时间为t秒， ①当0<t≤6时，PB=6-t,BQ=2t 由题意，得6-小21=6， 解得： 1=3+V552=3-V5 ②当6<t≤12时，PB=t-6,B0=2t, 1 由题意，得2×21-(-6)=6， 解得： 4=3+店，6=3-5（舍去）， 综上所述，当1为3士)秒或3+)秒时，△P80的面积等于6cm.8分 19. 5/16 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【详解】(1)解：①解方程+x=0得=0.名=-1 得 x-2=0-(-1)=1 ∴方程x2+x=0是“邻根方程”； ②解方程-2x+1=0得=6=1】 x-x2=1-1=0 2-2x+1=0 方程 不是“邻根方程”； ③解方程+3x+2=0得=-1.=-2 x-x2=-1-(-2)=1 x2+3x+2=0 方程 是“邻根方程”. 综上可知，“邻根方程”为：①③.2分 (2)解：解方程 x-2)x+n)=0ax=2x2=-n 得： 该方程是“邻根方程”， 2-(m川=1或n-2=1 解得：n=-1或n=-3.5分 (3)解：一元二次方程ax+br+c=0为“邻根方程”， .b2-4ac>0, :设方程+bc+e=0的两个根为5、6，则+=合，与与-号 =a,x-x=1, (G-x)}=12 --6*-4(8年 6/16 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .b2-4ac=a2.8分 20. 300-2x)(200-2×2x)=44800 【详解】(1)解：根据题意得 整理得x2-200x+1900=0, 解得5=10与190 当x=190时，300-2x=300-380=-80<0(不符合题意，舍去)， 故x=10 5≤x≤12， .路面设置的宽度符合要求；…2分 (2)解：设每平方米草莓平均利润下调》元，则每平方米草莓平均利润为 100-y) 元，每月可售出 5000+兰×500=(5000+100y)平方米草莓， 5 100-y)(5000+100y)-20000=520000 根据题意得 y2-50y+400=0 整理得 y=10y2=40 解得 又：要让利于顾客， ·y=40 答：每平方米草莓平均利润下调40元.5分 (3)解：根据题意得10-)500+100)-2000=6000 2-50y+1200=0 整理得 则4=(-50°-4×1×120=2500-480=-2300<0 ∴.方程在实数范围内无解 .该合作社不能实现每月60万元的预期目标.8分 7/16 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21. 【详解】(1)解：四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD,∠BAC=∠DAC=45°， .AP=AP, △ABP≌△ADP(SAS) .PB=PD ..PD=PE, .PB=PE;3分 △ABP≌△ADP(SAS) (2)解：由(1)得， .∠ADP=∠ABP, ,四边形ABCD是正方形， .∠ADC=∠ABC=∠BCE=90° ∠CDP=∠CBP, ..PD=PE, .∠PDC=∠PEC, .∠CBP=∠PEC ∠BFP=∠EFC, .180°-∠BFP-∠PBF=180°-∠EFC-∠PEC, 又LBFP=∠EFC, ∠BPE=∠BCE=90°；6分 (3)PD=BE,理由如下： 连接BE,如图， D E A B 在菱形ABCD中，∠BAD=120°， ∠DAP=∠BAP=I∠BAD=60 ∴AD=AB, 2 8/16 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 又，AP=AP ∴△ADP≌△ABP(SAS) .PD=PB.∠ADP=∠ABP .PD=PE, .PB=PE,∠PDE=∠PED, ,四边形ABCD是菱形， ∴.∠ADC=∠ABC,∠DCB=∠DAB=120°， .∠PDE=∠PBC,∠BCE=180°-∠DCB=60°， .∠PED=∠PBC, :.180°-∠BFP-∠PBF=180°-∠EFC-∠PEC, 又∠BFP=∠EFC, .∠BPF=∠BCE=60°， 又，PB=PE, ∴△PBE是等边三角形， .PB=BE. .PD=BE.9分 22. 【详解】(I)证明：过E作EM⊥BC于M点，EN⊥CD于N点， A E G B M F ,正方形ABCD .∠BCD=90°，∠ECW=-45°， .∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，∠NEC=∠ECN=45°，则NE=NC, ∴四边形EMCN为正方形， .EM=EN,∠MEN=90°， ,四边形DEFG是矩形， :.∠DEF=∠MEN=90° 9/16 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°， .∠DEN=∠MEF, :∠DNE=∠FME=90°， △DEN≌△FEM(ASA) .ED=EF, 矩形DEFG为正方形，3分 (2)解：：矩形DEFG为正方形， .DE=DG,∠EDC+∠CDG=90°」 ,四边形ABCD是正方形， .AD=DC,∠ADE+∠EDC=90°，∠DAE=45°， ∴.∠ADE=∠CDG. △ADE≌ACDG(SAS) .∠DAE=∠DCG=45°，6分 (3)解：过E作EM⊥BC于M点，EN⊥CD于N点，由(I)得正方形EMCN,△DEN≌△FEM, ①当F在线段BC上时， B M F H :正方形EMCN,正方形ABCD, .BC=DC,MC=NC」 ∴.BC-MC=DC-NC,即：BM=DN, .△DEN≌△FEM, .FM DN, .BC=4,CF=2. 10116 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 DN-BM-FM-BC-FC-4-2=1 2 2 :.MC=MF+FC=1+2=3. :BC-MC=3 AC-V2BC-4 .△ADE≌△CDG. AE=CG=AC-EC=4V2-32=2 ②当F在BC延长线上时，如图： ,正方形EMCN,正方形ABCD, ..BC DC,MC=NC, ∴BC-MC=DC-NC,即：BM=DN, .△DEN≌△FEM, .FM DN, BC=4,CF=2, 2.DN-BM-FM-BC FC23 22 .MC=MF-FC=3-2=1, :EC=MC-AC=BC-4 ,△ADE≌△CDG. AE=CG=4C-EC-4=3 综上所述， CG=232 或 .9分 23 【详解】(I)解：①，四边形ABCD是正方形， 11/16 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD, .∠BAE+∠DAE=90° AE⊥BF, .∠ABF+∠BAE=90°， ∴.∠DAE=∠ABF, 在△ABF和△DAE中， ∠DAE=∠ABF AB=AD ∠BAD=∠ADC' △ABF≌△DAE(ASA) .AE=BF;3分 ②如图，过点B作GF的平行线，交AD于点H, HF E B G ,四边形ABCD是正方形， ∴.ADI‖BC,∠ADC=90°， .BH‖GF ∴四边形BGFH是平行四边形， ..BH =G =8, ,GF垂直平分AE, .GF⊥AE,OA=OE, BHGF .BH⊥AE, 同理①可得，AE=BH=8, 在RtAADE中，OA=OE,即点O为AE的中点， 12116 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 m-E=4,-6分 (2)解：如图，分别取BC、BF的中点G、H,连接GH, E B G ,四边形ABCD是矩形， ∴.∠ADC=∠BCD=90°，AB=CD. .∠BCE+∠DCE=90°. .CE⊥BF, .∠B0C=90°， ∴.LBCE+∠CBF=90°， ∴.∠CBF=∠DCE, :G、H分别是BC、BF的中点， .GH是△BCF的中位线， ∴GH/0,Bh-号F,8G-8c, .∠BGH=∠BCD=90°=∠ADC, BC=2AB=2CD' BG=BC, 2 .'BG=CD 在△BGH和△CDE中， [∠CBF=∠DCE BG=CD ∠BGH=∠ADC' △BGH≌ACDE(ASA) .BH=CE=10, 13116 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .BF=20:9分 1 (3)解：①当F=E时，如图，以点B为原点建立平面直角坐标系，作EI1BC于点I'EI交AG于 点J, E D O 分 G ,四边形ABCD是矩形，且AB=6,BC=10, ∴点A的坐标为 ,6,点C的坐标为10,0，点D的坐标为 (10,6)∠BAD=∠ABC=90° :EI⊥BC, .四边形ABE是矩形， .BE平分∠ABC, .∠ABE=∠CBE=45°， ∴，△ABE是等腰直角三角形， .'AB=AE=6, “四边形ABE是正方形，点E的坐标为 6,6) “AF=2,点F的坐标为 2,6) 同理(1)可得，△ABF≌△E刊， 引=AF=2, 点√的坐标为6,4) 设直线W的解析式为 y=kx+b 将点406)，64代入3=x+众，每， 14116 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 [6=b 4=6k+b, 3 解得b=6· :直线U的解折式为P=+6, 同理直线BE的解析式为y=x, 将x=10代入y=- +6，得y 点G的坐标为 联立直线AJ与直线BE,得， y=3 +6 y=x [9 x2 解得9 y=2 (99 点H的坐标为22引 ②当4F-号4E时，图， 15116 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 F E A B :1F=4,点F的坐标为A.6), 同理(1)可得，△ABF≌△E刊， .目=AF=4, ·点√的坐标为6,2) 设直线W的解析式为'=x+么， 4@.6).6,2)代入=r+,得， 将点 [6=b2 2=6k2+b2, 解得b,=6, 直线的解折式为y= 3+6 2 将x=10代入y=- +6，得 10,-2 ∴点G的坐标为 ,这与点G在边CD上矛盾，舍去： 综上所述， G1=11v70 6.12分 16116