八年级数学上学期第一次学情自测·培优卷（新教材沪教版五四制，举一反三，测试范围：第19章 实数～第20章 二次根式）

**基本信息** 聚焦实数与二次根式，28题分层设计（单选6/12、填空12/36、解答10/52），融合杨辉幻圆、海伦-秦九韶公式等数学文化及摆钟周期计算等实际应用，通过新定义问题考查抽象能力、运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|无理数判断（3题）、最简二次根式（4题）|结合期末真题，基础概念辨析| |填空题|12/36|平方根性质（10题）、幻圆模型（18题）|融入数学文化，考查符号意识| |解答题|10/52|和谐二次根式新定义（21题）、摆钟周期计算（24题）|实际应用与逻辑推理结合，体现应用意识|

八年级数学上学期第一次学情自测·培优卷 【新教材沪教版五四制】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）等式成立的条件是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据二次根式及分式有意义的条件列不等式求解． 【详解】解：要使成立，则， ∴． 2．（2026·宁夏·中考真题）下列各数中，介于和之间的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用平方法将无理数与整数的大小比较转化为有理数比较． 【详解】解：，，需找平方后在和之间的正数， A、 ， ，A不符合； ， ，B不符合； ，， ，C符合； ， ，D不符合． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）下列各数中：，，0.618，，，，无理数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：，， 、、、、均为有理数，仅是无理数， 则，，0.618，，，，无理数的个数有1个． 4．（25-26八年级下·河北唐山·期末）若，为最简二次根式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的化简，先将化为最简二次根式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵是最简二次根式， ∴，， ∴． 5．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期末）定义：对于任意的实数，，当时，有；当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先比较参与运算的两个数的大小，再根据给定对应法则代入计算，化简算术平方根和立方根即可得到结果． 【详解】解：由题意得，运算中， ，满足， 按定义得， 代入计算. 6．（25-26八年级下·重庆北碚·阶段检测）已知代数式，，，，其中，，，，，，均为正整数，其中是开方开不尽的数，下列说法正确的个数是（） ①若，则； ②若，时，则至少存在一组、满足条件， ③若代数式、之积为时，则满足条件的、共有2个结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】①若，整理得，，得到，结合推出，可判断①错误；若，，则，整理得，，得出可判断②错误；③计算，得出，由，均为正整数，推出，，可判断③错误． 【详解】解：①若， 则， 整理得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 若成立， 解得，与已知，均为正整数矛盾， ∴不正确， ∴①错误； ②若，， 则， ∴， 整理得，， ∴， ∵左边是正整数乘无理数（结果为无理数），右边是整数（有理数），不可能相等， ∴不存在满足条件的m，n， ∴②错误； ③， ∵均为正整数，且不是完全平方数， 比较等式两边的有理部分与无理部分可得． 两边平方得． ∵均为正整数， ∴． ∵为正整数，必为45的约数中的完全平方数， ∴，即， 此时，满足为正整数且不是完全平方数的条件． ∵， ∴， ∴， ∵，均为正整数， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴不存在正整数，，，使等式成立， ∴没有符合条件的A，B， ∴③错误． 综上可知，三个说法均错误． 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）比较大小：________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】将整数化为立方根形式，通过比较被开方数的大小即可得到结果． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴． 8．（江西省南昌市第十九中学2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）已知，若是整数，则满足条件的n的值是________． 【答案】，1，6 【分析】先根据确定的取值范围，进行分类讨论，再结合是整数，推出为非负完全平方数，逐一验证得到符合条件的． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数， ∴是非负完全平方数， 设，为非负整数，可得， 当时，，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； ∴满足条件的为，，． 9．（25-26八年级下·陕西商洛·期末）计算的结果是___________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 10．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）一个正数的平方根分别是和，则的值为______； 【答案】4 【分析】根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，据此列出关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， ， 得． 11．（25-26七年级下·内蒙古通辽·阶段检测）已知，，则____________． 【答案】 【分析】本题考查立方根的运算性质，将变形为，再利用立方根的乘法性质拆分计算，结合已知条件即可求出结果． 【详解】． 12．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）若，则的值为______． 【答案】 【分析】将待求式平方后，可利用完全平方公式变形得到与已知条件相关的式子，计算后结合二次根式的非负性得到最终结果． 【详解】解：设， 由题意知，， ， 等式两边平方，得 把代入，得， ， ， 即的值为． 13．（25-26七年级下·四川凉山·期末）已知，则的算术平方根为_______． 【答案】 【分析】根据被开方数非负列出不等式组求出x的取值范围，进而确定x的值和y的值，最后代入求值即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得 ∴， ∴ ， ∴的算术平方根为． 14．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）为使算式的计算结果为有理数，则“”中应填写的运算符是________．（用、、、中的一个填空） 【答案】 【分析】先根据完全平方公式化简，再分别将四个运算符代入计算，判断结果是否为有理数即可． 【详解】解：， 当填时，原式，是有理数，符合要求； 当填时，原式，是无理数，不符合要求； 当填时，原式，是无理数，不符合要求； 当填时，原式，是无理数，不符合要求． 15．（2026·山东潍坊·模拟预测）若二次根式与能合并，则整数的值除9之外还可能是__________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据同类二次根式的定义，能合并的二次根式为同类二次根式，先化简，再结合为整数，求出除外符合条件的的值． 【详解】解：， ∵二次根式与能合并， ∴化简后被开方数为， ∴，其中为正整数，且， 当时，，解得：，为题目给出的已知值； 当时，，解得，符合整数要求． 16．（2026·江苏常州·二模）已知某物体的质量，体积，则它的密度等于________（参考公式：）． 【答案】 【分析】先根据已知公式推导出密度的表达式，再代入和的值，利用二次根式的除法法则化简计算即可得到结果． 【详解】解：由公式 可得 ，将，代入得： ． 17．（2026·江西·三模）若一个三角形的三边长分别为，，，记，则三角形的面积，这个公式被称为海伦-秦九韶公式．小明在研究该公式时发现，当三角形的三边长为连续整数时，该公式可简化．设一个三角形的三边长分别为，，（且为整数），若该三角形的面积为整数，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】先根据海伦公式代入三边长化简得到面积表达式，再根据面积为整数的条件，结合且为整数，从小到大验证即可得到的最小值． 【详解】解：∵三角形三边长为，，， ∴半周长， ∴，，， ∴， ∵为整数， ∴为大于的整数， 当时，，不是整数，不符合题意； 当时，，是整数，符合题意； ∴的最小值为． 18．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图所示的是一个简单的二阶幻圆模型，若内、外两个圆周上四个数之和以及外圆两直径上的四个数之和都相等，则__________． 【答案】0 【分析】设内圆圆周上未知的数为c，根据外圆竖直方向直径上四个数的和等于内圆圆周上四个数的和列式，即可求解． 【详解】解：设内圆圆周上未知的数为c， 由题意得：， ∴． 三、解答题（本大题共10小题，满分52分） 19．（4分）（25-26七年级下·河南许昌·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 20．（4分）（25-26八年级下·辽宁大连·期末）计算 (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将各项二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算即可； （2）使用完全平方公式和二次根式的除法运算，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：      ； （2）解：               ． 21．（4分）（25-26八年级下·山东泰安·期末）定义：若含有二次根式的式子，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求． 【答案】(1) (2) 【分析】由与是关于的和谐二次根式，得，然后通过二次根式除法即可求出的值； 根据题意得， 然后通过解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：∵与是关于的和谐二次根式， ∴， ∴； （2）解：根据题意得， ， ， ， ∴． 22．（4分）（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的实数为． (1)实数的值是__________； (2)化简：_________； (3)若在数轴上有两点分别表示实数，且与互为相反数，求的立方根． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）由图可知，则，，再利用绝对值的性质化简绝对值，进而求得答案； （3）根据非负数的性质求出c、d的值，再代入，进而求其立方根． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点表示，点所表示的实数为， ∴； （2）解：由图可知，， ∴，， ∴； （3）解： 与互为相反数， ， 又， ， 解得，， ， 的立方根为． 23．（4分）（25-26八年级下·四川绵阳·期中）阅读材料：已知，求的值． 解：∵ ． ∴． 解答问题： 已知．求：的值及的值． 【答案】， 【分析】利用平方差公式可得，进而得到，再结合解方程组即可． 【详解】解：由题意得： ． ∵， ∴， 由①，   ②， ①+②得：， 解得：， 综上，，． 24．（4分）（25-26八年级下·浙江温州·期中）某数学学习兴趣小组研究摆钟的“滴答”声与摆长的关系．查阅资料得知：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声．摆钟的周期计算公式是，其中T表示周期（单位：），表示摆线长（单位：），g取取3．若已知一台摆钟原来的摆线长为． (1)求这台摆钟正常工作时的摆动周期； (2)该摆钟长期使用后零件老化，摆动周期变为1.5秒，请问这台摆钟需要返厂维修吗？请说明理由．（注：当实际摆线长与原摆线长相差超过时，需要返厂维修．） 【答案】(1) (2)该摆钟需要返厂维修，见解析 【分析】（1）把代入求解即可． （2）把代入求出，然后与相比即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：． （2）解：把代入得：， 解得， ∵， 所以该摆钟需要返厂维修． 25．（6分）（25-26八年级下·山东淄博·期末）阅读材料，解答下列问题： 如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化． 如： (1)请用上面的方法化简：． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)2026 【分析】（1）利用题目所给的方法进行分母有理化； （2）将化简后代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ． 26．（6分）（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期末）对于实数a，如果我们规定：用符号表示不大于的最大整数，则称为a的根整数．例如：，． (1)仿照以上算法计算：________，________，________； (2)若，写出满足题意的b的整数值________； (3)计算： 【答案】(1)5，2，1 (2)1，2，3 (3) 【分析】（1）根据题意列出不等式，求最大整数解即可； （2）根据题意由，确定的范围，找出整数值即可； （3）根据题意分别求出及的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：, ； , ， ； ， ． （2）解：， ， ， 又∵为整数， ． （3）解：， ,， ，， 原式． 27．（8分）（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2)②④ (3) 【分析】（1）估算范围，直接写出整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）从数轴读出的取值范围，分离出整数与小数，对四个选项逐一推理判断； （3）先估算范围，再推出的范围，求出整数部分和小数部分，再代入式子计算． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是，小数部分为． （2）解：据图可知， 则，， 为无理数，则为无理数， 可得为有理数，为无理数， 故①不正确； ，，即， 故，②正确； ， ， ，， ， 故③不正确； ， ， ， ④正确， 综上，正确的说法为②④． （3）解：，即， 则， 可得， 则，， 故． 28．（8分）（25-26七年级下·山东临沂·期末）小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 【答案】(1)两， (2)解：． 详细过程如下： ，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为， 接着划去后面的三位得到数，而，，则， ， ， ， 的十位上的数是，结合其个位上的数是，于是得到， 即的立方根是． 【分析】（1）类比材料中的解法步骤①②求解即可； （2）类比材料中的解法步骤①②③求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为； （2）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期第一次学情自测·培优卷 【新教材沪教版五四制】 时间：90分钟 满分：100分 测试范围：第19章 实数~第20章 二次根式 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共28题，单选6题，填空12题，解答10题，满分100分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）等式成立的条件是（     ） A． B． C．或 D． 2．（2026·宁夏·中考真题）下列各数中，介于和之间的数是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）下列各数中：，，0.618，，，，无理数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26八年级下·河北唐山·期末）若，为最简二次根式，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期末）定义：对于任意的实数，，当时，有；当时，，则（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·重庆北碚·阶段检测）已知代数式，，，，其中，，，，，，均为正整数，其中是开方开不尽的数，下列说法正确的个数是（） ①若，则； ②若，时，则至少存在一组、满足条件， ③若代数式、之积为时，则满足条件的、共有2个结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）比较大小：________（填“>”“<”或“=”）． 8．（江西省南昌市第十九中学2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）已知，若是整数，则满足条件的n的值是________． 9．（25-26八年级下·陕西商洛·期末）计算的结果是___________． 10．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）一个正数的平方根分别是和，则的值为______； 11．（25-26七年级下·内蒙古通辽·阶段检测）已知，，则____________． 12．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）若，则的值为______． 13．（25-26七年级下·四川凉山·期末）已知，则的算术平方根为_______． 14．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）为使算式的计算结果为有理数，则“”中应填写的运算符是________．（用、、、中的一个填空） 15．（2026·山东潍坊·模拟预测）若二次根式与能合并，则整数的值除9之外还可能是__________． 16．（2026·江苏常州·二模）已知某物体的质量，体积，则它的密度等于________（参考公式：）． 17．（2026·江西·三模）若一个三角形的三边长分别为，，，记，则三角形的面积，这个公式被称为海伦-秦九韶公式．小明在研究该公式时发现，当三角形的三边长为连续整数时，该公式可简化．设一个三角形的三边长分别为，，（且为整数），若该三角形的面积为整数，则的最小值为_____． 18．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图所示的是一个简单的二阶幻圆模型，若内、外两个圆周上四个数之和以及外圆两直径上的四个数之和都相等，则__________． 三、解答题（本大题共10小题，满分52分） 19．（4分）（25-26七年级下·河南许昌·期末）计算： (1)； (2)． 20．（4分）（25-26八年级下·辽宁大连·期末）计算 (1)计算：； (2)计算：． 21．（4分）（25-26八年级下·山东泰安·期末）定义：若含有二次根式的式子，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求． 22．（4分）（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的实数为． (1)实数的值是__________； (2)化简：_________； (3)若在数轴上有两点分别表示实数，且与互为相反数，求的立方根． 23．（4分）（25-26八年级下·四川绵阳·期中）阅读材料：已知，求的值． 解：∵ ． ∴． 解答问题： 已知．求：的值及的值． 24．（4分）（25-26八年级下·浙江温州·期中）某数学学习兴趣小组研究摆钟的“滴答”声与摆长的关系．查阅资料得知：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声．摆钟的周期计算公式是，其中T表示周期（单位：），表示摆线长（单位：），g取取3．若已知一台摆钟原来的摆线长为． (1)求这台摆钟正常工作时的摆动周期； (2)该摆钟长期使用后零件老化，摆动周期变为1.5秒，请问这台摆钟需要返厂维修吗？请说明理由．（注：当实际摆线长与原摆线长相差超过时，需要返厂维修．） 25．（6分）（25-26八年级下·山东淄博·期末）阅读材料，解答下列问题： 如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化． 如： (1)请用上面的方法化简：． (2)若，求的值． 26．（6分）（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期末）对于实数a，如果我们规定：用符号表示不大于的最大整数，则称为a的根整数．例如：，． (1)仿照以上算法计算：________，________，________； (2)若，写出满足题意的b的整数值________； (3)计算： 27．（8分）（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 28．（8分）（25-26七年级下·山东临沂·期末）小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $