学易金卷：八年级数学上学期9月学情自测卷01（新教材人教版，范围：八上第十三～十四章）

**基本信息** 聚焦三角形与全等三角形核心内容，通过荡秋千等生活情境和基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查抽象能力、推理意识与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形组成、全等图形识别、三角形类型判断|基础概念与图形直观结合，如第2题通过图形辨析全等| |填空题|6/18|全等条件补充、角平分线距离、三边关系化简|突出开放性与空间观念，如第12题添加全等条件| |解答题|9/72|实际应用（铁丝围三角形）、综合证明（角平分线）、探究题（中线倍长法）|生活情境与逻辑推理融合，如22题荡秋千问题，25题用中线倍长培养推理能力|

2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] 一、 单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][CI[D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][BJ[C][D] 4.A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11. 12. 14. 15 16. 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 19.(6分) A B 图1 图2 20.(6分) B 21.(8分) 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) -G 6 2 7777777777 图1 图2 23.(8分) D D 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) M N 图1 图2 图3 25.(12分) D D D 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 11 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11._________________________ 12._________________________ 13._________________________ 14._________________________ 15._________________________ 16._________________________ 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （6分） 19．（6分） 20．（6分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（8分） 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 25．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第十三~十四章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（     ）． A． B． C． D． 2．在下列各组图形中，是全等图形的是（     ）． A．B．C．D． 3．在中，，且是的3倍，那么该三角形是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 4．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 5．下面四个图中，线段是的高的是（   ）． A． B． C． D． 6．如图，，点、、、共线，与交于点．若，，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 7．如图，的外角平分线交射线于点在延长线上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可以供选择的地址有（     ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 9．如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 10．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．中，，，则______． 12．如图，点，在上，，，要使，需添加的一个条件是__________．（只写一个） 13．如图，，平分，，，则点D到的距离为______． 14．若a，b，c是的三边的长，化简______________． 15．在中，D为边的中点，，交于点E，若，______________． 16．如图，，垂足为A，厘米，厘米，射线，垂足为B，一动点P从点A出发以3厘米/秒的速度沿射线运动，同时动点D从点B出发沿射线运动．设点D运动的速度为v厘米/秒，当_____厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 三、解答题：本题共9小题，共72分。其中：17-20每题6分，21-23题每题8分，24-25题每题12分。 17．小明用边长分别为4，8，x（单位：）长的铁丝围成一个三角形铁架． (1)若x为奇数，求x的值； (2)若围成的三角形铁架为等腰三角形，求这个等腰三角形的周长． 18．如图，，，垂足分别为B，D，且． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 19．如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A，B，C均在格点上．请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．（保留画图痕迹） (1)在图1中，作，使得； (2)在图2中，作，使得，其中点E在上． 20．如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若的面积为，则的面积_______； (2)当，时，求的度数． (3)若，的周长比的周长少，求的长度． 21．已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 22．如图1、2所示，小颖与爸爸、妈妈在操场上荡秋千，小颖坐在秋千上的起始位置点处，且起始位置的延长线与地面垂直，垂足为点．小颖两脚在地面上用力一蹬，小颖妈妈在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的妈妈到秋千起始位置的水平距离米；小颖的妈妈用力一推，小颖的爸爸在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的爸爸到秋千起始位置的水平距离为米，秋千的长度保持不变．解答下列问题： (1)当时，判断与是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明理由； (2)当，米，米，米时，求的值； (3)若考虑到安全和体感，点、点分别在的左边和右边，秋千摆动的夹角（即）始终保持，请直接写出，，，这四个变量之间的关系． 23．综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 24．在中，与的角平分线与相交于点P． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，延长至M，延长至N，与的角平分线相交于点Q，若． ①用含的代数式表示的大小为__________°； ②用含的代数式表示的大小为__________°； (3)如图3，在（2）的条件下，延长、交于点R．在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍，直接写出的大小． 25．问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： (1)①由已知和作图能得到，依据是________． A．    B． C．    D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (2)如图，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． (3)拓展延伸： 如图，在第（2）的条件下，若延长交于点，请猜想线段和的数量关系，并说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 0 D A D B B D B C 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.60 12.∠B=∠E(或∠ACB=∠DFE或AB∥DE或AC∥DF) 13.2 14.2b 15.2 3 16.4或2或6 三、解答题：本题共9小题，共72分。其中：17-20每题6分，21-23题每题8分，24-25题每题12分。 17 【详解】(1)解：根据题意，得8-4<x<8+4, .4<x<12, x为奇数， .x的值为5或7或9或11.3分 (2)解：边长分别为4,8，x(单位：cm)长的铁丝围成一个三角形铁架是等腰三角形， ∴.x=4或x=8, 当x=4时，三边长为4,8,4， 由于4+4=8，不满足三角形的三边关系，故舍去： 当x=8时，三边长为4,8,8，满足三角形三边关系， ∴.这个等腰三角形的周长 4+8+8=20(cm）.6分 18 【详解】(I)证明：，CB⊥AB,CD⊥AD, .∠B=∠D=90°， 1/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ,在Rt△ABC和Rt△ADC中， AC=AC BC=DC, Rt△ABC≌Rt△ADC(HL) 3分 (2)解： Rt△ABC≌Rt△ADC(HL) .'BC=DC=3. .∠B=90°」 1 5=2B-BC=2x4x3=6, SRtAADC=SRLAABC =6 S四边形ABCD=SABC+S。ADc=6+6=12 6分 19 【详解】(1)如图，∠CBD即为所求 3分 D (2)如图，∠BAE即为所求 6分 20. 【详解】(1)解：AF是△ABC的中线，△ABF的面积为5， .S.4BC =2S.4BF =10 ;2分 219 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)解：∠B=30°，∠C=50°」 .∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-50°=100°， AE平分∠BAC, ,∠CAE=∠BAC=50, 2 AD是△ABC的高， .∠ADC=90°」 ∴.∠CAD=90°-∠C=40°， ∠DAE=LCAE-∠CAD=50°-40°=10°；4分 (3)解：AF是△ABC的中线， :.BF=CF, :△ABF的周长比△ACF的周长少2， AC+AF+CF-(BF+AF+AB)=2 则AC-AB=2, AB=10. .AC=12.6分 21. 【详解】(I)证明：'BE平分∠ABC,CD平分∠ACB, :设∠ABE=∠CE-ABc=a,∠iC0=∠BCD4CB=月， ∴.∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2a-2B∠BOC=180°-∠CBO-∠BC0=180°-a-B ∠B0C=90°+)∠BAC:n4分 2 (2)证明：过O作OF⊥AB于点F,作OG⊥BC于点G,作OH⊥AC于点H, 平分 G 图2 BE ∠ABC ..OF=0G. 3/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 CD平分∠ACB, :.0G=OH, ..OF=OH 0A平分∠BAC.8分 22. 【详解】()∠BOF=∠OCG,理由如下： CG⊥OA于点G, .∠CG0=90°、 .∠C0G+∠0CG=90° ∠C0B=90°， .∠COG+∠BOF=90°」 .∠0CG=LBOF.3分 (2)解：据题可知OC=OB,据(1)可知∠BOF=∠OCG, 在aOCG和△BOF中， [∠BOF=∠OCG ∠OGC=∠OFB OC=OB :△OCG≌aBOF(AAS) .CG=OF=2米，OG=FB=b, h=1h=1.5 .FG=h-h=0.5 米， .0G=0F-FG=2-0.5=1.5米， .b=1.5.6分 (3)解：据(2)可知△OCG≌aBOF, 则CG=OF=a米，OG=FB=b米， FG=hia-hOF-0G=FG a-6=么-内，即a+内=6+ .8分 419 西学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 23. 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，∠ACB=90,BC=3,AC=4,AB=5,CD⊥AB, S.wCC-ACD 2 CD=4x312 5=5;2分 (2)解：Sc=)4BCD=)BCAE, 1 2 1 1 x6xCD-3xE :.2CD=AE, .CD:AE=1:2;5分 (解：c5.w-p.pC.5m-号4PnF,5e8p0E, 'S△ABP=SAADP+S△BDP DE4P-DF-AP.C 2 又BP=AP, AP.DE+24P-DF-74P-B 即DE+DF=BC=m.8分 24. 【详解】(1)解：：∠ABC=80°，∠ACB=50°，点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， PBC-AC-40 Z8CP-LACB=25. .∠BCP+∠P+∠PBC=180°， .∠P=180°-∠BCP-∠PBC=180°-40°-25°=115°.4分 (2)解：：∠A=a, ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-a, ∠MBC+∠NCB=360°-（∠ABC+∠ACB)=360°-(180°-a)=180°+a 519 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ①：∠ABC与∠ACB的角平分线BP与CP相交于点P, &2PBc=ABc,☑BcP4cB, 2 ∠PBc+∠BcP=Aac+∠ACB)-s0-a)=90-a. .∠BCP+∠P+∠PBC=180°， .4P=1w-(cp+P9c)=1w-0o-0j-0+ .6分 ②：∠MBC与∠NCB的角平分线相交于点O, a0cc.∠Bc0=cB. QWc+CO-(MRC+ZNCR). .∠QBC+∠Q+∠QCB=180° :0-=180-(<0sc+20c)-180-90+5a=90- 2 2.8分 (3)解：如图：延长BC至D, R P D N ,CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线， ∠BCO=∠NCO .∠BCQ=∠DCR,∠NCQ=∠ACR .∠ACR=∠DCR ∴.CR是△ABC的外角∠ACD的平分线， 619 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∠ACD=2∠RCD. ,BR平分∠ABC, ∴，∠ABC=2LRBC. .∠RCD=∠RBC+∠R, .2∠RCD=2LRBC+2∠R,即∠ACD=∠ABC+2LR, 又：∠ACD=∠ABC+∠A, 4-2ZR,即R-A, 由2可知<0=0-4 :在△BQR中，除∠RBQ外，若一个内角是另一个内角的3倍， :0当∠0-3∠R时，即0-1=3×A,解得：∠A=45: ②当∠R=3∠0时，即2 ,解得：∠A=135°： 综上所述，∠A的度数是45°或135°.12分 25. 【详解】(1)解：①：AD是中线， ..BD=CD, 在△ABD和△ECD中， CD=BD ∠ADB=∠EDC AD=ED ∴△ABD≌△ECD(SAS) 即选项A符合题意；…2分 ②：△ABD≌AECD,AB=4,AC=5, ..CE=AB=4, .AC-CE<AE<AC+CE, .5-4<AE<5+4,即1<AE<9, AD=DE, 719 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :.AD=TAE 2 .0.5<AD<4.5..4分 (2)解：如图：延长AD至H,使得AD=DH, M 是中线， D E AD .BD=CD. 又∠ADC=∠HDB, ∴△ADC≌△HDB(SAS) ∴∠ACB=∠DBH AC=BHS△MDc=S△HDB :AC∥BH ∴.∠ABH+∠BAC=180° .∠BAC+∠MAN=180°. .∠ABH=∠MAN AC=AM ∴BH=AM. .AB=AN, ∴△ABH≌△MAN(SAS) Sm=5u=5m+5anm=Sao+5ae=S-8C-AE=X10x8=408分 3)MP=P,理由如下： 如图：过点M作MH⊥AP于点H,过点N作NG⊥AP于点G.则∠MHA=∠CEA=90° 819 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 H pM N----11G A C .∠EAC+∠ACE=90°， .∠CAM=90°， :.∠EAC+∠HAM=90°， ∴.∠MAH=∠ACE, .:AC=AM,, △AMH≌aCAE(AAS) ∴.HM=AE, △AGN≌ABEA(AAS) 同理： ..NG=AE ∴NG=HM 在△PHM和△PGN中 .'NG=HM,∠MHP=∠NGP.∠HPM=∠GPN ·.APGN≌aPHM(AAS) .MP=NP12分 9/9 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第十三~十四章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（     ）． A． B． C． D． 2．在下列各组图形中，是全等图形的是（     ）． A．B．C．D． 3．在中，，且是的3倍，那么该三角形是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 4．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 5．下面四个图中，线段是的高的是（   ）． A． B． C． D． 6．如图，，点、、、共线，与交于点．若，，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 7．如图，的外角平分线交射线于点在延长线上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可以供选择的地址有（     ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 9．如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 10．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．中，，，则______． 12．如图，点，在上，，，要使，需添加的一个条件是__________．（只写一个） 13．如图，，平分，，，则点D到的距离为______． 14．若a，b，c是的三边的长，化简______________． 15．在中，D为边的中点，，交于点E，若，______________． 16．如图，，垂足为A，厘米，厘米，射线，垂足为B，一动点P从点A出发以3厘米/秒的速度沿射线运动，同时动点D从点B出发沿射线运动．设点D运动的速度为v厘米/秒，当_____厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 三、解答题：本题共9小题，共72分。其中：17-20每题6分，21-23题每题8分，24-25题每题12分。 17．小明用边长分别为4，8，x（单位：）长的铁丝围成一个三角形铁架． (1)若x为奇数，求x的值； (2)若围成的三角形铁架为等腰三角形，求这个等腰三角形的周长． 18．如图，，，垂足分别为B，D，且． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 19．如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A，B，C均在格点上．请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．（保留画图痕迹） (1)在图1中，作，使得； (2)在图2中，作，使得，其中点E在上． 20．如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若的面积为，则的面积_______； (2)当，时，求的度数． (3)若，的周长比的周长少，求的长度． 21．已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 22．如图1、2所示，小颖与爸爸、妈妈在操场上荡秋千，小颖坐在秋千上的起始位置点处，且起始位置的延长线与地面垂直，垂足为点．小颖两脚在地面上用力一蹬，小颖妈妈在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的妈妈到秋千起始位置的水平距离米；小颖的妈妈用力一推，小颖的爸爸在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的爸爸到秋千起始位置的水平距离为米，秋千的长度保持不变．解答下列问题： (1)当时，判断与是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明理由； (2)当，米，米，米时，求的值； (3)若考虑到安全和体感，点、点分别在的左边和右边，秋千摆动的夹角（即）始终保持，请直接写出，，，这四个变量之间的关系． 23．综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 24．在中，与的角平分线与相交于点P． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，延长至M，延长至N，与的角平分线相交于点Q，若． ①用含的代数式表示的大小为__________°； ②用含的代数式表示的大小为__________°； (3)如图3，在（2）的条件下，延长、交于点R．在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍，直接写出的大小． 25．问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： (1)①由已知和作图能得到，依据是________． A．    B． C．    D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (2)如图，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． (3)拓展延伸： 如图，在第（2）的条件下，若延长交于点，请猜想线段和的数量关系，并说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第十三~十四章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，选取每组线段中较小的两条边求和，与最长边比较大小，可快速判断能否组成三角形． 【详解】解：A选项，，不能组成三角形，不符合题意． B选项， ，不能组成三角形，不符合题意． C选项，，不能组成三角形，不符合题意． D选项，，能组成三角形，符合题意． 2．在下列各组图形中，是全等图形的是（     ）． A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫全等图形，它们的形状、大小完全相同，逐一分析各选项即可． 【详解】选项：两个图形形状相同，但大小不同，所以它们不是全等图形； 选项：两个图形形状和大小都不相同，所以它们不是全等图形； 选项：两个图形形状和大小都不相同，所以它们不是全等图形； 选项：两个图形形状和大小都完全相同，所以它们是全等图形． 3．在中，，且是的3倍，那么该三角形是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】根据题意求出和的度数即可． 【详解】解：∵是的3倍， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴是直角三角形． 4．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A选项，只给出和，缺少其他边或角的条件，不能画出唯一，不符合题意； B选项，，，属于两边及其中一边对角相等的情况，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一，不符合题意； C选项，，，，是两角及其夹边，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一，符合题意； D选项，，不满足三角形两边之和大于第三边的三边关系，不能画出三角形，不符合题意． 5．下面四个图中，线段是的高的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．本题中是从顶点向对边作垂线，垂足为，即． 【详解】解：根据三角形高的定义：线段是的高，则需要满足，垂足落在边（或延长线）上． 选项A、垂足在点处，不在边上，不符合； 选项B、垂足在点处，不在边上，不符合； 选项C、垂足在点处，不在边上，不符合； 选项D、，垂足为，在边上，完全符合三角形高的定义． 6．如图，，点、、、共线，与交于点．若，，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，点、、、共线， ， ， ． 7．如图，的外角平分线交射线于点在延长线上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用角平分线的定义求得的度数，利用邻补角的定义求得的度数，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∴． 8．如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可以供选择的地址有（     ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】到三条直线距离相等的点，即为这三条直线所围成三角形的内角平分线或外角平分线的交点． 【详解】解：三条直线两两相交围成一个三角形； ∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴到三条直线距离相等的点必在角的平分线上，三角形内部有一个点，即三条内角平分线的交点；三角形外部有三个点，即两条外角平分线与一条内角平分线的交点； ∴共有处可供选择的地址． 9．如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余结合尺规作图得到的角平分线推导即可． 【详解】解：由题意得为的平分线， ，， ， ， ，故C不正确； ，故B正确； 如图，过点作，垂足为， 由角平分线定理可得，无法推出，到的距离是，故A、D不正确． 10．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】由证明可判断①正确；证明可判断②正确；由①②结论得到，，由求解可判断③正确；根据三角形的三边关系可判断④错误． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，故③正确； ∵在中，， ∴，故④错误， 综上，正确的是①②③． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．中，，，则______． 【答案】60 【分析】直角三角形两锐角互余，即，结合条件，通过等量代换建立方程即可求出． 【详解】解：是直角三角形，， ， 又，即， 将代入得：， 解得：． 12．如图，点，在上，，，要使，需添加的一个条件是__________．（只写一个） 【答案】（或或或） 【分析】先由题意确定已知条件，再根据全等的判定条件进行解答． 【详解】解：， ， 即． 又， 可添加的条件有： （1）添加， 在和中 ； （2）添加， 在和中 ； （3）添加， 则， 由（1）可知； （4）添加， 则， 由（2）可知． 13．如图，，平分，，，则点D到的距离为______． 【答案】2 【详解】解：如图，过点作， ，， ， 平分，， ， 点D到的距离为2． 14．若a，b，c是的三边的长，化简______________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断绝对值内代数式的正负，再利用绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴三角形任意两边之和大于第三边，可得 ，， ∴，， ∴． 15．在中，D为边的中点，，交于点E，若，______________． 【答案】2 【分析】这道题的解题关键在于巧妙地运用“同高不同底”的几何性质来转化面积关系，首先，利用中点 将大三角形 分割成面积相等的两部分，并进一步推导出 与 的面积相等，接着，根据“等高三角形面积比等于底边比”，由 可直接推导：在 中， 与 等高，故 。设 ，则 ，进而 ，同理，对以 为顶点的 ，也有 ，利用面积差 及 ，可推得 ，所以 ，即可解得 ，从而将所有相关面积统一用 表示，最后列方程即可求解． 【详解】解：连接 ， 为 边的中点 设 ， 则 ． 16．如图，，垂足为A，厘米，厘米，射线，垂足为B，一动点P从点A出发以3厘米/秒的速度沿射线运动，同时动点D从点B出发沿射线运动．设点D运动的速度为v厘米/秒，当_____厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】或2或6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动的时间为秒，则厘米，厘米，厘米，当点P在线段上时，只有这种情况，当点P在的延长线上时，只存在和两种情况，据此根据全等三角形的性质建立方程组求解即可． 【详解】解：设点P运动的时间为秒，则厘米，厘米，厘米， ∵，， ∴， 当点P在线段上时， ∵， ∴此时只有这种情况， ∴厘米，厘米， ∴， 解得； 当点P在的延长线上时，， ∴只存在和两种情况， 当时，则厘米，厘米， ∴， 解得； 当时，则厘米，厘米， ∴， 解得； 综上所述，v的值为或2或6． 故答案为：或2或6． 三、解答题：本题共9小题，共72分。其中：17-20每题6分，21-23题每题8分，24-25题每题12分。 17．小明用边长分别为4，8，x（单位：）长的铁丝围成一个三角形铁架． (1)若x为奇数，求x的值； (2)若围成的三角形铁架为等腰三角形，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1)或或或 (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再取奇数即可； （2）根据等腰三角形的定义得到x的值，再结合三角形三边关系进行取舍，即可求出周长． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， ∵x为奇数， ∴x的值为5或7或9或11． （2）解：边长分别为4，8，x（单位：）长的铁丝围成一个三角形铁架是等腰三角形， ∴或， 当时，三边长为4，8，4， 由于，不满足三角形的三边关系，故舍去； 当时，三边长为4，8，8，满足三角形三边关系， ∴这个等腰三角形的周长为． 18．如图，，，垂足分别为B，D，且． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴． (2)12 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据全等三角形的性质求出，求出和的面积，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A，B，C均在格点上．请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．（保留画图痕迹） (1)在图1中，作，使得； (2)在图2中，作，使得，其中点E在上． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如图，即为所求 【分析】（1）将线段向左平移三个单位，再向下平移1个单位，得到线段，连接，则即为所求； （2）根据网格特点在上取格点E，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：根据平移可得：， ∴， 根据网格可得：，分别是两个大小相同的长方形的对角线， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴； （2）解：结合小正方形的特点可得：， ∴． 20．如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若的面积为，则的面积_______； (2)当，时，求的度数． (3)若，的周长比的周长少，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据是的中线，的面积为，即可求出的面积； （2）先求出，再运用平分，得出，然后运用三角形内角和性质以及三角形的高进行求解即可； （3）根据是的中线，得到，由的周长比的周长少，推出，即可求解． 【详解】（1）解：是的中线，的面积为， ； （2）解：，， ， 平分， ， 是的高， ， ， ； （3）解：是的中线， ， 的周长比的周长少， ， 则， ， ． 21．已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 【答案】(1)证明：平分，平分， 设，， ，， ； (2)证明：过作于点，作于点，作于点， 平分， ， 平分， ， ． 平分． 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到，，即可得到结论； （2）过作于点，作于点，作于点，根据角平分线的性质得到，，则．根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 22．如图1、2所示，小颖与爸爸、妈妈在操场上荡秋千，小颖坐在秋千上的起始位置点处，且起始位置的延长线与地面垂直，垂足为点．小颖两脚在地面上用力一蹬，小颖妈妈在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的妈妈到秋千起始位置的水平距离米；小颖的妈妈用力一推，小颖的爸爸在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的爸爸到秋千起始位置的水平距离为米，秋千的长度保持不变．解答下列问题： (1)当时，判断与是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明理由； (2)当，米，米，米时，求的值； (3)若考虑到安全和体感，点、点分别在的左边和右边，秋千摆动的夹角（即）始终保持，请直接写出，，，这四个变量之间的关系． 【答案】(1)，理由如下： 于点， ， ，     ， ，     ． (2) (3) 【分析】（1）利用同角的余角相等证两角相等； （2）根据证，得到对应边相等，再结合线段差计算； （3）用线段和差得到四个变量关系式． 【详解】（1）略 （2）解：据题可知，据（1）可知， 在和中， ， ， 米，， ，， 米， 米， ． （3）解：据（2）可知， 则米，米， ，， ，即． 23．综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)m 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：在中，， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 24．在中，与的角平分线与相交于点P． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，延长至M，延长至N，与的角平分线相交于点Q，若． ①用含的代数式表示的大小为__________°； ②用含的代数式表示的大小为__________°； (3)如图3，在（2）的条件下，延长、交于点R．在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍，直接写出的大小． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）根据三角形内角和定理可得，进而得到；①②利用角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可； （3）如图：延长至D，利用角平分线的定义、三角形外角的性质可得，再结合，然后分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，，点P是和的平分线的交点， ∴，， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，， ①∵与的角平分线与相交于点P， ∴，， ∴， ∵， ∴． ②∵与的角平分线相交于点Q， ∴，， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图：延长至D， ∵为的外角的角平分线， ∴, ∵，, ∴, ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； 由（2）可知 ∵在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍， ∴①当时，即，解得：； ②当时，即，解得：； 综上所述，的度数是或． 25．问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： (1)①由已知和作图能得到，依据是________． A．    B． C．    D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (2)如图，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． (3)拓展延伸： 如图，在第（2）的条件下，若延长交于点，请猜想线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)，理由如下： 如图：过点作于点，过点作于点．则 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ∴， ， 同理： 在和中 ，， 【分析】（1）①根据中线的定义可得，再利用可证明；②根据全等三角形的性质以及三角形的三边关系即可解答； （2）如图：延长至，使得，易证可得、、，再证明可得，再根据三角形间的面积关系得到，最后根据三角形面积公式求得即可； （3）如图：过点作于点，过点作于点．先证明可得，同理可得，即；最后再证明并运用全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：①是中线， ， 在和中， ， ，即选项A符合题意； ②，，， ， ， ，即， ， ， ． （2）解：如图：延长至，使得， 是中线， ， 又， ． ，，， ， ． ， ． ， ． ， ， . （3）解：，理由见答案. / 学科网（北京）股份有限公司 $